实际问题与二次函数（考点专项训练）-2025-2026学年人教版九年级数学上册（原卷版）

专题：实际问题与二次函数(考点专项训练)

A考点预览

|考点一：二次函数的实际应用.抛球问题

|考点二：二次函数的实际应用.拱桥问题

;考点三：二次函数的实际应用•喷水问题

[考点四：二次函数的实际应用•几何问题

|考点五：二次函数的实际应用•销售问题

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核心考点梳理

一、数学模型思想：

L核心：将实际问题中变量之间的关系抽象为二次函数关系，即建立二次函数模型。

2.步骤：审题->设元->列函数关系式->确定自变量取值范围->利用二次函数知识解

决问题->检验并作答。

二、解决实际问题的一般步骤：

1.审清题意：明确问题中的已知量、未知量，找出题目中的等量关系和不等关系。

2.设自变量：选择一个适当的变量作为自变量x,并表示出其他相关变量。

3.列函数关系式：根据题目中的等量关系，列出因变量a工00关于自变量x的二次函数关

系式y=ax2+bx+c(aHO)。

(1)关键：找出等量关系，将文字语言转化为数学符号语言。

(2)注意：自变量x的取值范围必须使实际问题有意义(如：长度、宽度、数量不能为负，

且符合实际情境限制)。

4.求解函数：利用二次函数的性质解决实际问题，主要是求最值、根据函数值求自变量、判

断函数增减性等。

5.检验与作答：检验所求结果是否符合实际意义，然后写出完整的答案。

三、二次函数的性质应用(在实际问题中)：

1.二次函数的解析式：

(1)一般式：y=ax24-bx+c(aH0)

(2)顶点式：y=a(x-h)24-k(aH0),其中(h,k)为顶点坐标。

2.二次函数的最值：

（1）对于二次函数a>00（a^O）,其图像是一条抛物线。

①当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值。

②当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值。

（2）最值点（顶点）坐标：

①顶点的横坐标为x=—；。

2a

②顶点的纵坐标为丫=乎或代入X=求出。

,4a2a

（3）在实际问题中求最值：

①若顶点的横坐标x=-"在自变量x的取值范围内，则该点的纵坐标就是函数的最值。

②若顶点的横坐标不在自变量X的取值范围内，则函数的最值在自变量取值范围的端点处取

得（需结合函数的增减性判断）。

3.二次函数的增减性：

（1）当aVOO时，在对称轴x=-：的左侧，y随K的增大而减小；在对称轴的右侧，y

随X的增大而增大。

（2）当a<0时，在对称轴X=-?的左侧，y随X的增大而增大；在对称轴的右侧，

x=—3）随X的增大而减小。

（3）在实际问题中，可用于判断何时取得最大/小值，或比较不同自变量对应的函数值大小。

四、常见实际问题类型及解题要点：

1.最大利润问题：

（1）基本关系：总利润=单件利润X俏售量；或总利润=总收入■总成本。

（2）思路：设涨价或降价的金额为x（或设售价为X）,表示出单件利润和销售量（通常销

售量是售价或涨/降价金额的一次函数），从而得到总利润关于X的二次函数关系式，求其最

大值。

（3）注意：自变量x的取值范围要符合实际（如售价不能低于成本，销售量不能为负等）。

2.最大面积问题：

（1）常见模型：

①用固定长度的材料围成矩形（或其他可转化为矩形的图形），求最大面积。

②在矩形内截出一个小矩形（或其他图形），使剩余面积或截出面积最大。

③利用二次函数解决与几何图形（如三角形、抛物线形拱门等）面积相关的最值问题。

（2）思路：设矩形的一边长为x,根据周长或其他条件表示出另一边长，从而得到面积关

于X的二次函数关系式，求其最大值。

(3)注意：自变量x的取值范围要保证几何图形的存在性(如边长为正数，且满足图形的

约束条件)。

3.抛物线形运动/建筑问题：

(1)常见模型：物体的抛射运动(忽略空气阻力时，轨迹是抛物线)、抛物线形的拱桥、隧

道、投篮等。

(2)思路：建立平面直角坐标系，设出抛物线的解析式(一般式或顶点式)，根据己知点的

坐标求出解析式，然后利用解析式解决诸如“求最高点高度''、”求落地点距离”、“判断某物能

否通过”等问题。

(3)关键：坐标系的建立要恰当，通常以抛物线的顶点或对称轴为坐标轴可以简化计算。

4.其他类型：

(1)物体运动的路径问题：如小球弹跳高度与次数的关系(可能涉及分段函数，但部分阶

段可近似为二次函数)。

(2)用料最省问题：在满足一定条件下，使材料用量最少(可转化为面积或体积的最值问

题)。

(3)图表信息题：根据表格或图像提供的数据，判断是否符合二次函数关系，并求出函数

解析式，进而解决问题。

，考点专项训练

考点一：二次函数的实际应用.抛球问题

1.一实心球经过的路线为如图所示的抛物线，其表达式为y=-*(x-4)2+3,则实心球的

2.如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高h(m)与投掷距离x(m)之间的函数关

系满足h=-5x2+：x+：,则该同学掷实心球的成绩是()

（I）根据上表，请确定抛物线的表达式；

（2）请计算当水火箭飞行至离发射点0的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度.

6.2022卡塔尔世界杯足球比赛正在进行阿根廷和荷兰的决赛，阿根廷球员梅西在距球门底

部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线:向球门中心线；当足球飞离地面高度为

3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m.己知球门的横梁高OA为2.44m.

AJ;（m）

（1）建立如图所示直角坐标系，求抛物线解析式；

（2）梅西的射门，足球能否射进球门（不考虑其他影响因素）？

（3）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m,他能阻止球员甲的此

次射门吗？

考点二：二次函数的实际应用.拱桥问题

1.如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在1时，拱顶（拱桥洞的最高点）

离水面3m,水面宽6m.如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（）

A.y=—^x2B.y=1x2C.y=—3x2D.y=3x2

2.如图1是莲花山景区一座摘物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解

析式为y=-5x2,正常水位时水面宽AB为36m,当水位上升5m时水面宽。口为（）

36

3.如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2m时，测得拱桥内水面宽为12m.当水面升高1m

后，拱桥内水面的宽度为m.

4.如图1,“东方之门''通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程

度地传承了苏州的历史文化.如图2,“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部AB的宽度为80

5.如图1,一大桥主桥拱呈抛物线状，主桥拱两侧各由10根钢索固定.两侧主桥拱示意图

如图2所示，已知AB=CD=2m,其中最短的钢索BE=2m,每两根钢索的间距均为2nl.

图1图2

（1）请在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式.

（2）求最长钢索的长度.

6.如图，明湖公园的石拱桥的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m,宽AB

为2m,拱桥最高点E到水面BC的距离为6m.以水面所在的直线BC为x轴，线段BC的中点为

原点，BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.

（1）求抛物线的解析式；

（2）公园里有一种游船高4.5m,宽2.4m,它能通过该拱桥吗？

（3）如果该拱桥下设双行道，为了安全起见，在双行道正中间设有宽0.4m的警示浮标,

则这种游船还能通过拱桥吗？

考点三：二次函数的实际应用•喷水问题

1.如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m,水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最

高点后落下，若最高点距水面4m,P距抛物线对称轴1m,则为使水不落到池外，水池半径

最小为（）

A.1B.1.5C.2D.3

2.洗手盘台面上有一瓶洗手液.当同学用一定的力按住顶部A下压如图位置时，洗手液从喷

口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点.洗手液瓶子的截面图下面部分

是矩形CGHD.同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH=12cm,喷嘴位置点B距台面的距离为

16cm,.且B、D、H三点共线.在距离台面15.5cm处接洗于液时，于心Q到直线DH的水平距离

为3cm,不去接则洗手液落在台面的位置距DH的水平面是cm.()

AB

GH

A.6V3B.6A/2C.12GD.120

3.如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷

水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为2m处达到最高，高度为5m,水柱落地

处离池中心距离为6m,则水管的长度OA是m.

4.如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB,喷水口A距地面2m,喷出水流的运动路线是抛

物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为2m,且到地面的距离为3m,则水

流的落地点C到水枪底部B的距离为m.

5.如图1,一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H离地面竖直高度为h=1.2米，建立如图2

所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，

把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=2米，竖直高度EF=0.8米，若下边缘抛

物线是由上边缘抛物线向左平移得到的,上边缘抛物线最高点A高喷水口的水平距离为2米，

高出喷水口0.4米.灌溉车到绿化带的距离OD为d米.

（1）求上边缘抛物线的函数解析式：

（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；

（3）若d=3.2米，则灌溉车行驶时喷出的水（填“能''或"不能''）浇灌到整个绿

化带.

6.如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖高度OH为1.2m.可以把灌溉车喷出水的上、

下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,

其水平宽度DE=2.5m,竖直高度EF=0.7m,H点是下边缘抛物线的最高点，下边缘喷水的

最大射程0B=2m,上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.4m,灌

溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）.

（1）直接写出上、下边缘抛物线的函数解析式；（不写自变量的取值范围）

（2）此时，距喷水口水平距离为6.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会

被洒水车淋到水？并写出你的判断过程；

（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d（米）的取值范围.

考点四：二次函数的实际应用.几何问题

1.某农场要建矩形的饲养空，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围

墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留1m宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为22m

（不包括门），则能建成的饲养室最大总占地面积为（)

C.45m2D.41m2

2.用48米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档EF,GH也用木料）.其中

AB〃EF〃GH〃CD,要使窗框ABCD的面积最大，则AB的长为（）

A.6米B.8米C.12米D.米

3.如图所示，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏

的最大面积为nA

4.如图所示，要建一个矩形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙足够长），如果用60m长的篱

笆围成中间有一道篦笆的养鸡场，设养鸡场平行于墙的一边长为xm,当*=m时，

养鸡场的面积最大.

〃,/〃〃〃（〃〃〃〃彳〃/

<-------x------->

5.把边长为44cm的正方形硬纸板（如图1）,在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一

个长方体形的无盖盒子（如图2）,折纸厚度忽略不计.

图1图2

（1）要使折成的盒子的底面积为576cm2,剪掉的正方形边长应是多少厘米？

（2）折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明

理由：如果有，求出这个最大值，并求出此时剪掉的正方形边长.

6.如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可

利用墙长为60m）,其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，

不锈钢栅栏状如“山”字形.（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车

停车位）

（1）设自行车车棚面积为Sm2,车棚宽度AB为xm,求S与x之间的函数关系式，并求出

自变量x的取值范围；

（2）若车棚面积为285m2,试求出自行车车棚的长和宽；

（3）若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？

请通过计算说明.

考点五：二次函数的实际应用•销售问题

1.童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系丫=

-X2+50X-500,若要想获得最大利润，则销售单价x为（）

A.25元B.20元C.30元D.40元

2.某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）

与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示.则最大利润是（）

C.190D.200

3.东方商厦将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个,

♦若这种商品的零售