《电力系统分析》课件第6章

第6章

电力系统三相对称故障分析6.1

电力系统故障概述6.2

简单无穷大电源系统的三相短路的暂态过程分析6.3

同步发电机机端发生三相短路时的暂态过程分析6.4

三相短路的实用计算

电力系统在运行过程中经常会发生故障，对电力系统危害最大的故障就是短路故障，短路故障特别是三相短路会产生很大的短路电流，将直接危害电力设备的安全，主要包含两个方面，其一是短路电流最大峰值即冲击电流将产生很大的电动力，破坏电力元件的结构，其次是短路电流会产生很大的热量，烧毁电力元件。因此，在电力系统出现短路故障时，必须由电力系统继电保护装置将故障元件切除，降低短路电流的危害。电力系统继电保护原理的构造、保护的整定计算以及保护的动作和特性都需要对电力系统进行故障分析。

保护装置可以切除故障元件，但从故障发生到切除需要一段时间，因此，设计电力系统时必须考虑电力设备能够承受短路电流所产生的电动力和发热。另外，当短路电流较大时，断路器等开关设备将在触点外产生很大的拉弧而出现无法开断的现象，因此对于开关设备的选择还必须满足开断最大短路电流的要求。

通常电力系统的最大短路电流出现在三相对称短路中。电力系统发生三相短路故障后，短路电流将从故障前的稳态过渡到故障后的稳态，这个过渡过程称为电力系统的电磁暂态过程，最大短路冲击电流和短路冲击电流有效值就出现在这个暂态过程中。在工程中，对电力系统的故障进行电磁暂态过程分析是不现实的，通常对于短路后的稳态量很容易计算，因此首先需要对一个无穷大电源系统的三相短路进行分析，研究最大冲击电流和短路冲击电流有效值与短路后稳态电流有效值的关系，利用这个关系，可以在工程中近似估算最大短路冲击电流和短路冲击电流有效值。

电力系统发生三相短路时，在同步发电机转子的各绕组中将产生衰减的直流分量和衰减的工频分量，会在电力系统中产生衰减的工频周期分量、直流分量和倍频分量。因此，

因此还必须研究发电机机端发生三相短路后的暂态短路电流，必须考虑发电机对工频周期分量的影响。

本章主要介绍电力系统故障后的暂态过程及其特征，包括无穷大电源系统的故障暂态过程，发电机机端三相短路后的暂态过程，电力系统三相短路故障的实用计算、短路曲线以及复杂电力系统的故障稳态分析。

6.1电力系统故障概述

6.1.1短路的概念及类型电力系统中，常见的故障有短路、断线和各种复杂故障(即在不同位置同时发生短路或断线故障)，其中最常见、对电力系统影响最大的是短路故障，因此必须对短路故障进行分析和计算。

所谓短路，是指电力系统正常运行情况以外的相与相之间或相与地之间发生短接的情况。简单的短路故障包含四种类型：三相短路、两相短路(AB相间、BC相间和CA相间)、

两相接地短路(包括ABG、BCG和CAG)和单相接地短路(包括AG、BG和CG)。三相短路是对称的，其它几种类型的短路均是不对称短路。

四种短路类型中，单相接地短路发生的几率最大，达到65%，两相接地短路约占20%，两相间短路约占10%，三相短路的发生几率最小，仅占5%，然而三相短路由于短路电流很大，因此对系统的影响最为严重。本章主要分析三相短路后的故障分析。

6.1.2短路发生的原因与危害

电力系统发生短路的原因很多，其根本原因是电气设备各相载流部分的绝缘遭到破坏，导致相与相之间或者相与地之间发生击穿放电现象。短路发生的原因，主要有如下几

个方面：

(1)雷击等各种形式的过电压以及绝缘材料的自然老化，或遭受机械损伤，致使载流导体的绝缘被损坏。

(2)不可预计的自然损坏，例如架空线路因大风或导线履冰引起电杆倒塌等，或因鸟兽跨接裸露导体等。

(3)自然的污垢加重，降低绝缘能力。

(4)运行人员违反安全操作规程而误操作，例如运行人员带负荷拉刀闸，线路或设备检修后未拆除接地线就合闸引起短路等。

电力系统发生短路故障后，通常会产生很大的短路电流，对电力系统的正常运行带来极大的危害：

(1)短路发生时往往伴有电弧产生，不仅可能烧坏故障元件本身，也可能烧坏周围设备和伤害周围的人员。

(2)产生从电源到短路故障点巨大的短路电流，可达正常负荷电流的几倍到几十倍;短路电流通过电气设备，一方面会使导体大量发热，导致设备因过热而损坏;另一方面巨大的短路电流还将产生很大的电动力作用于导体，使导体变形、扭曲或损坏。

(3)引起系统电压大幅度降低，特别是靠近短路点处的电压降低得更多，从而可能导致部分用户或全部用户的供电遭到破坏。网络电压的降低，使供电设备的正常工作受到损坏，也可能导致工厂的产品报废或设备损坏，如电动机过热受损等。

(4)电力系统中出现短路故障时，系统功率分布的突然变化，可能破坏各发电厂并联运行的稳定性，导致整个系统解列甚至瓦解和崩溃。

(5)发生不对称短路时，三相不平衡电流会在邻近的通信线路感应出电动势，产生的不平衡交变磁场对周围的通信网络、信号系统、晶闸管触发系统及自动控制系统产生干扰。

6.1.3短路故障分析的内容与目的

电力系统的安全运行，首先是电力设备的安全运行，当电力设备发生短路故障时，要求快速准确地切除故障，这就要求在电力系统的设计和运行中，合理地选择电气设备、电气主接线，正确的配置和设计继电保护以及限制短路电流的措施。例如，选择断路器，必须保证其的开断容量大于系统发生短路时流过本支路的最大短路容量，同时还要进行短路后的热稳定和动稳定校验。另外，继电保护的整定，也需要对系统进行短路计算和分析。

短路故障的分析和计算，主要是短路电流的分析和计算。当系统突然发生短路时，短路电流将从故障前的正常运行电流过渡到故障后的稳态电流，因此有必要对短路后的故障暂态过程进行分析。另外，同步发电机转子中的暂态电流将导致在定子中感应出衰减的工频分量、衰减的倍频分量和衰减的直流分量。下面将分别对无穷大电源系统和同步发电机

机端发生三相短路后，短路电流的过渡过程进行分析和计算。

6.2简单无穷大电源系统的三相短路的暂态过程分析

6.2.1简单无穷大电源供电系统的短路暂态电流如图6-1所示的简单对称三相系统，电源为无限大功率电源，即恒定电势源，

a

相的电源ea

(t)=Emcos(ω

0t+α

)，

b相和c

相的电源分别与a相相差120°和240°。假设在t=0时刻，在F点突然发生三相短路，分析其暂态过程。图6-1无穷大电源三相系统

1.三相短路后的微分方程和电流初始值

由于三相短路后，电路仍然是三相对称的，因此只需要分析其中一相的暂态过程，以a相为例，根据KVL定理，短路电流满足如下微分方程.

.

故障前的稳态电流为

因此故障瞬间的初始电流，即为将故障时刻t=0代入(6-)式所得电流.

齐次微分方程的解为

ina

(t)=Ce-t/Ta

(6-7)

其中，

Ta

=L0

/R0

为暂态衰减时间常数，C为积分常数。

这样，可以求得到a

相的短路电流为

ia(t)=Imcos(ω0t+α-φ)+Ce-t/Ta

(6-8)

为了确定积分常数C

，可以根据短路瞬间电流不能突变这一特点，即短路前瞬间与短路后瞬间的电流值相等。在故障时刻t=0，令故障前的电流和故障后的电流相等，可得积分常数C

C=Im0cos(α-φ0)-Imcos(α-φ)

(6-9)

因此，短路后的a

相短路电流为

由于三相对称，因此，分别用(α

0-2π/3)和(α

0+2π/3)替代上式中的α

0

就可以得到b相和

c相的短路电流.

6.2.2暂态过程分析

下面来分析一下短路电流的最大峰值电流和最大有效值出现的时刻?根据前面的分析，故障后的电流为故障后的稳态电流与故障后的衰减的暂态电流的叠加

ia(t)=Im

cos(ω0t+α-φ)+[Im0cos(α-φ0)-Imcos(α-φ)]e-t/Ta

显然，在系统阻抗固定的情况下，短路电流的最大峰值与故障时刻有关，即与电源eA(t)的初始相位在故障瞬间暂态电流值有关系。如图6-2所示，图中的相量为在短路瞬间，电源及电压相量̇Em、故障前的电流相量̇Im0、故障后的电流相量̇Im

以及故障前后电流相量之差̇Im0-Im。故障瞬间的暂态电流显然是相量̇Im0-Im

在实轴R轴上的投影，只有当̇Im0-Im

与实轴平行时，暂态电流最大。

图6-2故障时刻电源电压与故障前后电流相量的关系

因此，分析图6-2，不难发现，出现短路电流最大峰值的条件是：

(1)相量̇Im0-̇

I

m的长度最长，很明显只有当Im0=0即故障前空载时，该相量最长。

(2)故障发生的时刻在相量̇Im0-̇Im

与实轴平行时刻，即α-φ=0°或180°。

.

故障前空载，且电源电压的初始相角满足α-φ=0时，

A

相短路电流为

其波形如图6-3(a)所示。

故障前空载，且电源电压的初始相角满足α-φ=180°时，

A相的短路电流为.图6-3故障后短路电流波形图

6.2.4短路电流有效值

任意时刻t

的短路电流有效值定义为

为了简化计算，认为在一个周期T

内，衰减直流分量保持不变，因此，

t时刻的有效值为

式中，

Int

为衰减直流分量。

很显然，短路电流的最大有效值同样出现在最大瞬时值时刻，即短路后约半个周期时刻，在该时刻的短路电流有效值为

式中，

Iav

为短路后短路电流的有效值，

Int

为衰减值流分量在t=0.01时刻的值。

通过上述分析可知，我们无需分析电力系统短路后的暂态过程，直接分析电力系统发生三相短路后的稳态工频分量，即可得出短路冲击电流和短路电流的最大有效值。

6.3同步发电机机端发生三相短路时的暂态过程分析

本节主要介绍在同步发电机机端发生三相短路时，短路电路的暂态过程。首先分析无阻尼绕组同步发电机机端三相短路的短路电流，然后分析考虑阻尼绕组时同步发电机机端三相短路时的短路电流。本节根据同步发电机的数学模型，利用叠加原理将三相短路后的短路电流分为三部分：稳态响应，零状态响应和零输入响应。稳态响应是短路后的强制分量;零状态响应，即不考虑同步发电机短路前瞬间定子中包含的磁链;零输入响应，则是不考虑励磁电源，仅考虑短路瞬间定子中包含的磁链。

6.3.1简单一阶动态电路

如图6-4所示的简单一阶动态电路，假设在t0

时刻合上开关K

。根据电路中一阶动态电路理论，该电路中的全电流包含三部分：稳态响应、零状态响应和零输入响应。图6-4简单一阶动态电路

全电流可以用叠加定理来求得：零状态响应是不考虑开关K

合上瞬间L

1

中包含的磁链ψ

(t0-)，仅考虑由于输入电源引起的暂态衰减;零输入响应则是不考虑电源输入，仅考虑在开关K

合上瞬间L

1中包含的磁链引起的暂态电流的衰减。

第一部分零状态响应是指电感

L

1的磁链在开关K

合上之前为零，即令

ψ0=ψ(t

0-)=0，零状态响应部分的暂态电流是

t0

时刻前后两个状态下电流的差值

式(6-18)中，

i0

表示K

合上瞬间稳态电流在t0时刻的值，

i∞0为K合上后的稳态电流在

t0

时刻的值。显然，在图6-4中简单的一阶动态电路中，

L

1

i0

=ψ(t0-)=0，可以简单推知

i0=0。

需要注意的是，如果绕组L

1还其其它绕组耦合的话，尽管L

1的磁链为零(零状态)，但与之耦合的绕组磁链不为零，那么在开关K

合上瞬间之前，其电流i0

就不为零。假设绕组L

1还与一个自感为L

3

的绕组耦合，在t0时刻，绕组

L3

的磁链为ψ

30

，它们之间的互感为M

，那么此时L

1的电流i0

满足方程：

第二部分零输入响应，则是不考虑电路中的电源，只考虑在开关K

合上瞬间之前，电感L

1中包含的磁链的衰减

同样需要注意，若还有绕组与L

1耦合，零输入部分的暂态电流Itr2同样需要考虑耦合

绕组的影响。

这就是三要素法，利用三要素法则，很容易得到简单一阶电路的全响应，例如，假设令e(t)=1V，

R1=1Ω，

R2=1Ω，则，稳态响应

i∞=1A，

Itr1=0-1=-1A，

Itr2=0.5A，电流全响应为

根据一阶动态电路的三要素法则，可以知道：

(1)在解决一阶动态问题时无需求解微分方程，可以将电流的全响应用叠加定理划分为三部分：稳态响应、零状态响应和零输入响应。

(2)稳态响应是开关合上后的稳态表达式。

(3)零状态响应则不考虑开关合上瞬间电感中包含的磁链，仅考虑由于输入激励引起的暂态，即ψ0

=ψ(t0-)=0。零状态响应的幅值为Itr1=i(t0-)-i(t0+)，即两个稳态在开关合上时刻t0

的差值。对于没有其它耦合绕组的情况下，

i(t0-

)=0，如果与其他绕组耦合，则需要联立方程求解

i(t0-

)。

(4)零输入响应则是不考虑输入电源，仅考虑在开关合上瞬间电感中包含磁链引起的暂态。

Itr2=ψ(t0-)/L

1

，同理，如果与其它绕组耦合，需要与其它绕组联立方程求解。

6.3.2同步发电机机端三相短路电流的暂态分析

由第三章同步发电机的模型可知，同步发电机的模型在经过Park变换后，等价于d轴和q轴上分别有三个绕组的耦合。以d

轴绕组为例，定子绕组同时耦合有励磁绕组f

和

阻尼绕组D

，如图6-5所示。图6-5机端三相短路等效电路(d轴绕组)

假设在

t=0时刻，机端发生三相短路，相当于在t=0时刻开关

K合闸。在合闸瞬间，由于发电机有负载，因此在三相定子绕组中包含磁链。

根据三要素法，在机端发生三相短路后，定子绕组的电流可以划分为故障后稳态电流、故障后的零状态响应和故障后的零输入响应(仅以d轴为例，

q

轴同理)：

Idtr1=id(0-)-id(0+)为零状态响应的暂态量幅值，其值等于故障瞬间前后两个稳态电流在t=0时刻的差值。虽然零状态响应中认为定子绕组的磁链ψd(0-)为零，但由于定子绕组还与励磁绕组和阻尼绕组耦合，因此，

id

(0-)并不为零，需要联立另外两个绕组的方程求解。id

(0+)则是故障后稳态分量在

t=0时刻的值。

Idtr

2为零输入响应的暂态量幅值，即不考虑激励的输入电源，只考虑故障瞬间定子绕组所包含磁链的衰减。考虑到另外两个绕组的耦合作用，

Idtr

2的值应该在定子d

绕组磁链为ψd

0，其它绕组磁链都为零的情况下，联立求解。由于ψd

0

是定子绕组在故障瞬间的磁链经过Park变换后得到，因此，经过变换后，ψd0为工频量。

下面详细阐述同步发电机机端发生三相短路后的短路电流。为了便于理解，先忽略阻尼绕组的影响，然后再考虑阻尼绕组的影响。

1.不考虑阻尼绕组情况下，机端三相短路电流分析

根据第三章建立的同步发电机的模型，在不考虑阻尼绕组时，同步发电机经过Park变换后，定子绕组以及励磁绕组在d轴和q轴的电压回路方程和磁链方程如下(三相短路为对称短路，因此零轴回路电流为零)：

1)故障后稳态电流(强制分量)

故障后达到稳态时，定子d绕组和q绕组的磁链以及励磁绕组的磁链都恒定不变，即

故障后励磁绕组中的稳态电流与故障前稳态励磁电流相等，即if

∞=if0=uf/Rf

，假想空载电势为

故障后的稳态方程(忽略定子绕组损耗)为

故障后的定子绕组稳态故障电流为

故障后的励磁稳态电流可以根据故障前的励磁稳态电流来求解：

可得：

2)衰减的暂态分量—零状态响应

零状态响应部分的暂态电流幅值

Itr

1=i(0-)-i(0+)，其中，

id(0-)、iq(0-)、if(0-)为故障前瞬间的值，即在定子绕组d和q

的磁链为零，励磁绕组的磁链为ψf0时电流

值

求解式(6-26)可得：

i

(0+)=i∞(0)是各电流在故障后的稳态值，因此，零状态响应部分的暂态电流分别为

3)衰减的自由分量———零输入响应

零输入响应只考虑在短路发生瞬间各相绕组包含的磁链，而不考虑励磁电压的输入。在发生短路瞬间，由于各定子绕组中包含恒定的磁链ψa

0

，

ψb0，

ψc

0

。由于定子绕组磁链不突变，因此将衰减为零。三相恒定的磁链可以看做是一个静止的相量̇ψ0在abc三个轴上的投影。静止的磁链相量经过Park变换后，投影到d

轴和q

轴上，成为一个按照工频交变的磁链(因为故障瞬间定子绕组包含的磁链是静止的，而dq轴则是以工频旋转的)，如图6－6所示。

由故障前的稳态方程可得：

其中，̇UG0为故障前瞬间机端电压相量。因此，磁链̇ψ

0滞后机端电压相量̇UG

为90°，如图6-6所示幅值与机端电压相等。假设在故障瞬间，机端电压滞后q

轴的角度为δ

0(这个角度即为功角)，那么根据图6-6不难推知故障瞬间定子磁链经过Park变换后的磁链值：图6-6定子磁链、机端电压与d、q轴的关系

因此，零输入响应的暂态幅值为定子绕组磁链故障前瞬间的磁链，励磁绕组磁链为零的情况下的值

因此，可得到零输入响应值

4)零状态响应的衰减时间常数

发电机端发生三相短路后的自由分量中，零状态响应的自由分量主要是由励磁电流的变化引起的，由于短路瞬间励磁绕组的磁链不突变，导致励磁绕组中的励磁电流发生了突

变，最终衰减到稳态值。从d

轴绕组看进去，相当于在故障瞬间，暂态电势不突变，

d

绕组回路等价于由暂态电势串联直轴暂态同步电抗，过渡到最终由稳态空载电势串联直轴同步电抗，如图6-7所示。图6-7零状态响应的过渡过程

因此，零状态响应自由分量的衰减取决于当定子绕组(d

绕组)短路时，励磁绕组中自由电流的暂态衰减时间常数T'd

其中X

'f为当d

轴绕组短路时，从励磁绕组看进去的等效电抗，如图6-8所示。

d

轴绕组短路，假设在励磁绕组中通入if

的电流，则有

由上式(6-34)可以得到在d

轴绕组短路时，励磁绕组的等效电抗为

因此，定子绕组短路时，励磁绕组的衰减时间常数T'd

为

其中，

Td0=Xf/Rf

为开路暂态衰减时间常数(即d

绕组开路时励磁绕组的衰减时间常数)。

5)零输入响应的衰减时间常数

零输入响应的自由分量，是由故障瞬间定子各相绕组磁链不突变引起的，因此，其衰减时间常数与定子绕组有关，它将按照定子绕组的时间常数Ta

衰减。转子绕组的旋转，导致磁通的路径不断地周期性变化，即定子绕组的等效电抗不断变化。在机端发生短路瞬间，当磁通通过转子的纵轴时，定子绕组的等效电抗为X'd

，而通过横轴时，则等效电抗为Xq

，因此其等效电抗近似为直轴和交轴等效电抗并联的两倍。因此，其衰减时间常数为

其中，

θ0

=α

0+δ

0-90°。在故障瞬间，机端电压、空载电势(q轴)、d轴的关系如图6-9所示。图6-9故障瞬间机端电压、空载电势、d轴、q轴的关系

b相和c相的电流分别与a相电流相差120°，即分别用θ

0

-120°和θ

0

+120°替代上式的θ

0

即可。

通过上述分析可知，当同步发电机机端发生三相短路时，各绕组的短路电流包含四部分：稳态的工频分量、衰减的工频分量、衰减的直流分量和衰减的倍频分量。其中，衰减的

直流分量和衰减的倍频分量，是由短路瞬间定子绕组中的磁链在励磁绕组中感应出工频分量，然后在定子绕组中又感应出直流分量和倍频分量得到的。发生短路后，工频分量是随

着时间的变化而变化的，在短路瞬间，当不计阻尼绕组的影响时，同步发电机可以等效为暂态电势与暂态同步电抗的串联，而随着时间的推移，短路进入稳态后，同步发电机则过渡为空载电势和同步电抗的串连。

2.考虑阻尼绕组时机端三相短路电流分析

考虑阻尼绕组的情况下，同步发电机经过Park变换后，得到

d轴的三个互相耦合的绕组(d

绕组、f

绕组和

D绕组)和q

轴的三个互相耦合的绕组(q绕组、g

绕组和Q

绕组)，如图6-10所示。

同样，将同步发电机端发生三相短路后的短路电流划分为稳态响应、零状态响应和零输入响应。图6-10考虑阻尼绕组时同步发电机的等值电路

零状态响应指不考虑故障瞬间定子绕组包含的磁链，在发生机端三相短路瞬间，定子绕组d中的短路电流自由分量是由励磁绕组f和阻尼绕组D

的暂态电流决定的(这两个绕组的磁链不突变)，同样，定子

q绕组的短路电流自由分量是由g

绕组和Q

绕组共同决定的，此时从定子绕组看进去等价于次暂态电势与次暂态同步电抗的串联，这部分过渡过程称为次暂态过程。随着时间的推移，由于阻尼绕组D

和Q

中的暂态电流衰减比

f绕组和g绕组衰减的快，当D

和Q

绕组中的暂态电流衰减完毕，不再对定子绕组中的短路电流起作用(相当于开路)，此时定子绕组中的短路电流仅与

f

绕组和g

绕组中的暂态电流有关，此时，从定子绕组看进去等价于次暂态电势与次暂态电抗的串联，这个过渡过程称为次暂态过程。

零输入响应指输入励磁电压为零，仅考虑定子绕组在故障瞬间所包含磁链的衰减而产生的暂态电流。由于其电流的衰减是在定子绕组中，因此，必须考虑所有阻尼绕组共同作用的影响。

因此，考虑阻尼绕组的暂态电流包含以下几部分：稳态分量、零状态响应的次暂态、零状态响应的暂态过程、零输入响应等，即：

1)故障后的稳态分量(强制分量)

考虑阻尼绕组时，同步发电机机端发生三相短路后的短路电流稳态分量与不考虑阻尼绕组时的稳态分量相同，因为当发电机达到稳态后，各阻尼绕组中的暂态电流均衰减为零，因此，阻尼绕组对于故障后的稳态分量不起作用，即仍然有

2)零状态响应的次暂态过程

根据一阶动态电路理论，零状态响应次暂态部分的幅值应该是故障瞬间前的稳态值减去故障后下一个状态即暂态过程的起始电流值：

Itr

1=i(0-)-i(0+)。短路瞬间前的电流值由下式确定(考虑三个互相耦合的绕组)

根据第三章中电机参数模型的推导，可得

短路后暂态过程的电流值由下式确定

根据第三章可得

因此，次暂态过程的短路电流幅值为

3)零状态响应的暂态过程

这部分衰减的自由分量是在阻尼绕组D和Q

不起作用(其暂态电流衰减为零)的情况下，其幅值仍然等于故障前的电流值减去故障后的稳态值，只是故障前瞬间的稳态值不考虑阻尼绕组

D

和Q

的影响，即f和g

的磁链保持故障前的磁链不变(也就是E'

恒定)。不考虑阻尼绕组D

和Q

时，故障前瞬间的电流值由式(6-45)和(6-46)确定，即

故障后第三个状态即稳态的值为

因此，零状态响应暂态过程的短路电流幅值为

4)零输入响应

零输入响应是由定子绕组在故障瞬间包含的磁链产生的衰减电流。定子磁链经过Park变换后可得

定子短路电流的零输入响应由下式决定：

得到

5)次暂态过程的衰减时间常数

定子绕组短路电流的次暂态过程主要是由阻尼绕组D和Q

中的暂态电流引起的，考虑到D和Q

绕组中的短路电流衰减时间常数比f绕组和g

绕组小得多，因此当发生机端三相短路的瞬间，励磁绕组f和阻尼绕组g

中的电流还没有来得及发生变化，

D

和Q

中的暂态电流已经出现，而且很快衰减完毕。因此定子绕组三相短路电流次暂态过程的衰减主要由阻尼绕组D和Q

的衰减所决定。次暂态过程的衰减时间常数就是在定子绕组d

和q短路以及f和g

绕组短路的情况下，分别从D

和Q

绕组看进去的等效衰减时间常数，即

X″D

、X″Q

分别为在定子绕组d、q和励磁绕组f以及阻尼绕组g短路的情况下，从D绕组和

Q绕组看进去的等效电抗，可通过下面的方程组消去id

、if

和iq

、ig

后，求解其等效电抗。

求解上述方程并转化为电机参数很复杂，考虑到第三章同步发电机的电机参数一节中，开路次暂态时间常数为：

式中，

X′D是在d

绕组开路，

f

绕组短路，从D

绕组看进去的等效电抗。即当id=0时，有

考虑定子绕组短路时，有

因此，当考虑定子绕组短路且励磁绕组短路时，在D绕组通入iD后，

D绕组的磁链为

另有

因此，可求得直轴次暂态分量的衰减时间常数为

同理可得交轴次暂态分量的衰减时间常数为

6)暂态过程衰减时间常数

暂态过程是在次暂态过程结束后的过渡过程，即在D

和Q

绕组的暂态电流衰减完后，f

和g

绕组中才出现暂态电流(其实它们是同时出现的，只不过D和Q

的动态时间常数远小于

f和g

。因此，与f

和g

中电流相比，

D

和Q

中的暂态电流上升得快，衰减得也快。在D

和Q

中的暂态电流衰减完后，

f和g

中的暂态电流才显现出来)，它们的作用导致了定子绕组短路电流的暂态过程。因此，定子绕组短路电流暂态过程的衰减时间常数实际上是f和g绕组在定子绕组

d和q

短路的情况下的衰减时间常数，即

很显然，

X‘f和X’g分别是在定子绕组d和q短路情况下，从

f和g

绕组中看进去的等效电抗，可由下面的磁链方程求得：

分别消去id

和iq

，可得：

由此，可求得暂态过程的衰减时间常数为

7)零输入响应的衰减时间常数

与不考虑阻尼绕组时的衰减类似，零输入响应的衰减时间常数与定子绕组有关，它将按照定子绕组的时间常数Ta

衰减。只是当转子绕组旋转时，变化的定子绕组等效电抗需

要考虑阻尼绕组的影响，即当通过纵轴时，定子绕组的等效电抗为X″d

，而通过横轴时，等效电抗为X″q

，因此其等效电抗近似为直轴和交轴等效电抗并联的两倍。因此，其衰减时间常数为

经过Park反变换后得到三相电流

3.强励对短路电流暂态的影响

上述短路电流的暂态过程没有考虑励磁调节系统的影响，即认为励磁电压uf恒定。实际上同步发电机组都装有自动励磁调节系统，其目的是为了保证在正常稳态运行情况下，

保证机端电压恒定。强行励磁是励磁调节系统的组成部分，其功能是在电力系统发生短路故障导致发电机机端电压严重下降时，启动强行励磁，增大励磁电压，使得机端电压得到一定程度的恢复，从而增加系统的稳定性。

在实际系统中，强行励磁动作时，励磁电压的上升曲线是比较复杂的，为了便于分析，假设在强励时，励磁电压是按照指数规律上升的，即

强励后的暂态电流等价于励磁电压不变的暂态过程叠加上一个Δuf

(t)的励磁电压。

其中，

Δufm=ufm-uf0为强励励磁电压的峰值与额定励磁电压的差值。可由叠加定理来求解定子电流的暂态过程。励磁电压可以看做是两个分量的叠加，一分量为uf0，另一分量为Δuf

。根据发电机机端三相短路后的定子绕组电压方程可知：

因此，叠加分量的等效电路如图6-11所示(忽略阻尼绕组)。图6-11强励后叠加的励磁电压及其等效电路

根据定子绕组和励磁绕组的磁链以及励磁绕组的电压回路方程可得

求解式(677)可以得到叠加分量的定子短路电流(由于电压是按照指数规律增加的，因此最简单的方法是利用拉普拉斯变换求解)为

因此，强励后的定子短路电流为(仅考虑工频分量)

6.4三相短路的实用计算

在实际工程中，由于系统接线和短路后暂态过程的复杂性，直接进行三相短路的暂态计算是不现实的。前面两节分别分析了无穷大电源系统和同步发电机机端发生三相短路后的暂态过程，前者的目的是为了得到故障后的最大短路冲击电流(产生最大的电动力)和最大短路电流有效值(产生最大的发热量)与短路后的工频周期分量之间的关系；后者论证了电力系统由于同步发电机转子中在短路后存在衰减的直流分量，导致工频周期分量也是衰减变化的，同时给出了机端短路后起始次暂态电流与发电机状态以及参数之间的关系。上述两节的分析奠定了工程中三相短路实用计算的基础。

在工程中，通常三相短路的计算是计算短路后的短路电流工频分量的起始值，即起始次暂态电流。如果需要计算三相短路后不同时刻的值，通常利用短路电流计算曲线。短路

电流计算曲线是按照不同的发电机的类型，计算出在不同的短路点(即发电机至短路点的转移阻抗)，不同时刻下的短路电流工频周期分量的有效值。借助于短路电流计算曲线，只

要求出发电机至短路点的转移阻抗，就可按照发电机的类型，直接查出各时刻的短路电流值，从而大大简化工程计算。

(3)负荷或考虑为恒定阻抗，或考虑成电源，或不予考虑，需按照实际的工程情况来确定。通常负荷电流与三相短路后的短路电流相比非常小，而且短路后负荷对短路电流的贡献也较小，一般略去不计。但在短路点附近有较大容量的电动机负荷时，则需要将其作为电源来考虑，因为电动机在系统发生三相短路时会向系统中提供短路电流，提供短路电流的大小与电动机的容量有关。

(4)假设三相系统是对称的，三相参数是平衡的。

(5)不考虑磁路的饱和等非线性因素，三相短路计算可以采用叠加定理。

(6)忽略线路的电阻和电容，忽略变压器的损耗和励磁支路，全系统的元件均只用电抗来表示。

(7)不考虑短路时的过渡电阻。对于对称三相系统来说，三相短路后是否接地并没有任何影响，因此接地过渡电阻的大小不影响三相短路故障。而相间的过渡电阻通常是弧光电阻，这个过渡电阻很小(相间的弧光电压不超过额定电压的5%)，因此也可以忽略不计。另外，三相短路的计算目的是为了设备的选择和校验，采用金属性三相短路作为校验可以保证计算得到的短路电流最大。

6.4.2起始次暂态短路电流和冲击电流的计算

1.发电机等效次暂态电势的计算

根据第三章中用次暂态电势表示的发电机等效电路，次暂态电势是阻尼绕组在短路瞬间磁链不突变在定子中感应的等效电势，因此，在三相短路的瞬间不突变，即短路后瞬间的次暂态电势与短路前的次暂态电势相等

图6-12发电机次暂态电势与机端电压电流相量图

2.负荷的等效电势和等效电抗的计算

负荷中含有大量的异步电动机负荷，异步电动机的暂态过程可以看作是含有转差率s的同步发电机方程来分析。考虑到转差率s

一般很小(s

=2%~5%)，因此电动机的三相短

路计算模型与发电机的模型类似

异步电动机的等效次暂态电抗可以利用电动机的启动电流初始值来计算，在电动机启动时瞬间，次暂态电势为零，启动电流起始值为(标幺制)

因此，异步电动机的次暂态电抗(标幺制)为:

同理，异步电动机的次暂态电势可以用近似计算公式表示如下

其中，

UD[0]、ID[0]

分别为短路前瞬间异步电动机的电压和电流，

φD[0]

为短路前瞬间功率因数角。在电力系统中，通常接有很多异步电动机，要想得到所有异步电动机在短路前的状态是很困难的，所以在实用工程计算中，只有在短路点附近有大型异步电动机负荷时，才按照式(6-86)进行计算，其余的电动机都考虑为综合负荷的一部分。综合负荷通常取次暂态电势E″=0.8，

X″=0.35，在等效次暂态电抗中，包含电动机的电抗0.2和连接的降压变压器的电抗0.15。

由于异步电动机主要输出有功功率，因此其等效电路中的电阻相对较大，即由电动机提供的短路电流的衰减时间常数较小。因此，在实用计算中，负荷电动机产生的冲击电流

系数与发电机提供的冲击电流系数不同。

式中，kfm为负荷电动机的冲击系数，I″fh为电动机提供的短路电流的起始次暂态电流。通过选择合适的冲击系数，可以将电动机产生的周期分量电流的衰减考虑进去。对于小容量的电动机和综合负荷，kfm=1；容量为200~500kW的异步电动机，kfm=1.3~1.5;容量为500~1000kW的异步电动机，

kfm=1.7~1.8；;对于同步电动机，其冲击系数的选择与同容量的同步发电机的冲击系数相当。这样，计及负荷的影响因素后，故障点短路电流的冲击电流可以表示为

其中，

km为发电机的冲击系数，kfm为异步电动机的冲击系数。

3.短路电流起始值的计算

当同步发电机的次暂态电势、电动机的次暂态电势和次暂态电抗计算出后，电网的等值电路和参数计算也得到后，三相短路电流的计算就转化为网络的化简计算。网络化简的

目标是利用星三角变换得到各电源点与三相短路点之间的转移阻抗Xjs，然后即可计算出各电源提供的短路起始电流值，并根据冲击系数求取短路冲击电流值。

6.4.3短路电流计算曲线的制订及其应用

根据同步发电机机端三相短路的暂态过程分析可知，电力系统发生三相短路后，由于同步发电机转子绕组中存在稳态直流分量、衰减直流分量和衰减工频分量，因此会在定子

中感应出稳态工频分量、衰减的工频分量、衰减的直流分量和衰减的倍频分量。即使是工频分量，其有效值也是随时间而变化的，其衰减时间常数分别与阻尼绕组的衰减时间常数

T″d(次暂态过程)和励磁绕组的衰减时间常数T'd有关。

在工程中，直接计算各个时刻的短路电流是不现实的。为了方便工程中的应用，根据标准的电力系统模型，针对不同类型的发电机组，在不同的电气距离发生短路的情况下(用一个电抗来模拟从发电机至短路点的转移阻抗)，制订了三相短路电流工频分量随时间变化的计算曲线。在实际工程计算中，可以根据从发电机至短路点的转移阻抗，利用计算曲线直接查表就可得到各时刻短路电流的工频分量值。

1.短路电流计算曲线的制订

短路电流计算曲线制订的标准模型如图6-13所示，在变压器高压母线上接有50%的负荷，模拟发电机出口处的负荷；另外50%的负荷通过一个可调的电抗器接在短路点外侧，模拟输送到远方的负荷；可调的电抗器模拟电力系统三相短路点与发电机之间的转移阻抗(电气距离)。图6-13短路计算曲线制定的标准模型

改变

XL

的值可以得到在转移阻抗Xjs=XL+XT+X″d

下各时刻的短路电流值。这样，在实际应用中，只需要计算出发电机距离短路点的转移阻抗就可以通过短路计算曲线，查得各时刻的短路电流值。

实际上对于不同发电机，由于参数的差异，其计算曲线是有所不同的。为了克服由于发电机参数差异导致的计算误差过大，制订时短路曲线，通常统计若干发电机的参数(同

种类型，都是汽轮机组或者水轮机组)，依次计算出相应的短路曲线，并取其平均值作为短路电流计算曲线上的点。

2.短路电流计算曲线的应用

电力系统三相短路的实用计算中，只需求同步发电机的次暂态同步电抗X'd

，因为在计算曲线中已经考虑了负荷的影响，但在短路点附近的大容量电动机则必须考虑。然后利

用网络化简找到每台同步发电机至短路点的转移阻抗Xjs，转移阻抗的计算可利用星三角化简法。最后查短路电流计算曲线，得到各时刻的短路电流工频分量。如果实际发电机参数与计算曲线中发电机参数相差较大，需要进一步修正。

6.4.4短路电流周期分量的近似计算

在很多工程应用中，不需要做精确的短路电流计算，如在变电站设计时设备的选择和校验。在进行短路电流周期分量的近似计算时，通常不考虑由于发电机的作用导致工频周期分量的衰减。发电机的等效电势取为1，直接求出从发电机至短路点的等效转移阻抗，即可估算出短路电流周期分量的近似值

相应的短路容量为(取额定电压为基准电压)

若计算时，无法获取外部电力系统的全部状态和参数数据，则将外部系统等值为电源和内阻抗串联的形式。系统的内阻抗可以根据系统母线处故障时，系统提供的短路电流或短路容量来确定

如果系统阻抗未知，则可以根据与系统相连的出口断路器的开断容量作为母线处短路的最大短路容量。

6.4.5复杂网络的三相短路的计算方法

一个复杂的电力网络，已知其节点阻抗矩阵，假设在网络中的节点K

发生三相短路，求网络中任何支路的短路电流，如图6-14所示。将电力系统三相短路计算时所需要考虑的电源(包括同步发电机和需要考虑的大容量电动机负荷)作为注入电流源来考虑，例如，同步发电机，将以电势和电抗串联表示的等效电路转化为等效电流源和并联电纳，并将并联电纳计入电力系统的节点阻抗矩阵中。图6-14复杂系统三相短路示意图

假设系统中的K

点发生三相短路，短路过渡电阻为R

K

。三相短路电流的求解思路是：

首先求出短路点的短路电流̇I

K

，然后将̇IK

作为注入电流求出系统各节点的电压，最后根据支路导纳求解各支路的短路电流。

1.短路点短路电流的计算

已知各电源节点的注入电流和系统的节点导纳矩阵，可以用戴维南定理求解短路点的短路电流̇IK，如图6-15所示。图6-15戴维南等效电路

已知系统的节点阻抗矩阵，不难求得到戴维南等效电路中的等效电源̇Eeq和等效阻抗Zeq。等效电源即短路支路开路时K点的电压，为短路点K

短路前的电压

等效阻抗则可以通过在K点注入单位电流，令其它节点的注入电流为零，通过计算K

点的电压得到

从而可以求得故障支路的短路电流为

2.短路后各节点电压的计算

短路后系统中各节点电压的计算可以通过在短路点K

增加注入负的短路电流补偿来计算，如图6-16所示应用叠加原理可以将该网络分为两部分，一部分是K

节点没有注入补偿的短路电流，另一部分是只有在K

节点注入补偿的短路电流。很明显，前者就是故障前各节点的电压，而后者则可以通过节点阻抗方程来计算。

以节点m为例(m≠K)，

m

点的电压可以分为两部分，一部分是没有补偿注入电流的电压̇U(1)m，另一部分为仅考虑K

点补偿注入电流在m

点产生的电压̇U(2)m。图6-16叠加原理求各节点电压示意图

对于任意一个节点m

来说，第一部分电压为短路点没有补偿注入电流情况下的电