中职数学一轮复习：计数原理（含答案）

10.1计数原理

【考点梳理】

1.分类加法计数原理

完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有mi种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法……

在第n类方案中有种不同的方法.那么完成这件事共有N=mi+m2H----Fm”种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有醐种不同的方法，做第2步有加2种不同的方法……做第n

步有加“种不同的方法.那么完成这件事共有N=如X血X…X种不同的方法.

3.两个计数原理的区别

分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件

事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存,只有各个步骤都完成才算做

完这件事.

4.两个计数原理解决计数问题时的方法

最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析一是需要分类还是需要分步.

(1)分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.

(2)分步要做到“步骤完整”,即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立,分步后再计

算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.

考点一分类加法计数原理

【例题】(1)现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间,

则不同的选法共有()

A.7种B.9种C.14种D.70种

【答案】C

【解析】分为三类：从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7

种不同的选法，根据分类加法计数原理，共有5+2+7=14（种）不同的选法，故选：C.

（2）为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了11个接种点，在

乡镇设立了19个接种点.某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有

（）

A.11种B.19种C.30种D.209种

【答案】C

【解析】该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点，所以共有19+11=30种

不同接种点的选法，故选：C.

（3）从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择.某人某天要从甲地出发,

去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（）

A.16B.15C.12D.8

【答案】D

【解析】根据分类加法计数原理，可知共有4+3+1=8种不同的走法，故选：D.

（4）解1道数学题，有两种方法，有2个人只会用第一种方法，有3个人只会用第二种方法，从这5个人

中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（）

A.4种B.5种C.6种D.9种

【答案】B

【解析】根据分类加法计数原理得：不同的选法共有2+3=5（种），故选：B.

（5）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育

书.从书架上任取1本书，不同的取法有种.

【答案】9

【解析】由题意，若从第一层取书，则有4种不同的取法，若从第二层取书，则有3种不同的取法，若从

第三次取书，则有2种不同的取法，所以不同的取法有4+3+2=9种，故答案为：9.

【变式】（1）某班有男生13人，女生17人，从中选一名学生为数学课代表，则不同的选法共有（）

A.30种B.17种C.221种D.13种

【答案】A

【解析】从该班男中选一名同学为数学课代表有13种方法，从该班女中选一名同学为数学课代表有17种

方法，不同的选法的种数有13+17=30种，故选：A.

(2)立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果.王老师的果篮里有草莓，苹果，芒果3种水果.李老师

的果篮里有苹果，樱桃，香蕉，毅猴桃4种水果.小华可以任选一个水果.小华可能拿到的水果有().

A.7种B.6种C.12种D.11种

【答案】B

【解析】王老师有3种水果，李老师有4种水果.其中苹果是重复的，所以小华可能拿到的水果总共有

3+4—1=6(种)，故选：B.

(3)已知集合4={0,3,4},B={1,2,7,8},集合C={尤|尤^4或xGg},则当集合C中有且只有一

个元素时，C的情况有种.

【答案】7

【解析】分两种情况：当集合C中的元素属于集合A时，有3种；当集合C中的元素属于集合2时，有4

种.因为集合A与集合2无公共元素，所以集合C的情况共有3+4=7(种)，故答案为：7.

(4)一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法

有种.

【答案】37

【解析】一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，由分类加法

计数原理可知，不同的取法有12+14+11=37种，故答案为：37.

(5)在最强大脑第七季比赛中，选手通过激烈角逐，分别坐上5、A、B、C等4个圈层.各个圈层分别有

4人，12人，16人，24人.小明从中选择一人作为他的私人教练有种选法.

【答案】56

【解析】由分类加法计数原理可得：不同选法共有4+12+16+24=56(种)，故答案为：56.

考点二分步乘法计数原理

【例题j(1)某景区南面设有AB两个进出口，北面设有C,L>,E三个进出口，游客可从任何一个进出口

进入景区，再从另外一个进出口离开景区，游客进出景区的不同方式有()

A.6种B.12种C.16种D.20种

【答案】D

【解析】由题意可知游客进入景区有5种方法，出景区有4种方法，则由分步计数原理可知，游客进出景

区的不同方式有5义4=20种方法，故选：D.

(2)由A村去8村的道路有4条，由8村去C村的道路有3条，从A村经8村去C村不同的走法有()

A.7种B.9种C.11种D.12种

【答案】D

【解析】由分步乘法计数原理知有4x3=12种不同的走法，故选：D.

(3)某影剧院东侧有3个大门，西侧有2个大门，每个门都可进出，某人到该影剧院看表演，则他进、出

门的方案有()

A.6种B.5种C.20种D.25种

【答案】D

【解析】由题意得，进门有5种方案，出门有5种方案，所以共有5x5=25种方案，故选：D.

(4)现有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，如果选一条长裤与一件上衣配成一套，那么不同的

选法种数为()

A.7B.64C.12D.81

【答案】C

【解析】由题意，有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，从中四件不同款式的上衣中，任选一件

有c；=4种选法，从中三件不同颜色的长裤中，任选一件有G=3种选法，根据分步计数原理，可得共有

4*3=12种不同的选法，故选：C.

(5)在平面直角坐标系中，点M的横坐标在集合人=｛2,4｝内取值，纵坐标在集合3=仕,3｝内取值，则不

同的点加共有个.

【答案】4

【解析】根据题意，点Af的横坐标在集合A=｛2,4｝内取值，有2种情况，纵坐标在集合3=｛1,3｝内取值,

有2种情况，所以不同的点〃有2x2=4个，故答案为：4.

(6)加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3

人每人做一道工序，则选法有种.

【答案】120

【解析】每道工序为一步，共分3步，根据分步计数原理可得，共有5x6x4=120种，故答案为：120.

【变式】（1）某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成

不同套餐的种数为（）

A.30B.14C.33D.90

【答案】D

【解析】因为备有6种素菜，5种荤菜，3种汤，所以素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤菜有3种选法，

所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有6x5x3=90种，故选：D.

（2）现有3位游客来黄山旅游，分别从4个景点中任选一处游览，不同选法的种数是（）

A.34B.43C.24D.12

【答案】B

【解析】每位游客有4种选择，由分步乘法计数原理知不同选法的种数是4?,故选：B.

（3）从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有

种.

【答案】6

【解析】由分步计数的乘法原理，从甲地去丙地可选择的旅行方式有3x2=6种，故答案为：6.

（4）某省新高考采用“3+1+2”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科

目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4

个科目中选择2个科目.已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（）

A.4种B.6种C.8种D.12种

【答案】B

【解析】根据题意，分2步进行分析：①小明必选化学，则须在思想政治、地理、生物中再选出1个科目，

选法有3种；②小明在物理、历史科目中选出1个，选法有2种.由分步乘法计数原理知，小明可选择的

方案共有3x2=6（种），故选：B.

（5）有一项活动，要从4名老师、7名男同学和8名女同学中选人参加，若需要1名老师、1名学生参加，

则有种不同的选法.

【答案】60

【解析】完成选人工作需要两步，第一步先选老师，共有C：种选法，第二步再选学生，有两类，要么选男

生共G种选法；要么选女生共C；种选法，由分类加法计数原理得到一共有15种选法，若需要1名老师、1

名学生参加，需完成第一二步，由分步乘法计数原理得：则有C：J5=60种不同的选法，故答案为：60.

(6)用0,2,4,6,8这五个数字，可以组成个三位正整数.

【答案】100

【解析】百位不能为0,有4种选法，十位有5种选法，个位有5种选法，所以共有4x5x5=100种，故答

案为：100.

【方法总结】

1.运用分类加法计数原理时，首先要根据问题的特点，确定分类标准.分类应满足：完成一类事情的任何

一种方法，必须属于某一类且仅属于某一类，即类与类之间具有确定性与并列性，亦即类与类之间是独立

的、互斥的.

2.运用分步乘法计数原理时，要确定分步的标准.分步必须满足：完成一件事情必须且只须完成这几步，

即各个步骤是相互依存的，且“步”与“步”之间具有连续性.

3.在处理具体的应用问题时，必须先分清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”与“分步”的具

体标准是什么，选择合理、简洁的标准处理事件，可以避免计数的重复或遗漏.

4.对于既要运用分类加法计数原理，又要运用分步乘法计数原理的复杂问题，可以恰当地画出示意图或树

形图来进行分析，掌握这点对学习本节很重要，它可使问题的分析过程更直观、更明晰，便于探索规律.

5.解答计数应用问题的总体思路：

根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完

成事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了，此外，还要掌握一些

非常规计数方法，如：

(1)枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况；

(2)转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题;

(3)间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总

数减去即得.

10.1计数原理

一、选择题

1.书架上有1本语文书，3本不同的数学书，4本不同的物理书，某位同学从中任取1本,

共有（）种取法.

A.8B.7C.12D.5

【答案】A

【解析】任取1本可分三类：第一类取的是语文书，第二类取的是数学书，第三类取的是物

理书，由此可得取法为1+3+4=8,故选：A.

2.3名志愿者，每人从4个不同的岗位中选择1个，则不同的选择方法共有（）

A.12种B.64种C.81种D.24种

【答案】B

【解析】每个人都有4种选择，故不同的选择方法共有43=64种，故选：B.

3.从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种

走法，则从甲地到丙地的不同走法种数共有（）

A.2+4+3B.2x4+3

C.2x3+4D.2x4x3

【答案】B

【解析】分两类，一是从甲地经乙地到丙地，有2x4种，二是直接从甲地到丙地有3种，

所以从甲地到丙地的不同走法种数共有2x4+3,故选：B.

4.书架的第1层放有2本不同的数学书，第2层放有3本不同的计算机书，第3层放有4

本不同的语文书，从书架上任取1本书，有（）种不同取法？从书架的第1层、第2

层、第3层各取1本书，有（）种不同取法？

A.20,9B.9,20C.24,9D.9,24

【答案】D

【解析】根据题意可得从书架上任取1本书，有4+3+2=9种不同的取法；从书架的第1,

2,3层各取1本书，有2x3x4=24种不同的取法，故选：D.

5.在本次大阅读活动中增设了“游园会”中的“学科素养展”（即学科知识竞答活动），某同学

从高一年级11个学科素养展、高二年级的9个学科素养展中各选择一个学科参加，则不同

的选法共有（）

A.9种B.11种C.20种D.99种

【答案】D

【解析】由题意得：先从高一年级11个学科素养展中任选1各科目，然后再从高二年级的

9个学科素养展中选择一个，共有11x9=99种选法，故选：D.

6.现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各1张，一共可以组成的币值有（）

A.3种B.6种C.7种D.8种

【答案】C

【解析】由题意得：三种币值各取一张，共有C；种取法，币值分别为拾圆、贰拾圆、伍拾

圆；三种币值取两张，共有C；种取法，币值分别为叁拾圆、陆拾圆、柒拾圆；三种币值全

取，共有C；种取法，币值分别为捌拾圆；一共可以组成的币值有c；+c；+c；=7种，故选:

C.

7.某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（）

A.3种B.6种C.7种D.9种

【答案】C

【解析】分3类，买1本书，买2本书，买3本书，各类的方法依次为3种，3种，1种，

故购买方法有3+3+1=7（种），故选：C.

8.有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日

顺序的编排方案共有（）

A.12种B.24种C.48种D.120种

【答案】B

【解析】因为同学甲只能在周一值日，所以除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，所

以5名同学值日顺序的编排方案共有24（种），故选：B.

9.从1~7这七个数字中选3个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为（）

A.210B.120C.90D.45

【答案】C

【解析】先从2,4,6中选1个排在个位，有A；=3种情况，再从剩下的6个数选2个排在

十位和百位，有A；=30种，则根据分步乘法计数原理可得偶数的个数为3x30=90个,故选：

C.

10.为庆祝中国共产党成立100周年，树人中学举行“唱红歌”比赛，现有甲、乙、丙、丁

共4人进入决赛，则甲必须在第一或第二个出场，且丁不能最后一个出场的方法有()

A.6种B.8种C.20种D.24种

【答案】B

【解析】由题意知：当甲第一个出场时，不同演讲的方法有C；A；=4(种)；当甲第二个出

场时，不同演讲方法有C；A；=4(种).所以所求的不同演讲方法有4+4=8(种)，故选：

B.

二、填空题

11.有不同的红球8个，不同的白球7个，从中取出一个球，共有种不同的取法？

【答案】15

【解析】从中取出一个红球，有8种取法，从中取出一个白球，有7种取法，由分类加法计

数原理可知，从中取出一个球，共有7+8=15种不同的取法，故答案为：15.

12.某学生有语文书5本，数学书4本，英语书3本，现各选1本送给同学，有种

不同的选法.

【答案】60

【解析】不同的选法有：GCC=5x4x3=60种选法，故答案为60.

13.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生

到某厂进行社会实践活动.选2个班参加社会实践,要求这2个班不同年级，有种

不同的选法.

【答案】146

【解析】选2个班参加社会实践,这2个班不同年级,2个班为高一和高二各一个班有6x7=42,

2个班为高二和高三各一个班有7x8=56,2个班为高三和高一各一个班有8x6=48,所以

不同的选法共有42+56+48=146,故答案为：146.

14乘积(a+b)(c+d+e+f)展开后共有项.

【答案】8

【解析】根据题意，乘积(a+6)(c+"e+/)展开式后的每一项是(c+d+e+/)这2

个式子中任取一项后相乘，而(a+切有2种取法，(c+d+e+7)有4种取法，根据乘法原

理得共有2x4=8种取法，所以(“+6)(c+d+e+f)展开式共有8项，故答案为：8.

15.有4位教师在同一年级的4个班级各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位教师都

不能在本班监考，则监考的方法数有种.

【答案】9

【解析】设四位教师为A、B、C、D,所教班级分别为a,b,c,d,先选A有3种选法，

若A老师选6,则2老师有3种选法，剩下两人都只有1种选法，根据分步计数原理，共有

3x3xlxl=9（种）方法，故答案为：9.

16.从3名男医生和6名女医生中选出5人组成一个医疗小组.如果这个小组中男女医生都

不能少于2人则不同的建组方案共有种.

【答案】75

【解析】由题意可知有两种情况：一种是选3名男医生2名女医生，有C；C；=15种，另一

种是选2名男医生3名女医生，有C；C；=60,所以由分类计数原理可得共有15+60=75种

建组方案，故答案为：75.

17.4名同学到A、B、C三个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小

区至少安排1名同学，且同学甲安排在A小区，则共有种不同的安排方案.

【答案】12

【解析】根据题意，可分为两类：（1）A小区安排2人，其中一人为甲同学，共有C；&=6

种不同的安排方法；（2）A小区只安排同学甲1人，共有=6种不同的安排方法，由分

类计数原理，可得共有6+6=12种不同的安排方案，故答案为：12.

18.某学校有一块绿化用地，其形状如图所示.为了让效果更美观，要求在四个区域内种植

花卉，且相邻区域颜色不同.现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有一

种.

【答案】180

【解析】先在1中种植，有5种不同的种植方法，再在2中种植，有4种不同的种植方法,

再在3中种植，有3种不同的种植方法，最后在4中种植，有3种不同的种植方法，所以不

同的种植方案共有5x4x3x3=180（种）,故答案为：180.

三、解答题

19.某校“数学俱乐部”有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人.

（1）从中选出1人担任总干事，有多少种不同的选法？

（2）从每一个年级各选1人担任本年级的组长，有多少种不同的选法？

【答案】⑴25；（2）560.

【解析】解：（1）由题可知，该“数学俱乐部”有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7

人，从中选出1人担任总干事，则共有10+8+7=25种选法.

⑵每一个年级各选1人担任本年级的组长，则共有10x8x7=560种.

20.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2

本不同的体育书.

（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？

【答案】（1）24种；（2）26种.

【解析】解：（1）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1

层取1本计算机书，有4种方法，第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法，第3步从第

3层取1本体育书，有2种方法，根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是4x3x2=24.

（2）第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书中各选取1本，有4x3种方法；

第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有4x2种方法；第3类

方法是3本不同的文艺书和2本不同的体育书各选取1