2024-2025学年山东省德州市高一年级下册期末考试数学试卷（含解析）

2024-2025学年山东省德州市高一下学期期末考试数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若z=l+i,则7=（）

A.-2iB.-/C.iD.21

2.已知（1,2）是角a终边上一点，则tan2a=（）

4

A.——B.——3C.3D.w4

3443

3.在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了8名同学的第一个解答题的得分，得分为：10,5,7,8,7,

9,4,2,则这组数据的75%分位数是（）

A.6.5B.8C.8.5D.9

4.在正方体力BCD-ABiCWi中，E,尸分别是eg,CD的中点，则直线4r与8E所成角的余弦值为（）

号

ABCt

5.已知a,0是两个不同的平面，九是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）

A.若m〃九，nca,则B.若m〃a,则仁〃0

C.若mJ.九，nca,则mJ.aD.若mua,n1a,则m1〃

6.某次物理竞赛，得分在［120,130）的有15人，他们的平均分为128,方差为2,得分在，130,140/的

有9人，他们的平均分为136,方差为1,则得分在［120,140］的平均分与方差为（）参考公式：总体分为2

层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：n1,元s?,n2,y,s标记总的样本平均数为认样本方差

为$2,火而=工+卫,s2=叼研+项修+戢研.

H1+H2〃1+〃2町+八2

A.130,16.625B.131,17.875C.131,16.625D.130,17.875

.若0Va<4，cos^=则sin(a+*)=()

A.7V2Q戏D节

101010

8.已知一个圆锥的侧面展开图是个半圆，利用斜二测画法画此画锥时，直观图的底面曲线中心在原点0',

底面曲线与％'轴、y'轴正半轴分别交于A、B两点，已知A。'A8面积为《O.若圆锥被平行于底面的平面所

截，截去一个底面半径为T的圆锥，则所得圆台的体积为（）

7/3TT

A.c'-D.7T

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

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9.已知函数/'(%)=4cos(3%+0)(4>0,0)>0,0V3V7T)的部分图象如图所示，则()

A.to=3B.W=*

C.穴乃关于点传,0)对称D./㈤的一条对称轴为直线％=I

10.复数2=8$6+心也。(其中》为虚数单位，8WR),则()

A.\z\=1

B.|z+4-3i|的最大侑为6

C.当。=京九时，复数z对应的点在第四象限

O

D.当8=：时，z是实系数方程%2+px+i=o的一个虚数根，则p=—42

11.如图,在棱长为2的正方体力BCD-4B1C1D1中,M,N,P分别是C必的中点，Q是线段〃口

上的动点，R是线段8N上的动点，则()

A.存在点Q,使PQ〃平面MBN

B.MN与P8为异面直线

C.线段QR的最小值是2

D.经过M,B,C,N四点的球的表面积为97r

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量瓦=(-2,2)[=(m+l,2m)7=(2,—l),若(2五十石)/6，则实数m=

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13.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮

结束.设甲每次投篮投中的概率为:，乙每次投篮投中的概率为最且各次投篮互不影响.若甲先投，则甲获胜

的概率为.

14.已知TBC中,AB=AC=4,BC=2,将顶点C绕棱48旋转到C',当CC'=2Vl时，三棱锥A-BCC'

的体积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

某中学为研究本校高一学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了100位同学的数学成绩作为样本，得到以

[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140]分组的样本频率分布直方图,如图所示.

(1)求直方图中Q的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数；

(2)现在从分数在[80,90)和[90,100)的学生中采用分层随机抽样的方法共抽取6人，再从这6人中随机抽取

2人，求抽取的两人恰好一人分数在[80,90)内，另一人分数在[90,100)内的概率.

16.(本小题15分)

如图，在三棱锥P一力BC中，/)人上底面48&4。_18&「力=，1,.4。=8。=2,”是28的中点.

P

(1)求三棱锥P-的表面积；

(2)求二面角M-AC-8的平面角的正弦值.

17.(本小题15分)

已知直三棱柱ABC-Ai81clM814C.D,E分别是边力的口点.

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答案解析

1.【答案】B

【解析】【分析】利用共趣复数的概念以及复数的除法运算即可.

【详解】由题可知：z=l-i,所以；=壬==-i.

故选：B

2.【答案】A

【解析】【分析】根据任意角三角函数定义可得tana,再结合倍角的正切公式求解即可.

【详解】•••（1,2）是角a终边上一点，・•.tana=2,

2tana2x24

••­tan2a=----------5―=------y=-77.

1-tan2a1-223

故选:A.

3.【答案】C

【解析】【分析】将数据按升序排列，结合百分位数的定义运算求解.

【详解】将数据按升序排列可得：2,4,5,7,7,8,9,10,

因为8x75%=6,所以这组数据的75%分位数竽=8.5.

故选：C.

4.【答案】D

【解析】【分析】取。外的中点G,连接G4G居GE,可证ZG4尸为异面直线4尸与BE所成角或其补角.再根据

余弦定理计算COSNG4/7即可.

【详解】取DD1的中点G,连接G4,GF,GE,

因为E,G分别是CCi，DDi的中点,CCJ/DD、

所以DG=：DDi，CE=\CCX,

在正方体中，•••CC"/DDi,Ca=DD]

DG//CE,DG=CE,所以四边形DGEC为平行四边形，

所以GE”DC"AB,GE=DC=AB,

所以四边形4GE8为平行四边形，所以

故/G4F为异面直线小尸与BE所成角或其补角.

2222

设正方体的棱长为2,•・•£1,G分别是CCi，CD,DDi的中点，AAG=AF=V24-1=y/~5,GF=VI+I=

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由余弦定理得：COSZ.GAF="

所以直线期与BE所成角的余弦值为£

故选:D.

5.【答案】0

【解析】解：对于力，若7n〃7i,72ua,则m〃a或mua,故4错误；

对干B,若m〃a,7九〃6，则。〃£，或a与6相交，故4错误：

对FC,若mJ.",nca,则m与a相交，或mua,或m〃a,故C错误；

对于。，若mua,n1a,则m_L〃，故。正确.

故选：D.

6.【答案】C

【解析】【分析】按照分层抽样的平均数，方差公式计算.

1CQ

【详解】由题可知：=128+^x136=131,

s2=x[2+(128-131)2]+盘x[1+(136-131)2]=16.625.

故选：C

7.【答案】B

【解析】【分析】由二倍角公式求出sin*cosa的值，再利用两角和的正弦公式可求得结果.

【详解】因为0VaV汗,则04V夕

又因为cos；黑，则sin*—=甯,

所r-r-以i.isi-na=2rs.m5acos5a=2x--、x，—=3

乙乙LUX\zo

cosa=2cos2—1=2x-1=-

.n,.n3/2/4\/2/2

因此sin(a十今)=sinacos-十cosasin7=7x—+I-7)x—=一■—.

4452\5/210

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故选:B.

8.【答案】A

【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为，，根据题意得出l=2r,求出圆锥的高，杈据斜二测画

法和三角形的面枳可得出关于r的等式，解出r的值，根据题意得出圆台的上、下底面的半径与高，结合台

体体积公式可求得该台体的体积.

【详解】设圆锥的底面半径为r,母线长为I,由题意可得加=24，故l=2r,

所以，圆锥的高为/i=G^=YIr,

由斜二测画法可知。,力=r,乙4。，8=45°,

故5仙0,/7二人.°Bs\n4S°=|xrx|rx-^=^r3=浮解得丁=1.

故圆锥的高为h=Cr=C，

若圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为如勺圆锥，则圆台的上底面半径为下底面的一半,

故裁掉的圆锥的高为;九=苧，从而可知圆台的高为Jh=¥，

由台体的体积公式可知该圆台的体积为V=1TTX[12++1X4X苧=等兀，

3\2/2J224

故选：A.

9.【答案】AB

【解析】【分析】由图象得出4,3,再由/'(9=2即可求解出s=》可判断力、B；由/'(%)=—2sin3x,整

体代入法即可求解对称中心和对称轴，判断。、D.

【详解】由题图知：函数/lx)的最小正周期7=早=名，

-J

4

则。)二票=3,A=2,所以函数f(x)=2cos(3x+@).

T

将点&2)代入解析式中可得2=2cos(3x《+>),

即sinw=l，则夕=2〃乃+/(〃GZ),

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因为0V9V兀，所以0=1,故,4,8正确；

f(x)=2cos(3x+刍=-2sin3x,

・••/偿)=-2sin(3x匀=-2H0,

所以/•(%)的图象关于点传,0)不对称，故。不正确；

因为/居)二一2sin(3Xj)=0,

所以直线％=g不是函数/(%)图象的一条对称轴，故。不正确；

故选:AB.

10.【答案】ABD

【解析】【分析】利用复数的模的定义及同角三角函数的平方关系即可求解4根据复数的几何意义，转化

为两个点的距离问颍即可求解B：直接计算出物数z,再根据对应的点即可判断C：求出方程的虚数根，再结

合z是其一个虚数根即可求解D.

【详解】A.\z\=>/cos234-sin29=1,选项正确，

及由4可知复数z在复平面对应点轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，

忆+4-34表示的是点(-4,3)到以原点为圆心，1为半径的圆上点的距离，

其最大值为点(-4,3)到原点的距离加半径为：J(-4)2+32+1=6,选项正确：

C当。=擀"时，复数z=-噂+),对应的点为(一¥，：)，在第二象限，选项错误，

D当。时，复数2=苧+苧3实系数方程%2+p%+1=0的虚数根为：一"土卜「一小”",因为复数2=

苧+浮i是实系数方程%2+px+1=0的一•个虚数根，故子=浮」(P=苧，解得P=选

项正确，

故选:ABD,

11.【答案】ABD

【解析】【分析】对4Q为4劣的中点，根据PQ〃4G〃MN以及线面平行判定定理可得;对B,通过A]8〃PN,

而=B可得；对C,建系，求解线段QR的长度；对D,建系，求得球心的坐标，然后根据球的表

面积公式计算即可.

【详解】对A存在，当Q为为小的中点时，PQ〃平面M8N,如图，连接PQ,4g,

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由M,/V,P分别是A4i，C%,CiD#勺中点，所以PQ//A1C//MN,

由PQC平面M8MMNu平面MBN,所以PQ〃平面M8N,正确;

对8,如图，连接为3

由4[B〃PN,而4BClMB=B,MB,PN分别在两个平行的平面内，所以MN与P8为异面直线，正确;

对C,建立如图所示的空间直角坐标系，

所以Ai(2,0,2),Di(0,0,2),8(2,2,0),C(0,2,0),N(0,2,l),M(2,0,l),

设点Q(2%0,2),BR=ABN,则OWxWl,O<A<1,=(-2/1,0,A),

所以点R的坐标为(2-2A,2,A),

所以|QR|二J(2—24—2x)2+4+(/1-2尸,

所以当％=1-2=0,2=1时，|QR|取最小值，最小值为VT,C错误;

对D,设经过M,B,C,N四点的球的球心。坐标为(a,6,c),

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(OB=OC((a-2)2+(匕-2)2+c2=Q2+(匕-2)2+/fa=1

所以］OM=ON=(a—2)2+块+(c—l)2=a2+(b—2)2+(c—l)2=J

222222

(08=0M(a-2)+(b—2)+c=(a-2)+b+(c-l)(5=5

所以球的半径为。B=J(1-2尸+(1-2>+6I=去

所以球的表面积为47rx(I?=9兀，正确.

故选：ABD

12.【答案】-1

【解析】【分析】由向量平行的坐标表示计算.

【详解】由题意得2五+石二(m-3,2m+4),

由(2五+方)/6得一1x(m-3)=2(2m+4),

解得m=-1

故答案为：—1.

13.【答案】

乙I

【解析】【分析】分投篮1次、3次、5次甲获胜情况讨论，分别计算所对应概率，然后求和即可.

【详解】投篮1次甲获胜概率为：上

投篮3次甲获胜概率为：|x|x^=1：

投篮5次甲获胜概率为：|x|x|x|x|=^-.

所以甲获胜的概率为号+"+/=捺

故答案为：掾

14.【答案】竽或|旧

【解析】【分析】由旋转的性质确定三棱锥A-8CC'的特征，求出其高即可求得体积.

【详解】在三棱锥力一BCC'中，AC7=AC=AB=4,BC/=BC=2,

由CC，=272,得BC，2+BC2=8=CC'2,则，c'8C=90。，

取CC，中点0,连接40,8。，则80=。,4。="4c2—g=E，

显然BO2+4O2=16=482,则40180,又A01CC',BOcCC'=O,BO,CC'u平面8CC',

因此40L平面BCC',三棱锥4一8。。'的体积了=!5,88，«。=竽.

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15.【答案】解：（1）由频率分布直方图可得（0.006+0.012+0.04+0.026+十+0.006）x10=1,

解得Q=0.01

本次联考该校数学成绩在［80,90）的频率为0.006xl0=0.06,

在［90,100）的频率为0.012x10=0.12,

在［100,110）的频率为0.04x10=0.4,

因为0.06+0.12=0.18<0.5,0.06+0.12+0.4=0.58>0.5

所以中位数在［100,110）之间，设为m,

则0.06+0.12+（m-100）X0.04=0.5

解得m=108

所以本次联考该校数学成绩的中位数为108.

（2）成绩在［80,90）的人数与成绩在［90,100）的频率的人数之比为1:2

根据分层抽样可知抽取的6人中成绩在［80,90）的有2人，成绩在［90,100）的频率的有4人

假设成绩在［80,90）的2人分别记为公，42，成绩在［80,90）的4人分别记为名,％,%•随机抽取两人的样

本空间为

｛（4,旬,（4,8）（4,%）,（公,%）,（4,%）,（4，，）,（A2t附）,（4,%）,

（公,%）,（为,/）,⑻,巳）,（B1,氏）,⑸,%）,⑸,%），（%,%）｝共15个

两人中恰好一人分数在［80,90）内,另一人在［90,100）内包含

｛4,8。（公,82）,（4,%）,（公,%），

（4,%）,（42,私）,（力2,%）,（力2'"）｝共8个

所以P=4

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【解析】【分析】（1）由频率分布直方图各组频率之和为1可求a的值；根据直方图中的估算中位数的求法

计算中位数.

（2）由［80,90）和［90,100）的频率确定求出这两组分层抽样的人数，再列出从这6人中随机抽取2人的所有可

能恃况个数，及其中恰好一人分数在［80,90）内，另一人分数在［90,100）内的个数，进而求得相应的概率.

16.【答案】解：（1）因为P4，平面ABC,BCu平面ABC

所以PA1BC.

乂因为4c1BC,ACCiPA=A,AC,PAu面P4C,

所以8c_L［fiiP4C.

又PCu面P4C,所以BC1PC

又因为P41平面为u平面ABC,

•••PA1AB,

vAC1BC,PA=>f2,AC=BC=2

所以718=2JI,PC=标

=，

所以S.PAC=2x2x\/~2—V2,S.2^2X2=2

1111「r~

S&PAB=5x2V2xV2=2,SAP8C=5x2xv6=v6

乙乙

所以三棱锥P-4BC的表面积S=/6+AA2+4

（2）取AC中点N,取中点E,连接MN,ME,EN.

由⑴知PCI8C,

•••〃是PB的中点，

•••在RSPCB中，MC=^PB,

又241AB,

•••在RSPAB中，MA=^PB,

所以MC=

所以MNJ.jC

乂因为NE//BC,4C_LBC

所以NE14C

又因为面AL4cn面力BC=AC

所以NMNE为二面角M-AC-8的平面角.

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在RtAMEN中，ME=：PA=号,EN=加=1,MN=华,

所以siMMNE=^=字

P

【解析】【分析】⑴由PA1平面力BC,AC1B&根据线面垂直的性质和判断证得BC1PC,PA1AC,PAIAB,

分别计算S.PAC，S.ABC,S.PAB，S.P£C即可得三棱锥P-ABC的表面枳；

(2)取AC中点N,取AB中点E,连接MN,ME,EN.可证±MNE为二面角M-AC-B的平面角，在RsMEN

中计算sin4MNE即得.

17.【答案】解：(1)证法一：取4cl中点F,连接EF,FA,则即为AA/IG中位线，

所以EF〃*1%

又4。//,力1Bi，所以EF//4D

从而四边形力OEF为平行四边形，所以0。/4产

乂因为/IFu面力CCia,0E不在平面4内，

所以0E〃面力。。遇1

证法二：取8c中点F,连接E凡DF,贝IJDF为△48c中位线

所以。F〃力C

在三棱柱ABC-&B1G中，C\E"CF且C1E=CF

所以四边形CiCFE为平行四边形，所以瑁V/C的

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因为nDF=尺且EROFu平面DE尸

又4cnCCi=C^.AC,CC1u平面ACCMi

所以平面。E尸〃平面力CG4

又DEu平面。EF,所以DE〃平面ACG为

(2)由题可知4411AB,AB1AC,AA1QAC=A.

所以48_1_面441的。

因为三楂锥Ci一4C8即三棱锥8-4。传

所以V三蒯的TiGC=E4cle-^=5

所以/BxACx/Mi=8,^ACxAA1=4

连接力g,则“C遇为Bg与平面ACG&所成的角仇且84J.4CI

由均值不等式4c2+AAt2>2AC-AAr=8

所以tanG=,2:<-L=

、"+皿2"82

(当且仅当4c=4久时等式成立)

故tan。的最大值为苧

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【解析】【分析】（1）证法一：取必加中点F,根据中位线定理可知得到四边形为平行四边

形，进一步得到DE/"凡最后根据线面平行的判定定理判断；证法二：取BC中点F,利用面面平行判定定

理得到平面平面4CG4，然后得到DE〃平面4CG4：

(2)利用P三次留「必理三拴伽-句。储，得到ACX/%=4,找到乙8C遇=0,然后表示tan。=兼=

,2，使用不等式求解即可.

IAC2+AA12

18.【答案】解：(1)由沆,元=2b+3c得CasinC+acosC+8+c=2b+3c,

所以CasinC+acosC=匕+2c

由正弦定理得，5sin4sinC+sin力cosC=sinB4-2sinC

故V3siih4sinC+sin4cosc=sini4cosc+cosAsinC+2sinC

所以V"5sinAsinC=sinC(cosA+2)

因为CW(0,7i),sinC工0,所以CsinA—cos/=2,整理得sin(力一勺=1.

又因为4G(0,初4YY所以A=等

O\OO/oZJ

(2)由丽=2就得祠=^AB+^AC.

得丽2

|2=(LAB+l^c)=^AB+^AC+^AB-AC

因为AB=c，/C=b,4M=2,即|而?|=2

所以4=5c2+^b2+^b•ccos等=Jc2+^b2-c

VJJJJJ

即36=c2+4b2—2bc=(c+2b)2—6bc

(i)因为S.ABC=B|j|dcsin/1=1V~3»从而be=18,

所以c+2b=12

(ii)令边A8,AC的中点分别为E,F,由点。为△ABC的外接圆圆心，

^0ELAB,OFLAC

AOAB=(AE+EOyAS=AE-AB==1c2,

AOAC=(AF+F0)-AC=AF-AC=^AC=^b2,

所以而-AM=A0-(^AB+^AC)=^AO•AB+•AC=7(2b2+c2)=6

\35/55b

即2〃4-c2=36

又3+4b2-2bc=36

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联立方程组，解得b=0(舍)或b=c=2门

所以SA{sc=；bcsinA=3\f3

【解析】【分析】(1)先利用数量积的坐标公式将沅•元=2b+3c转化，再利用正弦定理结合两角和差的正

弦函数公式对等式进行化简，最后根据角的范围求出4

(2)由两=2就根据向量的线性运算可得询=《而+弓近，再利用数量积的运算律得到36=c2+4房一

2加=(c+2b)2-6%.

(i)利用SrBc=?C,结合力求得加，即可求得c+28；

(ii)令边48,4C的中点分别为瓦巴，先根据0El/18,0F14C,求得彳3•瓶二^。2,

AO-AC=^b2,由同祠=6及丽=J而+,正利用数量积的运算律求得2川+c2=36,再结合c?+

4b2—2bc=36,解得b=c=2，^,即可求S“8L

19.【答案】解：(1)若甲只掷骰子1次，甲赢的情况如下.

甲掷出向上的点数为1,乙掷出向上的点数为6,此时有1种情

甲掷出向上的点数为2,乙掷出向上的点数为6、5,此时有2种情况

甲掷出向上的数点为3,乙掷出向上的点数为6、5、4,此时有3种情况

依此类推，甲赢的情况共有1+2+3+4+5+6=21种

故甲赢的概率为翌=得.

(2)若甲掷骰子2次，甲血的情况如下.

②甲第1次掷骰子向上的点数为1.

第2次掷骰子向上的点数为1,乙掷骰子向上的点数为6,5,此时有2种情况;

笫2次掷骰子向上的点数为2,乙掷骰子向上的点数为6、5、4,此时有3种情况;

依此类推

第2次掷骰子向上的点数为5,乙掷骰子向上的点数为6、5、4、3