2025高考数学 重难题型与知识梳理 专题21 复数（七大题型+模拟精练）（解析版）

专题21复数（七大题型+模拟精练）目录：01复数的有关概念02复数的几何意义03实系数有关的一元二次方程04复数的四则运算05复数与平面向量06复数的最值、取值范围问题07复数的三角表示01复数的有关概念1．（2024·新疆·三模）复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，根据模长公式列出方程，求出，得到答案.【解析】设且，则，因为，所以,解得：，则的虚部为.故选：C2．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知复数，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．的虚部为【答案】B【分析】利用复数的除法运算求得，进而可判断每个选项的正确性.【解析】由题意及图得，，所以，，的虚部为1.故选：B.3．（2024·山东青岛·三模）已知复数满足，则的虚部为（

）A．i B． C．1 D．【答案】D【分析】根据复数的乘法运算求出复数，再根据共轭复数及复数虚部的定义即可得解.【解析】由，得，所以，所以，其虚部为.故选：D.4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）若，纯虚数z满足，则（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】利用纯虚线的定义假设，再利用复数的四则运算与复数相等的条件得到关于的表示，从而得解.【解析】设（，且），则，所以，，则.故选：B.02复数的几何意义5．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】设复数，代入，根据复数相等和复数的几何意义可得答案.【解析】设复数，因为，所以，可得，解得，所以，则复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.6．（23-24高三上·湖北·期中）已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第二象限”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根据复数的运算将复数化简，然后根据复数几何意义求出复平面中的点，根据点在第二象限要求确定的值，然后根据条件判断进行判断即可.【解析】复数，所以在复平面点为，则，当点在第二象限时，，即，因为，，所以“”是“点在第二象限”的充分不必要条件.故选：A.7．（23-24高一下·广东江门·期末）已知复数，则复平面内点满足的图形的面积是（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】利用复数的几何意义，在复平面中求出复数的所有点构成的轨迹方程，再计算面积即可【解析】因为，所以因为，所以，即，所以复平面内点满足的图形是以为圆心，以2为半径的圆，所以它的面积为，故选：D.8．（2024·宁夏·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解．【解析】令，因为，所以，即点在以为圆心，1为半径的圆上，该圆在第四象限内，所以在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D9．（23-24高一下·辽宁·期中）在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（

）A． B．5 C． D．1【答案】C【分析】由关于直线对称求出，再根据复数模的定义计算即可．【解析】因为，所以其对应点为，关于直线对称的点为，则，所以，故选：C．03实系数有关的一元二次方程10．（2024·湖南岳阳·三模）若虚数单位是关于的方程的一个根，则（

）A． B．2 C． D．5【答案】C【分析】利用方程根的意义，结合复数为0的充要条件求出，再求出复数的模.【解析】依题意，，即，又，则，所以.故选：C11．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知是关于的方程（p，）的一个根，则（

）A．0 B． C．2 D．1【答案】C【分析】把根代入方程，利用复数的相等求出即可【解析】是关于的方程的一个根，把代入方程，有，则有，所以.故选：C12．（2024·全国·模拟预测）已知，其中，i为虚数单位，则以为根的一个一元二次方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据复数相等求解出，然后再判断出能满足条件的方程即可.【解析】因为，所以，所以，所以，因此所选方程的两根为，仅有符合要求，故选：A.04复数的四则运算13．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知复数满足（其中为虚数单位），且，则（

）A．2 B．±2 C． D．【答案】B【分析】先对复数化简，然后由列方程可求出【解析】，因为，所以，化简得，解得.故选：B14．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的四则运算及模长公式即可求得.【解析】因为，所以.故选：C15．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知虚数满足，且是的共轭复数，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】对A，根据立方差公式判断即可；对B，由A可解得，结合复数的模长即可判断；对C，根据求解即可；对D，根据等比数列的求和公式结合，求解即可.【解析】对A，因为，故，因为为虚数，故，故A正确；对B，由可得，故，故B正确；对C，当时，，此时成立，当时，，此时成立，故C正确；对D，，因为，，故，故D错误.故选：D16．（24-25高三上·山西大同·期末）已知复数，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．C． D．【答案】BCD【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据复数加减法的几何意义及坐标表示即可判断CD.【解析】对于A，设，显然，但，故A错；对于B，设，则，，，所以，故B对；对于CD，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量，复数对应向量，复数加减法对应向量加减法，故和分别为和为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，所以，，故C对，D对.故选：BCD.17．（2024·山东·模拟预测）已知，为复数，则（

）A． B．若，则C．若，则的最小值为2 D．若，则或【答案】BD【分析】通过列举特殊复数验证A；设，则，通过复数计算即可判断B；设，由复数的几何意义计算模长判断C；由得，即可判断D.【解析】对于A，若，则，，则，故A错误；对于B，设，则，所以，而，所以，故B正确；对于C，设，因为，所以，所以，因为，所以，所以的最小值为1，故C错误；对于D，若，所以，所以，所以或，所以至少有一个为0，故D正确.故选：BD18．（2024·广西贵港·模拟预测）已知复数，，，则下列说法中正确的有（

）A．若，则或 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【分析】根据复数的运算法则可判断A；先计算，再求，判断B；用特例验证C；利用说明D正确.【解析】对于A，或，故A正确．对于B，方法：，，，所以以3为周期，所以，故B正确．方法二（复数的三角表示）：，所以的模为1，辐角为，则的模为1，辐角为，所以．故B正确．对于C，取，，则，此时，故C错误．对于D，，，所以，故D正确．故选：ABD05复数与平面向量19．（2024·江苏南通·模拟预测）复数与分别表示向量与，记表示向量的复数为，则．【答案】25【分析】根据题意，由向量的减法可得，再由复数的乘法运算，代入计算，即可求解.【解析】由题意可知，，则，所以.故答案为：2520．（2024·全国·模拟预测）如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解.【解析】由题图可知，，则，解得（舍去），所以，，则向量在向量上的投影向量为，所以其坐标为．故选：D21．（22-23高三下·重庆·阶段练习）向量对应的复数为，把绕点按逆时针方向旋转，得到，则对应的复数为（用代数形式表示）．【答案】【分析】依题意可得，设角的终边过点，即可求出，再求出，，即可求出旋转后对应的，即可求出对应的复数.【解析】因为向量对应的复数为，则在复平面内复数对应的点为，设角的终边过点，则，，所以，由，所以，，将把绕点按逆时针方向旋转得到，则，所以对应的复数为.故答案为：06复数的最值、取值范围问题22．（23-24高三下·全国·强基计划）复数列，且，则的最大值是．【答案】【分析】对递推式进行处理，求出的表达式，然后使用几何意义及圆的方程求解最大值.【解析】由已知有，且.故，得.设，则.解得.由于对，有.而由可知，复数在复平面上位于区域内，即圆内部或其边界上.从而.故.所以.而当，且复数位于圆上，且在圆心与的连线上时，等号成立.所以的最大值是.故答案为：.23．（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）已知复数，且，则的最小值是．【答案】1【分析】由，得，，则，所以，变形后利用基本不等式可求得结果.【解析】因为复数，且，所以，所以，得，所以，所以，因为，所以，所以，当且仅当，即或（舍去）时取等号，所以的最小值是1.故答案为：1【点睛】关键点点睛：此题考查复数的运算，考查基本不等式的应用，解题的关键是化简，考查数学转化思想，属于较难题.24．（23-24高三下·安徽合肥·阶段练习）已知复数z满足，则的最小值为．【答案】【分析】由复数的几何意义，数形结合得出的最小值并求出即可.【解析】如图：，则的几何意义是复平面内的动点到定点的距离等于，对应的轨迹为以为圆心，半径为的圆．的几何意义为动点到定点的距离，由图形可知：当点位于时，取的最小值，由，所以的最小值为：，故答案为：425．（2024·湖南永州·三模）已知复数，，若（为的共轭复数），则实数的取值范围为.【答案】【分析】由题意可知都是实数，且,再结合共轭复数的定义列出不等式组，解出的取值范围即可.【解析】,,,,都是实数，且,,解得,即实数的取值范围为故答案为：26．（23-24高三上·江苏·开学考试）已知复数z满足，且，则=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题设令，利用复数除法化简，再由复数相等求.【解析】令，则，所以，则，故.故选：B07复数的三角表示27．（20-21高三上·北京·强基计划）设，把复数在复平面上对应的向量按照顺时针方向旋转后得到复数为，那么（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用复数乘法的几何意义可求.【解析】根据乘法的几何意义可得：，整理得到：，故，故选：B.28．（2021·全国·三模）瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若表示的复数对应的点在第二象限，则可以为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将选项中所给的角逐一带入，由欧拉公式把复数化为三角形式，再化为代数形式，即可判断复数在复平面内对应的点在第几象限，从而得到结果.【解析】得，当时，，复数对应的点在第一象限；当时，，复数对应的点在第二象限；当时，，复数对应的点在轴上；当时，，复数对应的点在第四象限；故选：B．【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关数学文化类问题，正确解题的关键是理解欧拉公式，并能将复数三角形式熟练化为代数形式，确定出复数在复平面内对应的点.一、单选题1．（2023·陕西榆林·二模）（

）A．i B． C．1 D．【答案】C【分析】利用复数的乘方运算计算即得.【解析】.故选：C2．（2024·广西柳州·模拟预测）设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（

）．A． B．5 C． D．8【答案】A【分析】由复数的几何意义知，再由复数的四则运算，即可求解．【解析】因为复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，所以，所以．故选：A．3．（2024·四川内江·模拟预测）若复数满足，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的四则运算以及复数模的计算公式即可求解.【解析】因为，所以，解得，所以.故选：B.4．（2024·重庆九龙坡·三模）设是关于的方程的两根其中，若（为虚数单位）.则（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据实系数一元二次方程在复数范围内根的关系求出另一个根，再代入求解即可.【解析】因为关于的方程的一个根为，所以另一个根，所以.故选：A.5．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程（其中为虚数单位）的两根分别为，，则有（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设方程的根为，将其代入方程中的x中，根据复数相等的条件，构造方程组，解出,.则两根知道了，再逐项代入验证即可.【解析】设方程的根为，代入方程，,整理得，故，则，不妨令，，对于A：因为，即，故A错误；对于B：，故B错误.对于C:,，因此，,故C错误.对于D：,故D正确.故选:D.6．（2024·山东烟台·三模）若复数z满足，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】由复数的几何意义即可求解.【解析】若复数z满足，则由复数的几何意义可知复数对应的点集是线段的垂直平分线，其中，所以的最小值为.故选：B.7．（2023·山西·模拟预测）设非零复数和在复平面内对应的向量分别为和，其中O为原点，若为纯虚数，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，，，根据题意结合复数的乘除法运算求出的关系，再根据复数的向量表示逐一判断即可.【解析】设，，，其中a，b，c，d，，且a，b不同时为0，c，d不同时为0，，由题意，所以，所以，故A错误；，无法比较的大小，故B错误；，由B选项得，无法判断的关系，故C错误；，所以，故D正确.故选：D.8．（2024·云南曲靖·模拟预测）若复数且，则满足的复数的个数为（

）A．0 B．2 C．1 D．4【答案】A【分析】由可得复数对应的点在圆心为，半径为的圆上，又的几何意义为复数在复平面内的点到直线的距离为，则由圆心到直线的距离为，即可得到复数的个数.【解析】因为，所以，又，所以，即复数对应的点在圆心为，半径为的圆上，又可以变形为，即其几何意义为复数在复平面内的点到直线的距离为，又圆心到直线的距离为，而，所以满足条件的不存在.故选：A.二、多选题9．（2024·江苏南通·模拟预测）已知，都是复数，下列正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AD【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断BC；根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式即可判断D.【解析】设，对于A，若，则，故，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，若，则，所以，，同理，所以，所以，故D正确.故选：AD.10．（2024·河北沧州·模拟预测）复数，则下列说法正确的有（

）A．在复平面内对应的点都位于第四象限B．在复平面内对应的点在直线上C．D．的最小值为4【答案】BC【分析】由复数的几何意义，即可判断A和B；根据共轭复数的概念及复数的加减运算法则判断C；由复数的模即可判断D．【解析】对于AB，因为，所以在复平面内对应的点为，故A错误，B正确；对于C，，故C正确；对于D，，当时，取最小值为2，故D错误；故选：BC．11．（2025·江苏苏州·模拟预测）1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在BroughantBridge．对四元数，的单位，其运算满足：，，，，，，；记，，，定义，记所有四元数构成的集合为，则以下说法中正确的有（

）A．集合的元素按乘法得到一个八元集合B．若非零元，则有：C．若，则有：D．若非零元，则有：【答案】ACD【分析】对于A，利用已知条件求出所求集合为即可；对于B，直接给出反例，即可；对于C，利用的定义计算即可；对于D，利用C选项的结果验证即可.【解析】对于A，由于，，，，故集合的元素按乘法可以得到集合，容易验证该集合中任意两个元素的乘积还在该集合中，故集合的元素按乘法得到的集合是八元集合，故A正确；对于B，取，，则，故B错误；对于C，若，设，，则，故C正确；对于D，根据题目中的定义有，从而.所以，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可求解所求的问题.三、填空题12．（2024·北京·三模）若是纯虚数，则实数a的值为.【答案】【分析】求出复数的代数形式，然后根据纯虚数的定义列方程求解即可.【解析】，因为是纯虚数，所以，得.故答案为：13．（2024·广西·模拟预测）已知i为虚数单位，若非零复数z满足，则．【答案】【分析】设，x，，由已知可得，利用复数相等的条件可求得，进而可求.【解析】设，x，，则，即，解得或（舍去），则，所以．故答案为：.14．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，，复数z满足，且，则的最大值为.【答案】【分析】先将复数转化为平面直角坐标系中的坐标，然后用距离公式对条件进行变形，得到，由此可以证明.之后再使用向量的坐标运算将表示为关于的表达式，利用即可证明，最后给出一个的例子即可说明的最大值是.【解析】由，，，，知，，，，从而，，.由于，，故条件即为，展开得到，再化简得，所以，故我们有，从而.由于，，，，故，从而.经验证，当，时，条件满足.此时.所以的最大值是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将复数坐标化为平面直角坐标系中的坐标，并将复数之差的模长表示为平面直角坐标系中的线段长度.另外，本题还具有“阿波罗尼斯圆”的背景：平面上到两个不同定点的距离之比恒为常数的点的轨迹是一个圆，该圆称为关于的阿波罗尼斯圆.使用解析几何方法结合距离公式，很容易证明此结论.四、解答题15．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现