华师大离散数学试卷

华师大离散数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.在集合论中，集合A={1,2,3}与集合B={3,2,1}的关系是？

A.A≠B

B.A=B

C.A⊂B

D.B⊂A

2.下列哪个是命题？

A.今天天气很好

B.2+3=5

C.请你闭嘴

D.x+y=z

3.逻辑运算中，“非”运算的符号是？

A.∧

B.∨

C.¬

D.⇒

4.在命题逻辑中，命题p和命题q的合取表示为？

A.p∨q

B.p∧q

C.p⇒q

D.p⇔q

5.下列哪个是谓词逻辑中的量词？

A.∧

B.∨

C.∀

D.⇒

6.在图论中，一个图G=(V,E)中，顶点数V=4，边数E=6，则图G的度数之和是？

A.10

B.12

C.14

D.16

7.在树论中，一个树T有n个顶点，则树T的边数是？

A.n

B.n-1

C.n+1

D.2n

8.在组合数学中，从n个不同元素中取出k个元素的组合数表示为？

A.P(n,k)

B.C(n,k)

C.n!

D.k!

9.在数理逻辑中，命题p⇒q的等价命题是？

A.p∧q

B.p∨¬q

C.¬p∨q

D.¬p∧¬q

10.在图论中，一个连通图的最小生成树是？

A.边数最少的树

B.顶点数最少的树

C.边权最小的生成树

D.顶点权最小的生成树

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列哪些是命题逻辑的联结词？

A.∧（合取）

B.∨（析取）

C.¬（非）

D.⇒（蕴涵）

E.⇔（双条件）

2.在谓词逻辑中，下列哪些是量词？

A.∀（全称量词）

B.∃（存在量词）

C.∨（析取）

D.∧（合取）

E.¬（非）

3.在图论中，下列哪些是图的性质？

A.无向图

B.有向图

C.树

D.回路

E.通路

4.在组合数学中，下列哪些是组合数的应用？

A.排列

B.组合

C.二项式系数

D.阶乘

E.组合恒等式

5.在数理逻辑中，下列哪些是命题的等价式？

A.p⇒q≡¬p∨q

B.p⇒q≡¬q⇒¬p

C.p∧(q∧r)≡(p∧q)∧r

D.p∨(q∨r)≡(p∨q)∨r

E.p∨¬p≡真

三、填空题（每题4分，共20分）

1.在集合论中，集合A包含元素1,2,3，集合B包含元素2,3,4，则集合A与集合B的并集为________。

2.在命题逻辑中，命题p为“今天下雨”，命题q为“我出门不带伞”，则命题“如果今天下雨，那么我出门不带伞”的符号表示为________。

3.在图论中，一个有n个顶点的无向图，其最大边数为________。

4.在组合数学中，从n个不同元素中取出k个元素的排列数表示为________。

5.在数理逻辑中，命题p为“今天是星期一”，命题q为“今天是星期二”，则命题“今天是星期一或星期二”的符号表示为________。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.设集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，集合C={1,2,5,6}。求集合A与集合B的交集，并集，差集(A-B)和(A∩B)的补集(在全集U={1,2,3,4,5,6}下)。

2.写出命题“如果今天是星期五，那么我将去看电影”的否定形式，并用符号表示。

3.给定命题公式p∧(q∨¬r)。请用真值表法判断该公式的类型（永真式、永假式或可满足式）。

4.设有向图G的顶点集V={v1,v2,v3,v4}，边集E={<v1,v2>,<v2,v3>,<v3,v4>,<v4,v1>,<v1,v3>}。请画出该图，并判断它是否是强连通图、有向环图（有向回路）。

5.计算从5个不同的书籍中选出3本送给不同的3个学生的所有不同送法数目。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案

1.B

2.B

3.C

4.B

5.C

6.B

7.B

8.B

9.C

10.C

二、多项选择题答案

1.A,B,C,D,E

2.A,B

3.A,B,C,D,E

4.A,B,C,E

5.A,B,C,D,E

三、填空题答案

1.{1,2,3,4}

2.p⇒q

3.n(n-1)/2

4.P(n,k)=n!/(n-k)!

5.p∨q

四、计算题答案

1.交集：A∩B={3,4}

并集：A∪B={1,2,3,4,5,6}

差集：A-B={1,2}

补集：(A∩B)'={1,2,5,6}

2.否定形式：¬(p⇒q)≡p∧¬q，符号表示为p∧¬q。

3.真值表：

p|q|r|¬r|q∨¬r|p∧(q∨¬r)

----------------------------------------------

T|T|T|F|T|T

T|T|F|T|T|T

T|F|T|F|F|F

T|F|F|T|T|T

F|T|T|F|T|F

F|T|F|T|T|F

F|F|T|F|F|F

F|F|F|T|T|F

该公式是可满足式。

4.画图（略，请自行绘制有向图G）。

判断：该图不是强连通图（因为存在顶点v4无法通过有向边到达其他所有顶点），也不是有向环图（因为图中不存在闭合的有向回路，如v1→v2→v3→v4→v1）。

5.送法数目=P(5,3)=5!/(5-3)!=5!/2!=(5×4×3×2×1)/(2×1)=5×4×3=60。

知识点分类和总结

本试卷主要涵盖了离散数学课程中的集合论、命题逻辑、谓词逻辑、图论和组合数学等部分的基础理论知识，适合大学低年级（如大一）学生进行学习和测试。

一、集合论

-基本概念：集合的表示（列举法、描述法），集合间的关系（包含、相等），集合的运算（并、交、差、补）。

-主要考察点：集合运算的性质和结果计算，理解集合间的关系。

-示例：计算集合的并集、交集、差集，判断集合间是否包含或相等。

二、命题逻辑

-基本概念：命题（能判断真假的陈述句），逻辑联结词（非、合取、析取、蕴涵、双条件），命题公式，真值表。

-主要考察点：理解逻辑联结词的定义和用法，运用真值表判断命题公式的类型（永真式、永假式、可满足式），写出命题的符号表示和否定形式。

-示例：写出复合命题的符号形式，用真值表判断公式的类型，写出命题的否定形式。

三、谓词逻辑

-基本概念：谓词，量词（全称量词∀，存在量词∃），谓词公式。

-主要考察点：理解量词的含义和作用，区分不同量词的使用场景。

-示例：分析含有量词的谓词公式，理解其含义。

四、图论

-基本概念：图（顶点、边、有向图、无向图），图的表示（图形表示、邻接矩阵等），图的性质（连通性、回路、树），最小生成树。

-主要考察点：理解图的基本概念和表示方法，判断图的性质，计算与图相关的参数（如度数之和、边数）。

-示例：判断一个图是否是连通图，计算一个图的最小边数，画出简单图的图形表示。

五、组合数学

-基本概念：排列、组合、二项式系数、组合恒等式。

-主要考察点：掌握排列和组合的计算公式，理解二项式定理及其应用，解决简单的组合问题。

-示例：计算从n个元素中取出k个元素的排列数和组合数，运用组合恒等式进行化简或证明。

各题型所考察学生的知识点详解及示例

一、选择题

-考察学生对基本概念和定义的掌握程度，要求学生能够快速准确地识别正确的选项。

-示例：第1题考察集合间关系的判断，第2题考察命题的定义，第3题考察逻辑联结词的符号，第4题考察合取的定义，第5题考察谓词逻辑中的量词，第6题考察图论中顶点数与度数之和的关系，第7题考察树论中边数与顶点数的关系，第8题考察组合数的定义，第9题考察命题逻辑中蕴涵的等价式，第10题考察图论中最小生成树的定义。

二、多项选择题

-考察学生对多个知识点或概念的全面理解，要求学生能够选出所有正确的选项。

-示例：第1题考察命题逻辑联结词的种类，第2题考察谓词逻辑量词的种类，第3题考察图论的性质，第4题考察组合数学的应用范围，第5题考察命题逻辑中的等价式。

三、填空题

-考察学生对基本概念和公式的记忆和应用能力，要求学生能够填写正