16.2.3线段垂直平分线的作图

第十六章轴对称和中心对称16.2线段的垂直平分线第3课时线段垂直平分线的作图

用尺规作线段的垂直平分线1.(2025山东德州期中)如图,在△ABC中,分别以点B和点C为

圆心,大于

BC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD.若AB=7,AC=12,则△ABD的周长为

()A.25

B.22

C.19

D.18

C

解析由题意可得MN垂直平分BC,∴DB=DC,∴△ABD的周

长=AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC=7+12=19,∴△ABD的

周长是19.故选C.2.(2024新疆哈密期末)如图,在△ABC中,AB=AC.(1)作边AB的垂直平分线DE,交AB于点D,交AC于点E,连接BE.

(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)(2)在(1)的基础上,若AB=10,△BCE的周长为16,求BC的长.

解析

(1)如图所示.

(2)∵DE是AB的垂直平分线,∴BE=AE,∴△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+AC=16,又∵AC=AB=10,∴BC=16-10=6.

3.(2025河北承德期末,★★☆)如图,在△ABC中,分别以顶点A,

B为圆心,大于

AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,连接MN,分别与边AB,BC相交于点D,E,连接AE.若AD=4,△AEC的

周长为17,则△ABC的周长为

()

C

A.20B.21C.25D.30解析由作图可知MN是线段AB的垂直平分线,∴EA=EB,AB=2AD=8,∵△AEC的周长为17,∴AC+CE+EA=17,∴AC+CE+EB=17,即AC+BC=17,∴△ABC的周长=AC+BC+AB=17+8=25,故选C.4.(2024河北保定涿州期末改编,★★☆)如图,在△ABC中,∠ACB=72°,∠CAB=48°,作AD⊥BC于点D后,按如图所示的方式

进行尺规作图.(1)求∠EBD的度数.(2)连接EC,若BE=6.2cm,CD=3cm,求△AEC的面积.解析

(1)∵∠ACB=72°,∠CAB=48°,∴∠ABC=180°-(∠ACB+∠CAB)=60°,∵AD⊥BC,∴∠CAD=90°-∠ACB=18°,由作图痕迹知,EF是线段AB的垂直平分线,易知△AEF≌△BEF,∴∠EBA=∠EAB=∠CAB-∠CAD=30°,

∴∠EBD=∠ABC-∠EBA=30°.(2)由题意知AE=BE=6.2cm,∵AD⊥BC,∴△AEC的面积=

AE·CD=

×6.2×3=9.3(cm2).

5.【新课标·推理能力】在△ABC中,DE垂直平分AB,垂足为D,交BC于点E.MN垂直平分AC,垂足为M,交BC于点N,连接AE,AN.(1)如图1,若∠BAC=100°,求∠EAN的大小.(2)如图2,若∠BAC=70°,求∠EAN的大小.(3)若∠BAC=α(α≠90°),用含α的式子表示∠EAN的大小(直接

写出结果即可).图1图2解析

(1)∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,AD=BD,又∵DE=DE,∴△ADE≌△BDE(SSS),∴∠BAE=∠B.同理可得∠CAN=∠C.∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C).在△ABC中,∠B+∠C=180°-∠BAC=80°,∴∠EAN=∠BAC-(∠B+∠C)=100°-80°=20°.(2)由(1)可知∠ABC=∠BAE,∠CAN=∠C,∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC.在△ABC中,∠B+∠C=180°-∠BAC=110°,∴∠EAN=∠B