职教数学复习 第7章简单几何体与立体几何 第29讲直线与直线的位置关系 课件

第29讲直线与直线的位置关系第7章简单几何体与立体几何

能力层级考试内容

了解理解掌握共面直线空间中直线与直线的位置关系.共面直线的类型及判断.平行直线的性质及相交直线的夹角的取值范围.异面直线异面直线所成的角的概念.(2023，T50)异面直线的定义及判定方法.异面直线垂直的判定方法.复习建议：1.考情小结：本讲知识近三年考查1次，内容为异面直线所成角的大小计算.2.备考攻略：本讲内容是学习直线与平面位置关系及度量和平面与平面位置关系及度量的基础.1.空间中直线与直线的位置关系(1)异面直线：一般地，把不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线.(2)共面直线：相交或平行的两条直线称为共面直线.备考讲义考点1共面直线2.平行直线(1)定义：同一平面内两条直线没有公共点称为平行直线.(2)平行直线的传递性：空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行，这称为平行直线的传递性.(3)规定：两条平行直线所成的角为0.

5.等角定理如果两条相交直线l1与l2分别平行于另外两条相交直线l'1与l'2，那么l1与l2所成的角和l'1与l'2所成的角相等.例1

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是A1D1和A1B1的中点.(1)判断直线AB与BD、直线AB与A1B1、直线AB与B1D1的位置关系；(2)求证：MN∥BD；(3)求MN与B1D1、MN与A1B1所成的角大小分别为多少.

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在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图所示.(1)判断直线AA1与CC1、直线AA1与AC、直线AA1与B1D1的位置关系；(2)求证：AB∥C1D1；(3)求BD与B1D1、A1C1所成角的大小分别是多少.【试题分析】本题考查空间中线线位置关系判断、平行线的传递性和共面直线所成角大小.【解题过程】

(1)直线AA1与CC1是正方形的两个对边，故是平行直线；直线AA1与AC只有一个公共点A，故是相交直线；直线AA1与B1D1既不平行又不相交，故是异面直线.(2)由ABCD是正方形得：AB//CD，CC1D1D是正方形得：CD//C1D1，由平行线的传递性可得：AB//C1D1.

1.异面直线的定义一般地，把不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线.备考讲义考点2异面直线2.异面直线的判断定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.如图所示，M∈n且M∉α，P∈n且P∈α，m⊆α，P∉m，m和n是异面直线.注意：画异面直线时，通常利用平面“衬托”：表示两条异面直线的线段分别画在不同的平面内，并且使它们既不相交也不平行，如图所示：3.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a与b，如图1所示.在空间上任取一点P，过点P作a'∥a，b'∥b，得到两条相交直线a'和b'，如图2所示，相交直线a'与b'所成的角θ称为异面直线a与b所成的角.图1

图2注意：在作异面直线a与b所成的角时，常在其中的一条直线上取一点O，过点O作另一条直线的平行线，如图3所示.相交直线a'与b所成的角即为异面直线a与b所成的角.图3

4.异面直线的距离(1)与两条异面直线同时垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线有且只有一条.(2)两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分，称为这两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度称为两条异面直线的距离.例2

已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，如图所示.(1)判断直线A1C1与BC的位置关系；(2)求直线A1C1与BC所成角的大小；(3)求异面直线A1B1与AD的距离.【试题分析】本题考查异面直线的判断、求异面直线所成角和求异面直线的距离.判断两条直线是否异面，除了定义外，定理也是重要依据；求异面直线所成角的关键是找“第三条直线”与异面直线其中一条直线平行，与另一条直线相交所成的角即为异面直线所成角；求两条异面直线的距离关键找到它们的公垂线段.

(3)因为正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面都是正方形，所以AA1⊥A1B1，AA1⊥AD，且AA1∩A1B1＝A1，AA1∩AD＝A，所以线段AA1是异面直线A1B1与AD的公垂线段.因为AA1＝1，所以异面直线A1B1与AD的距离等于1.

1.空间中两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面，因此判断两条直线是否异面，可以依据既不平行也不相交来认定.2.两条异面直线所成角的定义提供了求两条异面直线所成角的重要方法：平移法——将两条直线或其中一条平移(找出平行线)至它们相交，把异面转化为相交.1.(原创)若空间中两条直线没有公共点，则这两条直线(

)A.平行 B.共面

C.异面 D.平行或异面D【试题分析】本题考查空间直线的位置关系.【解题过程】两条直线平行或异面时都没有公共点，故选D.

D

B

4.(原创)若平面α∩平面β＝l，直线AB⊆平面α，直线AB∩l＝M，C∈β，如图所示，则下列说法正确的是(

)A.过点C的直线与直线AB位置关系一定是异面直线B.在平面β内，过点C的所有直线与直线AB

位置关系都是异面直线

C.在平面β内，过点C的直线与直线AB位置

关系不可能是平行

D.在平面β内，过点C的直线若与直线l相交，

则该直线与直线AB位置是异面直线C【试题分析】本题考查异面直线的判断.【解题过程】在平面β内，过点C的直线：若与直线l相交，交点是M点则与直线AB相交，交点不是M点则与直线AB异面；若与直线l平行则与直线AB异面，总之不可能是平行，故选C.5.(原创)已知两条异面直线a与b，关于它们的公垂线下列说法正确的是(

)A.只要与a与b都垂直的直线都是它们的公垂线

B.直线a与b的公垂线有无数条

C.直线a与b的公垂线线段长是它们的距离D.直线a与b的公垂线与直线a与b都垂直且相交D【试题分析】本题考查异面直线距离.【解题过程】与两条异面直线a与b都垂直且相交才能是它们的公垂线.夹在两条异面直线a与b之间的公垂线段长才是它们的距离，故选D.6.(原创)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线AB平行的棱有________条.

3【试题分析】本题考查平行直线的判断.【解题过程】与直线AB平行的棱有CD、A1B1、C1D1.7.(原创)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，则异面直线A1C1与BD的距离是________.

2【试题分析】本题考查异面直线的距离.【解题过程】分别取A1C1与BD中点O1、O，连接O1O.，则O1O与异面直线A1C1、BD都垂直且相交，故O1O是异面直线A1C1与BD的公垂线段，