2026年高考总复习优化设计一轮复习数学（福建版）-1.2　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

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充分条件与必要条件、全称量词与存在量词第一章2026内容索引0102第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第一环节必备知识落实【知识筛查】

1.命题

2.充分条件、必要条件、充要条件设与p对应的集合为A={x|p(x)},与q对应的集合为B={x|q(x)},则有如下结论:温馨提示由上表可知,判断充分条件、必要条件、充要条件时应采用以下方法:(1)确定条件p是什么,结论q是什么;(2)尝试从条件推结论,若p⇒q,则充分性成立,p是q的充分条件;(3)考虑从结论推条件,若q⇒p,则p是q的必要条件,必要性成立;(4)若证明命题的条件是充要的,则既要证明充分性又要证明必要性.3.全称量词和存在量词

4.全称量词命题和存在量词命题

5.全称量词命题与存在量词命题的否定

温馨提示全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)“对顶角相等”是命题.(

)(2)“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形”是真命题.(

)(3)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”.(

)(4)若q是p的必要条件,则p是q的充分条件.(

)(5)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同.(

)√××√×2.若a,b均为实数,则“a>b”是“a3>b3”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件3.已知命题p:∀x>0,log2x<2x+3,则命题p的否定为(

)A.∀x>0,log2x≥2x+3

B.∃x>0,log2x≥2x+3C.∃x>0,log2x<2x+3

D.∀x<0,log2x≥2x+3C因为a>b能推出a3>b3,a3>b3也能推出a>b,所以“a>b”是“a3>b3”的充要条件,故选C.B根据全称量词命题的否定为存在量词命题,则命题p的否定为:∃x>0,log2x≥2x+3,故选B.4.若命题“∃x∈R,asinx+cosx≥2”为假命题,则实数a的取值范围为(

)A第二环节关键能力形成能力形成点1充分条件、必要条件的判断例1

设x∈R,则“

”是“x3<1”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件A解题心得判断充分条件、必要条件的三种方法

定义法直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假,在判断时,确定条件是什么、结论是什么集合法利用集合中的包含关系判定.抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,即可解决充分性、必要性的问题等价转化法适用于不易直接正面判断的情况,可先将命题转化为另一个等价的又易于判断真假的命题,再去判断,常用的是“逆否等价法”对点训练1(2023天津,2)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件Ba2=b2,即(a+b)(a-b)=0,解得a=-b或a=b,a2+b2=2ab,即(a-b)2=0,解得a=b,故“a2=b2”不能推出“a2+b2=2ab”,充分性不成立,“a2+b2=2ab”能推出“a2=b2”,必要性成立,故“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.能力形成点2充分条件、必要条件的应用CD[9,+∞)因为q的充分不必要条件是p,所以p是q的充分不必要条件.由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m,则q对应的集合为Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.因为p是q的充分不必要条件,所以P⫋Q,即m≥9或m>9.故m≥9.拓展延伸例2(2)条件不变,将“q的充分不必要条件是p”改为“q是p的充分不必要条件”,则实数m的取值范围是

.

(-∞,3]由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m,则q对应的集合为Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.解题心得1.与充分条件、必要条件有关的参数问题的求解方法:解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此列出关于参数的不等式(组)求解.2.求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.对点训练2设p:2x2-3x+1≤0,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是

.

能力形成点3全称(存在)量词命题的真假判断例3

下列命题中,为真命题的是(

)C解题心得

命题名称真假判断方法一判断方法二全称量词命题真所有对象使命题为真其否定为假假存在一个对象使命题为假其否定为真存在量词命题真存在一个对象使命题为真其否定为假假所有对象使命题为假其否定为真对点训练3在下列命题中,为真命题的是(

)A.∀x∈R,x2>0 B.∀x∈R,-1<sinx<1C.∃x∈R,2x<0 D.∃x∈R,tanx=2D∀x∈R,x2≥0,故A为假命题;∀x∈R,-1≤sin

x≤1,故B为假命题;∀x∈R,2x>0,故C为假命题;D为真命题,故选D.能力形成点4含有一个量词的命题的否定例4

(1)命题“∃x∈∁RQ,x2∈Q”的否定是(

)A.∃x∉∁RQ,x2∈Q B.∃x∈∁RQ,x2∉QC.∀x∉∁RQ,x2∈Q D.∀x∈∁RQ,x2∉QD“∃x∈∁RQ”改为“∀x∈∁RQ”,“x2∈Q”的否定为“x2∉Q”.(2)已知命题p:∃x∈R,log2(3x+1)≤0,则(

)A.p是假命题,命题p的否定:∀x∈R,log2(3x+1)≤0B.p是假命题,命题p的否定:∀x∈R,log2(3x+1)>0C.p是真命题,命题p的否定:∀x∈R,log2(3x+1)≤0D.p是真命题,命题p的否定:∀x∈R,log2(3x+1)>0B因为3x+1>1,所以log2(3x+1)>0恒成立,则命题p是假命题;又命题p的否定:∀x∈R,log2(3x+1)>0,故选B.解题心得对全称(存在)量词命题进行否定的方法是改量词、否结论.省略量词的命题要结合命题的含义加上量词.对点训练4命题“存在相互垂直的两条直线不相交”的否定是(

)A.存在相互垂直的两条直线相交B.存在不相互垂直的两条直线不相交C.任意相互垂直的两条直线相交D.任意相互垂直的两条直线不相交C因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“存在相互垂直的两条直线不相交”的否定是“任意相互垂直的两条直线相交”.故选C.能力形成点5由命题的真假求参数的取值范围例5

给定命题p:对任意实数x都有ax2+2ax+4>0成立;q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根.(1)分别求出命题p,q为真命题时,实数a的取值范围;(2)若命题p为真命题,q为假命题,求实数a的取值范围;(3)若命题p,q中至少有一个为真命题,求实数a的取值范围.解

(1)若p为真命题,则①当a=0时,不等式为4>0,显然恒成立;解得0<a<4.综上,若命题p为真命题,则实数a的取值范围为[0,4).若q为真命题,即关于x的方程x2-x+a=0有实数根,则Δ=1-4a≥0,解题心得以命题的真假为依据求参数的取值范围时,首先要对命题进行化简,然后依据题意判断出每个简单命题的真假,最后列出含有参数的不等式(组)求解即可.对点训练5若命题“∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是(

)A.[-