2025年四川省眉山市中考数学试卷

第1页（共1页）2025年四川省眉山市中考数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑。1．（4分）2025的相反数是（）A．2025 B．﹣2025 C． D．2．（4分）剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（4分）在《哪吒之魔童闹海》等影片的带动下，今年的中国电影市场火热开局，一季度的电影票房达到244亿元.244亿用科学记数法表示为（）A．0.244×1010 B．2.44×109 C．2.44×1010 D．244×1084．（4分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a2）3＝a6 D．a12÷a3＝a95．（4分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，3）向右平移2个单位到点B，则点B的坐标为（）A．（﹣3，3） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，5）6．（4分）如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB、DE分别交于点M、N，则∠1+∠2的度数为（）A．216° B．180° C．144° D．120°7．（4分）如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：48．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（）A．4 B．5 C．6 D．89．（4分）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个上，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（）A． B． C． D．10．（4分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，n），则向量（m，n），已知（x1，y1），（x2，y2），若x1•x2+y1•y2＝0，则与互相垂直．下列选项中两向量互相垂直的是（）A．（2，3），（sin30°，π0） B．（3，﹣9），（1，） C．（，），（2，） D．（2，1），（2﹣1，﹣1）11．（4分）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程2的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（）A．8 B．14 C．18 D．3812．（4分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，CD，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．下列4个结论：①当t＝1时，S＝3；②点P在线段BA上时S＝2t2﹣16t+34；③AD＝4；④t1+t2＝4．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。13．（4分）﹣27的立方根是．14．（4分）某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为：7，8，5，8，9，10，6．这组数据的中位数是．15．（4分）已知方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为．16．（4分）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB、AC的长都为2m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若OA＝1，∠OAB＝90°，则点G的坐标为．18．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP＝45°，点F在射线DP上，且AE：DF＝1：，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论：①sin∠BFE；②AE2+CG2＝EG2；③△DEF的面积最大值是2；④若AEAD，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是．三、解答题：本大题共8个小题，共78分.请把解答过程写在答题卡相应的位置上。19．（8分）（1）计算：|﹣3|；（2）解方程：2（x﹣1）＝2+x．20．（8分）先化简，再求值：（）．其中x、y满足（x+2）2+|y﹣1|＝0．21．（10分）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题：（1）这次抽取的学生总人数为人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为度；（2）补全条形统计图；（3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率．22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点D，过点B作BE∥DC，交⊙O于点E，连接AE、AC．（1）求证：；（2）若∠BAE＝60°，⊙O的半径为2，求AC的长．23．（10分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y的图象相交于A（1，4）、B（4，m）两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，求点P的坐标．24．（10分）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为50g，其核心营养素如下：食品类别能量（单位：Kcal）蛋白质（单位：g）脂肪（单位：g）碳水化合物（单位：g）A240127.529.8B28013927.6（1）若要从这两种食品中摄入1280Kcal能量和62g蛋白质，应运用A、B两种食品各多少份？（2）若每份午餐选用这两种食品共300g，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76g，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝﹣3对称，与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在点Q，使2AQCQ存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．26．（12分）综合与实践【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．【操作实践】如图1，将矩形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点B′处，折痕交AB于点E，再沿着过点B′的直线折叠，使点D落在B′C边上的点D′处，折痕交CD于点F．将纸片展平，画出对应点B′、D′及折痕CE、B′F，连接B′E、B′C、D′F．【初步猜想】（1）确定CE和B′F的位置关系及线段BE和CF的数量关系．创新小组经过探究，发现CE∥B′F，证明过程如下：由折叠可知∠DB'F＝∠CB'F∠DB'C，∠ECB'＝∠ECB∠BCB'．由矩形的性质，可知AD∥BC，∴∠DB′C＝∠BCB′，∴①，∴CE∥B′F．智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为②．经过探究，发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一：方法一：证明△AB′E≌△D′CF，得到B′E＝CF，再由B′E＝BE可得结论．方法二：过点B′作AB的平行线交CE于点G，构造平行四边形CFB′G，然后证B′G＝B′E可得结论．请补充上述过程中横线上的内容．【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF的数量关系，写出证明过程．【尝试运用】（3）如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，按上述操作折叠并展开后，过点B′作B′G∥AB交CE于点G，连接D′G，当△B′D′G为直角三角形时，求出BE的长．

2025年四川省眉山市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）题号1234567891011答案BAC．DCCBACDB题号12答案B一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑。1．（4分）2025的相反数是（）A．2025 B．﹣2025 C． D．【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．【解答】解：2025的相反数是﹣2025．故选：B．【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．2．（4分）剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：B、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（4分）在《哪吒之魔童闹海》等影片的带动下，今年的中国电影市场火热开局，一季度的电影票房达到244亿元.244亿用科学记数法表示为（）A．0.244×1010 B．2.44×109 C．2.44×1010 D．244×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：244亿＝24400000000＝2.44×1010．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a2）3＝a6 D．a12÷a3＝a9【分析】A．先判断a2，a3是不是同类项，能否合并，然后判断即可；B．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；C．根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；D．根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可．【解答】解：A．∵a2，a3不是同类项，不能合并，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；B．∵a2•a3＝a5，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；C．∵（﹣a2）3＝﹣a6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；D．∵a12÷a3＝a9，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则和同类项的概念．5．（4分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，3）向右平移2个单位到点B，则点B的坐标为（）A．（﹣3，3） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，5）【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可．【解答】解：由题知，将点A（﹣1，3）向右平移2个单位到点B的坐标为（1，3）．故选：C．【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．6．（4分）如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB、DE分别交于点M、N，则∠1+∠2的度数为（）A．216° B．180° C．144° D．120°【分析】首先根据正多边形内角和公式确定∠A＝∠E＝108°，进而可得∠AMN+∠ENM的值，再根据对顶角相等的性质可知∠1+∠2＝∠AMN+∠ENM，即可获得答案．【解答】解：∵∠A＝∠E180°×（5﹣2）＝108°，∴∠AMN+∠ENM＝360°﹣∠B﹣∠C＝144°，∵∠1＝∠AMN，∠2＝∠ENM，∴∠1+∠2＝∠AMN+∠ENM＝144°．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握多边形内角和公式和正多边形的性质．7．（4分）如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4【分析】根据勾股定理分别求出OB、OD，根据位似变换的性质得到△OAB∽△OCD，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．【解答】解：∵小正方形的边长均为1，∴OB，OD2，∴OB：OD＝1：2，∵将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，∴△OAB∽△OCD，相似比为1：2，∴△OAB与△OCD的周长之比1：2，故选：B．【点评】本题考查的是位似变换、勾股定理，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．8．（4分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】由作图过程可知，AG为∠BAD的平分线，可得∠BAG＝∠DAG．由平行线的性质可得∠AGB＝∠DAG，则∠BAG＝∠AGB，可得BG＝AB＝6，则可得CG＝BC﹣BG＝4．【解答】解：由作图过程可知，AG为∠BAD的平分线，∴∠BAG＝∠DAG．∵AD∥BC，∴∠AGB＝∠DAG，∴∠BAG＝∠AGB，∴BG＝AB＝6，∴CG＝BC﹣BG＝10﹣6＝4．故选：A．【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质是解答本题的关键．9．（4分）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个上，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（）A． B． C． D．【分析】根据九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，列出关于x、y的二元一次方程组即可．【解答】解：由题意得：，故选：C．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．10．（4分）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，n），则向量（m，n），已知（x1，y1），（x2，y2），若x1•x2+y1•y2＝0，则与互相垂直．下列选项中两向量互相垂直的是（）A．（2，3），（sin30°，π0） B．（3，﹣9），（1，） C．（，），（2，） D．（2，1），（2﹣1，﹣1）【分析】根据2sin30°+3×π0＝1+3＝4≠0，可知与不相互垂直，根据3×13+3＝6≠0，可知与不相互垂直，根据0，可知与不相互垂直，根据2×2﹣1+1×（﹣1）＝1﹣1＝0，可知与相互垂直．【解答】解：∵2sin30°+3×π0＝1+3＝4≠0，∴与不相互垂直，故A选项不符合题意；∵3×13+3＝6≠0，∴与不相互垂直，故B选项不符合题意；∵0，∴与不相互垂直，故C选项不符合题意；∵2×2﹣1+1×（﹣1）＝1﹣1＝0，∴与相互垂直，故D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查平面向量、零指数幂、负整数指数幂、坐标与图形性质、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．（4分）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程2的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（）A．8 B．14 C．18 D．38【分析】先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可．【解答】解：．解①得：x≤5．解②得：．∵关于x的不等式组至少有两个正整数解．∴不等式组的解集为，∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数，当时，解集包含x＝4，5，此时a≤9，分式方程化简为：，解得，要求解为正整数且x≠1，则为大于等于2的整数，即a为大于等于6的偶数，∵a≤9，∴a＝6或8，当a＝6时，不等式组的解集为2.5≤x≤5，整数解为3，4，5，满足条件，当a＝8时，不等式组的解集为3.5≤x≤5，整数解为4，5，满足条件，则所有满足条件的整数a之和为6+8＝14，故选：B．【点评】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，注意正确运算．12．（4分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，CD，动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF．设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等．下列4个结论：①当t＝1时，S＝3；②点P在线段BA上时S＝2t2﹣16t+34；③AD＝4；④t1+t2＝4．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用正方形面积公式得出S＝PD2＝t2+2，代入t＝1求得S的值即可判断①；根据图2中的数据求得函数的解析式即判断②；利用勾股定理求得AC，进而求得AD即可判断③；画出函数S＝t2+2（0≤t≤2），观察图象t1、t2关于t＝2对称，即可判断④．【解答】解：在Rt△PCD中CD，PC＝t，则S＝PD2＝t2+2，当S＝6时，即t2+2＝6，解得：t＝2（负值已舍去），即BC＝2，当t＝1时，S＝t2+2＝3，故①正确；由图象可知抛物线顶点为（4，2），且过点（2，6），则抛物线的表达式为：S＝a（t﹣4）2+2，将（2，6）代入上式得：6＝a（2﹣4）2+2，解得：a＝1，则抛物线的表达式为：S＝（t﹣4）2+2＝t2﹣8t+18（2≤x≤8），故②错误；当S＝18时，则t2﹣8t+18＝18，解得：t＝0（舍去）或8，则AB＝8﹣2＝6，∴AC4，∴AD＝43，故③错误；画出S＝t2+2（0≤t≤2），如图：从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，若存在3个时刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形DPEF的面积均相等，从图象看，t1、t2关于t＝2对称，则（t1+t2）＝2，即t1+t2＝4，故④正确．故选：B．【点评】本题为二次函数综合题，涉及到动点问题、面积的计算，读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合是本题解题的关键．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上。13．（4分）﹣27的立方根是﹣3．【分析】根据立方根的定义求解即可．【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，∴3故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的符号相同．14．（4分）某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为：7，8，5，8，9，10，6．这组数据的中位数是8．【分析】根据中位数的概念求解即可．【解答】解：按从小到大排列：5，6，7，8，8，9，10，排在中间的数是8，所以这组数据的中位数是8．故答案为：8．【点评】本题考查了求一组数据的中位数，把一组数据按大小排列，最中间一个或两个数据的平均数就是这组数据的中位数．15．（4分）已知方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为﹣2．【分析】依据题意，利用根与系数的关系得到x1+x2，x1x2的值，然后（x1+1）（x2+1）代入计算即可．【解答】解：由题意，∵方程x2﹣2x﹣5＝0的两根分别为x1，x2，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣5．∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝﹣5+2+1＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用关系式是关键．16．（4分）人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若AB、AC的长都为2m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是1.8m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【分析】过点A作AD⊥BC，在Rt△ADC中，求出AD即可．【解答】解：∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴AD＝AC•sin65°＝2×0.91≈1.8（m），∴人字梯顶端离地面的高度1.8m．故答案为：1.8．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若OA＝1，∠OAB＝90°，则点G的坐标为（，0）．【分析】根据相似三角形的性质可得∠AOB＝30°，然后在Rt△AOB中，利用锐角三角函数的定义可得OAOB，最后从数字找规律进行计算，即可解答．【解答】解：∵图中的12个直角三角形是相似三角形，∴∠AOB30°，在Rt△AOB中，cos30°，∴OAOB，同理可得：OBOC，OCOD，∴OA＝（）2OC，OA＝（）3OD，…∴OA＝（）6OGOG，∵OA＝1，∴OG，∴点G的坐标为（，0），故答案为：（，0）．【点评】本题考查了相似三角形的应用，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP＝45°，点F在射线DP上，且AE：DF＝1：，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论：①sin∠BFE；②AE2+CG2＝EG2；③△DEF的面积最大值是2；④若AEAD，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号是①③④．【分析】①在AB上截取AH＝AE，连接EH，设AE＝a，DF，则AH＝AE＝a，HE，∠BHE＝∠EDF＝135°，BH＝ED，由此可依据“SAS”判定△BHE和△EDF全等，则BE＝FE，∠HBE＝∠FED，再证明∠FED+∠AEB＝90°得∠BEF＝90°，由此得△BEF是等腰直角三角形，则∠BFE＝∠FBE＝45°，进而得sin∠BFE＝sin45°，据此可对结论①进行判断；②过点B作BM⊥BF，交DA的延长线于点M，证明△BAM和△BCG全等得AM＝CG，BM＝BG，则AE+CG＝ME，证明∠MBE＝FBE＝45°，进而可依据“SAS”判定△MBE和△GBE全等，则ME＝EG，由此得AE+CG＝EG，据此可对结论②进行判断；③过点F作FN⊥AD，交AD的延长线于点N，由（1）知设AE＝a，DF，则ED＝4﹣a，证明△NDF是等腰直角三角形得DN＝FN＝a，进而得△DEF的面积S，由此得当a＝2时，S为最大，最大值为2，据此可对结论③进行判断；④设CG＝x，则DG＝4﹣x，根据AEAD得DE，由②知AE+CG＝EG，在Rt△DEG中，由勾股定理得，由此解出x＝2得CG＝DG＝2，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．【解答】解：①在AB上截取AH＝AE，连接EH，如图1所示：∵AE：DF＝1：，∴设AE＝a，DF，∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴AB＝AD＝CB＝CD＝4，∠BAD＝∠ADC＝∠C＝∠ABC＝90°，∴AH＝AE＝a，∴△AHE是等腰直角三角形，∴∠AEH＝∠AHE＝45°，∴∠BHE＝180°﹣∠AHE＝135°，由勾股定理得：HE，∴HE＝DF，∵∠CDP＝45°，∴∠EDF＝∠ADC+∠CDP＝135°，∴∠BHE＝∠EDF＝135°，∵AB＝AD，AH＝AE，∴AB﹣AH＝AD﹣AE，即BH＝ED，在△BHE和△EDF中，，△BHE≌△EDF（SAS），∴BE＝FE，∠HBE＝∠FED，∵∠HBE+∠BEH＝180°﹣∠BHE＝45°，∴∠FED+∠BEH＝45°，∴∠FED+∠BEH+∠AHE＝90°，即∠FED+∠AEB＝90°，∴∠BEF＝180°﹣（∠FED+∠AEB）＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FBE＝45°，∴sin∠BFE＝sin45°，故结论①正确；②过点B作BM⊥BF，交DA的延长线于点M，如图2所示：∴∠MBF＝∠ABC＝90°，∴∠MBA+∠ABF＝∠ABF+∠GBC，∴∠MBA＝∠GBC，∵∠BAD＝∠C＝90°，∴∠BAM＝∠C＝90°，在△BAM和△BCG中，，∴△BAM≌△BCG（SAS），∴AM＝CG，BM＝BG，∴AE+CG＝AE+AM＝ME，∵∠ABC＝90°，∠FBE＝45°，∴∠ABE+∠GBC＝45°，∴∠ABE+∠MBA＝45°，即∠MBE＝45°，∴∠MBE＝FBE＝45°，在△MBE和△GBE中，，∴△MBE≌△GBE（SAS），∴ME＝EG，∴AE+CG＝EG，故结论②不正确；③过点F作FN⊥AD，交AD的延长线于点N，如图3所示：由（1）可知：设AE＝a，DF，∴ED＝AD﹣AE＝4﹣a，∵∠CDN＝∠ADC＝90°，∠CDP＝45°，∴∠FDN＝∠CDN﹣∠CDP＝45°，∴△NDF是等腰直角三角形，∴DN＝FN，由勾股定理得：DF√2DN，∴DN＝FNDFa，∴△DEF的面积SDE•FN，整理得：，∴当a＝2时，S为最大，最大值为2，故结论③正确；④设CG＝x，则DG＝CD﹣CG＝4﹣x，∵AEAD，∴DE＝AD﹣AE，由②可知：AE+CG＝EG，∴EG，在Rt△DEG中，由勾股定理得：EG2＝DE2+DG2，∴，解得：x＝2，∴CG＝2，∴DG＝4﹣x＝2，∴CG＝DG＝2，∴点G是线段CD的中点，故结论④正确，综上所述：正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．【点评】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义和勾股定理是解决问题的关键．三、解答题：本大题共8个小题，共78分.请把解答过程写在答题卡相应的位置上。19．（8分）（1）计算：|﹣3|；（2）解方程：2（x﹣1）＝2+x．【分析】（1）根据算术平方根的定义和绝对值的性质进行计算即可；（2）按照解一元一次方程的一般步骤进行解答即可．【解答】解：（1）原式＝2﹣3＝﹣1；（2）2（x﹣1）＝2+x，2x﹣2＝2+x，2x﹣x＝2+2，x＝4．【点评】本题主要考查了实数的运算和解一元一次方程，解题关键是熟练掌握算术平方根的定义、绝对值的性质和解一元一次方程的一般步骤．20．（8分）先化简，再求值：（）．其中x、y满足（x+2）2+|y﹣1|＝0．【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，根据偶次方、绝对值的非负性分别求出x、y，代入计算即可．【解答】解：原式＝[]••，∵（x+2）2+|y﹣1|＝0，∴x+2＝0，y﹣1＝0，∴x＝﹣2，y＝1，∴原式1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．21．（10分）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界．某校社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的4类人工智能软件A、B、C、D，每个学生可选择其中1类学习使用．为了解学生对软件的使用情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图：请根据图中信息，完成下列问题：（1）这次抽取的学生总人数为200人；扇形统计图中A类软件所占圆心角为144度；（2）补全条形统计图；（3）社团活动中表现最突出的有4人，其中有3人使用A类软件，有1人使用B类软件，现准备从这4名学生中随机选择2人进行学习成果展示，请用画树状图或列表法求出恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率．【分析】（1）由D软件的人数除以所占百分比得出这次抽取的学生总人数，即可解决问题；（2）求出B软件的人数，补全条形统计图即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）这次抽取的学生总人数为：40÷20%＝200（人），∴扇形统计图中A类软件所占圆心角为360°144°，故答案为：200，144；（2）B软件的人数为：200﹣80﹣20﹣40＝60（人），补全条形统计图如下：（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽到使用A、B两类软件各1人的结果有6种，∴恰好抽到使用A、B两类软件各1人的概率为．【点评】本题考查的是用列表法与树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点D，过点B作BE∥DC，交⊙O于点E，连接AE、AC．（1）求证：；（2）若∠BAE＝60°，⊙O的半径为2，求AC的长．【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质得到OC⊥BE，再根据垂径定理证明；（2）过点O作OH⊥AC于H，根据垂径定理得到AH＝HC，根据圆周角定理、直角三角形的性质求出∠ABE，根据三角形的外角性质求出∠AOC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠OAC，根据余弦的定义求出AH，进而求出AC．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵BE∥DC，∴OC⊥BE，∴；（2）解：如图，过点O作OH⊥AC于H，则AH＝HC，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣60°＝30°，∵BE∥DC，∴∠D＝∠ABE＝30°，∴∠AOC＝∠OCD+∠D＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAC（180°﹣120°）＝30°，∴AH＝OA•cos∠OAC＝2，∴AC＝2AH＝2．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．23．（10分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y的图象相交于A（1，4）、B（4，m）两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，求点P的坐标．【分析】（1）把A（1，4）代入y得4，得到反比例函数的解析式为y；把B（4，m）代入y得到B（4，1），把A（1，4）、B（4，1）代入y＝ax+b，解方程组得到一次函数的解析式为y＝﹣x+5；（2）设P（m，0），根据勾股定理得到OA＝OD，求得OC＝5，根据相似三角形的性质解方程即可得到结论．【解答】解：（1）把A（1，4）代入y得4，∴k＝4，∴反比例函数的解析式为y；把B（4，m）代入y得m1，∴B（4，1），∵一次函数y＝ax+b与反比例函数y的图象相交于A（1，4）、B（4，1）两点，∴，∴，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；（2）设P（m，0），∵点D与点A关于点O对称，A（1，4），∴OA＝OD，∵直线AB与x轴交于C（5，0）∴OC＝5，∵△AOC与△POD相似，∠AOC＝∠POD，∴或，∴或，∴OP＝5，OP，∴P（﹣5，0）或（，0）．【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．24．（10分）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为50g，其核心营养素如下：食品类别能量（单位：Kcal）蛋白质（单位：g）脂肪（单位：g）碳水化合物（单位：g）A240127.529.8B28013927.6（1）若要从这两种食品中摄入1280Kcal能量和62g蛋白质，应运用A、B两种食品各多少份？（2）若每份午餐选用这两种食品共300g，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76g，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？【分析】（1）设应选用A种食品x份，B种食品y份，根据要从这两种食品中摄入1280Kcal能量和62g蛋白质，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设应选用A种食品m份，则选用B种食品（6﹣m）份，根据从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76g，列出一元一次不等式，解得m≤2，再设每份午餐的能量为wKcal，根据题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）设应选用A种食品x份，B种食品y份，根据题意得：，解得：，答：应选用A种食品3份，B种食品2份；（2）设应选用A种食品m份，则选用B种食品（m）份，即（6﹣m）份，根据题意得：12m+13（6﹣m）≥76，解得：m≤2，设每份午餐的能量为wKcal，则w＝240m+280（6﹣m）＝﹣40m+1680，∵﹣40＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝2时，w取得最小值，此时，6﹣m＝4．答：应选用A种食品2份，B种食品4份．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出喻言演唱会和一次函数关系式．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝﹣3对称，与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴上一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在点Q，使2AQCQ存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝x2+6x+5；（2）由抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，设P（﹣3，t），过P作KT∥x轴，过B作BK⊥KT于K，过D作DT⊥KT于T，求出B（﹣5，0），得KP＝﹣3﹣（﹣5）＝2，再证△BPK≌△PDT（AAS），可得BK＝PT＝|t|，KP＝DT＝2，故D（﹣3+t，t﹣2），代入y＝x2+6x+5得：t﹣2＝（﹣3+t）2+6（﹣3+t）+5，解出t值得P的坐标为（﹣3，﹣1）或（﹣3，2）；（3）过C在y轴右侧作射线CM，使∠OCM＝45°，过A作AH⊥CM于H，AH交y轴于Q，证明△QCH是等腰直角三角形，可得QHCQ，∠CQH＝45°，故2AQCQ＝2（AQCQ）＝2（AQ+QH）＝2AH，由垂线段最短可知，此时2AQCQ最小，最小值为2AH，由△AQO是等腰直角三角形，得OQ＝OA＝1，AQOA，即得Q（0，1），再求出CQ＝OC﹣OQ＝4，可得QHCQ＝2，AH＝AQ+QH＝3，从而知2AQCQ的最小值为6．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c关于直线x＝﹣3对称，与x轴交于A（﹣1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+6x+5；（2）由抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，设P（﹣3，t），过P作KT∥x轴，过B作BK⊥KT于K，过D作DT⊥KT于T，如图：在y＝x2+6x+5中，令y＝0得0＝x2+6x+5，解得x＝﹣1或x＝﹣5，∴B（﹣5，0），∴KP＝﹣3﹣（﹣5）＝2，∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到DP，∴∠BPD＝90°，BP＝DP，∴∠BPK＝90°﹣∠DPT＝∠PDT，∵∠K＝∠T＝90°，∴△BPK≌△PDT（AAS），∴BK＝PT＝|t|，KP＝DT＝2，∴D（﹣3+t，t﹣2），把D（﹣3+t，t﹣2）代入y＝x2+6x+5得：t﹣2＝（﹣3+t）2+6（﹣3+t）+5，解得t＝﹣1或t＝2，∴P的坐标为（﹣3，﹣1）或（﹣3，2）；（3）在线段OC上存在点Q，使2AQCQ存在最小值，理由如下：过C在y轴右侧作射线CM，使∠OCM＝45°，过A作AH⊥CM于H，AH交y轴于Q，如图：∵∠OCM＝45°，∠QHC＝90°，∴△QCH是等腰直角三角形，∴QHCQ，∠CQH＝45°，∴2AQCQ＝2（AQCQ）＝2（AQ+QH）＝2AH，由垂线段最短可知，此时2AQCQ最小，最小值为2AH，∵∠AQO＝∠CQH＝45°，∠AOQ＝90°，∴△AQO是等腰直角三角形，∴OQ＝OA＝1，AQOA，∴Q（0，1），在y＝x2+6x+5中，令x＝0得y＝5，∴C（0，5），∴CQ＝OC﹣OQ＝5﹣1＝4，∴QHCQ＝2，∴AH＝AQ+QH＝3，∴2AQCQ的最小值为6．【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，全等三角形判定与性质，胡不归问题等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．26．（12分）综合与实践【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过