2025年湖南省长沙市开福区立信中学中考数学二模试卷

第1页（共1页）2025年湖南省长沙市开福区立信中学中考数学二模试卷一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）小华想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为﹣7℃，最高气温为3℃（）A．﹣4℃ B．﹣10℃ C．4℃ D．10℃2．（3分）随着北斗系统全球组网的步伐，国产北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，支持北斗三号信号的22nm（即0.000000022m），其中0.000000022用科学记数法表示为（）A．0.22×10﹣7 B．2.2×10﹣8 C．22×10﹣9 D．2.2×10﹣73．（3分）如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（）A． B． C． D．4．（3分）下列运算正确的是（）A． B．a6÷a2＝a4 C．（2x2）3＝6x6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b25．（3分）《感动中国》是中央电视台每年举办一次的盛大颁奖典礼，它以评选出当年度具有震撼人心、令人感动的人物为主要内容，最近一届5位获奖者获奖时的年龄（单位：岁），51，26，89，这组数据的中位数是（）A．26 B．51 C．89 D．606．（3分）在平面直角坐标系中，将点（﹣1，5）向左平移2个单位长度后得到点P（）A．（﹣1，3） B．（﹣3，5） C．（﹣1，7） D．（1，5）7．（3分）对于一次函数y＝3x﹣1，下列结论正确的是（）A．y随x的增大而减小 B．当时，y＜0 C．它的图象与y轴交于点（0，﹣1） D．它的图象经过第一、二、三象限8．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC上，若DE∥BC，，则BC的长为（）cm．A．9 B．12 C．15 D．189．（3分）当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm10．（3分）A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，B，C，D，E五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，还没有与B队比赛的球队是（）A．C队 B．D队 C．E队 D．F队二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是（填“甲”或“乙”）．12．（3分）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次该骰子，向上一面的点数是奇数的概率是．13．（3分）因式分解：m3﹣m＝．14．（3分）二次根式中，x的取值范围是．15．（3分）如图，圆锥的底面半径OC＝1，高AO＝3．16．（3分）如图，⊙O的直径是AB＝12cm，AM、BN是它的两条切线，并与AM、BN分别相交于D、C两点，设AD＝x，则y与x的函数解析式为．三.解答题（本大题共9小题，共72分）17．（6分）计算：°．18．（6分）先化简，再求值：（x+2）2+（x+2）（x﹣2）+2x（1﹣x），其中．19．（6分）如图，在△ABC中，按如下步骤作图：（1），适当长为半径作圆弧，交AB于点M；（2）分别以点M、N为圆心，大于，在∠ABC内，两弧交于点P；（3），交AC于点D．（1）连接MP、NP，通过证明△BMP≌△BNP，得到∠ABD＝∠CBD，其中证明△BMP≌△BNP的依据是（填序号）．①SAS；②ASA；③AAS（2）若AB＝16，BC＝14，S△ABC＝75，过点D作DE⊥AB于E，求DE的长．20．（8分）某校开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查（单位：本）进行了统计．根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图．读书量1本2本3本4本5本人数102530a15（1）本次调查共抽取学生多少人？（2）表中a的值为，扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为．（3）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数．21．（8分）如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，CE、BF交于点P．（1）求证：CE＝BF；（2）求∠BPC的度数．22．（9分）“冰雪同梦，亚洲同心．”2025年2月7日至2月14日，在黑龙江省哈尔滨市举办的第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是“滨滨”和“妮妮”．某经销商计划购进一批以“滨滨”和“妮妮”为主题的“手办摆件”和“卡通徽章”进行销售，用2000元采购“手办摆件”的个数与用2600元采购“卡通徽章”的个数相等，一个“手办摆件”的进价比一个“卡通徽章”的进价少15元．（1）求采购“手办摆件”和“卡通徽章”的单价分别是多少元．（2）若该经销商计划采购“手办摆件”和“卡通徽章”共100个，并且总费用不超过6000元，则该经销商至少采购“手办摆件”多少个？23．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且，连接CE．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）若DE＝4，AB＝5，求菱形ABCD的面积．24．（10分）我们知道：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c均为整数），如果b2﹣4ac≥0时，这个方程的实数根就可以表示为x＝，其中b2﹣4ac就叫做一元二次方程根的判别式，我们用Δ表示，即Δ＝b2﹣4ac，通过观察公式，我们可以发现2（m为整数），则n是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数．例：方程2x2﹣x﹣1＝0；Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＝32，Δ的值是一个完全平方数，但是该方程的根为x1＝1，x2＝﹣，不都为整数：方程x2﹣6x+8＝0的两根x1＝2，x2＝4，都为整数，此时Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×8＝4＝22，Δ的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用F（a，b，c），即F（a，b，c）＝．若有另一个“幸运方程”px2+qx+r＝0（p≠0，p，q，r均为整数）的“幸运数”为F（p，q，r），若r•F（a，b，c）（p，q，r），则称F（a，b，c）与F（p，q，r）（1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0是一个“幸运方程”．①当m＝2时，该幸运方程的“幸运数”是；②若该幸运方程的“幸运数”是﹣1，则m的值为．（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0（m为整数，且4＜m＜15）是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”；（3）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+m+1＝0与x2﹣（n+2）x+2n＝0（m、n均为整数）都是“幸运方程”，求n的值．25．（10分）如图1，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ADC，△CDB的内切圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，连接AO1，BO2并延长交于点O，连接CO1，CO2．（1）求证：AC2＝AD•AB；（2）①求证：∠ACO1＝∠CBO2；②若r1＝3，r2＝4，求的值；（3）如图2，连接线段CO，O1O2，⊙O1与边AD相切于点E，⊙O2与边BD相切于点M．①若∠ACD＝30°，AC＝2，求线段O1O2和CO的长；②猜想线段O1O2与CO的数量关系，并证明．

2025年湖南省长沙市开福区立信中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DBCBDBCCBC一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）小华想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为﹣7℃，最高气温为3℃（）A．﹣4℃ B．﹣10℃ C．4℃ D．10℃【解答】解：3﹣（﹣7）＝4+7＝10（℃），这天的最高气温与最低气温的差为10℃，故选：D．2．（3分）随着北斗系统全球组网的步伐，国产北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，支持北斗三号信号的22nm（即0.000000022m），其中0.000000022用科学记数法表示为（）A．0.22×10﹣7 B．2.2×10﹣8 C．22×10﹣9 D．2.2×10﹣7【解答】解：0.000000022＝2.8×10﹣8，故选：B．3．（3分）如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从正面看该组合体，一共有三列、3、1．故选：C．4．（3分）下列运算正确的是（）A． B．a6÷a2＝a4 C．（2x2）3＝6x6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【解答】解：A、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；B、a5÷a2＝a4，故此选项符合题意；C、（5x2）3＝5x6，故此选项不符合题意；D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项不符合题意；故选：B．5．（3分）《感动中国》是中央电视台每年举办一次的盛大颁奖典礼，它以评选出当年度具有震撼人心、令人感动的人物为主要内容，最近一届5位获奖者获奖时的年龄（单位：岁），51，26，89，这组数据的中位数是（）A．26 B．51 C．89 D．60【解答】解：将5位获奖者的年龄从小到大排列为：26、51、89，据此，可看出一共5个数据，根据中位数的概念，可知这组数据的中位数为60．故答案为：D．6．（3分）在平面直角坐标系中，将点（﹣1，5）向左平移2个单位长度后得到点P（）A．（﹣1，3） B．（﹣3，5） C．（﹣1，7） D．（1，5）【解答】解：∵将点（﹣1，5）向左平移8个单位长度后得到点P，∴点P的坐标是：（﹣3，5）．故选：B．7．（3分）对于一次函数y＝3x﹣1，下列结论正确的是（）A．y随x的增大而减小 B．当时，y＜0 C．它的图象与y轴交于点（0，﹣1） D．它的图象经过第一、二、三象限【解答】解：A．∵k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；B．当x＞时，故本选项不符合题意；C．当x＝0时，则它的图象与y轴交于点（8，故本选项符合题意；D．它的图象经过第一、三，故本选项不符合题意；故选：C．8．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC上，若DE∥BC，，则BC的长为（）cm．A．9 B．12 C．15 D．18【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，∴，∴，∵DE＝6cm，∴BC＝15cm，故选：C．9．（3分）当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【解答】解：如图，设⊙O与刻度尺的下边缘相切于点C，交AB于点D，则OC与刻度尺下边缘垂直，由条件可知OD⊥AB，∴，设OA＝rcm，∵CD＝2cm，则OD＝（r﹣4）cm，在Rt△OAD中，r2﹣（r﹣2）6＝42，解得r＝4cm．故选：B．10．（3分）A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，B，C，D，E五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，还没有与B队比赛的球队是（）A．C队 B．D队 C．E队 D．F队【解答】解：由每个队分别与其它队比赛一场，最多赛5场，则每个队均与A队赛过，E队仅赛一场（即与A队赛过），所以E队还没有与B队赛过．故选：C．二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是乙（填“甲”或“乙”）．【解答】解：∵，∴乙的射击成绩较稳定，故答案为：乙．12．（3分）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次该骰子，向上一面的点数是奇数的概率是．【解答】解：随机掷一次骰子共有6种等可能结果，其中骰子向上的一面出现的点数是奇数的有3种结果，所以骰子向上的一面出现的点数是奇数的概率是＝．故答案为：．13．（3分）因式分解：m3﹣m＝m（m+1）（m﹣1）．【解答】解：m3﹣m＝m（m2﹣8）＝m（m+1）（m﹣1），故答案为：m（m+7）（m﹣1）．14．（3分）二次根式中，x的取值范围是x≥5．【解答】解：由x﹣5≥0得x≥6．15．（3分）如图，圆锥的底面半径OC＝1，高AO＝3π．【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为＝，所以该圆锥的侧面积＝×2π×1×＝π．故答案为：π．16．（3分）如图，⊙O的直径是AB＝12cm，AM、BN是它的两条切线，并与AM、BN分别相交于D、C两点，设AD＝x，则y与x的函数解析式为y＝（x＞0）．【解答】解：如图，过点D作DF⊥BC于点F；∵AD、BC分别是⊙O的切线，∴∠OAD＝∠OBF＝90°，又∵DF⊥BC，∴四边形ABFD为矩形，∴DF＝AB＝12cm，BF＝AD；∵AD、BC，∴DE＝DA＝x，CE＝CB＝y；∴DC＝x+y；由勾股定理得：DC2＝DF2+CF5，即（x+y）2＝（y﹣x）2+123，整理得：xy＝36，∴y＝，∴y关于x的函数解析式y＝（x＞0），故答案为y＝（x＞0）．三.解答题（本大题共9小题，共72分）17．（6分）计算：°．【解答】解：°＝1+3+1﹣6×＝7+2+﹣6﹣＝2．18．（6分）先化简，再求值：（x+2）2+（x+2）（x﹣2）+2x（1﹣x），其中．【解答】解：（x+2）2+（x+3）（x﹣2）+2x（4﹣x）＝x2+4x+6+x2﹣4+5x﹣2x2＝6x，当x＝时，原式＝2×＝8．19．（6分）如图，在△ABC中，按如下步骤作图：（1），适当长为半径作圆弧，交AB于点M；（2）分别以点M、N为圆心，大于，在∠ABC内，两弧交于点P；（3），交AC于点D．（1）连接MP、NP，通过证明△BMP≌△BNP，得到∠ABD＝∠CBD，其中证明△BMP≌△BNP的依据是④（填序号）．①SAS；②ASA；③AAS（2）若AB＝16，BC＝14，S△ABC＝75，过点D作DE⊥AB于E，求DE的长．【解答】解：（1）在△MBP和△NBP中，，∴△MBP≌△NBP（SSS），∴∠ABD＝∠CBD，故答案为：④；（2）过点D作DF⊥BC于F，∵∠ABD＝∠CBD，DE⊥AB，∴DE＝DF，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝•AB•DE+•DE•（AB+BC）．即75＝•DE•（16+14），．∴DE＝3．20．（8分）某校开展了“读红色经典，传革命精神”为主题的读书活动，学校对本校学生五月份阅读该主题相关书籍的读书量进行了随机抽样调查（单位：本）进行了统计．根据调查结果，绘制了不完整的统计表和扇形统计图．读书量1本2本3本4本5本人数102530a15（1）本次调查共抽取学生多少人？（2）表中a的值为20，扇形统计图中“3本”部分所对应的圆心角β的度数为108°．（3）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数．【解答】解：（1）由统计表和扇形统计图可得，读2本的有25人，∴抽样调查的学生总数为25÷25%＝100（人），∴本次调查共抽取学生100人．（2）由（1）得：本次调查共抽取学生100人，∴a＝100﹣10﹣25﹣30﹣15＝20（人），β＝×360°＝108°，故答案为：108°；（3）3000×＝1950（名），∴估计该校学生中，五月份读书量不少于“3本”的学生人数为1950名．21．（8分）如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，CE、BF交于点P．（1）求证：CE＝BF；（2）求∠BPC的度数．【解答】（1）证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AB，∠A＝∠EBC＝60°，∴在△BCE与△ABF中，，∴△BCE≌△ABF（SAS），∴CE＝BF；（2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF，∴∠BCE＝∠ABF，∴∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABF＝∠ABC＝60°，即∠PBC+∠PCB＝60°，∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°．即：∠BPC＝120°．22．（9分）“冰雪同梦，亚洲同心．”2025年2月7日至2月14日，在黑龙江省哈尔滨市举办的第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是“滨滨”和“妮妮”．某经销商计划购进一批以“滨滨”和“妮妮”为主题的“手办摆件”和“卡通徽章”进行销售，用2000元采购“手办摆件”的个数与用2600元采购“卡通徽章”的个数相等，一个“手办摆件”的进价比一个“卡通徽章”的进价少15元．（1）求采购“手办摆件”和“卡通徽章”的单价分别是多少元．（2）若该经销商计划采购“手办摆件”和“卡通徽章”共100个，并且总费用不超过6000元，则该经销商至少采购“手办摆件”多少个？【解答】解：（1）设采购“手办摆件”的单价是x元，则采购“卡通徽章”的单价是（x+15）元，根据题意得：＝，解得：x＝50，经检验，x＝50是所列方程的解，∴x+15＝50+15＝65（元）．答：采购“手办摆件”的单价是50元，“卡通徽章”的单价是65元；（2）设该经销商采购“手办摆件”y个，则采购“卡通徽章”（100﹣y）个，根据题意得：50y+65（100﹣y）≤6000，解得：y≥，又∵y为正整数，∴y的最小值为34．答：该经销商至少采购“手办摆件”34个．23．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且，连接CE．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）若DE＝4，AB＝5，求菱形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC＝，∴∠DOC＝90°，∵DE∥AC，DE＝，∴DE＝OC，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∵∠DOC＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：∵四边形OCED为矩形，DE＝4，∴OC＝DE＝2，∠COD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝4，CD＝AB＝5，在Rt△CDO中，OD＝＝＝3，∴DB＝6，AC＝8，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝．24．（10分）我们知道：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c均为整数），如果b2﹣4ac≥0时，这个方程的实数根就可以表示为x＝，其中b2﹣4ac就叫做一元二次方程根的判别式，我们用Δ表示，即Δ＝b2﹣4ac，通过观察公式，我们可以发现2（m为整数），则n是一个完全平方数）时，一元二次方程的根不一定都为整数，Δ的值一定是一个完全平方数．例：方程2x2﹣x﹣1＝0；Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＝32，Δ的值是一个完全平方数，但是该方程的根为x1＝1，x2＝﹣，不都为整数：方程x2﹣6x+8＝0的两根x1＝2，x2＝4，都为整数，此时Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×8＝4＝22，Δ的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用F（a，b，c），即F（a，b，c）＝．若有另一个“幸运方程”px2+qx+r＝0（p≠0，p，q，r均为整数）的“幸运数”为F（p，q，r），若r•F（a，b，c）（p，q，r），则称F（a，b，c）与F（p，q，r）（1）关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0是一个“幸运方程”．①当m＝2时，该幸运方程的“幸运数”是；②若该幸运方程的“幸运数”是﹣1，则m的值为﹣1或3．（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0（m为整数，且4＜m＜15）是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”；（3）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+m+1＝0与x2﹣（n+2）x+2n＝0（m、n均为整数）都是“幸运方程”，求n的值．【解答】解：（1）①当m＝2时，代入x2﹣（m+6）x+m＝0得，x2﹣6x+2＝0，∴，即，故答案为：；②依题意，，整理得，m2﹣5m﹣3＝0，解得m6＝﹣1，m2＝2，故答案为：﹣1或3；（2）∵x3﹣（2m﹣1）x+m8﹣2m﹣3＝5，∴b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣2×1×（m2﹣6m﹣3）＝4m+13，∵4＜m＜15，∴29＜4m+13＜73，∵x2﹣（6m﹣1）x+m2﹣4m﹣3＝0是“幸运方程”，∴b8﹣4ac是完全平方数，即4m+13是完全平方数，∴6m+13＝36或49或64，解得m＝或9或，∵m为整数，∴m＝9，当m＝9时，方程x4﹣（2m﹣1）x+m3﹣2m﹣3＝7化为x2﹣17x+60＝0，∴F（a，b，c）＝＝，∴方程x2﹣（2m﹣1）x+m7﹣2m﹣3＝4的“幸运数”为﹣；（3）x2﹣mx+m+3＝0是“幸运方程”，∴x2﹣mx+m+5＝0的两个根为整数，设方程x2﹣mx+m+8＝0的两个根分别为p，q，∴p+q＝m，pq＝m+1，∴pq＝（p+q）+5，∴pq﹣p﹣q＝1，∴（p﹣1）（q﹣5）＝2，∵p，q为整数，当p﹣1＝5，q﹣1＝2时，q＝6，当p﹣1＝2，q﹣3＝1时，q＝2，当p﹣3＝﹣1，q﹣1＝﹣6时，q＝﹣1，当p﹣1＝﹣7，q﹣1＝﹣1时，q＝2，综上所述，m的值为5或﹣1，方程x6﹣mx+m+1＝0的“幸运数”为，当m＝7时，F（1，m+1）＝F（4，6）＝，当m＝﹣3时，F（1，m+1）＝F（8，1＝﹣，∴F（1，﹣m，方程x2﹣（n+5）x+2n＝0的“幸运数”为，∵F（1，﹣m，﹣n﹣6，∴，即2n＝（m+5）（n﹣2）2，当m＝5时，方程为：