三角形解答题（沪教版）解析版

专题05三角形（共51题）（解答题）

上海各区期末试题为核心，上海名校试题为拓展

一、解答题

1.（2020・上海松江区•七年级期末）在AA8C中，已知/A：ZB：ZC=2：3：5,求/A、NB、/C的度数.

【答案】/4、/B、/C的度数分别为：36。，54。，90°.

【解析】

根据三角市三个角的比及三角形内角和是180。即可得到结论；解：•.•在AABC中/A：ZB：ZC=2：3：5,

.,.设/A=2x,则/B=3x,/C=5x,

■：ZA+ZB+ZC=180°,即2x+3x+5x=180°,解得尤=18°,

；./A=2xl8°=36°,/B=3xl8°=54°,/C=5xl8°=90°.

【点睛】

本题主要考查了三角形的内角和定理的应用，准确理解列式是解题的关键.

2.（2020・上海松江区•七年级期末）如图，已知AD〃BC,点E是AD的中点，EB=EC.试说明A8与CD相等

的理由.

【答案】AB=CD,理由见详解

【解析】

由题意可知由于AD〃BC,利用平行线的性质可得/AEB=N1,NDEC=N2,而EB=EC,根据等边对等角可得

ZEBC=ZECB,等量代换可证/AEB=/DEC,再结合AE=DE,EB=EC,利用AAS可证△AEB也△£口€：,从而

有AB=CD.解：如图：

：AD〃BC,

.\ZAEB=Z1,NDEC=/2,

VEB=EC,

；.NEBC=/ECB,

；./AEB=/DEC,

AE=DE

在AAEB与AEDC中，＜NAEB=/DEC,

EB=EC

AAAEB^AEDC,

/.AB=CD.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质，解题的关键是证明/AEB=/DEC.

3.（2020・上海闵行区•七年级期末）如图，已知在ZkABC中，/8=80。，点£）在的延长线上，ZACD=3ZA,

求：/A的度数.

【答案】ZA=40°.

【解析】

利用三角形的外角的性质即可解决问题.•••/ACD=/8+NA,ZACD=3ZA,

.,.3ZA=80°+ZA,

ZA=40°.

【点睛】

本题考查三角形外角的性质，解题的关键是记住三角形的外角等于不相邻的两个内角的和.

4.（2020・上海外国语大学闵行外国语中学七年级期末）根据要求画图（不要求写画法）

（1）画AABC,使5C=3cm,ZA=50°,ZC=100°；

（2）在△ABC中，画出边BC上的高.

【答案】（1）画图见详解；（2）画图见详解

【解析】

（1）先用有刻度的直尺画一条线段BC,由三角形内角和可得NB=30°，然后用量角器分别作出NB=30°，

ZC=100°即可；

（2）在（1）图的基础上延长线段BC,然后用直角三角板的一条直角边与BC重合，进而沿着BC进行平移，使

另一条直角边经过点A,边BC上的高即可画出.解：（1）作AABC,如图所示：

（2）作△ABC边BC上的高，如图所示:

【点睛】

本题主要考查三角形及垂线的尺规作图及三角形内角和，熟练掌握三角形及垂线的尺规作图及三角形内角和是解

题的关键.

5.（2020•上海市建平中学七年级期末）如图，点E是等边A4BC外一点，点。是边上一点，AD=5E，

NCAD=NCBE,联结ED、EC.试判断ADCE的形状，并说明理由.

【答案】ADCE是等边三角形，理由见解析

【解析】

根据等边三角形的性质可得AC=BC,/ACB=60。,然后利用SAS即可证出AACD^ABCE，从而得出CD=CE,

ZBCE=ZACD=60°,最后利用等边三角形的判定定理即可得出结论.解：△DCE是等边三角形，理由如下

•••△MC为等边三角形

；.AC=BC,/ACB=60°

在八4。。和ABCE中

AC=BC

<ZCAD=ZCBE

AD=BE

:.LACDm@CE

；.CD=CE,NBCE=/ACD=60°

A&DCE是等边三角形.

【点睛】

此题考查的是等边三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，掌握等边三角形的判定及性质和全等三角形

的判定及性质是解题关键.

6.（2020•上海市建平中学七年级期末）如图，在AABC中，AB=AC,AD1.BC,垂足为。，点E在AD

上，点尸在AD的延长线上，豆CEIIBF,试说明小=止.

\-AB=AC,AD1BC

：.BD=()

QCE//BF

:.NCED=()

（完成以下说理过程）

【答案】见解析

【解析】

根据已知条件判定两三角形全等并利用全等三角形的对应边相等得到线段DE=DF的长即可；解：：AB=AC,

AD1BC,

/.BD=CD.（等腰三角形底边上的高与底边上的中线、顶角的平分线重合）

VCE/7BF,

AZCED=ZBFD,（两直线平行，内错角相等）

在^BFD和^CED中，

NCED=NBFD

<ZEDC=ZBDF（对顶角相等）

BD=CD

.,.△BFD^ACED（AAS）

/.DE=DF（全等三角形对应边相等）.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，通常利用全等三角形证明线段相等或角相等.

7.（2020・上海外国语大学闵行外国语中学七年级期末）如图，已知，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接

BD、CE.

（1）说明的理由；

（2）延长BD,交CE于点F,求NBFC的度数.

【答案】⑴见解析；（2）60°.

【解析】

(1)证明△ABD名ZkACE即可得到结论；

(2)由△ABD名ZkACE得到NABD=/ACE,根据/ABC=/ACB=60。推出

ZFBC+ZACB+ZACF=ZABC+ZACB=120°,再根据三角形内角和定理求出/BFC的度数.(1)证明：•:△ABC

和4ADE都是等边三角形，

；.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

ZBAD=ZCAE,

A△ABDACE,

，BD=CE；

(2)VAABD^AACE,

/ABD=NACE,

,/ZABC=ZACB=60°,

.,.ZFBC+ZACB+ZACF=ZABC+ZACB=120°,

ZBFC=180°-(ZABC+ZACB)=60°.

【点睛】

此题考查三角形全等的判定及性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟记三角形全等的判定定理，根据

题意准确证明△ABD^AACE是解题的关键.

8.（2020・上海松江区•七年级期末）如图，在RSABC中，ZACB=90°,AC=8C,点£＞在边8c上（不与点8、

C重合），BELAD,重足为E,过点C作CF_LCE,交线段AD于点足

（1）试说明△CA尸经△C8E的理由;

(2)数学老师在课堂上提出一个问题，如果所=2AF,试说明的理由.班级同学随后进行了热烈讨论,

小明同学提出了自己的想法，可以取EF的中点从联结CH,就能得出结论，你能否能根据小明同学的想法，

写出CD=BD的理由.

【答案】(1)证明过程见解析；(2)理由见解析；

【解析】

(1)由三角形内角和定理和余角的性质可得/CAF=/CBE,/ACF=/BCE,由“ASA”可证△CAF之Z\CBE；

(2)取EF的中点H,联结CH,由全等三角形的性质可得CF=CE,AF=BE,可证△CEF是等腰直角三角形，

由等腰直角三角形的性质可得CH=FH=EH=^-EF,CH±EF,由“AAS”可证△CHD9ZkBED,可得CD=BD.解:

2

(1)"BELAD,

：.ZACB=ZBED=9Q°,

又,:ZADC=ZBDE,

:.NCAF=NCBE,

■：CE1CF,

:.NECF=ZACB=90°,

：./ACF=ZBCE,

XVAC=BC,

:.ACAF经ACBE(ASA)；

(2)如图，取所的中点H,联结CH,

,/△CAF^ACBE,

：.CF=CE,AF=BE,

；.△CEF是等腰直角三角形，

:点H是EF中点,

CH=FH=EH=—EF,CHtEF,

2

•：EF=2AF,

：.CH=AF=FH=EH,

：.CH=BE,

又/CDH=ZBDE,/CHD=ZBED=90°,

:.ACHD咨ABEDG4AS),

：.CD=BD.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，余角的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题

的关键.

9.(2020•上海浦东新区•七年级期末)如图，已知点C是线段AB上一点，NDCE=/A=NB,CD=CE.

(1)说明△ACD与△BEC全等的理由；

(2)说明AB=AD+BE的理由.

【答案】(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

(1)由三角形内角和得/D=/BCE,再由AAS证明三角形全等；

(2)由全等三角形的性质可得AC=BE,AD=BC,进而由线段的和差得结论.(1)VZDCE=ZA,

:.ZD+ZACD=ZACD+ZBCE,

；./D=/BCE,

在小ACD和4BEC中,

ZA=NB

<ND=ZBCE,

CD=EC

AAACD^ABEC(AAS)；

(2),.,△ACD^ABEC,

；.AD=BC,AC=BE,

；.AC+BC=AD+BE,

即AB=AD+BE.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，属于基础题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.

10.(2020•上海浦东新区•七年级期末)如图，已知在等腰三角形ABC中，AB=AC,NBAC=80。，AD±BC,

AD=AB,联结BD并延长，交AC的延长线于点E,求/E的度数.

【答案】30°.

【解析】

根据等腰三角形三线合一的性质可求/BAD=/CAD=L/BAC=40。，根据等腰三角形的性质可求/BDA,再

2

根据三角形外角的性质即可求解.解：：AB=AC,/BAC=80。，AD±BC,

.".ZBAD=ZCAD=—ZBAC=40°,

2

VAD=AB,

AZBDA=—x(180°-40°)=70°,

2

ZE=ZBDA-ZCAD=70°-40°=30°.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质以及三线合一的运用，解决本题的关键是正确理解题意，能够

根据三线合一的性质得到相等的量.

11.（2018・上海虹口区•七年级期末）如图，已知AB=CD,点E是AD的中点，EB=EC.试说明AD//BC的理由.

【答案】详见解析.

【解析】

由E是A。的中点，可得AE=£>E,结合已知可证AA8Eg且/EBC=/ECB,可得由三

角形内角和平角定义，易得/AEB=/EBC,由内错角相等，两直线平行即可证明AO//BC.解：证明，：点E为

中点，

：.AE=DE,

又；BE=CE,AB^DC,

：.LABE咨ADCE,NEBC=NECB

：.NAEB=/DEC,

又；/EBC+/ECB+/BEC=180°,ZAEB+ZDEC+ZBEC^180°,

/AEB=/EBC

：.AD//BC.

【点睛】

此题为平行线的证明，通过内错角相等两直线平行可证明AD//BC,中间过程涉及知识点有三角形全等的判定与

性质等知识点.

12.（2018•上海虹口区•七年级期末）说理填空：如图，点E是DC的中点，EC=EB,/CDA=120。，DF//BE,且

DF平分/CDA,求证：ABEC为等边三角形.

D

解：因为DF平分/CDA（已知）

所以/FDC=2•/.（）

2

因为NCDA=120。（已知）

所以NFDC=°.

因为DF//BE（已知）

所以NFDC=N.（）

所以NBEC=60。，又因为EC=EB,（已知）

所以ABCE为等边三角形.（）

【答案】ZADC；角平分线的意义；60；ZBEC；两直线平行，同位角相等；有一个角为60。的等腰三角形是

等边三角形.

【解析】

利用角平分线的性质得出/FDC的度数，再利用平行线的性质得出NBEC的度数，进而得出4BCE为等边三角

形.解：：DF平分NCDA,（已知）

，/FDC」NADC.（角平分线的意义）

2

,/ZCDA=120°,（已知）

ZFDC=60°.

VDF/7BE,（已知）

.,.ZFDC=ZBEC=60°.（两直线平行，同位角相等）

ZBEC=60°

又；EC=EB,（已知）

.•.△BCE为等边三角形.（有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形）

【点睛】

此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及平行线的性质，根据已知得出/FDC=/BEC是解题关键.

13.（2018・上海虹口区•七年级期末）如图，在AABC中，点。、E分别在边A3、AC±,CD与BE交于点

O,且满足5Q=CE,Z1=Z2.试说明△A5C是等腰三角形的理由.

A

【答案】见解析

【解析】

由已知易证AOBO乌/XEC。，可得NDBO=/ECO,BO^CO,继而可得/O8C=NOC8,从而得结论.解：：

Zl=Z2-BD=CE,ZDOB=ZEOC,

：.ADBO经AECO,

：.ZDBO^ZECO,OB=OC,

:"CBO=NBCO,

ZDBO+ZCBO^ZECO+ZBCO

即/D8C=/EC8,

：.AB^AC,

即△ABC为等腰三角形.

【点睛】

此题考查等腰三角形的证明，涉及全等三角形的判定与性质，熟知相关知识点的基础概念及相关定理是解题关键.

14.（2018・上海杨浦区•七年级期末）如图，已知。是等边三角形ABC内一点，。是线段50延长线上一点，

且4403=120。，求NBDC的度数.

【答案】600

【解析】

先证AAO。是等边三角形，得出AABC是等边三角形，再证△ABOgAACD,得NAO5=NADC=120°,

从而得出/BOC的大小.•；/AOB=120。，AZAOD=60°

,/AO=OD,AAOD是等边三角形

.•.NS4c=60。，AB=AC

：△ABC是等边三角形，.,.ZBAC=60°,AB=AC

ZBAC=ZOAD,，ZBAO+ZOAC=ZOAC+ZCAD

；./BAO=/CAD

在4BAO和4CAD中

AO=AD

<NBAO=ZCAD

AB=AC

：.AABO^AACD

；•ZAOB=ZADC=120°

•••ZBDC=ZADC-ZADO=60°

【点睛】

本题考查全等的证明和等边三角形的性质和证明，解题关键是证AABOgAACD.

15.（2018・上海杨浦区•七年级期末）如图，已知NS=NC=90。，AE±ED,AB=EC,点产是AD的中点,

说明石产，的理由.

解：（已知），NAEZ）=90°（垂直的意义）.

又•.•NB=90°（已知），；.NB=NAEE>（等量代换）.

•/ZAEC=ZB+ZBAE（）.

即NAED+/DEC=NB+NBAE.；.NBAE=/DEC（等式性质）.

N5=NC（已知）

在AASE与AECD中，<A3=EC（已知）

NBAE=NDEC（已证）

AAABE^NECD（）,

•••AE=ED（）

,/（已知），

EF±AD（）.

【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；ASA；全等三角形对应边相等；点尸是A£）的中

点；等腰三角形三线合一

【解析】

先利用ASA证儿钻石之八石。。，得到△AED是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可证所_LA£>.解：：

AE工ED（已知），,NAED=90°（垂直的意义）.

又•.•NB=9O°（已知），；.NB=NAEE>（等量代换）.

VZAEC=ZB+ZBAE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），

即ZAED+/DEC=NB+/BAE.；.NBAE=NDEC（等式性质）.

N3=NC（已知）

在AABE与AECD中，,A3=EC（已知）

ZBAE=ZDEC（已证）

AABE且AECD（ASA）,

AE=ED（全等三角形对应边相等）.

:点尸是A。的中点（已知），

EF±AD（等腰三角形三线合一）.

【点睛】

本题考查全等的证明和等腰三角形的性质，注意等腰三角形的“三线合一”仅指垂直于底边的那一条直线，垂直于

两腰的直线没有这个性质.

16.（2018•上海杨浦区•七年级期末）如图，已知线段3C=5厘米，以点5为圆心、4厘米长为半径画弧，再以点

C为圆心、3厘米长为半径画弧.设两条弧在BC的上方交于点A,在的下方相交于点。，联结A3、AC、

DB、DC.

（1）请按上面的步骤画出AABC、ADBC；

（2）联结A。，说明A。与有怎样的位置关系？请说明理由.

解：

1・1・1・

BC

【答案】（1）见解析；（2）BC±AD,理由见解析

【解析】

（1）按照题干步骤绘制图形即可；

（2）先证AABCdDBC,得出NABC=/DBC,再证△ABEgZkDBE,进而得出结论.（1）图形如下:

<

（2）如下图，连接AD,交BC于点E

VAB=BD=4,AC=AC=3

在小ABC和4DBC中

AB=BD

<AC=DC

BC=BC

AAABC^ADBC

，ZABC=ZDBC

在在△ABE和^DBE中

AB=BD

<ZABC=ZDBC

BE=BE

.•.△ABE^ADBE

；.AE=ED,ZAEB=ZDEB

：/AEB+/DEB=180。，/AEB=/DEB=90。，AADXBC

【点睛】

本题考查全等的证明，注意，本题在证明全等过程中，会用到隐含条件：BC=BC和BE=BE.

17.（2018•上海松江区•）如图，在A46C中，已知=点。、E、产分别在8C、AC,A3上，且

BD=CE,BF=CD.

（1）说明ABDFMACED的理由；

（2）说明NEDE=N3的理由.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

(1)由“SAS”可证△BDF^ACED；

（2）由全等三角形的性质可得/EDC=/BFD,由三角形外角的性质可得/FDE=/B.（1）1•在A4BC中，已

知A5=AC（已知），

:.ZB=NC（等边对等角）.

在岫DF与ACED中,

BD=CE（已知）

•：＜ZB=NC（已证）

BF=8（已知）

/.ABDF三ACED（S.AS）.

（2）:ABDFMACED（已证），

：.ZEDC=ZDFB（全等三角形的对应角相等）.

,/NFDC是ABDF的外角，

ZFDC=ZB+ZDFB（三角形的外角等于与它不相邻的内角和）.

又ZFDC=ZFDE+ZEDC,

-'-ZFDE=ZB（等式性质）.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，外角的性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键.

18.（2018・上海松江区•）书上的一个等腰三角形被墨迹污染了，只有底边A3和底角B3可见.

（1）请你画出书上原来的等腰A4BC的形状，并写出结论；（可以使用尺规或三角板、量角器等工具，但保留

画图痕迹及标志相应符号）；

（2）画出A4BC边A3上的高，点。为垂足，并完成下面的填空：

将“等腰三角形底边上的高平分底边和顶角”的性质用符号语言表示:在AABC中，如果AC=5C,且CD,A3,

那么,且_________________.

【答案】（1）详见解析；（2）图详见解析，AD=BD（或）,ZACD=NBCD（或

2

ZACD=/BCD=-ZACB）.

2

【解析】

（1）作线段AB的垂直平分线分别交/B的两边于点D,点C,连接AC,△ABC即为所求.

（2）根据三角形的高的定义即可解问题，利用等腰三角形的性质即可解决问题.（1）如图△ABC即为所求;

（2）如图线段CD即为所求.在△ABC中，

：AC=BC,J.CD1AB；

AD=BD（或==ZACD=ZBCD（或40=/30）=工4。3）.

22

故答案为：AD=5£>（或4£>=3。=工45）,ZACD=N5CD（或40）=/30）=工4。3）.

22

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

19.（2017•上海长宁区•七年级期末）如图，点。是等边AABC中边AC上的任意一点，且AfiDE也是等边三

角形，那么AE与6C一定平行吗？请说明理由.

【答案】AE与一定平行；理由见解析.

【解析】

由△ABC和△BDE也是等边三角形得：AB=BC,BD=BE,/ABC=/DBE=/C=60。，图中可知/DBC=/EBD,

从而证明ADBC乌AEBA,根据三角形全等的性质得到/BAE=/C=60。，等量代换得/BAE=/ABC=60。，即可

得AE〃BC.解：AE与BC一定平行.如图所示，其理由如下：

E

D

B

■：AABC和仆BDE也是等边三角形得，

，AB=BC,BD=BE,NABC=/DBE=NC=60。，

又：NABC=/ABD+NDBC,/DBE=/ABD+NABE,

AZDBC=ZABE,

在^DBC和4EBA中

AB=CB

<ZABE=ZCBD

BE=BD

.,.△DBC^AEBA（SAS）,

.,.ZBAE=ZC=60°,

；./BAE=/ABC=60。，

；.AE〃BC

【点睛】

此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题关键在于掌握全等三角形的判定.

20.（2017・上海长宁区•七年级期末）如图，已知：ZB=NC=ZAED=90°.

（1）请你添加一个条件，使AABE与AECD全等,这个条件可以是.（只需填写一个）

（2）根据你所添加的条件，说明人钻石与AECD全等的理由.

【答案】（1）AB=EC（或5E=C。或AE=EO）；（2）见解析.

【解析】

（1）答案不唯一，可以添加条件：AB=EC；

（2）根据ASA即可证明△ABD经Z\CEB.解：（1）AB=EC（或BE=CD或AE=ED）.

故答案为AB=EC（答案不唯一）.

(2)理由：：/B=/C=/AED=90。,

，/BAE+/AEB=90。，NAEB+/CED=90。,

；./BAE=/CED,

在^ABE和^ECD中，

NBAE=NCED

在AWE与AECD中|A3=EC,

ZB=ZC

AABEWAECD（ASA）.

【点睛】

此题考查全等三角形的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件.

21.（2017・上海长宁区•七年级期末）如图，在A43C中，点。在边上，NC=N3,Nl=2N3.说明

是等腰三角形的理由.

下面七个语句是说明AABD是等腰三角形的表述，但是次序乱了.请将这七个语句重新整理，说明A4BD是等

腰三角形，并说出依据.

①AABD是等腰三角形；②N2=N3+NC；③N3=NC；®AB=AD-,⑤4=2/3；⑤N1=2N3；⑥

N2=2N3；®Z1=Z2.

整理如下：

【答案】见解析.

【解析】

根据等腰三角形的判定和性质以及三角形的外角的性质即可得到结论•③N3=/C,（已知）②N2=/3+/C,

（三角形外角的性质）

.•.⑥N2=2N3（等量代换），

,/@Z1=2Z3（已知），

/.©Z1=Z2（等量代换）,

.,.④AB=BD（等腰三角形的判定），

.,.①4ABD是等腰三角形（等腰三角形的定义）.

【点睛】

此题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键.

22.（2018•上海杨浦区•七年级期末）（1）如图，在AABC中，AB^AC,/A=36。，8。平分/A8C交AC于D请

说明ABDC是等腰三角形；

（2）在（1）的条件下请设计四个不同的方案，将AABC分割成三个等腰三角形，请直接画出示意图并标出每个

等腰三角形顶角度数；

（3）若有一个内角为36。的三角形被分割成两个等腰三角形，则原三角形中最大内角的所有可能值

为.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）72°,90°,108°,132°,126°

【解析】

（1）由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角

对等边即可得出答案；（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的性质即可得到结论；（3）分为以下情况：①原三

角形是锐角三角形，最大角是72。的情况；②原三角形是直角三角形，最大角是90。的情况；③原三角形是钝角

三角形，最大角是108。的情况；④原三角形是钝角三角形，最大角是126。的情况；⑤原三角形是钝角三角形，

最大角是132。的情况.解：⑴'：AB=AC,ZA=36°,

AZC=ZABC=72°.

■：BD平分/ABC,

/ABD=NDBC=36。,

•：ZA=ZABD=36°,

：.ZBDC=ZA+ZABD=36°+36°=72°=ZC,

:ABDC是等腰三角形；

(2)如图方案1,作NA3C的角平分线3。交AC于点。，作N3QC得角平分线。£交3。于点石,

*：AB=ACfZA=36°,

：.ZC=ZABC=72°,

•；BD平分NA3C,

・•・ZABD=ZDBC=36°f

9

：ZA=ZABD=36°f

：.ZBDC=ZA+ZABD=36°+36°=72°,

•.•。石平分/3。。，

NEDC=/BDE=36。,

：.AABD,2BDE,△。石。为等腰三角形；

如图方案2,作NA3C的角平分线3/交AC于点忆作NAC3的角平分线CM交6方于点M,

9

：AB=ACfZA=36°,

・•・ZACB=ZABC=72°,

，；BF平分/ABC,CM平分NAC8,

：.ZFBC^ZABF=36°,ZFCM^ZMCB=36°,

：.ZCFM=ZCMF=72°,

.,.△ABF,ABMC,△CNF为等腰三角形；

如图方案3,作/AC8的角平分线CN交A8于点N,作/BNC的角平分线N尸交BC于点尸,

'：AB=AC,NA=36°,

ZACB=ZABC^12°,

：CN平分/ACB,

：.ZBCN=ZACN=36°,ZBNC=ZB=12°,

,:NP平分NBNC,

：./BNP=NPNC=36。,/N尸B=72。，

：.^ANC,&NPC,△BNP为等腰三角形；

如图方案4,作/ABC的角平分线8。交AC于点。，作交AB于点E,

A

9：AB=AC,ZA=36°,

ZACB=ZABC=72°f

：./BCD=/BDE=/BED=72。,

,.・3。平分NA3C,

・•・ZABD=ZDBC=36°f

：.NA皮）=108。，

・•・ZA=ZADE=36°f

：.AAED,ABDE,△BCD为等腰三角形；

（3）①原三角形是锐角三角形，最大角是72。的情况如图所示:

NABC=/ACB=72。,NA=36。，AD=BD=BC；

②原三角形是直角三角形，最大角是90。的情况如图所示:

ZABC=9Q°,ZA=36°,AD=CD=BD；

③原三角形是钝角三角形，最大角是108。的情况如图所示:

A

ZACB=108°,ZB=36°,BD=CD,AC=AO；

④原三角形是钝角三角形，最大角是126。的情况如图所示:

A

B

/ABC=126°,NC=36°,AD=BD=BC；

⑤原三角形是钝角三角形，最大角是132。的情况如图所示:

ZC=132°,ZABC=36°,AD=BD,CD=CB.

综上，原三角形最大内角的所有可能值为72。，90°,108°,132°,126°.

故答案为：72°,90°,108°,132°,126°.

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的判定及性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定及性质，

角平分线的定义，三角形内角和定理并分情况讨论是解题的关键.

23.（2019・上海浦东新区七年级期末）如图，在AABC和AD历中，点在同一直线上，请你从以下

4个等式中选出3个作为已知条件,余下的1个作为结论，并说明结论正确的理由.①A3=DE；②AC=D9；

③ZABC=NDEF；④BE=CF.

【答案】已知条件是①，②，④，结论是③，证明见解析

【解析】

此题答案不唯一，可选择已知条件是①，②，结论是③.由④可得BC=EF,根据SSS可得出△ABC^ADEF,

从而证出结论③.解：已知条件是①，②，④.

结论是③.

（或：已知条件是①，③，④.结论是②.）

说理过程：因为=（已知），

所以BE+EC=CF+EC（等式的性质）.

即BC=EF.

在ZVIBC和ADEF中，

AB=DE

<BC=EF

AC=DF

所以AABCsADEF（SSS）.

所以NABC=NDEF（全等三角形的对应角相等）

【点睛】

本题是一道开放性的题目，考查了全等三角形的判定和性质，此题还可以已知①③④，再证明②，利用SAS即

可.

24.（2019・上海崇明区•七年级期末）如图，在△ABC中，E是AD上的一点，EB=EC,ZABE=ZACE,

请说明AD，8c.

解：因为EB=EC（已知）,

所以NEBC=NECB(①).

又因为NABE=NACE（已知）,

所以ZABE+NEBC=ZACE+NECB(②).

即NABC;NACB.

所以=(③).

在八45石和△ACE中,

A3=AC（已证）

<E5=EC（已知）,

AE=AE1@）

所以△ABEZAACE（⑤）.

得NBAD=NCAD（⑥）.

所以ADL3C（⑦）.

【答案】①等边对等角；②等式性质；③等角对等边；④公共边；⑤边、边、边（sss）；⑥全等三角形对应角相

等；⑦等腰三角形的三线合一

【解析】

先根据条件证明AB^AC,得到AA5C为等腰三角形，再通过证明ZWEgAACE,得到

NBAD=NCAD,得到AD为/BAC的平分线，然后利用等腰三角形三线合一的性质，证得AD,8c.解：因

为EB=EC（已知），

所以NEBC=NECB（等边对等角）.

又因为NABE=NACE（已知），

所以ZABE+/EBC=ZACE+NECB（等式性质）.

即/ABC=NACB.

所以A6=AC（等角对等边）.

在NkABE和△ACE中，

A3=AC（已证）

<E3=EC（已知），

AE=AE1公共边）

所以Z\ABE之八4。£（SSS）.

得NBAD=NCAD（全等三角形对应角相等）.

所以ADJ_BC（等腰三角形的三线合一）.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等

是解决问题的关键.

25.（2019•上海奉贤区•七年级期末）阅读并填空：

如图，△A3C是等腰三角形，AB=AC，。是边AC延长线上的一点，E在边A3上且联接。E交8C于0,

如果OE=OD,那么CD=BE,为什么？

解：过点E作ER||AC交8C于b

所以NACB=NEFB（两直线平行，同位角相等）

ZD=ZOEF（）

在AOCD与△OEE中

NCOD=NFOE(

<OD=OE

ND=ZOEF

所以△OCD0AOEE，（）

所以CD=FE（）

因为=（已知）

所以（）

所以NEFB=NB（等量代换）

所以BE=FE（）

所以CD=BE

【答案】见解析

【解析】

先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明△OCD且△OEE，写出证明过程和依据即可•解：过点E作

EF//AC交BC于F，

A

AZACB=ZEFB（两直线平行，同位角相等），

:.ND=/OEF（两直线平行，内错角相等），

在AOCD与△OEE中

ZCOD=ZFOE（对顶角相等）

<OD=OE（已知），

ND=NOEF（已证）

.••△OCD也△OEE,（ASA）

ACD=FE（全等三角形对应边相等）

"AB=AC（已知）

；./ACB=/B（等边对等角）

A/EFB=/B（等量代换）

：•BE=FE（等角对等边）

CD=BE；

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的

条件，从而进行证明.

26.（2019・上海杨浦区七年级期末）如图，在入48。和儿4'3'。中，已知NA=NAl=AB=A'B'，

试把下面运用“叠合法”说明AABC和△A'5'C'全等的过程补充完整：

说理过程：把AABC放到A/TN'C'上，使点A与点A'重合，因为，所以可以

使,并使点C和。在AB（A'B'）同一侧，这时点A与A'重合，点B与3'重合，由

于,因此;，;

由于，因此，;于是点c（射线AC与BC的交点）与点C'（射线A'C'与

5'C'的交点）重合，这样.

【答案】见解析.

【解析】

根据“叠合法”说明两三角形全等即可.说理过程：把AABC放到AA'5'C'上，使点A与点A'重合，因为

AB=A'B'＞所以可以使AB与A'5'重合，并使点C和。在AB（43'）同一侧，这时点A与A'重合，点

B与3,重合，由于NA=N4,因此，射线AC与射线4。叠合；

由于ZB=ZB'，因此，射线BC与射线5'。'叠合；于是点C《射线AC与BC的交点）与点C'（射线4。

与3'。'的交点）重合，这样AABC与AA'3'C'重合，即

AABC与AA'3'C'全等.

【点睛】

本题主要考查三角形全等的定义，掌握“叠合法”说明三角形全等，是解题的关键.

27.（2020•上海市民办立达中学七年级期末）如图点M是线段BC的中点，且AB=CD,AC=BD

（1）试说明AABC/aDCB的理由；

（2）试说明AM=DM的理由.

【答案】（1）见详解；

（2）见详解.

【解析】

（1）根据AB=CD,AC=BD再加上公共边BC,利用SSS即可证明（2）由4ABC^ADCB可知ZABC=NBCD,

AB=CD

再利用AB=CD,BM=CM证明=ADCM厕有AM=DM⑴在△ABC和ADCB中，\AC=BD

BC=BC

..△ABCMAOCRSSS)

(2)'.-AABC=ADCB

:.ZABC=/BCD

AB=CD

在AABM和ADCM中，＜ZABC=/BCD

BM=CM

=^DCM(SAS)

：.AM=DM

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法并灵活应用是解题的关键.

28.（2020•上海市民办立达中学七年级期末）如图，BD、CE分别是△ABC的高，在BD上取BN=AC,在射线

CE上截取点M使得CM=BA,

（1）补全下来说明△AMC和4NAB全等的过程及理由.

解：：BD、CE分别是AABC的高（已知）

/AEC=/ADB=90。（三角形高的意义）

VZAEC+ZEAC+ZACE=180°,ZADB+ZDAB+ZABD=180°（）

A（等式性质）

在4AMC和4NAB中

AC=NB（已知）

ZMCA=ZABN（已证）

CM=BA（已知）

.,.△AMC^ANAB()

(2)猜想AM和AN有什么关系？(请直接回答，不需要写出证明过程)

【答案】(1)三角形内角和定理；

ZACE=ZABD

SAS

(2)AM=AN

【解析】

(1)按照题目中给出的过程补充理由即可；(2)由△AMC取4NAB可证明AM=AN(1)三角形内角和定理;

ZACE=ZABD

SAS

(2)VAAMC^ANAB

，AM=AN

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

29.(2019•上海普陀区•七年级期末)如图，已知△ABC中，5D、E是BC边上两点，且AD=AE,

NBAE=NCAD=90°，

(1)试说明△ABE与△AC。全等的理由；

(2)如果AD=BD，试判断AAOE的形状，并说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)△ADE是等边三角形.理由见解析.

【解析】

(1)由AD=AE得至IjNAED=ZADE,再由NBAE=NCAD=90°即可得到4ABEgZ\ACD；

(2)由AD=BD得至UZBAD=ZB,依据三角形内角和求得NAED=60。可得到△ADE是等边三角形.(1)：AD

=AE(已知)，

ZAED=ZADE（等边对等角）.

在4ABE和4ACD中

ZBAE=ZCAD

<AE=AD,

NAEB=NADC

：.AABE^AACD（ASA）；

（2）△ADE是等边三角形.

理由：：AD=BD,

ZBAD=ZB（等边对等角'）.

设ZB的度数为x,则ZBAD的度数为x.

•.,ZADE=ZB+ZBAD（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），

•••NADE=NAED=2x.

VZB+ZAEB+ZBAE=180°（三角形的内角和等于180°）,

x+2x+90°=180°,

解得x=30。，

ZAED=60°.

,/AD=AE（已知），

•••△ADE是等边三角形（有一个内角等于60。的等腰三角形是等边三角形）.

【点睛】

此题考查三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定，（1）中根据AD=AE证得/AED=/ADE,得到三角形

全等；（2）中依据三角形内角和求得ZAED=60。可得到△ADE是等边三角形.

30.（2019•上海普陀区•七年级期末）如图，已知AA8C,分别以A8、AC为边在△ABC的外部作等边三角形

和等边三角形ACE联结DC、BE试说明。C=8E的理由.

Dy

AE

【答案】见解析

【解析】

由等边三角形ARD和等边三角形ACE得到ZBAD=NCAE,AD=AB,AC=AE,证得△ADC^4ABE,即可

得至！JDC=BE.：Z\A8。是等边三角形（已知），

：.AD=AB,ZBAD=60°（等边三角形的性质），

同理AC=AE,ZCAE=60°,

：.ZBAD=ZCAE（等量代换），

AZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC（等式性质），

即ZDAC=N8AE.

在4ADC和^ABE中

AD=AB

<ZDAC=ZBAE,

AC=AE

二.△ADC名△ABE（SAS）,

：.DC=BE（全等三角形的对应边相等）.

【点睛】

此题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，依据等边三角形得到线段及角的等量关系，由此证

得三角形全等，从而得到DC=BE.

31.（2019•上海长宁区•七年级期末）如图，已知AD是AABC的一条中线，延长AD至E，使得DE=AD，

连接BE.如果A3=5,AC=7,试求A。的取值范围.

A

E

【答案】AD的取值范围是1<AO<6.

【解析】

先证明AADC且AED5得到5E=AC=7,然后根据三角形的三边关系得到AE的取值范围，从而计算出AD

的取值范围。解：：A£）是A45C中线，

所以BD=CD（中线的意义）

在AA£>C和AEZ汨中，

AD=矶>（已知）

<ZADC=/矶>5（对顶角的意义）

5。=CD（已证）

AADC^AEDB（5^45）

：.BE=AC=7（全等三角形对应边相等）

又在AABE中，BE-AB<AE<BE+AB

•••7—5<2AZ）<7+5,

1<AD<6，

；•AD的取值范围是1<AO<6.

【点睛】

本题考查了三角形的中线和三边关系。条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑把中线延长一倍，把分散的已

知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，注意运用类比方法构造相应的全等三角形.

32.（2019•上海浦东新区•七年级期末）如图，已知中，AB=AC,。是ZVIBC内一点，且05=0C,

试说明40,6C的理由.

O

BC

【答案】详见解析

【解析】

先证明ZkAC出名△AOC,再利用全等三角形的性质得到N8A0=NC40,然后利用等腰三角形三线合一的

性质，即可证明.证明：在AAOB与△AOC中，

，A3=AC（已知）

<03=0C（已知）

AO=A。（公共边）

△AO8=△AOC（S.SS）

ZBAO^ZCAO（全等三角形的对应角相等）

VAB=AC（已知）

AAO±BC（等腰三角形的三线合一）

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题和等

腰三角形三线合一性质的运用.

33.（2019・上海浦东新区•七年级期末）如图，AA5C中，ZB=NC,D、E、尸分别在A3、BC、AC上，

且BD=CE,ZDEF=ZB

求证：ED=EF

证明：=（),

且/DEC=NDEF+NFEC（如图所示），

•••ZDEF+NFEC=ZB+ZBDE（等量代换）

又,：NDEF=/B（已知），

：.NBDE=N________________（等式性质）.

在八ERE