2026人教A版高考数学一轮复习专练：构造函数证明不等式

第二课时构造函数证明不等式

题型一移项构造函数或直接利用函数的最值证明不等式

例1(2023・新高考I卷)已知函数火》)=。(^+。)一x.

(1)讨论人x)的单调性；

,3

(2)证明：当a>0时，«v)>21na+1

(1)解/(x)=tzeA-l,xGR.

当aWO时，/(x)<0,

所以函数人X)在(一8,+8)上单调递减；

当a>0时，令/(x)>0,得x>—Ina；

令f(x)<0,得x<一Ina,

所以函数兀0在(-8,—Ina)上单调递减，

在(一Ina,+8)上单调递增.

综上，当aWO时，函数八》)在(一8,+8)上单调递减；

当a>0时，函数兀V)在(-8,一Ina)上单调递减，在(一Ina,+8)上单调递增.

⑵证明法一由(1)得当a>0时，函数人》)的最小值为八-Ina)=l+t^+ina

令g(a)=1+/+lna-21na—1=/—Ina-aG(0,+°°),

所以gr(a)=2a—^,

令g'(a)>0,得a>乎;

令g'(a)<0,得0<a〈坐，

所以函数g(a)在［o,坐)上单调递减，在［坐，+8)上单调递增，

所以函数g(a)的最小值为g惇一In乎•一；=ln小>0,

3

所以当<7>0时，_/(x)>21n成立.

法二当。>0时，由(1)得#X)min=/(一也0=1+次+山底

3

故欲证y(x)>21na+］成立，

c3

只需证l+/+ln〃>21n〃+1,

即证6Z2—^>lna.

构造函数u(d)=lna—(a—l)(a>0)9

I111—Q

贝1u\a)=~-1=~

所以当〃>1时,ur(a)<Q；

当0<a<l时，ur(a)>0,

所以函数K(〃)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以K(Q)WM(1)=0,

即InaWaT,

故只需证a2—一1,

即证—

(、2

因为a2—a+^=[a—^+；>0恒成立，

3

所以当<7>0时，_/(x)>21n成立.

感悟提升1.若待证不等式的一边含有自变量，另一边为常数，可直接求函数的

最值，利用最值证明不等式.

2.若待证不等式的两边含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函

数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造

函数的单调性和最值即可得证.

训练1(2023・新高考H卷节选)证明：当0<x<l时，x-x2<smx<x.

证明令

则h'(x)=l—2x—cos%(0<x<1).

令p(x)=1—2x—cosx(0<x<l),

则p'(x)=—2+sinx<0,

所以p(x)即/(x)在(0,1)上单调递减,

又"(0)=0,

所以当0<%<1时，〃(x)<〃(0)=0,力。)单调递减，

所以当0<%<1时，/z(x)</z(O)=O,

艮口%—x2<sinx.

令g(x)=sinx—x(O<x<1),

则g'a)=cos%—lW。，

所以g(x)在(0,1)上单调递减，

又g(0)=0，

所以当0<%<1时,ga)vg(0)=0,

即sinx<x.

综上，当0vx<1时，%—x2<sinx<x.

题型二分拆函数法证明不等式

例2(2024・长沙模拟节选)已知函数"xLodnjv+x2,g(x)=ex+x—L0<QW1,求

证：於)<g(x).

证明要证明/(x)<g(x),

只需证明axlnx+x2<e%+x—1,

只需证明空

令M(X)=@詈+1,0Q)=邑¥—

一a(1—Inx)___

又u'(x)=,0<aW1,

则0<x<e时，M'(X)>0,函数M(X)在(0,e)上单调递增;

x>e时，u'(x)<0,函数M(X)在(e,+8)上单调递减；

所以x=e时，M(X)取得最大值，最大值为个+1,

e1+%—1(%—2)(e%—1)

由V(x)=~2可得Vr(x)—

则0<x<2时,U(x)<0,函数以〈在(0,2)上单调递减;

x>2时，v\x)>0,函数o(x)在(2,+8)上单调递增；

e2+l

则尤=2时，o(x)取得最小值，且最小值为

4

e2+la1e2—3I

—1>~;——>0,

又.4e4e

e2+l

所以14>”，

曰/alnx।八(ex+x—1}

即丁+1「

\人/max\人/min

所以0<aWl时，fix)<g(x).

感悟提升1.若直接求导比较复杂或无从下手时，或两次求导都不能判断导数的

正负时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达

到证明的目标.含Inx与e*的混合式不能直接构造函数，要将指数与对数分离，分

别计算它们的最值，借助最值进行证明.

2.等价变形的目的是求导后简单地找到极值点，一般地，e*与Inx要分离，常构

造炉与Inx,x"与e*的积、商形式，便于求导后找到极值点.

训练2(2024.郑州模拟节选)已知函数危尸产一xlnx,求证：当x>0时，/(%)<

,1

十一.

xeXe

证明要证兀0<犹*+；,

只需证ex—lnx<e%+^,

即ex—ex<lnx+^-.

ex

jex—]

令A(x)=ln%+—(x>0),则h'(x)=£V2，

易知/z(x)在(0,J上单调递减，在g,+8)上单调递增，

则/2(X)mm=/7O=0,所以In尤+2三0.

再令0(x)=ex—e"则夕<x)=e—e*,

易知夕(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，则9(x)max=0(l)=0,

所以ex—FWO.

因为h(x)与e(x)不同时为0,

所以ex—ex<lnx+1，故原不等式成立.

ex

题型三放缩后构造函数证明不等式

例3当x>0时，证明：ex—sinx—1>xlnx.

证明设/z(x)=x—sinx,

则Zf(x)=l—cosxNO,/z(x)单调递增，

所以当%>0时，/z(x)>/z(O)=O,

即x>sinx(x>0).

所以ex—sin%—l>ex—%—1,

所以要证ex—sin%—l>xlnx,

只需证明ex—%—l>xlnx,

设/(x)=e%—x—1,则/(x)=e%—1,

则入£(—8,o)时,/(x)<0,处0单调递减；

%e(o,+8)时，/(x)>0,人1)单调递增.

所以/(x)的最小值为八0)=0.

当工£(0,1)时,«x)>0,xlnx<0,

所以ex—%—l>xlnx.

当工£［1,+8)时，设F(x)=e%—%—l—xln%,

则F(x)=ex—In%—2,

设g(x)=ex—Inx—2,则g'(x)=e%一

因为g'(X)在［1,+8)上单调递增，

且g，(l)=e—1>0,

所以g<x)>0在［1,+8)上恒成立，

所以g(X)在［1,+8)上单调递增，

又g(l)=e-2>0,

所以〃(x)>0在［1,+8)上恒成立，

故Hx)在［1,+8)上单调递增，

产(%)2尸(l)=e-2>0在口,+8)上恒成立.

综上，当x>0时，e^—sinx-l>xlnx.

感悟提升1.利用导数证明不等式时，若所证明的不等式中含有e》，Inx,sinx,

cosx,tanx,或其他多项式函数中的两种或以上，可考虑先利用不等式进行放缩，

使问题简化.然后再构造函数进行证明.

2.常见的放缩有：

(殆)

(l)tanx>x>sinx,不

(2)切线放缩：e^x+l>x~l^lnx,利用切线放缩可把指数式、对数式转化为一

次式，有利于后续的求解.

训练3(2024•济南模拟节选)已知函数而c)=e1证明：当x>—2时，Hx)>ln(x+

2).

证明设g(x)=«x)—(x+l)=

cx—x—l(x>—2),则

当一2VxV0时,g'(x)V0;

当x>0时，g'(x)>0,即g(x)在(一2,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增,

于是当X=0时，g(X)min=g(0)=0,

因此人x)>x+l(当且仅当x=0时取等号)，

令/i(x)=x+l-ln(x+2)(x>-2),

,1x+1

川”(沙=1一羊二羊，

则当一2<x<一1时，h'(x)<0；

当x>—1时，h'(x)>0,

即有/z(x)在(一2,—1)上单调递减，在(一1,+8)上单调递增,

于是当无=—1时,7l(X)min=7z(—1)=0,

因此x+121n(x+2)(当且仅当x=-l时取等号)，

因为等号不同时成立，

所以当x>—2时，»>ln(x+2).

d极值点偏移微点突破

L极值点不偏移

已知函数八》)图象的顶点的横坐标就是极值点xo,若五x)=c的两根的中点刚好满

viX9

足二一=沈，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移.此时函数人X)

在x=xo两侧，函数值变化快慢相同，如图①.

图①

(无偏移，左右对称，如二次函数)若兀n)=7(x2),则XI+X2=2XO.

2.极值点偏移

若一背Wxo,则极值点偏移，此时函数五X)在x=xo两侧，函数值变化快慢不同,

如图②③.

%](X

ox2X

图②

(左陡右缓，极值点向左偏移)若五X1)=/(X2),则阳+X2>2XO；

xxx2X

图③

(左缓右陡，极值点向右偏移)若於1)=於2),则X1+X2<2XO.

一'对称化构造辅助函数

例1(2024•青岛调研)已知函数段)=xeY

(1)求兀0的单调区间和极值；

(2)若X1WX2,且«¥1)=«¥2),求证：Xl+%2>2.

⑴解C(x)=(Der,

则由/(x)<0,得X>1；由/(x)>0,得X<1,

所以«V)在(一8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以的极大值是火1)=；,无极小值.

(2)证明不妨设由(1)知％1<1,X2>1,

要证%1+%2>2,即证X2>2—XI,

即证/(XI)=«X2)勺(2—XI).

构造F(%)=A2—%)—八%)=(2—x)e厂2—屁一。X<1,则尸'(%)=(1—x)(e%—2—er)vo,

所以F(x)在(一8,1)上单调递减，

所以F(x)=A2~x)-»>F(1)=0,

故尸(%i)=/(2—%i)—«xi)>0,xi<l,

可得/2—»)次.)=五段)，

又冗1<1,2—X1>1,X2>1,且凡¥)在(1,+8)上单调递减，

所以故XI+%2>2.

二、比、差值换元构造辅助函数

例2已知函数火x)=Inx-ax{x>G)，〃为常数，若函数“x)有两个零点x\,%2alW12),

求证：xix2>e12.*

证明法一不妨设

因为Inxi—axi=O,InX2—(2x2=0,

所以Inxi+In%2=a(xi+%2),Inxi—In%2=a(x\-xi),

Inxi-lnx2

所以a.

X1~X2

欲证xix2>e2,即证Inxi+lnX2>2.

因为Inxi+In%2=a(xi+xi),

2

所以即证a>

X1-\~X29

2

所以原问题等价于证明

X1-\~X29

,XI2(XI-X2)人

即In/£.令0■>1)，

2(c—1)

则不等式变为"FT

人2(c—1)

令/z(c)=lnc——(c>l),

14(c—1)2

所以h\c)=--I1'-/I1X7>0,

c(C十1)/C(C十1)/

所以"(c)在(1,+8)上单调递增，

所以/?(€)>/?(1)=In1—0=0,

2(c—1)

即Inc-v-i>0(c>l),

c+1

因此原不等式XlX2>e2得证.

法二由题意，函数兀0有两个零点XI,X2(X1WX2),

即兀⑴=/(X2)=0,

易知比》八也及是方程工二恁”的两个根，

==x

欢t\lnxi,t2InX2,g(x)=xe9

则g(tl)=g(t2),

从而xiX2>e2=lnxi+lnX2>2=A+/2>2.

下证：ti-bt2>2.

gr(x)=(l—x)ex,易得g(x)在(一8,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减,

所以函数g(x)在X=1处取得极大值g(l)=；.

当X一—8时，g(x)——8；

当九一+8时,g(%)f0且g(%)>0,

由g«l)=g«2)，九#%2,不妨设九42,

作出函数g(x)的图象如图所示，

由图知必有0<九<1<72.

令尸a)=g(i+尤)一g(i一%),%£(o,i],

Y

则9㈤=g，(l+x)+g，(l—力=尸心一1)>0,

所以"X)在(0,1]上单调递增，

所以R(x)>R(0)=0对任意的x©(0,1]恒成立，

即g(l+x)>g(l—x)对任意的工£(0,即叵成立.

由0<九<1</2,得1一九e(0,1),

所以g[i+(i—n)]=g(2—ri)>g[l—(1—ri)]=g(n)=g(?2),

即g(2f)>g«2).

又2—fl,/2©(1,+°°),且g(x)在(1,+8)上单调递减，

所以2—/1</2,所以加+/2>2,即XlX2>e2.

训练⑴已知函数火x)=x(l—lnX),若於)=机有两个根XI,X2(X1WX2),求证：XI

+X2>2.

证明«x)的定义域为(0,+°°),/(%)=1—Inx+x-^—£j=-Inx.

当%e(0,1)时，/(x)>0；

当x©(l,+8)时，/(x)<0,

所以九X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

不妨设0<Xl<l<X2,要证X1+X2>2,

即证X2>2—XI.

因为0<Xl<l<X2,所以X2>1,2—%1>1,

又兀¥)在(1,+8)上单调递减，

所以即证兀⑵勺(2—XI),

又火*1)=於2),

所以即证Hxi)勺(2—XI),

即证当x£(o,1)时，火幻一人2一劝<0.

构造函数网x)=/(x)一人2—X),

则尸(X)=/(x)+/(2—x)=—InX—ln(2—x)=—ln[x(2—x)].

当0<x<l时，x(2-x)<l,

则—ln[x(2—x)]>0,

即当0<x<l时，F'(x)>0,

所以刀(x)在(0,1)上单调递增，

所以当0令<1时，F(x)<F(l)=0,

所以当0<xi<l时，«xi)—/(2—xi)<0成立,

可得火2—XI)/XI)=凡X2),

又无1<1,则2—X1>1,X2>1,且火X)在(1,+8)上单调递减,

所以2—X1<X2,所以X1+X2>2.

(2)(2024-南通模拟改编)已知函数於)=aex~x,。©R.若加)有两个不同的零点xi,

X2,证明：X1+X2>2.

X

证明由/(x)=aex—x=0,得77—61=0,

C

.XI11—X

令g(x)=£—。，则g'(x)=—^-,

]—X

由g'a)=『>o，得了<i；

]—X

由g'(x)=-^-<6得x>L

所以g(X)在(一8,1)上单调递增，在(1,十8)上单调递减，

由于XI,X2是方程g(x)=o的实根，

不妨设XIVI<X2.设0<XlVIv12,

由<?(%1)=B(%2),得%ie—%i=%2e—%2,

等式两边取对数得Inxi—xi=InX2~X2.

令t=~>l,则%2=Zxi,代入上式得Inxi—xi=Inr+lnxi-tx\9

,曰Inttint

何双=；t——71，X2=-t—―17.

.(1+l)Int2(t—1)

所r以xi+%2=：~->2=lnt—-n>0,

t—1t~r1

、2(t—1)

设/z(0=lnt—―—G>1),

r)12(1+1)—2(t—1)(T)2、

所以W)=y-亦广—t(r+1)2>0,

所以当t>\时，〃⑺单调递增，

所以A(0>/z(l)=0,

所以In/-21;]1)〉0,故XI+42>2.

■课时分层精练

【A级基础巩固】

InV

1.已知函数«x)=,求证：当％>0时，«x)Wx—l.

证明当x>0时，要证/(x)Wx—1,

即证Inx—d+xWO,

令g(x)=ln%—^?+%(%>0),

,1l+x—2%2(%—1)(2x+l)

则gXx)=--2x+l=---=----------------

当0<%<1时,g<x)>0,g(x)单调递增；

当x>l时，g'(x)<0,gQ)单调递减，

•••g(x)Wg(l)=O,

即当%>o时，y(x)Wx—i.

2.(2024・唐山模拟)已知x>—l,证明：

(l)e*—1三龙》ln(x+1)；

(2)(ex—l)ln(x+1)2A2.

证明(1)令八元)=%—In(%+1),

Y

则/(x)=RY，X>-1,

当一14<0时,f(x)<0,於)单调递减;

当尤>0时,f(x)>0,於)单调递增,

所以人》)>黄0)=0,等号仅当x=0时成立，

即x^ln(x+l),

从而e-r^eln(-r+1)=x+l,所以e%—lNx.

综上，ex—12%21n(%+l).

(2)显然当x=0时，(ex—DlnCx+DufuO.

令g(x)=UpxWO，

(1—x)QX—1

则g'(X尸©—1)2，/0.

令/z(x)=(l—尤)e£—l,则砥x)=—xe”,

当尤<0时,h'(x)>0,/z(x)单调递增；

当x>0时，h'(x)<0,力⑴单调递减，

所以。(x)W7z(0)=0,等号仅当x=0时成立，

h(x)

从而g(x)=(厘—1)2<0,xWO,

所以gQ)在(一8,0)和(0,+8)上单调递减.

由(1)知，当一1<%<0时，0>x>ln(x+l)；

当x>0时，x>ln(x+1)>0,

所以g(x)<g[lna+l)],

mxIn(x+1)In(x+1)

即^…i)-l=x.

又当x>—1且%WO时，x(e^-l)>0,

所以(e“一l)ln(x+l)>x2.

综上，当九,一1时，—l)ln(x+1)^%2.

3.已知函数"x)=Q%—sinx.

(1)若函数八元)为增函数，求实数。的取值范围；

(2)求证：当x>0时，ex>2sinx.

⑴解,:艮Q=QX—sin%,

.e./(x)=a—cosx,

由函数八£)为增函数，

则了(%)=〃一cos冗20恒成立，

即42cos%在R上恒成立，

.*y=cos%£[—1,1],

即实数〃的取值范围为[1,+8).

(2)证明由(1)知，当〃=1时，sinx为增函数，

当x>0时，=0=>x>sinx,

x

要证当x>0时,e>2sinx9

只需证当x>0时，ex>2x,

即证ex—2x>0在(0,+8)上恒成立，

设g(x)=e~2x(x>0),则g，(x)=e]—2,

令/(x)=0解得x=ln2,

・・・g(%)在(0,In2)上单调递减，在(In2,+8)上单调递增，

・・・g(%)min=g(ln2)=eln2-21n2=2(1-In2)>0,

:.g(x)2g(In2)>0,ex>2x成立,

故当x>0时，ex>2sinx.

【B级能力提升】

4.设函数八光)=ln(〃一%)—%+e.

⑴求函数人%)的单调区间；