五年（2021-2025）高考数学真题分类汇编专题10 复数7种常见考法归类（全国）（解析版）

专题10复数7种常见考法归类

知识五年考情（2021-2025）命题趋势

考点01复数的概念

2025·全国一卷2024·上海

考点02复数相等

2022·浙江2022·全国乙卷2021·浙江

考点复数的模

知识1数系的03

扩充与复数的2025·北京2025·天津

引入2024·新课标Ⅱ卷2023·全国乙卷2023·上海

全国甲卷北京

（5年5考）2022·2022·1.复数在高考中是每年必考内

考点04复数模的最值容，命题较为稳定，难度较低，主

2025·上海要以选择题形式出现，通常位于前

题

考点05复数的几何意义2

复数的四则运算作为复数部分的

2023·新课标Ⅱ卷2023·北京2.

核心内容，是考查的重点之一。主

2021·新高考全国Ⅱ卷

要考查学生对复数加、减、乘、除

考点06共轭复数

运算法则的掌握程度。

2024·全国甲卷2023·新课标Ⅰ卷

2023·全国乙卷2022·新高考全国Ⅰ卷2022·上海

知识2复数代2022·全国甲卷2021·新高考全国Ⅰ卷

数形式的四则2021·全国乙卷

运算考点07复数的四则运算

（5年5考）2025·全国二卷2024·新课标Ⅰ卷2024·北京

2024·天津2023·天津2023·全国甲卷

2022·天津2022·新高考全国Ⅱ卷2021·天津

2021·全国乙卷2021·北京2021·全国甲卷

考点01复数的概念

1．（2025·全国一卷·高考真题）(15i)i的虚部为（）

A．1B．0C．1D．6

【答案】C

【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.

【详解】因为15iii5i25i，所以其虚部为1，

故选：C.

2

2．（2024·上海·高考真题）已知虚数z，其实部为1，且zmmR，则实数m为．

z

【答案】2

【分析】设z1bi,bR且b0，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.

【详解】设z1bi，bR且b0.

22b23b3b

则z1bi22im，

z1bi1b1b

b23

m

1b2

mR，，解得m2，

b3b

0

1b2

故答案为：2.

考点02复数相等

3．（2022·浙江·高考真题）已知a,bR,a3i(bi)i（i为虚数单位），则（）

A．a1,b3B．a1,b3C．a1,b3D．a1,b3

【答案】B

【分析】利用复数相等的条件可求a,b.

【详解】a3i1bi，而a,b为实数，故a1,b3，

故选：B.

4．（2022·全国乙卷·高考真题）设(12i)ab2i，其中a,b为实数，则（）

A．a1,b1B．a1,b1C．a1,b1D．a1,b1

【答案】A

【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．

【详解】因为a,bÎR，ab2ai2i，所以ab0,2a2，解得：a1,b1．

故选：A.

5．（2022·全国乙卷·高考真题）已知z12i，且zazb0，其中a，b为实数，则（）

A．a1,b2B．a1,b2C．a1,b2D．a1,b2

【答案】A

【分析】先算出z,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可

【详解】z12i

zazb12ia(12i)b(1ab)(2a2)i

由zazb0,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，

1ab0a1

得,即

2a20b2

故选:A

6．（2021·浙江·高考真题）已知aR，1aii3i，(i为虚数单位)，则a（）

A．1B．1C．3D．3

【答案】C

【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a的值.

【详解】1aiii+ai2=iaai3i，

利用复数相等的充分必要条件可得：a3,a3.

故选：C.

考点03复数的模

7．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足iz22i，则|z|（）

A．2B．22C．4D．8

【答案】B

【分析】先求出复数z，再根据复数模的公式即可求出．

22i

【详解】由iz22i可得，z22i，所以z222222，

i

故选：B.

8．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知z1i，则z（）

A．0B．1C．2D．2

【答案】C

【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.

22

【详解】若z1i，则z112.

故选：C.

9．（2023·全国乙卷·高考真题）2i22i3（）

A．1B．2C．5D．5

【答案】C

【分析】由题意首先化简2i22i3，然后计算其模即可.

【详解】由题意可得2i22i3212i12i，

2

则2i22i312i1225.

故选：C.

10．（2022·全国甲卷·高考真题）若z1i．则|iz3z|（）

A．45B．42C．25D．22

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．

【详解】因为z1i，所以iz3zi1i31i22i，所以iz3z4422．

故选：D.

11．（2022·北京·高考真题）若复数z满足iz34i，则z（）

A．1B．5C．7D．25

【答案】B

【分析】利用复数四则运算，先求出z，再计算复数的模．

34i34ii22

【详解】由题意有z43i，故|z|435．

iii

故选：B．

3+i

12．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则=．

i

【答案】10

3i

【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解.

i

3i3i22

【详解】先由题得i3i13i，所以1310.

ii

故答案为：10

13．（2023·上海·高考真题）已知当z1i，则1iz；

【答案】5

【分析】直接根据复数的乘法运算以及复数模的定义即可得到答案.

【详解】1iz1i(1i)2i，|1iz||2i|5.

故答案为：5.

考点04复数模的最值

14．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足z2(z)2,|z|1，则|z23i|的最小值是．

【答案】22

【分析】先设zabi，利用复数的乘方运算及概念确定ab0，再根据复数的几何意义数形结合计算即

可.

【详解】设zabia,bR,zabi，

2

由题意可知z2a22abib2za22abib2，则ab0，

又za2b21，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Za,b在单位圆内部（含边界）的坐标轴

上运动，如图所示即线段AB,CD上运动，

设E2,3，则z23iZE，由图象可知BE10CE22，

所以

ZEmin22.

故答案为：22

考点05复数的几何意义

15．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，13i3i对应的点位于（）．

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为13i3i38i3i268i，

则所求复数对应的点为6,8，位于第一象限.

故选：A.

16．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,3)，则z的共轭复数z（）

A．13iB．13i

C．13iD．13i

【答案】D

【分析】根据复数的几何意义先求出复数z，然后利用共轭复数的定义计算.

【详解】z在复平面对应的点是(1,3)，根据复数的几何意义，z13i，

由共轭复数的定义可知，z13i.

故选：D

2i

17．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（）

13i

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】A

2i

【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.

13i

2i2i13i55i1i11

【详解】，所以该复数对应的点为,，

13i1010222

该点在第一象限，

故选：A.

考点06共轭复数

18．（2024·全国甲卷·高考真题）设z2i，则zz（）

A．2B．2C．2D．2

【答案】D

【分析】先根据共轭复数的定义写出z，然后根据复数的乘法计算.

【详解】依题意得，z2i，故zz2i22.

故选：D

19．（2024·全国甲卷·高考真题）若z5i，则izz（）

A．10iB．2iC．10D．2

【答案】A

【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.

【详解】由z5iz5i,zz10，则izz10i.

故选：A

20．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若i(1z)1，则zz（）

A．2B．1C．1D．2

【答案】D

【分析】利用复数的除法可求z，从而可求zz.

1i

【详解】由题设有1zi，故z1+i，故zz1i1i2，

ii2

故选：D

1i

21．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知z，则zz（）

22i

A．iB．iC．0D．1

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求出z，再由共轭复数的概念得到z，从而解出．

1i1i1i2i11

【详解】因为zi，所以zi，即zzi．

22i21i1i422

故选：A．

z

22．（2022·全国甲卷·高考真题）若z13i，则（）

zz1

1313

A．13iB．13iC．iD．i

3333

【答案】C

【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.

【详解】z13i,zz(13i)(13i)134.

z13i13

i

zz1333

故选：C

2i

23．（2023·全国乙卷·高考真题）设z，则z（）

1i2i5

A．12iB．12iC．2iD．2i

【答案】B

【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.

2i2ii2i2i1

【详解】由题意可得z12i，

1i2i511ii21

则z12i.

故选：B.

24．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知z2i，则zzi（）

A．62iB．42iC．62iD．42i

【答案】C

【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.

2

【详解】因为z2i，故z2i，故zzi2i22i=4+4i2i2i62i

故选：C.

25．（2022·上海·高考真题）已知z1i（其中i为虚数单位），则2z；

【答案】22i

【分析】先由z1i求出z，从而可求出2z

【详解】因为z1i，所以z1i，

所以2z21i22i，

故答案为：22i

26．（2021·全国乙卷·高考真题）设2zz3zz46i，则z（）

A．12iB．12iC．1iD．1i

【答案】C

【分析】设zabi，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a、b的等式，解出这两个未知数

的值，即可得出复数z.

【详解】设zabi，则zabi，则2zz3zz4a6bi46i，

4a4

所以，，解得ab1，因此，z1i.

6b6

故选：C.

考点07复数的四则运算

92i

27．（2021·天津·高考真题）i是虚数单位，复数．

2i

【答案】4i

【分析】利用复数的除法化简可得结果.

92i92i2i205i

【详解】4i.

2i2i2i5

故答案为：4i.

113i

28．（2022·天津·高考真题）已知i是虚数单位，化简的结果为．

1+2i

【答案】15i/5i1

【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出．

113i113i12i11625i

【详解】15i．

1+2i1+2i12i5

故答案为：15i．

514i

29．（2023·天津·高考真题）已知i是虚数单位，化简的结果为．

23i

【答案】4i/i4

【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以23i，然后计算其运算结果即可.

514i514i23i5213i

【详解】由题意可得4i.

23i23i23i13

故答案为：4i.

30．（2024·天津·高考真题）i是虚数单位，复数5i52i．

【答案】75i

【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.

【详解】5i52i55i25i275i.

故答案为：75i.

31．（2021·全国乙卷·高考真题）设iz43i，则z（）

A．–34iB．34iC．34iD．34i

【答案】C

【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.

43i43ii4i3

【详解】由题意可得：z34i.

ii21

故选：C.

32．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）(22i)(12i)（）

A．24iB．24iC．62iD．62i

【答案】D

【分析】利用复数的乘法可求22i12i.

【详解】22i12i244i2i62i，

故选：D.

1

33．（2025·全国二卷·高考真题）已知z1i，则（）

z1

A．iB．iC．1D．1

【答案】A

【分析】由复数除法即可求解.

111i

【详解】因为z1i，所以i.

z11i1ii2

故选：A.

z

34．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若1i，则z（）

z1

A．1iB．1iC．1iD．1i

【答案】C

【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.

zz1111

【详解】因为11i，所以z11i.

z1z1z1i

故选：C.

z

35．（2024·北京·高考真题）已知1i，则z（）．

i

A．1iB．1iC．1iD．1i

【答案】