山东省淄博市2024-2025学年高一年级下册期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年度第二学期高一教学质量检测

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.复数「（1+D的虚部是（）

A.-1B.IC.-ID.i

2.按从小到大排列的一组数据90,92,92,93,93,94,95,96,99,100的80%分位数为（）

A.96B.96.5C.97D.97.5

/\

3.己知sin，=，,

则sin--ie=()

3<2J

77r45/2D.一逑

A.-B.——

9999

2

4.在中，力。二448,点上平分线段CO.设而=不，AC=b,则族=（）

5.已知圆台。|。上下底面圆的半径分别为1,3,高为4,则该圆台的侧面积为（）

A.4&兀B.4Ac.86兀D.87571

6.在正方体力3。。-44GA中，足为的中点，则异面直线4E与8。所成角的余弦值为（）

V5后

c百

.553

7.在V43C中，角4B,C的对边分别为a,b,c,若上士=———,则4=()

c-hsinJ4-s\nB

第1页/共5页

兀71兀-2兀

A.—B.—D.一或一

6333

71

8.已知函数/(x)=J3sin-cos,若将曲线y=/（2x）向左平移展个单位长度后，再向

X——3J

上平移1个单位长度得到曲线y=g（x）,若关于x的方程g（x）=〃?在0,—有两个不相等实根，则实数6

14

的取值范围是（）

A.[0,3]B.[0,3）C.[2,3）D.[72+1,3）

二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知向量5二（2,-1）&=（11）,其中ZsR,则下列说法正确的是（）

A,若GJ_B，贝"的值为2

B.若1//5，则/的值为

c.若。与E的夹角为锐角，贝W«-8,2）

D.若Z=1,则。与B的夹角的余弦值为巫

10

150

10.已知一组样本数据%,电，…，/）的方差$2=右£（七一2），则（

5。/=1

A.这组样本数据的平均数为2

B.数据3演+1,3X2+1,...,3X5O+1的方差为

C.若％,X2，L,/5的平均数为1，方差为10，%26，%，…，工50的平均数为3，方差为6,则玉，3…，/0的

方差为9

D.现构造新的样本数据上上巨,，匕。+%+X,则该组样本数据的方差大于原样本数据的

2222

方差

11.已知正方体48co—Z/CA的棱长为4,P,。分别是棱84，QA上的点（不包括端点），且

BP=DQ,则下列说法正确的是（）

A.正方体ABCD-力£G"的外接球的表面积为192兀

第2页/共5页

B.若平面力尸。与平面力用8的交线为/,则尸。/〃

Q

C.若平面4尸。与平面/8C。所成的二面角为巴△力产。的面积为S,P!ij|cos（9|=-

D.若BP=PB、,则平面/尸。截正方体/BCO—48cA所得截面的面积为8JZ

三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量5二（2,0）,6=（2,2）,则。在石上的投影向量的坐标为.

13.已知函数/（x）=sin（5+g[3>0）在区间0,若上单调递增，则。的取值范围为,

14.在锐角V4BC中，角A,B,C的对边分别为。，h,c,且/—2"COSC=S—C)2,b=sinB,

则V/AC的中线BD的最大值为

四,解答题：本题共5小题，共77分•解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

15.随机抽取100名学生,测得他们的身高（单位：cm）,按照区间1160,165）,“65,170）,1170,175）,

[175,180）,[180,185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示.

（1）求频率分布直方图中x的值及身高在170cm及以上的学生人数;

（2）将身高在口70,175）,[175,180）,[180,185]区间内的学生依次记为4,B,C三个组,用分层随机

抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数.

16.已知函数/（x）=2cos（公1+。）卜>0,取|<yj的部分图像如图所示,

（1）求/卜）解析式;

第3页/共5页

(1)证明：上///平面力QO；

(2)证明：4O_L平面8£尸，并求45与平面8环所成的角狗正弦值;

(3)若NPOF=120。，求三楂徒P—48c的体积.

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2024-2025学年度第二学期高一教学质量检测

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.复数「（1+D的虚部是（）

A.-1B.IC.-ID.i

【答案】B

【解^5]

【分析】直接由复数的乘法运算把给出的复数化简为。+力i（〃，£R）的形式，则复数的虚部可求.

【详解】因为i・（l+i）=i+，=T+i,虚部为1.

故选：B.

2.按从小到大排列的一组数据90,92,92,93,93,94,95,96,99,100的80%分位数为（）

A.96B.96.5C.97D.97.5

【答案】D

【解析】

【分析】根据百分位数的定义计算.

【详解】这组数据共10个数，10x80%=8,

96+99

所以80%分位数为第8个、第9个数据的平均数，即-------=97.5.

2

故选：D.

1/\

3.已知sinO=-,则sin--23=（）

3【2）

第1页/共18页

472

~9~

【答案】A

【解析】

【分析】由诱导公式和二倍角的余弦公式化简可得结果.

【诘解】sin--20=cos2^=l-2sin20-l-2xf—1=—.

(2)⑴9

故选:A.

2

4.在V/8C中，AD=点E平分线段CO.设荏=八％=石，则蔗二（）

A.B.-1a_——1brD.-a+-b

323232

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面向量基本定理，下二;（而+配），再由

化简即可求解.

【详解】因为力。=243,即而=2万，

33

又点E平分线段CO,

所以而=」（而+%）=，而+L万=，x2刀+，刀=

2、）22232

故选：D.

5.已知圆台。|。上下底面圆的半径分别为1,3,高为4,则该圆台的侧面积为（）

A.4在兀B.46兀C.&J%D.8石兀

【答案】D

【解析】

【分析】先求出圆台的母线长，再由圆台侧面积公式计算即得.

【详解】由圆台q。上下底面圆的半径分别为4=1,与=3,高为力=4,

第2页/共18页

可求得母线长为/=1化-疔+h2=^（3-1）2+42=24.

则S回台例=兀«+弓）/=471x275=86九

故选：D.

6.在正方体48CQ—4与。1。中，七为。A的中点，则异面直线力E与8A所成角的余弦值为（）

A.立B.至C.立D.巫

5535

【答案】B

【解析】

【分析】取CC的中点/，连接BF,DF,设正方体4?CO-44GA棱长为。，则/。田厂为异面直

线,4E与3"所成角或其补角，利用余弦定理求解.

取CG的中点/，连接BF,D】F,设正方体力BCD-44GA棱长为a,

因为4B=EF,4B//EF,所以四边形48尸£为平行四边形，

所以8/〃力E,则尸为异面直线4E上所成角或其补角，

由BD.=瓜,D,F=BF=卜+%=\L,

25253__

D,B2+BF2-D,F23,后

所以c"*吁2DRBF=

2缶.旦5,

2

故选：B

^.a-bsinC…

7.在V/BC中，角力，B,。的对边分别为,〃，/bc,若二.，则力一（

c-bsiM+sin5

第3页/共18页

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可得答案.

【详解】因为^―7二.sm由正弦定理得―-=—^―,整理得〃+/一/=从，

c-bSIFL4+sin5c-ba+b

b2+c2-be1

由余弦定理得cos4=_____

2bc2bc~2

又因为/£(0,兀)，所以力=1.

故选:B.

8.已知函数/(工)=瓜由卜一1若将曲线y=/(2x)向左平移々个单位长度后，再向

上平移1个单位长度得到曲线y=g(x),若关于*的方程g(x)=m在0,行有两个不相等实根，则实数M

的取值范围是()

A.[0,3]B,[0,3)C.[2,3)D.[72+1,3)

【答案】C

【解析】

【分析】先对/(x)进行化筒，再根据三角函数的平移规律得到g(x)的表达式，结合函数图象分析

g(x)=〃?在0,一77T上有两个不相等实根时〃?的取值范围.

【详解】/(x)=V3sin^x-y-cos^x-y=2sinx-|=-2cosx

则/(2X)=-2cos2x

­/

cfc兀

将y=/(2x)向左平移看个单位，得：—2cos2x-f=-2cos2x+—

k6J

再问上平移1个单位，得g(x)=-2cos(2x+^)+l

当工£。，得AC兀.「兀4兀

时，令Z=2x+-,贝Ij/w-

663

第4页/共18页

方程g(x)二加即cos/=—

兀471

作出函数歹=COS/在的图象：

63

要使COSE=匕”有两个解，结合图象可知二”£(一1,一!],解得2Wm<3,

222

因此，当me[2,3)时,g(x)=m有两个不等实根.

二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.己知向量1=(2,-1),5=(1/),其中丘R,则下列说法正确的是()

A.若G上6，则，的值为2

B.若万//5，则/的值为

c.若。与E的夹角为锐角，则Z«-8,2)

D.若z=1,则5与E的夹角的余弦值为巫

10

【答案】ABD

【解析】

【分析】由向量的坐标运算可逐项判断.

【详解】对于A,G_Lb，则a•，=2—，=0=>f=2，故A正确；

对千B,若•&1/b，则2f—(―1)xl=0=>f=-/,故B正确；

对于C,G与〃的夹角为锐角，所以a=2—/>0=>1<2，

又/=时，2与B的夹角为0,

2

第5页/共18页

所以,与B的夹角为锐角，/（-g,2）,故C错误；

_/、_ra-b2-1VlO

对于D,"1,八°』）…‘乱=丽=7r7r而，故DOO；

故选：ABD.

J50

10.已知一组样本数据X,%，…，/0的方差6'2=示2（七一2），则（）

50«.|

A.这组样本数据的平均数为2

B.数据3%+1,3々+1,…,3.%+1的方差为9s2

C.若4%，L,积的平均数为I，方差为10，％6，工27,…，工50的平均数为3，方差为6,则不户2,…，也0的

方差为9

D.现构造新的样本数据空上，上答•,!,，三q玉则该组样本数据的方差大于原样本数据的

2222

万左

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据方差意义可求平均数，即可对A判断：由方差的性质可对B判断；根据分层的方差再结合总

体方差的求法即可对c判断；利用方差变形公式1]0二求出新的方差

S；$+…++（^^）_/＜专[32+£+*+看+…+4+4）卜F=s；，即可对D

判断.

【详解】A：由题知根据方差的求解公式

2=：[（$一x）'（工2一x）,（七一x）+...+（凡，-x）]=：t（七一1）

可得x=2，故A正确:

B：由数据石,％2,…，网0的方差为S?,根据方差的性质可得数据3再+1,3/+1,…,3&o+l的方差为9s2,

故B正确；

C:由A知总体平均数为嚏=2，若玉,％2，L,/5的平均数为1，方差为10，々6，工27,…，/0的平均数为

3,方差为6,

第6页/共18页

m9寸十卜/一人）2

则由公式『=。十,可得

〃？+/,

=却0+（1.2门+却+（3一2）2]

9,故C正确;

D：原数据的平均数为x，设新数据的平均数为一2222=7并设

y=

50

新数据的方差为s；,

则由方差公式=-£；;__2可得

nn

,1玉+工2X工49+工50£。+%-2

51-=—4-2+•••++-X

5。122，2

1X]++12+工2+2工213+工3___+2//50+工50+玉+2xRo+工50

-X

504444

<±[2巧2+24+2.+2x；+…*2d+24+2.4+24]_/=J_「++…+

504444502222

=6_X：+%；+4+x：H---1-X；g+X；。]一X=S2,故D错误:

故选：ABC.

11.已知正方体力的棱长为4,P,。分别是棱。。上的点（不包括端点），且

BP=DQ,则下列说法正确的是（）

A.正方体ABCD-44GA的外接球的表面积为192兀

B.若平面4尸。与平面48CO的交线为/，则。。/〃

Q

C.若平面4P。与平面/8CO所成的二面角为6,△4夕。的面积为S,则|cos6|二三

D.若BP=PB「则平面40。截正方体力88—44GA所得截面的面积为8

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A,根据正方体力8。。-44GA的体对角线长即外接球的直径计算即可排除；对于B，先

证P。//平面/8CO,再由线面平行的性质易得结论：对于C,取3。的中点M,P。的中点N,由

PQ//1//BD得到ANtl,AM11,即得NM/N即为平面4PQ与平面力BCD所成二面角的平面

第7页/共18页

角，计算即可判断；对于D,连接G尸，G0，证明四边形G。力尸为菱形，且为平面*尸。截正方体所

得的截面，即可计算判断.

Arl

【详解】正方体ABCD-4MA的外接球的半径A=一■=26，•・・正方体ABCD-46cA的外接

2

球的表面积为4兀代=47rx(26『=48兀，故A错误；

在正方体力4。。一44。1。1中，・・・8。=。0,BP//DQ,

・•・四边形利”为平行四边形，，尸0//6Z).

又因尸。仪平面力4CO,8。<=平面43。。，・・・尸。//平面/14。。.

因P0u平面力00,平面力P0D平面48co=/,，2。/〃，故B正确;

取8。的中点M,2。的中点N,连接4〃,4N,MN,易得力P=4Q,4B=AD,；.AN工PQ,

AM1BD.

又PQHIHBD,：,ANLI,_L/,/M4N即为平面/尸。与平面/8CO所成二面角的平面角.

♦:M、N分别为BD、PQ的中点、，：.MNHBP,则有MN_L平面力8CZ).

人/AMx-PO2y/2x-x4y[2

AA//.**,gXQ

又,4〃u平面/8C。，・・・MV14W,|cos<9|=--=--------—=-------々------=-,故C正

ANANx-POSS

2〜

确；

连接G尸，CQ「；BP=PB],R0分别是棱网,。叩的中点,

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・•・c/=GQ=力尸二月0=26.易得△力与尸。全等，

权乙C\PQ=ZAQP,ZC}QP=ZAPQ,：.C}P//AQ,CQHAP,

・•・四边形C.QAP为菱形，且为平面APQ截正方体ABCD-%用G"所得的截面,

故截面面积为•4C='x40x4百=8#，故D正确.

22

故选：BCD.

三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量5二（2,0）,5=（2,2）,则）在石上的投影向量的坐标为

【答案】（1』）

【解析】

【分析】根据投影向量公式直接计算即可.

【详解】因为:=（2,0）,3=（2,2）,所以。,B=2x2+0x2=4,B=万下=2收,

所以1在5上的投影向量为

故答案为：（1,1）

13.已知函数/（X）=sin（ox+^）o：＞0）在区间0,y上单调递增，则0的取值范围为.

【答案】

【解析】

【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.

7TTIIconit

【详解】,•*xe0,-^-=a)x+—e

66

第9页/共18页

又函数y=sinr在一金,金单调戏增,

2(31兀/兀

----+——___1

所以〈362,解得0〈”W—.

。＞02

故答案为：(o，!.

(2」

14.在锐角V/I8C中，角A,B,。的对边分别为。，b,C,且/一2。力cosC=(b-c)2,b=sinB,

则V44c的中线BD的最大值为.

【答案】

1616

【解析】

【分析】根据题意可得B=C,。=sin4,c=sinC,利用向量的模长公式可求

就==(COS23+：］，根据二次型函数求最值即可

28J64

A

【详解】

BC

122222

a-labcosC=a~-2ab"”——£_=c-b=(b-c)=b+c-2bc,

2ah')

即2〃=2〃c=>b=c，即8=C,XZ)=sin5,所以。=sin=sinC,

所以而=g+比卜

乂V/8C的中线BQ,

丽2T函+砌=；(c2+a2+2accos8)

=—(sin2^4-sin2(兀-28)+2sin(兀-28)sin8cos4)

2

-fi°s23+2sin22B]=1(-4cos2B-cos28+5

4(2)

第10页/共18页

81

—cos28+—

2I8；64

又V48c为锐角三角形，所以兀)，cos2^e(-l,0),

即cos25=-1时，|丽|=也.

8।Imax]6

故答案为：巫

16

四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

15.随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位：cm),按照区间[160,165),[165,170),[170,175),

[175,180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图如图所示.

频率

0.07睥「

160i65170175180185j^/cm

(1)求频率分布直方图中工的值及身高在170cm及以上的学生人数；

(2)将身高在[170,175),[175,180),[180,185]区间内的学生依次记为4B,。三个组，用分层随机

抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数.

【答案】(1)x=0.06,60

(2)/组3人；8组2人；。组I人

【解析】

【分析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1求解x；求出身高在170cm及以上的频率，

利用频数二样本容量X频率可得.

(2)根据分层抽样的相关运算进行求解即可.

【小问1详解】

由频率分布直方图可知5x(0.07-x+0.04+0.02+0.01)=1,

解得x=0.06,

身高在170cm及以上的学生人数为100x5x(0.06+0.04+0.02)=60.

【小问2详解】

第11页/共18页

力组人数为100x5x0.06=30,A组人数为100x5x0.04=20,。组人数为100x5x0.02=10,

由题意可知力组抽取人数为30x£=3,4组抽取人数为20x£=2,。组抽取人数为

30+20+1030+20+10

6

10>-----------------=1,

30+20+10

故,4,B,C三个组分别抽取的学生人数为3,2,1.

16.已知函数/(力=285(妙+。)(0>0,冏<?的部分图像如图所示，

.置、，

(1)求/(X)解析式；

⑵求函数g(x)=/(x)+/(x+2

+4sinvcosx的最大值.

【答案】(1)/(x)=2cos(2x-g

k6)

(2)4

【解析】

=」即可求解的值.再结合函数图象过和。的范围即可

【分析】(1)由图可知7=兀，根据。0-,-2

TU2)

求解/(x)解析式；

(2)由(1)知/(x)=2cos(2x-看

，根据二倍角公式及两角和差的余弦公式、辅助角公式化简可得

g(x)=4sin"x+。即可求解.

【小问1详解】

T13兀771n小［，・・.0=半=&=2,.・・/(x)=2cos(2x+。).

由图可知==,..7-71

212122

又/2cos(2x6+e)=2cos(Illc(1TI八、1

-—+。=—2,..cos——+夕|=-1,..

7兀71

—+。=兀+2々兀，％£Z,/.0=—十2kn,kGZ.

66

第12页/共18页

又网〈乙，.•.A=0,e=--,/(x)=2cos|2x-^I.

26k6J

【小问2详解】

兀

由(1)知/'(x)=2cos2x——,

V6J

兀n｝“•r\兀J兀71)兀n

g(x)=/(x)+/x+—+4siavcosx=2cos2x——+2cos2x+———+2sin2x

666J6

cos2x+—sin2x+2cos2x+—|+2sin2x=2cos2x+—sin2x1+cos2x--sin2x+2sin2x

26)222

=2\，3cos2x+2sin2x=4^gcos2x+；$in2x|=4sin；2x+：）.

・••当2x+]=]+2E,女EZ,即X=^1+E,%£Z时，函数g（x）的最大值，最大值为4.

17.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑培”.在如图所示的“堑

堵"中，CA=CB=CC、=2.

(1)求证：平面8CGAJ.4CG4

（2）求二面角G—48—C的正切值.

【答案】（1）证明见详解；

⑵V2.

【解析】

【分析】（1）根据“堑堵”定义可得C4LCB,然后利用线面垂直判定定理证明8C_L平面,4CG4,再

由面面垂直判定定理可证；

（2）记为3的中点为E,证明NCEC为二面角—C的平面角，然后可得.

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【小问1详解】

因为C/=CB,且V45c为直角三角形，所以以_LC5,

由直三棱柱定义可知，CG，平面力BC,因为8Cu平面48。，所以CG~LBC，

乂因为。cCG=C,C4u平面/C£4，C«u平面4CG4，

所以BC_L平面4CG4，

因为ACU平向Bccgi，所以see】々，力cc/「

【小问2详解】

因为CG，平面/8C，因为力C,8Cu平面/5C,所以CG，8C,CC^AC,

因为C力=C8=CG=2,所以力G=〃G=2应，

记,48的中点为E,则CE-L/B，GE_L/8,

所以ZCEC,为二面角Q-AB-C的平面角，

因为CG_L平面18C,因为ECu平面力BC,所以CG_LEC,

因为CE=LAB=-4^^T7^=26,

22

CC2

所以tan/C£G=U=K=应，即二面角G一48-。的正切值为正.

B

TT

18.如图，平面内四点A,6,C,P,满足/84C=-,BC=\,BPIBC.

2

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c

（1）若力C'=g,BP=W，

(i)求0的面积;

（i:）求P4;

（2）若/APB=3,=求NP力B.

【答案】(1)(i)速3

82

【解析】

【分析】(1)(i)在直角V48C中，可求48=且，4iBC=S再得到48P=色，利用三角形面积公

263

式即可求解：(ii)根据余弦定理可解：

(2)设/ABC=e,利用正弦定理及三角恒等变换化简可得Sin2。+£即可求解.

I3J2

【小问1详解】

(i)..•4。=:，5C=1,/BAC=3，=sin/ABC=二

2222

7TIT

.../46C=—,又8尸_1_8(7,所以/力8。=一，BP=6

63

•c_1/八'1^3wG_3百

,•Sj=-AD•sinNABP=—x—xyj3x—=----

“R8P尸22228

（ii）PA2=BA2+BP2-2BABPcos^ABP=-+3-2x—xy/3x-=-

4224

3

所以刃=二.

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【小问2详解】

7T7T

•・,/APB=—,设N/8C=。，则0=7-0,/18=COS。,

62

6-1

在△力BP中，由正弦定理可得一^—PBcos。2

,即一j—/

sin4PBsinZ.PAB.兀/7r

乙sin——01+—

2126

所以cos〃sin(空一〃]="一,即

I3)4।

币-1

cos^sin9=cosGcos6^+—sin^=-^-(cos2^+1)+—sin2^=

2