2025年韦达定理四川竞赛题库

2025年韦达定理四川竞赛题库本文借鉴了近年相关经典试题创作而成，力求帮助考生深入理解测试题型，掌握答题技巧，提升应试能力。一、选择题（每题5分，共25分）1.已知关于x的方程\(x^2-px+q=0\)的两根分别为\(\alpha\)和\(\beta\)，且满足\(\alpha+\beta=3\)，\(\alpha\beta=2\)。则\(p\)和\(q\)的值分别为：A.\(p=3\),\(q=2\)B.\(p=-3\),\(q=2\)C.\(p=3\),\(q=-2\)D.\(p=-3\),\(q=-2\)2.若方程\(x^2+mx+n=0\)的两根之差的平方为4，则\(m\)和\(n\)之间的关系为：A.\(m^2-4n=16\)B.\(m^2+4n=16\)C.\(m^2-4n=-16\)D.\(m^2+4n=-16\)3.若方程\(ax^2+bx+c=0\)的两根为\(\alpha\)和\(\beta\)，且满足\(\alpha^2+\beta^2=13\)，\(\alpha+\beta=4\)，则\(a\)、\(b\)、\(c\)的值分别为：A.\(a=1\),\(b=-4\),\(c=3\)B.\(a=1\),\(b=4\),\(c=-3\)C.\(a=-1\),\(b=4\),\(c=3\)D.\(a=-1\),\(b=-4\),\(c=3\)4.已知方程\(x^2-kx+6=0\)的两根为整数，且两根的差的绝对值为3，则\(k\)的值为：A.5B.-5C.7D.-75.若方程\(x^2+px+q=0\)的两根为\(\alpha\)和\(\beta\)，且满足\(\alpha^2+\beta^2=5\)，\(\alpha\beta=2\)，则\(p\)的值为：A.\(\pm3\)B.\(\pm4\)C.\(\pm2\)D.\(\pm1\)二、填空题（每题6分，共30分）1.已知方程\(x^2-mx+8=0\)的两根之比为\(2:3\)，则\(m\)的值为________。2.若方程\(x^2+mx-12=0\)的两根的平方和为25，则\(m\)的值为________。3.已知方程\(x^2+px+q=0\)的两根分别为\(\alpha\)和\(\beta\)，且满足\(\alpha^2+\beta^2=10\)，\(\alpha+\beta=2\)，则\(q\)的值为________。4.若方程\(x^2-5x+k=0\)的两根的差的平方为9，则\(k\)的值为________。5.已知方程\(x^2+px+q=0\)的两根为\(\alpha\)和\(\beta\)，且满足\(\alpha^2+\beta^2=14\)，\(\alpha\beta=3\)，则\(p\)的值为________。三、解答题（每题15分，共60分）1.已知方程\(x^2-mx+n=0\)的两根分别为\(\alpha\)和\(\beta\)，且满足\(\alpha^2+\beta^2=10\)，\(\alpha+\beta=3\)。求\(m\)和\(n\)的值。2.若方程\(x^2+mx+n=0\)的两根之差的平方为4，且两根的积为1。求\(m\)和\(n\)的值。3.已知方程\(x^2-px+q=0\)的两根分别为\(\alpha\)和\(\beta\)，且满足\(\alpha^2+\beta^2=13\)，\(\alpha+\beta=4\)。求\(p\)和\(q\)的值。4.若方程\(x^2-kx+6=0\)的两根为整数，且两根的差的绝对值为3。求\(k\)的值。5.已知方程\(x^2+px+q=0\)的两根为\(\alpha\)和\(\beta\)，且满足\(\alpha^2+\beta^2=14\)，\(\alpha\beta=3\)。求\(p\)的值。答案与解析一、选择题1.答案：A解析：根据韦达定理，\(\alpha+\beta=p\)，\(\alpha\beta=q\)。已知\(\alpha+\beta=3\)，\(\alpha\beta=2\)，所以\(p=3\)，\(q=2\)。2.答案：A解析：设方程的两根为\(\alpha\)和\(\beta\)，则\(\alpha+\beta=-m\)，\(\alpha\beta=n\)。根据题意，\((\alpha-\beta)^2=4\)，即\((\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=4\)，所以\(m^2-4n=16\)。3.答案：A解析：根据韦达定理，\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}\)，\(\alpha\beta=\frac{c}{a}\)。已知\(\alpha^2+\beta^2=13\)，\(\alpha+\beta=4\)，所以\((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=13\)，即\(16-2\frac{c}{a}=13\)，解得\(\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)。又因为\(\alpha+\beta=4\)，所以\(-\frac{b}{a}=4\)，即\(b=-4a\)。结合\(\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)，得\(c=\frac{a}{2}\)。代入方程\(x^2-mx+n=0\)，得\(x^2-4x+\frac{a}{2}=0\)，所以\(a=1\)，\(b=-4\)，\(c=3\)。4.答案：A解析：设方程的两根为\(\alpha\)和\(\beta\)，则\(\alpha+\beta=k\)，\(\alpha\beta=6\)。根据题意，\((\alpha-\beta)^2=9\)，即\((\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=9\)，所以\(k^2-24=9\)，解得\(k=5\)或\(k=-5\)。因为\(\alpha\)和\(\beta\)为整数，且\(\alpha\beta=6\)，所以\(\alpha\)和\(\beta\)只能是1和6或6和1，或-1和-6或-6和-1，所以\(k=5\)或\(k=-5\)。5.答案：C解析：根据韦达定理，\(\alpha+\beta=-p\)，\(\alpha\beta=q\)。已知\(\alpha^2+\beta^2=5\)，\(\alpha\beta=2\)，所以\((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=5\)，即\(p^2-4=5\)，解得\(p=\pm3\)。二、填空题1.答案：6解析：设方程的两根为\(2k\)和\(3k\)，则\(2k+3k=-m\)，\(2k\cdot3k=8\)，解得\(k=2\)，所以\(m=-10\)。2.答案：\(\pm7\)解析：设方程的两根为\(\alpha\)和\(\beta\)，则\(\alpha+\beta=-m\)，\(\alpha\beta=-12\)。根据题意，\(\alpha^2+\beta^2=25\)，即\((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=25\)，所以\(m^2+24=25\)，解得\(m=\pm1\)。3.答案：2解析：根据韦达定理，\(\alpha+\beta=-p\)，\(\alpha\beta=q\)。已知\(\alpha^2+\beta^2=10\)，\(\alpha+\beta=2\)，所以\((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=10\)，即\(4-2q=10\)，解得\(q=-3\)。4.答案：14解析：设方程的两根为\(\alpha\)和\(\beta\)，则\(\alpha+\beta=5\)，\(\alpha\beta=k\)。根据题意，\((\alpha-\beta)^2=9\)，即\((\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=9\)，所以\(25-4k=9\)，解得\(k=4\)。5.答案：\(\pm2\sqrt{10}\)解析：根据韦达定理，\(\alpha+\beta=-p\)，\(\alpha\beta=3\)。已知\(\alpha^2+\beta^2=14\)，所以\((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=14\)，即\(p^2-6=14\)，解得\(p=\pm2\sqrt{10}\)。三、解答题1.解：根据韦达定理，\(\alpha+\beta=m\)，\(\alpha\beta=n\)。已知\(\alpha^2+\beta^2=10\)，\(\alpha+\beta=3\)，所以\((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=10\)，即\(9-2n=10\)，解得\(n=-\frac{1}{2}\)。又因为\(\alpha+\beta=3\)，所以\(m=3\)。所以\(m=3\)，\(n=-\frac{1}{2}\)。2.解：设方程的两根为\(\alpha\)和\(\beta\)，则\(\alpha+\beta=-m\)，\(\alpha\beta=1\)。根据题意，\((\alpha-\beta)^2=4\)，即\((\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=4\)，所以\(m^2-4=4\)，解得\(m=\pm2\sqrt{2}\)。又因为\(\alpha\beta=1\)，所以\(m=\pm2\sqrt{2}\)。3.解：根据韦达定理，\(\alpha+\beta=p\)，\(\alpha\beta=q\)。已知\(\alpha^2+\beta^2=13\)，\(\alpha+\beta=4\)，所以\((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=13\)，即\(16-2q=13\)，解得\(q=\frac{3}{2}\)。又因为\(\alpha+\beta=4\)，所以\(p=4\)。所以\(p=4\)，\(q=\frac{3}{2}\)。4.解：设方程的两根为\(\alpha\)和\(\beta\)，则\(\alpha+\beta=k\)，\(\alpha\beta=6\)。根据题意，\((\alpha-\beta)^2=9\)，即\((\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=9\)，所以\(k^2-24=9\)，解得\(k=5\)或\(k=-5\)。因为\(\alpha\)和\(\beta\)为整数，且\(\alpha\beta=6\)，所以\(\al