导数与函数的极值、最值专练-全国高考数学一轮复习（提高版）

导数与函数的极值、最值

链教材夯基固本

激活思维

1.（多选）下列四个函数在x=0处取得极值的是（）

A.y—>?B.y=f+1

C.y=|x|D.y=2x

「1-

2.（人A选必二P94练习Tl（3）改）已知函数於）=6+12x—Pxd-y3,则於）的最

大值为,最小值为.

3.（人A选必二P92练习T1）已知函数/（x）的导函数y=/（无）的图象如图所示，则函数兀0

的极大值点是,极小值点是.

4.（人A选必二P104复习参考题T9）已知函数式x）=x（x—c）2在x=2处有极大值，则c

的值为.

5.（人A选必二P104复习参考题T14）用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框

架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5m,那么高为______________m时，容

器的容积最大，最大容积为nA

聚焦知识

1.极值

（1）设函数八功在点X0附近有定义，如果对X0附近的所有的点，都有|x）_Axo）,那么

/（X0）是函数/（x）的一个极大值，记作y极大值=式无0）,X0为/（x）的；如果对X0附

近的所有的点，都有那么武回）是函数兀0的一个极小值，记作y极小值=/（xo）,尤o为

/U）的.极小值点与极大值点统称为，极大值与极小值统称为

极值.

（2）当函数八尤）在X0处连续时，判断风⑹是极大（小）值的方法：

如果X<xo有/（尤）—o,X>xo有/（尤）_0,那么八X0）是极大值.

如果尤o有/（x）_0,x>xo有了（无）_0，那么式刈）是极小值.

2.最值

在闭区间［。，切上的一定存在最大值和最小值，最大值是区间端点值和区

间内的极大值中的最大者，最小值是区间端点值和区间内的极小值中的最小者.

3.常用结论

(1)在函数的定义区间［。，切内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有

一个(或者没有)；

(2)给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑〃xo)=O,又要考虑检验“左正右

负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！

研题型素养养成

举题说法

目顿n求函数的极值

视角1极值点的判断(识图)

例1-1(多选)若函数人x)的定义域为(一4,3),其导函数/(x)的图象如图所示，贝1()

A.y(x)有两个极大值点

B.7(x)有一个极小值点

c.AO)>/(i)

D./(-2)>A-3)

变式1-1(多选)己知函数人尤)的定义域为(a,b),导函数了(功在(a,6)内的图象如图所

示，贝U(BCD)

A.y(x)在(a,b)内一定不存在最小值

B.7(x)在(a,b)内只有一个极小值点

C.函数7U)在(a,6)内有两个极大值点

D.函数/U)在(a,6)内可能没有零点

视角2求极值

Sx

例1-2(2024•马鞍山三榭己知函数/L3nx+a^+ZS)一了，直线/在y轴上的截

距为3,且/与曲线y=/(x)相切于点(1,#)).

(1)求实数。的值；

(2)求函数式尤)的单调区间与极值.

变式1-2(2024・威海二模节选)已知函数/(x)=lnx—办+1,求八%)的极值.

目帧日根据极值求参数

b

例2(2025・八省联考)已知函数"x)=aInx+--x.

(1)设a=l,b=-2,求曲线y=/(x)的斜率为2的切线方程;

（2）若x=l是大x）的极小值点，求b的取值范围.

2、，

变式2（2024.连云港、如皋联考节选）若函数“r）=lnx+丁工（。＞0）有极值点，则实数

a的取值范围为-

目标间求函数的最值

视角1不含参函数的最值

例3-1（2025•大同期初）已知函数人的二加+办2—x（。，bCR）的图象在点（1，犬1））处的

7

切线方程为y+g=0.

（1）求函数式元）的解析式；

（2）若对于区间［一3,3］上任意两个自变量的值Xi，X2,有尤1）一式及）区c,求实数c的

最小值.

—/+3尤+2

变式3-1（2024•杭州二模）函数负尤）=的最大值为.

出+1

视角2含参函数的最值

a2

例3-2（2024・吕梁二模）已知函数/（x）=alnx—2x一工（°力0）.

（1）当。=1时，求五尤）的单调区间和极值；

（2）求犬犬）在区间（0,1］上的最大值.

变式3-2（2024•南京二模节选）已知函数1x）=:~~/一■，其中。＞0,若其x）在区间［0,

团上的最小值为《求实数。的值.

随堂内化

1.（2021•全国乙卷）设。#0,若为函数兀1）=〃。一〃）2（x—力的极大值点，贝IJ（提示：

直接画八%）的图象X）

A.a<bB.a>b

C.abVa1D.ab>c^

2.（2024•张家口一模节选）函数八无）=胃的极大值为,极小值为

3

3.（2024・黄山一检改编）已知函数於）=六一4"+〃2］口］在1=1处取得极大值，则实数

〃=.

［（%+。）2,—1,

4.（2025・聊城期中）设大工）=,,若八—1）为危）的最小值，则实数〃的取

［eX+Q,x>~l.

值范围是.

配套精练

练习1

一、单项选择题

1.设函数兀0的导函数为了（无），y=/（无）的部分图象如图所示，贝1（）

（第1题）

A.函数作）在（一/1）上单调递增

B.函数八功在（0,4）上单调递增

C.函数/（X）在尤=3处取得极小值

D.函数尤）在彳=0处取得极大值

b

2.（2022•全国甲卷）当尤=1时，函数/U）=aln尤+最取得最大值一2,则〃2）=（）

A.-1B.一2

C.4D.1

3.（2024.岳阳二模）函数加）=6+12无一V的极小值点为（）

A.(4,-10)B.(-2,-10)

C.4D.-2

4.已知函数八尤）=5：2—（1+。）尤+。In尤在x=a处取得极大值，则实数。的取值范围为

）

A.[1,+8)B.(1,+8)

C.(0,1)D.(0,1]

二、多项选择题

5.（2023・新高考H卷）若函数X%）=〃lnx+i+j（〃W0）既有极大值也有极小值，则（）

A.bc>0B.ab>0

C.b2+Sac>0D.ac<.0

6.（2025•常州期中）已知函数/（x）=（x—a）2（x—b）（a<6）,2为1x）的极大值点，则下列结

论正确的有（）

A.。=2

B.若4为函数人功的极小值点，则6=4

C.若兀0在崖，［内有最小值，则》的取值范围是（|，+8）

D.若五尤）+4=0有三个互不相等的实数解，则》的取值范围是（5,十8）

三、填空题

7.（2024.苏中苏北八市三调）设a为实数，若函数八外二学一渥+1在x=—4处取得极

大值，则a的值为.

8.（2021•新高考I卷）函数五x）=|2x—l|-21nx的最小值为.

9,若函数於）=一某+x在（a,10—a2）上有最大值，则实数a的取值范围是

.(提示：〃-3〃+2=(4+2)(。-I)2)

四、解答题

10.(2024・汕头一模)已知函数兀行=以一:一(a+1)1nMadR).

(1)当。=一1时，求曲线>=兀0在点(e,/(e))处的切线方程；

(2)若大尤)既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围.

e'—1

11.(2024•苏锡常镇二调)已知函数於)=1一+“Inx(aGR).

(1)当a=0时，证明：/(%)>1；

(2)若式x)在区间(1,+8)上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围.

12.(2024・茂名二模)已知函数"¥)=匕"sinX—ax.

(1)若曲线y=/@)在点(0,10))处的切线方程为1+y=0,求实数〃的值;

(2)若。=3*求函数於)在区间r［。，当7i上的最大值.

练习2

A组夯基精练

一、单项选择题

1.(2024•承德二模)设。为实数，若函数兀r)=$3一办2+3在尤=1处取得极小值，则。

=()

A.1B.；

C.0D.-1

2.已知函数yCx)=¥+(a—DS+x+l没有极值，则实数a的取值范围是()

A.[0,1]B.(—8,O]U[1,+8)

C.[0,2]D.(—8,0]U[2,+°0)

3.（2024・苏中苏北七市二调）若函数/0）=/*+2犬有大于零的极值点，则实数a的取值范

围为（）

B.(T+°°)

A.(-2,+8)

一£)

C.(―8,-2)D.(-8,

4.（2022•全国乙卷文涵数人x）=cosx+（x+l）sinx+l在区间［0,2兀］上的最小值、最大值

分别为（）

,兀713兀n

A-一了2B.T'2

„7171,„c3%兀，〜

C.—2>1+2D.~~2>5+2

二、多项选择题

5.（2024•新高考II卷）设函数兀0=2/一3办2+1,贝1（）

A.当a＞l时，五尤）有三个零点

B.当。＜0时，x=0是兀c）的极大值点

C.存在a,b,使得x=6为曲线y=/a）的对称轴

D.存在a,使得点（1,川））为曲线＞=段）的对称中心

6.（2024•新高考I卷）设函数/（x）=（x—Ip。-4）,贝女）

A.x=3是加）的极小值点

B.当0cxe1时，

C.当1＜尤＜2时，一4＜六2无一1）＜0

D.当一1＜