2025年四川省遂宁市中考数学试卷

第1页（共1页）2025年四川省遂宁市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20米记为“+20米”，那么向西跑20米记为（）A．+20米 B．﹣20米 C．+40米 D．﹣40米2．汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．统计数据显示，截止2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位．将数据150亿用科学记数法表示为（）A．150×108 B．15×109 C．1.5×1010 D．1.5×10114．如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（）A．B．C．D．5．下列运算中，计算正确的是（）A．2x2﹣3x2＝x2 B．（﹣2x）3＝﹣6x3 C．x2•x3＝x5 D．（x+1）2＝x2+16．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜54 B．m≥54 C．7．已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（）A．10 B．11 C．12 D．138．若关于x的分式方程3−ax2−x=aA．2 B．3 C．0或2 D．﹣1或39．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段AQ的长为（）A．213 B．215 C．6 10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且2＜m＜3．有下列结论：①abc＜0；②9a﹣3b+c＞0；③94＜y最大值＜278；④关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有两个不相等实根；⑤若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，当y1＜y3＜其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11．实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则m+10．（填“＞”“＝”或“＜”）12．已知x＝2是方程3a﹣2x＝2的解，则a＝．13．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试．测试成绩如表：项目应聘者甲乙丙学历988经验869能力788态度575公司将学历、经验、能力和态度得分按2：1：3：2的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙）14．综合与实践﹣硬币滚动中的数学将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为．15．如图，在边长为1的正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使∠BAE＝15°，连结CE并延长至点F，连结BF，使BF＝BC，CF与AB相交于点H．有下列结论：①AE＝CE；②BE+AE＝EF；③AHHB=23−1；④点M是BC边上一动点，连结HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处，连结BP交HM于点Q，连结DQ，则其中正确的结论有．（填序号）三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（7分）计算：(−117．（7分）先化简，再求值：(a+1+1a−1)÷a3−218．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）连结AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．19．（8分）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°．求摩天轮CF的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）20．（8分）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”．（1）请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有（填序号）．（2）如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AB＝AD．求四边形ABCD的面积．21．（10分）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元．材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的23请根据以上材料，完成下列任务：任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价？任务二：有哪几种购买方案？任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？22．（10分）DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．模型设计水平调查报告调查主题“逐梦科技强国”活动中模具设计水平调查目的通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识．调查对象某校学生模具设计成绩调查方式抽样调查数据收集与表示随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．数据分析与应用根据以上信息解决下列问题：（1）本次共抽取了名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为．（2）请补全频数分布直方图；（3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数；（4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．23．（10分）如图，一次函数y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A（﹣2，﹣2）、B（（1）求一次函数和反比例函数的关系式；（2）结合图形，请直接写出不等式kx−（3）点P（0，b）是y轴上的一点，若△ABP是以AB为直角边的直角三角形，求b的值．24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连结AC、BC，延长AB至点D，连结CD，使∠BCD＝∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）点E是AC的中点，连结BE，交AC于点F，过点E作EH⊥AB交⊙O于点H，交AB于点G，连结BH，若BD＝2，CD＝4，求BF•BH的值．25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x＝1．（1）求二次函数关系式．（2）连结AC、BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．（3）在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线AQ，使∠BAQ＝2∠ACO，点M是线段AQ上的一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，连结BM，求BM+MN的最小值．

2025年四川省遂宁市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案B．DC．BCDADAB一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20米记为“+20米”，那么向西跑20米记为（）A．+20米 B．﹣20米 C．+40米 D．﹣40米【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果向东跑20米记为“+20米”，那么向西跑20米记为﹣20米．故选：B．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．2．汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．【解答】解：A，B，C选项文字均无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形；D选项的文字能找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，为轴对称图形；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．3．统计数据显示，截止2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位．将数据150亿用科学记数法表示为（）A．150×108 B．15×109 C．1.5×1010 D．1.5×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：150亿1.5×1010．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（）A． B． C． D．【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点B是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论．【解答】解：将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形，∵圆柱的底面直径为AB，∴点B是展开图的一边的中点，∵蚂蚁爬行的最近路线为线段，∴B选项符合题意，故选：B．【点评】本题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图，掌握两点之间线段最短是解题的关键．5．下列运算中，计算正确的是（）A．2x2﹣3x2＝x2 B．（﹣2x）3＝﹣6x3 C．x2•x3＝x5 D．（x+1）2＝x2+1【分析】利用完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可．【解答】解：2x2﹣3x2＝﹣x2，则A不符合题意，（﹣2x）3＝﹣8x3，则B不符合题意，x2•x3＝x5，则C符合题意，（x+1）2＝x2+2x+1，则D不符合题意，故选：C．【点评】本题考查完全平方公式，合并同类项，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．6．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜54 B．m≥54 C．【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，可得出5﹣4m≥0，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（m+1）＝5﹣4m≥0，解得：m≤5∴实数m的取值范围是m≤5故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”是解题的关键．7．已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是4×360°，n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）•180＝4×360，解得n＝10，则该多边形的边数为10．故选：A．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角和为360°．8．若关于x的分式方程3−ax2−x=aA．2 B．3 C．0或2 D．﹣1或3【分析】去分母、去括号、一箱、合并同类项、系数化为1，求出x，根据方程无解，可得x﹣2＝0或a+1＝0，据此求出a．【解答】解：3−ax2−x3−ax2−x3−ax2−x3﹣ax＝﹣a+x﹣2，ax+x＝a+5，x（a+1）＝a+5，x=a+5因为关于x的分式方程无解，所以有a+5a+1=2或解得：a＝3或a＝﹣1．故选：D．【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是按照解分式方程的步骤解方程即可．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段AQ的长为（）A．213 B．215 C．6 【分析】先根据勾股定理求出AC，设BG，AC交于点M，作MN⊥AB于点N，如图，利用角平分线的性质可得CM＝MN，利用等积法求出CM，进而可得BM，证明△ABQ∽△MBC，再根据相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，∴AC=1由题意可得：BG平分∠ABC，即∠CBG＝∠ABG，设BG，AC交于点M，作MN⊥AB于点N，如图，则CM＝MN，设CM＝MN＝x，∵S△ABC＝S△MBC+S△ABM，∴12即5×12＝5x+13x，解得：x=103，即则BM=5由作图痕迹可知：AQ⊥BH，∴∠AQB＝∠C＝90°，∵∠CBG＝∠ABG，∴△ABQ∽△MBC，∴AQCM=AB解得：AQ=213故选：A．【点评】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键．10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且2＜m＜3．有下列结论：①abc＜0；②9a﹣3b+c＞0；③94＜y最大值＜278；④关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有两个不相等实根；⑤若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，当y1＜y3＜其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判断a，b，c的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为（﹣2，0），则当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，即可判断②；根据b＝﹣2a，2＜c＜3，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得a的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据y1＜y3＜y2，结合函数图象分析，即可得出−12＜n＜0【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a＜0，对称轴为直线x＝1，则−b∴b＝﹣2a＞0，又∵抛物线与y轴交点坐标是（0，m），即c＝m，∵2＜m＜3，即c＞0，∴abc＜0，故①正确；∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），对称轴为直线x＝1，∴另一个交点坐标为（﹣2，0），∴当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，故②错误；∵（﹣2，0），（4，0）在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，∴4a﹣2b+c＝0，又∵b＝﹣2a，∴4a+4a+c＝0，∴8a+c＝0即c＝﹣8a，∵2＜m＜3，即2＜c＜3，∴2＜﹣8a＜3，∴2×98＜−8a×当x＝1时，y取得最大值，最大值为a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，∴y最大值＝﹣9a，∴94＜y∵ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0，b＝﹣2a，c＝﹣8a，即ax2+（﹣2a﹣1）x﹣8a﹣2＝0，∵Δ＝（﹣2a﹣1）2+4（8a+2）＝4a2+36a+9，对称轴为直线a=−362×4=−92又∵2＜﹣8a＜3，∴−3∴当a=−38时，∴当−38＜a＜−14时，Δ＞0恒成立，即ax2+（b﹣1）x若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，∴2n+1＜x1+x2＜2n+3，2n+3＜x2+x3＜2n+5，2n+2＜x1+x3＜2n+4，∵y1＜y3＜y2，∴x1+x即2n+32＞1，解得：n＞−1∴−12＜n＜0故正确的有①③④，共3个．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11．实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则m+1＜0．（填“＞”“＝”或“＜”）【分析】观察数轴可知，m＜0且|m|＞1，即可得出m+1的范围．【解答】解：观察数轴可知，m＜0且|m|＞1，∴m＜﹣1，∴m+1＜0．故答案为：＜．【点评】本题考查了实数的大小比较，实数与数轴，掌握实数的大小比较是解题的关键．12．已知x＝2是方程3a﹣2x＝2的解，则a＝2．【分析】把x＝2代入方程3a﹣2x＝2，可得3a﹣4＝2，解一元一次方程即可得出答案．【解答】解：把x＝2代入方程3a﹣2x＝2，得3a﹣2×2＝2，即3a﹣4＝2，移项、合并同类项，得3a＝6，将系数化为1，得a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的方法，一元一次方程解的定义是解题的关键．13．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试．测试成绩如表：项目应聘者甲乙丙学历988经验869能力788态度575公司将学历、经验、能力和态度得分按2：1：3：2的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则乙将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙）【分析】根据加权平均数的定义列式计算得出三人的平均成绩，再比较大小即可得出答案．【解答】解：甲最终得分为9×2+8×1+7×3+5×22+1+3+2乙最终得分为8×2+6×1+8×3+7×22+1+3+2丙最终得分为8×2+9×1+8×3+5×22+1+3+2∵7.5＞7.375＞7.125，∴乙将被择优录用．故答案为：乙．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．14．综合与实践﹣硬币滚动中的数学将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为109【分析】先理解题意，把深色硬币的圆心移动路径都画出来，根据三边都等于2r，证明△AEF是等边三角形，同理得出其他三角形都是等边三角形，再求出每条弧长，再加起来得出图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长，再进行求解，即可作答．【解答】解：依题意，AE＝EF＝AF＝2r，则△AEF是等边三角形；则∠AEF＝∠AFE＝60°，同理得△CEF、△BFG、△DFG是等边三角形，则∠BFG＝∠BGF＝∠FGD＝∠GFD＝∠CEF＝∠EFC＝60°，∴∠AFB＝180°﹣60°﹣60°＝∠CFD，∴AC=(360°−60°−60°)×π×2r180°∴AB=(180°−60°−60°)×π×2r180°∴2πr3依题意，AE＝EF＝AF＝2r，∴△AEF是等边三角形；则∠AEF＝∠AFE＝∠FAE＝60°，同理得△CAB、△AEB、△DEB是等边三角形，则FD=CD=CF=则2πr×3＝6πr，则20πr3故答案为：109【点评】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．15．如图，在边长为1的正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使∠BAE＝15°，连结CE并延长至点F，连结BF，使BF＝BC，CF与AB相交于点H．有下列结论：①AE＝CE；②BE+AE＝EF；③AHHB=23−1；④点M是BC边上一动点，连结HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处，连结BP交HM于点Q，连结DQ，则其中正确的结论有①②④．（填序号）【分析】证明△ADE≌△CDE（SAS）即可判断①，在FC上取一点G，使得BG＝BE，证明△FBG≌△CBE（SAS），进而判断②；过点A，B分别作FC的垂线，垂足分别为K，N，则△AHK∽△BHN，根据相似三角形的性质即可判断③，取HB的中点T，连接TD，根据题意得出O在以HB为直径的圆上运动，进而得出当O在TD上时，DQ取得最小值，最小值为DT的长，勾股定理求得TD的长，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD的对角线BD上的点，∴∠ADE＝∠CDE，AD＝CD，DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴AE＝EC，故①正确；如图，在FC上取一点G，使得BG＝BE，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴∠ADE＝45°，∠BAD＝90°，AD＝CD，∵∠BAE＝15°，∴∠DAE＝90°﹣15°＝75°，∴∠AED＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∵△ADE≌△CDE，∴∠AED＝∠CED＝60°，∠DAE＝∠DCE＝75°，∴∠HEB＝∠CED＝60°，∠BCE＝∠BAE＝15°，∴△GEB是等边三角形，∴∠EBG＝60°，EG＝BE，又∵BF＝BC，∴∠F＝∠BCF＝15°，∴∠FBC＝180°﹣15°﹣15°＝150°，∴∠DBC＝45°，∴∠FBG＝∠FBC﹣∠GBE﹣∠CBE＝150°﹣60°﹣45°＝45°＝∠CBE，∴△FBG≌△CBE（SAS），∴FG＝CE，∴EF＝EG+FG＝EC+BE＝AE+BE，即BE+AE＝EF，故②正确；如图，连接AC交BD于点O，则∠DAO＝45°，过点A，B分别作FC的垂线，垂足分别为K，N，∵AB＝1，∴AO=BO=22AB=∵∠DAE＝75°，∠DAO＝45°，∴∠EAO＝30°，∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴EO=AOtan∠EAO=3∴BE=OB−OE=2∵∠BCE＝15°，∠ACB＝45°，∴∠ACK＝30°，∴AK=1在Rt△BEN中，BN=sin∠NEB×BE=sin60°×BE=3∵AK⊥FC，BN⊥FC，∴KA∥BN，∴△AHK∽△BHN，∴AHHB=AK如图，∵AB＝AH+HB＝1，AH=(3∴(3即HB=1∵点M是BC边上一动点，连结HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处，∴PQ⊥HM，∴∠HQB＝90°，∴Q在以HB为直径的圆上运动，取HB的中点T，连接TD，∴当Q在TD上时，DQ取得最小值，最小值为DT的长，∴BT=1∴AT=AB−BT=3∴TD=A∴DT−12HB=故答案为：①②④．【点评】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（7分）计算：(−1【分析】利用负整数指数幂，算术平方根的定义，绝对值的性质，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可．【解答】解：原式＝4﹣3+2−3+＝4﹣3+2−＝3．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．17．（7分）先化简，再求值：(a+1+1a−1)÷a3−2【分析】先算括号里面的，再算除法并约分，然后将已知数值代入计算即可．【解答】解：原式＝（a2−1=a2a−1=a−2∵a2﹣4＝0，a﹣2≠0，∴a＝﹣2，原式=−2−2【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）连结AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）根据AB∥CD得∠ABF＝∠CDE，根据AF⊥AB，CE⊥CD得∠BAF＝∠DCE＝90°，再根据BE＝EF＝FD得BF＝DE，由此可依据“AAS”判定△ABF和△CDE全等；（2）根据平行线性质得∠CDB＝∠ABD＝30°，进而根据直角三角形斜边中线性质及含有30°角的直角三角形性质得AE＝AF=12BF，CE＝CF=12DE，再根据BF＝DE得AE＝AF＝CE＝【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE，∵AF⊥AB，CE⊥CD∴∠BAF＝∠DCE＝90°，∵BE＝EF＝FD，∴BE+EF＝FD+EF，即BF＝DE，在△ABF和△CDE中，∠ABF=∠CDE∠BAF=∠DCE=90°∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：四边形AECF是菱形，理由如下：如图所示：∵∠ABD＝30°，AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD＝30°，∵BE＝EF，∠BAF＝90°，∴AE是Rt△ABF斜边BF上的中线，∴AE=12在Rt△ABF中，∠ABD＝30°，∴AF=12∴AE＝AF=12同理：CE＝CF=12∵BF＝DE，∴AE＝AF＝CE＝CF，又∵∠EAF≠90°，∴四边形AECF是菱形．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，菱形的判定，含有含有30°角的直角三角形性质，直角三角形斜边中线的性质是解决问题的关键．19．（8分）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°．求摩天轮CF的高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【分析】连接DE，延长线交CF于点G，设CG＝xm，在Rt△CEG中，利用tanβ=CGEG求出EG，然后在Rt△CDG中，利用tanα=CG【解答】解：连接DE，延长线交CF于点G，∴DG⊥CF，∵DA⊥AF，BE⊥AF，CF⊥AF，∴四边形DEBA和四边形EGFB是矩形，∴DE＝AB＝30m，BE＝GF＝1.6m，设CG＝xm，在Rt△CEG中，tan∠CEG＝tanβ=CG∴EG=CG∴DG＝DE+EG＝30+x在Rt△CDG中，tan∠CDG＝tanα=CG∴x30+解得x≈60.85，经检验x是方程的解，∴CF＝CG+GF＝60.85+1.6＝62.45≈62.5（m），答：摩天轮CF的高度约为62.5米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．20．（8分）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”．（1）请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有③（填序号）．（2）如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AB＝AD．求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义进行逐个分析，即可作答；（2）先根据勾股定理算出BC=AB2+AC2=5，设OH＝x，AH=52−x，结合勾股定理整理得BO2﹣OH2＝AB2﹣AH2，代入数值得x＝0.7，再证明OH是△BDC的中位线，则DC＝2【解答】解：（1）依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形，图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形，故答案为：③；（2）∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC=A∵四边形ABCD是邻等内接四边形，∠BAC＝90°，∴A，B，C，D四点共圆，且BC为直径，把BC的中点记为点O，即A，B，C，D四点在⊙O上，连接BD，AO，相交于点H，∵BC＝5，∴BO=OA=5设OH＝x，AH=5∵AB＝AD，∴AO⊥BD，BH＝DH，则在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2，在Rt△BOH中，BH2＝BO2﹣OH2，∴BO2﹣OH2＝AB2﹣AH2，即(5解得x＝0.7，∴AH＝2.5﹣0.7＝1.8，则BH=3即BD＝2.4×2＝4.8，∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∵BH＝DH，BO＝OC，∴OH是△BDC的中位线，∴DC＝2HO＝1.4，则S△BDCS△BDA∴四边形ABCD的面积＝S△BDC+S△BDA＝3.36+4.32＝7.68．【点评】本题考查了新定义，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．21．（10分）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元．材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的23请根据以上材料，完成下列任务：任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价？任务二：有哪几种购买方案？任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？【分析】（任务一）设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是y元，根据“购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（任务二）设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买（200﹣m）个B型号的新型垃圾桶，根据“总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的23”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m（任务三）利用总价＝单价×数量，可求出选择各方案所需费用，比较后，即可得出结论．【解答】解：（任务一）设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是y元，根据题意得：3x+2y=3805x+4y=700解得：x=60y=100答：A型号的新型垃圾桶的单价是60元，B型号的新型垃圾桶的单价是100元；（任务二）设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买（200﹣m）个B型号的新型垃圾桶，根据题意得：60m+100(200−m)≤15300200−m≥解得：2352≤又∵m为正整数，∴m可以为118，119，120，∴共3种购买方案，方案1：购买118个A型号的新型垃圾桶，82个B型号的新型垃圾桶；方案2：购买119个A型号的新型垃圾桶，81个B型号的新型垃圾桶；方案3：购买120个A型号的新型垃圾桶，80个B型号的新型垃圾桶；（任务三）选择方案1所需费用为60×118+100×82＝15280（元）；选择方案2所需费用为60×119+100×81＝15240（元）；选择方案3所需费用为60×120+100×80＝15200（元），∵15280＞15240＞15200，∴方案3更省钱，最低购买费用是15200元．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（任务一）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（任务二）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（任务三）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需费用．22．（10分）DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．模型设计水平调查报告调查主题“逐梦科技强国”活动中模具设计水平调查目的通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识．调查对象某校学生模具设计成绩调查方式抽样调查数据收集与表示随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．数据分析与应用根据以上信息解决下列问题：（1）本次共抽取了50名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是83.5分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为144°．（2）请补全频数分布直方图；（3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数；（4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．【分析】（1）用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得本次共抽取的学生人数；根据中位数的定义可得答案；用360°乘以C的人数所占的百分比，即可得出答案．（2）求出B组的人数，补全频数分布直方图即可．（3）根据用样本估计总体，用1200乘以C，D组人数所占的百分比之和，即可得出答案．（4）列表可得出所有等可能的结果数以及所选的两位同学恰为甲和丙的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）本次共抽取了10÷20%＝50（名）学生的模具设计成绩．将50名学生的模具设计成绩按照从小到大的顺序排列，排在第25和26名的成绩分别为83，84，∴成绩的中位数是（83+84）÷2＝83.5（分）．在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为360°×20故答案为：50；83.5；144°．（2）B组的人数为50×30%＝15（人）．补全频数分布直方图如图所示．（3）1200×20+10∴估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数约720人．（4）列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共2种，∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为212【点评】本题考查列表法与树状图法、全面调查与抽样调查、用样本估计总体、频数（率）分布直方图、中位数、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、中位数的定义、概率公式是解答本题的关键．23．（10分）如图，一次函数y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A（﹣2，﹣2）、B（（1）求一次函数和反比例函数的关系式；（2）结合图形，请直接写出不等式kx−（3）点P（0，b）是y轴上的一点，若△ABP是以AB为直角边的直角三角形，求b的值．【分析】（1）根据待定系数法即可得到答案；（2）根据图象和A，B两点坐标可得出不等式kx−x＜0的（3）根据直线AB的解析式和题意设出另一条直角边的解析式，然后分两种情况分别讨论即可求得P的坐标．【解答】解：（1）∵A（﹣2，﹣2）在反比例函数y=kx（∴k＝（﹣2）×（﹣2）＝4，∴反比例函数的解析式为y=4又∵B（a，1）在反比例函数y=4∴a＝3，∴B（4，1），把A（﹣2，﹣2），B（4，1）代入y＝mx+n（m≠0）得：−2m+n=−24m+n=1解得m=1∴一次函数解析式为y=12（2）解方程组y=xy=4x得x=2∴不等式kx−x＜0的解集为﹣2＜x＜0或（3）∵P（0，b）是y轴上的一点，且满足△ABP是以AB为直角边的直角三角形，AB的解析式为y=12∴设另一条直角边的解析式为y=−12x+当直角顶点是A时，则有﹣2=−12×解得b＝﹣3，当直角顶点是B时，则有1=−12×解得b＝3，∴点P的坐标是（0，﹣3）或（0，3）．【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，求不等式的解集，直角三角形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连结AC、BC，延长AB至点D，连结CD，使∠BCD＝∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）点E是AC的中点，连结BE，交AC于点F，过点E作EH⊥AB交⊙O于点H，交AB于点G，连结BH，若BD＝2，CD＝4，求BF•BH的值．【分析】（1）连接OC，由圆周角定理得∠1+∠2＝90°，又由等腰三角形的性质及已知可得∠BCD＝∠1，即得∠BCD+∠2＝90°，进而即可求证；（2）连接EC，由△BCD∽△CAD得4AD=BCAC=24，即得AD＝8，BCAC=12，即得到AB＝AD﹣BD＝6，设BC＝a，则AC＝2a，由勾股定理得（2a）2+a2＝62，解得BC=655，再证明△CEB∽△FAB，得BEAB=BCBF，即得BE•BF＝AB•【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，即∠1+∠2＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠1，∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＝∠1，∴∠BCD+∠2＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接EC，∵∠BCD＝A，∠D＝∠D，∴△BCD∽△CAD，∴CDAD∵BD＝2，CD＝4，∴4AD∴AD＝8，BCAC∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2＝6，设BC＝a，则AC＝2a，∵AC2+BC2＝AB2，∴（2a）2+a2＝62，∴a=6∴BC=6∵点E是AC的中点，∴AE=∴∠3＝∠4，∵∠CEB＝∠A，∴△CEB∽△FAB，∴BEAB即BE•BF＝AB•BC，∵EH⊥AB，∴AB垂直平分EH，∴BE＝BH