2026版湘教版高三数学一轮复习 向量的数量积课件

第三节向量的数量积高三一轮复习讲义湘教版第六章平面向量、复数课程标准1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会平面向量的数量积与向量投影的关系.

2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，力学问题与其他一些实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.0403考教衔接精研教材课时测评02考点探究提升能力教材梳理夯实基础01内容索引教材梳理夯实基础

最小非负角[0，π]相同相反

|a||b|cos<a，b>投影向量投影长投影

|b|cosα|a|cosαb·aλ(a·b)a·b+a·c3.数量积的坐标表示已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ=<a，b>.结论几何表示坐标表示向量的长度|a|=_________夹角余弦值垂直条件a·b=________________=0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤__________________微提醒(1)向量平行与垂直的坐标公式不要记混.(2)a⊥b⇔a·b=0是对非零向量而言的，若a=0，虽然有a·b=0，但不能说a⊥b.

0x1x2+y1y2

常用结论(1)平面向量数量积运算的常用公式①(a+b)·(a－b)=a2－b2.②(a±b)2=a2±2a·b+b2.(2)有关向量夹角的两个结论①两向量a与b的夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线.②两向量a与b的夹角为钝角⇔a·b<0且a与b不共线.自主检测

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3.已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=2，则|a+2b|=_________.

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5.(用结论)已知a=(1，2)，b=(1，1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为______________________.

返回考点探究提升能力考点一平面向量数量积的基本运算

自主练透由题意可得，|a|=1，|b|=1，a·b=0，则b·(4a－3b)=4a·b－3b2=－3b2=－3.故选A．1.(2025·福建福州模拟)已知向量a，b为单位向量，且a⊥b，则b·(4a－3b)等于A．－3 B．3 C．－5 D．5√

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求两个向量的数量积的三种方法

规律方法考点二平面向量数量积的应用

多维探究

典例1

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求平面向量的模的方法规律方法典例2

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求平面向量的夹角的方法

规律方法典例3角度3

向量的垂直(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x=A．－2 B．－1 C．1 D．2√

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有关平面向量垂直的两类题型

规律方法

典例4(－1，0)

规律方法

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(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a=(3，4)，b=(1，0)，c=a+tb，若<a，c>=<b，c>，则t=A．－6 B．－5 C．5 D．6√

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(4)(开放题)(2025·重庆第六次质量检测)已知向量a=(1，2)，b=(－2，1)，c=(m，n)满足(a+2b)⊥c，请写出一个符合题意的向量c的坐标_____________________.

(4，3)(答案不唯一)

返回考教衔接精研教材真题再现1.(2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a=(1，1)，b=(1，－1).若(a+λb)⊥(a+μb)，则A．λ+μ=1 B．λ+μ=－1C．λμ=1 D．λμ=－1√

教材呈现

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真题再现返回教材呈现

课时测评1.(2025·江苏扬州模拟)已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则(2e1－e2)·e2=A．－2 B．0 C．1 D．2√

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9.已知a=(k，－2)，b=(－3，5)，