理论力学（第2版）课件 第十三章 虚位移原理

第十三章虚位移原理第十三章虚位移原理虚位移原理：应用功的概念分析系统的平衡问题研究对象：理想约束系统(理想约束系统约束反力不做功)123约束自由度与广义坐标虚位移原理以广义坐标表示的质点系平衡条件第十三章虚位移原理§13-1

约束

自由度与广义坐标BOAxy一、约束及其分类

运动受到周围物体的限制,不能任意运动的质点系称为非自由质点系。曲柄OA受到铰链O的约束,只能绕O转动;滑块B受到滑道的约束只能沿滑道运动;连杆AB使曲柄和滑块间的距离保持不变。曲柄连杆滑块机构

限制质点或质点系运动的条件称为约束,表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。几何约束:限制质点或质点系在空间的几何位置的条件1、几何约束和运动约束质点M在固定曲面上的运动约束方程：一、约束及其分类§13-1

约束

自由度与广义坐标单摆约束方程：§13-1

约束

自由度与广义坐标摆杆为一长为l的刚杆，一端与一球铰相连，另一端固结一摆锤。z

lOxy曲柄连杆机构（点A作圆周运动）（AB间距保持不变）（滑块B只能沿滑道作直线运动）约束方程：§13-1

约束

自由度与广义坐标

曲柄和连杆的长度分别为r

和l，曲柄绕点O

转动，滑块B

在水平滑道中运动，整个机构在一个平面上运动。rlOxy

运动约束:限制质点或质点系运动情况的运动学条件车轮沿直线轨道纯滚动运动约束：几何约束：一、约束及其分类1、几何约束和运动约束§13-1

约束

自由度与广义坐标rCOxy

约束条件随时间变化的为非定常约束,否则为定常约束。2、定常约束和非定常约束摆长随时间变化的单摆：重物M

由一根穿过固定圆环O

的细绳系住，设摆长在初始时刻为l0

，并以不变的速度v

拉动细绳的另一端。约束方程：一、约束及其分类§13-1

约束

自由度与广义坐标lOxyM

3、其它分类约束方程中含坐标对时间的导数，且不能积分为有限形式的称非完整约束，否则为完整约束；约束方程为等式的是双侧约束，约束方程为不等式的是单侧约束。本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束一、约束及其分类§13-1

约束

自由度与广义坐标

在平面内，一个自由质点的位置需要

2个独立参数确定，即自由质点在平面内有

2个自由度。

在空间内，一个自由质点的位置需要

3个独立参数确定，即自由质点在空间内有

3个自由度。质点的运动受到约束，则质点的自由度数减少。

对于一个由

n个质点组成的质点系，如果该质点系受到

s

个完整约束，则质点系的自由度数(平面质点系)(空间质点系)§13-1

约束

自由度与广义坐标二、自由度与广义坐标单摆(由无重刚杆、小球构成)几何约束小球是平面内的单个质点平面质点系自由度xyOl小球自由度数§13-1

约束

自由度与广义坐标二、自由度与广义坐标小球在半径为R的半球面上运动几何约束小球是空间内的单个质点空间质点系自由度小球自由度数Mxyz§13-1

约束

自由度与广义坐标二、自由度与广义坐标对于完整系统，广义坐标数目

=系统自由度数广义坐标：描述质点系在空间中位置的独立参数。xyOl广义坐标：小球自由度数§13-1

约束

自由度与广义坐标二、自由度与广义坐标广义坐标：、广义坐标的选择不是唯一的。小球自由度数§13-1

约束

自由度与广义坐标二、自由度与广义坐标单摆系统自由度k=2，以球坐标θ和φ作为广义坐标，即可确定摆锤M

的位置：z

lOxy§13-1

约束

自由度与广义坐标二、自由度与广义坐标曲柄连杆机构自由度k=1，以曲柄OA的转角φ为广义坐标，即可确定质点系的位置：rlOxy

由n个质点组成，受有

s个双侧定常完整约束的质点系约束方程§13-1

约束

自由度与广义坐标二、自由度与广义坐标系统自由度k=3n-s，取q1,q2,…,qk

作为质点系广义坐标第i个质点的直角坐标与广义坐标的函数关系为变分计算§13-1

约束

自由度与广义坐标二、自由度与广义坐标系统各点的坐标可用广义坐标

来表示，则系统各质点的虚位移也可用广义坐标的变分，即广义虚位移

表示。实位移：§13-2

虚位移原理一、虚位移虚功理想约束虚位移：在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移。

—

变分符号OABB''A''OABB'A'虚功：质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功

在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功之和等于零的约束为理想约束。力偶的虚功力F的虚功理想约束的约束力在虚位移中所作的虚功：一、虚位移虚功理想约束§13-2

虚位移原理mi质点系平衡质点系约束为理想约束—

虚功方程

设质点系处于平衡状态，取质点系内的任一质点mi，作用于此质点上的主动力为

，约束力为给质点mi虚位移§13-2

虚位移原理二、虚位移原理虚位移原理：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作虚功之和等于零。约束不是理想约束时,把约束力看作主动力代入—

虚功方程—

虚功方程§13-2

虚位移原理⑴取研究对象应用虚位移原理的步骤:⑵对研究对象进行受力分析⑶确定虚位移的关系①作几何关系图;②选择一个自变量,确定有关的坐标后再变分;③应用虚速度关系确定虚位移.⑷应用虚位移原理求解未知量§13-2

虚位移原理解法一解析法§13-2

虚位移原理例13-1图示椭圆规机构,连杆AB长为l,不计杆重和滑道、铰链上的摩擦力,求在图示位置平衡时,主动力FA和FB之间的关系。解:⑴取机构整体为研究对象系统约束为理想约束，自由度为1，取

为广义坐标，主动力为FA,FB⑵由虚位移原理可得OABxy§13-2

虚位移原理由

的任意性可得OABxy主动力作用点A、B的坐标§13-2

虚位移原理杆AB为刚杆，则有⑵在约束允许下，分别给主动力

作用点一虚位移解法二几何法系统的虚功方程由虚位移的任意性可得OABxy§13-2

虚位移原理例13-2图示曲柄式压榨机，杆OA

和AB

与铅垂线的夹角均为θ，且OA=AB=l，在中间铰链A上连接一手柄，水平力作用在手柄上拉动手柄，使得压板D

压榨物体。求系统平衡时，作用于被压榨物体上的压力。解:⑴取整体为研究对象⑵在约束允许下，给系统一组虚位移压榨机可简化为曲柄滑块机构，自由度为1，受有定常、理想约束。被压榨物体作用于压板上的力

、手柄上的力

为系统所受主动力。设OA杆有一虚转角

，压板被限制在铅垂方向运动，与压板连接的B点的虚位移只能沿铅垂方向。OABCDxy§13-2

虚位移原理C点为AB杆的速度瞬心⑶

系统的虚功方程由虚位移的任意性可得作用于被压榨物体上的压力与

为作用与反作用力。OABCDxy例13-3

图示平面机构，已知各杆和弹簧的原长均为l，滑块A重为P，弹簧刚度系数为k，杆与弹簧重量均可忽略，且不计摩擦的。试求平衡时，重力P与θ之间的关系。§13-2

虚位移原理解:⑴去掉弹簧，以弹簧弹力代替系统自由度为1，取θ

为广义坐标。约束为理想约束，系统在主动力（重力P

、弹簧弹力FD、FB）的作用下处于平衡。弹簧弹力ABDxy§13-2

虚位移原理主动力作用点A、B、D的坐标⑵由虚位移原理

可得由虚位移的任意性可得ABDxy例13-4

求图示多跨静定梁支座B的约束力。§13-2

虚位移原理解:⑴解除支座B

处约束，

用与约束性质相应的约

束力FB

代替系统约束为理想约束，在主动力F1、F2、F3、FB和M的作用下处于平衡。⑵在约束允许下，设B处虚位移为一向上的

rB，由于各杆为刚性杆，则其余主动力的虚位移如图(b)所示。ABCEFGMDABCEFGMD§13-2

虚位移原理虚位移的关系：⑶

系统的虚功方程由虚位移的任意性可得ABCEFGMD§13-3

以广义坐标表示的质点系平衡条件设作用在第i

个质点上的主动力第i

个质点的矢径一、以广义坐标表示的质点系平衡条件代入虚功方程§13-3

以广义坐标表示的质点系平衡条件一、以广义坐标表示的质点系平衡条件则有虚功方程令或Qj—对应于广义坐标qj的广义力广义力的量纲由其对应的广义坐标而定：qj为线位移，Qj的量纲是力的量纲；qj为角位移，Qj的量纲是力矩的量纲。以广义坐标表示的平衡条件：

具有完整、双侧、理想约束的质点系，在某位置平衡的必要与充分条件是，对应于每个广义坐标的广义力都等于零。§13-3

以广义坐标表示的质点系平衡条件一、以广义坐标表示的质点系平衡条件若质点系有k个自由度，则质点系对应有k个广义力，以及k个互相独立的平衡方程，可联立求解质点系的平衡问题。

由于广义坐标的独立性，广义虚位移可任意取值，要使虚功方程成立，必须满足§13-3

以广义坐标表示的质点系平衡条件

在势力场中,质点系上的主动力都为有势力,势能应为各质点坐标的函数虚功虚位移原理：

在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件为质点系的势能在平衡位置处的一阶变分为零。由势力场的性质可得：二、在势力场中质点系的平衡条件§13-3

以广义坐标表示的质点系平衡条件广义力广义坐标表示的平衡条件：

在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对于每个广义坐标的偏导数分别等于零。二、在势力场中质点系的平衡条件

用广义坐标表示质点系位置,则势力场中,质点系的势能可表示为广义坐标函数方法一：定义法§13-3

以广义坐标表示的质点系平衡条件三、广义力的求解方法二：虚功法§13-3

以广义坐标表示的质点系平衡条件三、广义力的求解完整系统广义力的虚功之和δqj

彼此独立，可令质点系某一广义虚位移δqj≠0，而其它k-1个广义虚位移都等于零，则有与广义坐标qj对应的广义力方法三：势能法§13-3

以广义坐标表示的质点系平衡条件三、广义力的求解当作用于系统的主动力都是有势力时，可利用势能法求广义力，即与广义坐标qj

对应的广义力为§13-3

以广义坐标表示的质点系平衡条件例13-5图示双摆悬挂于O点，摆杆OA、AB长度分别为l1、l2，不计摆杆自重，摆锤A、B分别重为PA、PB，摆锤B上作用一水平力F。试求双摆平衡时两摆杆与铅垂线之间的夹角θ1、θ2。解:⑴取双摆为研究对象双摆可看做由两个质点A、B组成的系统，系统自由度为2，取摆杆与铅垂线之间的夹角θ1、θ2为广义坐标，其对应的广义虚位移为δθ1、δθ2。⑵计算对应于θ1、θ2

的广义力方法一：定义法OABxy§13-3

以广义坐标表示的质点系平衡条件摆锤A、B的坐标为θ1：

θ2

：OABxy§13-3

以广义坐标表示的质点系平衡条件方法二：虚功法设δθ1≠0，δθ2=0（摆杆AB平移）摆锤A、B的虚位移：系统在虚位移中的虚功之和：对应于广义坐标θ1的广义力：OABxy§13-3

以广义坐标表示的质点系平衡条件设δθ2≠0，δθ1=0系统在虚位移中的虚功之和：对应于广义坐标θ2的广义力：⑶由平衡条件，令广义力等于零OABxy摆锤A、B的虚位移：

限制质点或质点系运动的条件称为约束，表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。几何约束：限制质点或质点系在空间几何位置的条件运动约束：限制质点或质点系运动情况的运动学条件一、约束及其分类定常约束：约束条件不随时间变化非定常约束：约束条件随时间变化本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束约束方程中含坐标对时间的导数,且不能积分为有限形式的称非完整约束,否则为完整约束,约束方程为等式的是双侧约束,约束方程为不等式的是单侧约束。【小结】

对于一个由n个质点组成的质点系,如果该质点系具有s

个完整约束，则该质点系总自由度数为对于完整系统,广义坐标数目

=系统自由