人教A版高考数学专项复习：事件的相互独立性（讲义）

第15讲事件的相互独立性

【人教A版2019】

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・模块一事件的相互独立性

・模块二课后作业

1.事件的相互独立性

⑴定义

对任意两个事件A与4,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.

(2)性质

若事件A与B相互独立，则工与B,A与万，，与否也相互独立.

(3)应用

因为“A与B相互独立”是“2(48)=2(4)尸出)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它

们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之

间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立.

(4)推广

两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件4,A-…，4相

互独立,则这n个事件同时发生的概率P(4以…4)=P(4)P(4

2.互斥事件与相互独立事件的辨析

(1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独

立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下：

相互独立事件互斥事件

判断方法一个事件的发生与否对另一个两个事件不可能同时发生，即

事件发生的概率没有影响.AB=0.

概率公式若事件A与8相互独立，则若事件4与8互斥.则P(4U8)

P(AB)=P(A)P(B).=P(A)+P(8),反之不成立.

(2)已知事件A,B发生的概率分别为P(A),P(B),我们有如下结论:

事件表示概率(A,3互斥)概率(A,3相互独立)

A,B中至少有一P(AUB)P(A)+P(B)l-P(N)P(5)或

个发生

P(A)+P(B)-P(AB)

A,B都发生P(AB)0P(A)P(B)

A，8都不发生P(AB)1-[P(A)+P(B)1P(A)P(B)

4,8恰有一个发P(AB\JAB)P(A)+P(8)P(A)P(B)+P{A}P(B)

生

A,8中至多有一P(ABUABUAB)11—P(4)P(8)

个发生

3.求相互独立事中上同时发生的概率的方刑

（1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.

（2）正面计算较繁（如求用“至少”表述的事件的概率）或难以入手时，可从其对立事件入手计算.

考点剖析

【考点1独立事件的判断】

【例1.1]（2425高一上•全国•课后作业）对于事件48,下列命题不正确的是（）

A.如果48互斥，那么彳与否也互斥

B.如果A,B对立，那么彳与后也对立

C.如果48独立，那么彳与否也独立

D.如果力,B不独立，那么彳与否也不独立

【解题思路】选项A,利用互斥事件的定义判断；选项B,利用时立事件的定义判断；选项C,利用相互独

立事件的定义判断；选项D,利用相互独立.事件的定义判断.

【解答过程】对于选项A,如果4,8互斥，彳与否可以同时发生，由互斥事件的定义得彳与亘不一定互斥，所

以选项A错误；

对于选项B,如果48对立，由对立事件的定义得彳与万也对立，所以选项B正确；

对于选项C,如果4,8独立，由相互独立事件的定义得了与耳也独立，所以选项C正确；

对于选项D,如果不独立，由相互独立事件的定义得Z与否也不独立，所以选项D正确；

故选：A.

【例1.2]（2324高一下•江西•开学考试）现有5张完全相同的卡片，分别写有字母4、8、C、D、E,从中

任取一张，看后再放回，再任取一张.甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为8”,乙表示事件“第二次抽取卡

片的字母为E”，丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”，丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”，则（）

A.乙与丁相互独立B.甲与丙相互独立

C.丙与丁相互独立D.甲与乙相互独立

【解题思路】计算出事件甲、乙、丙、丁的概率，结合独立事件的定义逐项判断，可得出合适的选项.

【解答过程】设事件甲、乙、丙、丁分别记为M、乂2、"3、由题意可得P（M）=P（“2）=a

有放回的抽取卡片两次的基本事件数为25,

两次抽取卡片的字母相邻的基本事件为(48)、(B,C)、(C,。)、(D,E)、(8,4)、(C,B)、(D,C)、(E,D),共8

个，

两次抽取卡片的字母不相邻的基本事件为25-8=17个，则P(M3)=亲P(M。=孩，

显然丙与丁为对立事件，c错误；

对于A,乙与丁同时发生的基本事件为(4幻、(从幻、«,£),有3个，

则P(M2M4)=卷转X£=P(M2)P(M4)，所以乙与丁不相互独立，A错误；

对于B,甲与丙同时发生的基本事件(8,C)、(B于),有2个,

则P(Mi%)=尚4X£=P(MI)P(%)，所以甲与丙不相互独立，B错误；

对于D,甲与乙同时发生的基本事件为(8,E),只有1个，

则P(M1M2)=2=；X；=P(M])P(M2),所以甲与乙相4独立，D止确.

故选:D.

【变式1.1](2324高三下•山东蒲泽•阶段练习)依次抛掷两枚质地均匀的骰子，记骰子向上的点数.用工表

示第一次抛掷骰子的点数，用y表示第二次抛掷骰子的点数，用3y)表示一次试验的结果.记“x+y=7”

为事件4为y=2k-l(kWN')”为事件8,为W3”为事件C,则()

A.｛与8相互独立B.4与5对立

C.A与。相互独立D.8与C相互独立

【解题思路】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率

公式计算可得.

【解答过程】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6x6=36个；

其中事件力="％+y=7”包含的样本点有：

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6个；

事件B=xy=2k-1(々GN*)”，包含的样本点有：

(1,1),(3,3)，(5,5),(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)共9个,

事件C="％W3”，包含的样本点有：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)共18个，

所以力与B不能同时发生，但是能同时不发生.，故不是对立事件，故B错误；

产(ST)WP(S)P(r),所以S与7不是相互独立事件，故D错误.

故选:D.

【考点2独立事件的乘法公式】

【例2.1](2324高二下•福建龙岩•阶段练习)甲、乙、丙三人参加县里的英文演讲比赛，若甲、乙、丙三

人能荣获一等奖的概率分别为且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的

234

概率为()

A.1B.1C.UD.工

4242424

【解题思路】分情况讨论：三人中恰有两人获得一等奖、三人都获得一等奖，根据独立事件的概率乘法公

式求解出对应概率即可.

【解答过程】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是P(力)=：,P(5)=1,P(Q=；,

则不获一等奖的概率分别是P(4)=1-3aP(8)=1-：=：,P(G=1-：

则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为：

P(ABC)+P{ABC)+P(ABC)=P(4)P(B)P(C)+P(4)P(月)P(C)+PQ4)P(B)P(C)=|x|x|+^x1x

3.12111

一+-X-X-=—,

423424

这三人都获得一等奖的概率为P(4BC)=P(4)P(8)P(G=gx|x：=：

所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率P=三+；=

24424

故选:D.

【例2.2](2324高二下•福建莆田•阶段练习)在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据

表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是()

551口29

-----r>.-----

720144

【解题思路】先求出左至中间畅通的概率，再求出中间至右畅通的概率，再利用独立事件的概率求法求出

电路通畅的概率.

【解答过程】当开关合上时，电路畅通即表示左至中间畅通且中间至右畅通，

左至中间畅通的概率Pl=1_3X[1_（1_0X（1_3）]=*,

中间至右畅通的概率P2=1X：=胃，

5030

所以电路畅通的概率P=P1P2=■胃=祟

63（）So

故选：D.

【变式2.1]（2324高二下.贵州遵义.阶段练习）若干人独立地向一游动目标射击，每人击中目标的概率都

是0.6,若要以0.97以上的概率击中目标，则至少需要的人数是（）

A.6B.5C.4D.3

【解题思路】设几个人至少有一个命中为事件A,求出P（Z）,根据P（3）V0.03求解即可.

【解答过程】设n个人至少有一个命中为事件A,

则P⑷=（1-0.6）n=0.4%若P（A）>0.97,

则P（彳）=0.4n<0.03,

因为0.43=0.064,0.44=0.0256,

所以九Z4,则至少需要的人数是4.

故选:C.

【变式2.2]（2324高三上•云南楚雄•期末）某校有甲、乙、丙、丁四个排球队，在某次排球比赛的初赛中，

甲队对战丙队，乙队对战丁队，甲队每局战胜丙队的概率为0.6,乙队每局战胜丁队的概率为0.45.在初赛中，

甲队和丙队对战一局，乙队和丁队对战一局，则甲队、乙队至少有一队获胜的概率是（）

A.0.51B.0.66C.0.78D.0.88

【解题思路】先求甲队、乙队都失败的概率，再根据对立事件概率关系求解.

【解答过程】“甲队、乙队至少有一队获胜”的对立事件为“甲队、乙队都失败”，

故甲队、乙队至少有一队获胜的概率是1一（1—0.6）（1-0.45）=1-0.22=0.78.

故选:C.

【考点3相互独立事件与互斥事件】

【例3.1]（2324高一下.全国.课后作业）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A,“第二

枚为正面''记为事件以“两枚结果相同”记为事件C,那么事件4与B,A与C间的关系是（）

A.A与8,A与C均相互独立

B.A与3相互独立，A与C互斥

C.A与ZLA与C均互斥

D.A与8互斥，A与。相互独立

【解题思路】结合相互独立事件的概念直接判断即可

【解答过程】因为事件A是否发生对事件B、C是否发生不产生影响，所以4与8,A与C均相互独立.

故选:A.

[ft3.2](2223高一下•河北衡水•期末)下列说法正确的是()

A.若A,4为两个事件，则“4与8互斥“是“与5相互对立”的充分不必要条件

B.若A,4为两个事件，且PG4+B)=PQ1)+P(B),则A与8互斥

C.若PQ4)>0,P(B)>0,则事件4,8相互独立与事件A,4互斥可以同时成立

D.若事件A,8满足P(4)+P(B)=1,则A与8相互对立

【解题思路】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义和性质逐个分析判断即可.

【解答过程】对于A,当事件4与B互斥时，A与8不一定相互对立，但4与8相互对立时，A与8一定

互斥，故2与B互斥”是“A与8相互对立”的必要不充分条件，故A错误；

对于B,若A,B为两个事件，因为PQ4+8)=P(A)+P(8)-P(ACR)=P(A)+P(B),所以P(.4nF)=0,

故B正确；

对干C,因为P01)>0,P(B)>0,若事件A,8相互独立，则PQ18)=尸Ql)P(8)>0,故事件A,B不互

斥，若事件A,B互斥,则P(71B)=O,P(4B)HPG4)P(8),故事件A,3不独立，故C错误；

对干D,抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是j抛掷一枚硬币，正面向上的概率是:，满足尸(力)+

P(B)=1,但是A与8不对立，故D错误.

故选:B.

【变式3.1](2223高二上」:海杨浦•期末)已知PQ4U8)=||,P⑷=/。⑻=：，则事件A与B的关系

是()

A.｛与B互斥不对立B./!与B对立

C.4与B相互独立D.4与B既互斥又独立

【解题思路】利用P(X)=：计算出P(4)=j可得到尸(力)+P(B)=^P(AU8)则能得到4与B不互斥，不

、,8oo

对立；再利用户(4U8)=P(A)+P⑻-P(An8)算出P(4n8)=总即可得到答案

【解答过程】由P⑷=轲得尸(力)=1-尸㈤=1-3=%

因为P(H)+P(8)=ZHP(AU8),贝ijA与8不互斥，不对立，

8

rhP(AuB)=PQ4)+P(B)-P(An8)可得PG4n8)=之，

因为P⑷xP⑻=2=PG4n8),所以A与B相互独立

故选:C.

【变式3.2](2024.全国.模拟预测)分别掷两枚质地均匀的硬币，”第一枚为正面”记为事件力，“第二枚为

正面''记为事件8,“两枚结果相同”记为事件C,那么事件4与6,A与C间的关系是()

A.A与8,4与。均相互独立B.力与8相互独立，4与。互斥

C.4与8,A与C均互斥D.A与8互斥，A与C相互独立

【解题思路】利用互斥事件，独立事件的定义即得.

【解答过程】由题意得P(4)=P(B)=P(C)=，P(AB)=：,PG4C)=%

所以PQ48)=P(A)P(B)H0,P(4C)=PG4)P(C)丰0.

所以4与B,4与C均相互独立，A与B,4与C均不互斥.

故选：A.

【考点4独立事件的实际应用】

【例4.1](2324高二上.广东佛山.期末)己知甲、乙两人射击的命中率分别是0.4和0.7.现二人同时向同一

猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是()

A.2:7B.3:7

C.4:7D.5:7

【解题思路】计算出只有甲或只有乙打中猎物的概率，即可得出甲、乙分配猎物的比例.

【解答过程】因为甲、乙两人射击的命中率分别是0.4和0.7,

现一人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，

只有甲打中猎物的概率为0.4X0.3=0.12,只有乙打中猎物的概率为0.6X0.7=0.42

所以,甲、乙分配猎物的比例应该是0.12:0.42=2:7.

故选：A.

【例4.2](2324高二上.广东清远.期末)2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改

革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.某高

校笔试环节要求考生参加三个科目考核，考生通过三个科目的笔试考核才能进入面试环节.考生甲通过三

个科目的笔试考核的概率分别为;且每个科目考核相互独立，则甲顺利进入面试环节的概率为()

234

A.1B.&C.兰D.

4242424

【解题思路】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件48,C,根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得

答案.

【解答过程】记甲通过三个科目的笔试考核分别为事件

显然48,。为相互独立事件，

则事件“甲通过三个科目的笔试考核''相当于事件/WC,

二所求概率尸(ABC)=P(4)P(8)P(C)=-x-x-=-.

2344

故选：A.

【变式4.1](2324高二上•山西大同•阶段练习)已如某音响设崔由五个部件组成，A电视机，3影碟机，C

线路，。左声道和E右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示.能听

到声音，当且仅当A与B至少有一个正常工作，C正常工作，。与£中至少有一个正常工作.则听不到声音

的概率为()

A.0.19738B.0.00018C.0.01092D.0.09828

【解题思路】首先根据独立事件概率公式求能听到声音的概率，再利用对立事件概率公式，即可求解..

【解答过程】设能听到声音为事件M,

则P(M)=[1-P(AB)]-P(C)[1-P(DE)]

=[1-PM)P⑶>P(C)•[i-P(D)P(E)]

=(1-O.ix0.2)x0.9x(1-0.3x0.3)

=0.80262,

所以听不到声音的概率P(而)=1-0.80262=0.19738.

故选：A.

【变式4.2](2223高三下.辽宁朝阳•开学考试)某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中

的概率分别p，p泉该同学站在这三个不同的位置各投篮•次，恰好投中两次的概率为右则p的值为()

A1B-C-D-

4334

【解题思路】根据题意结合独立事件概率的乘法公式求恰好投中两次的概率，列方程求解即可得结果.

【解答过程】在甲、乙、丙处投中分别记为事件A,B,C,则PG4)=p,P(8)=[,P(C)=：,

可知恰好投中两次为事件48色/1月。,48。，

故恰好投中两次的概率P=pxix(l-^+pX(l-i)X^+(l-p)xix1=i+ip=1,解得p=1

故选：A.

【考点5互斥事件、事件的相互独立性的综合应用】

【例5.1](2024高一下•江苏・专题练习)在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、

内三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.己知甲家庭回答正确这道题的概率是:，甲、丙两个家庭都

回答错误的概率是白，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是;.若各家庭回答是否正确互不影响.

⑴求乙、丙两个家庭各自回答正面这道题的概率；

(2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有2个家庭回答正确这道题的概率.

【解题思路】(1)先设事件，然后利用事件的相互独立性的乘法公式列方程组求解即可；

(2)利用相互独立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式计算.

【解答过程】(1)记4=”甲家庭回答正确这道题"，8="乙家庭回答正确这道题”，"丙家庭回答正确这道

题”，

由于相互独立，所以再而相互独立，

IP⑷=[/,3

4[(P(8)=g

则｛p(JG=p(m・p(C)=(i-PG4))(i_p(c))=W，解得|

|P(BC)=P(8)P(C)=：(P(C)—3

所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为

o3

(2)因为相互独立，且48q4片(；,才8c相互互斥，

所以P(718C+ABC+ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(AfiC)

=P⑷P⑻P©+P(A)P(B)P(C)+Pq)P(B)P(C)

=3X3xri_2)+3x/1_3X2/3X3X2=15

48\3/4\873\4/8332

所以恰有2个家庭回答正确这道题的概率为称.

•J/

【例5.2](2324高二上•湖北孝感・期末)甲、乙两人组成“星队修加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜

一个成语，己知甲每轮猜对的概率为〃(0vp<l),乙每轮猜对的概率为:•在每轮活动中，甲和乙猜对与

否互不影响，各轮结果也互不影响.

(1)当p=T时，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率：

⑵若“星队''在两轮活动中猜对2个成语的概率为短，求〃的值.

【解题思路】(1)分别设出甲、乙在两轮活动中猜对I个，2个成语的事件，并求出各自的概率.，将“在两

轮活动中猜对3个成语”的事件用以上事件表示，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式

计算即得;

(2)分别表示或求出甲、乙在两轮活动中猜对0个，1个，2个成语的事件的概率，根据题设条件，表示

出“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率，列出方程，求解即得.

【解答过程】(1)设为，&分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，Bi，4分别表示乙两轮猜对1个，

2个成语的事件.

根据独立性假定，得P(4)=2x=P(A2)==2户(81)=2=£P(B2)=Q)=,

设4="两轮活动，星队，猜对3个成语”，则4=4IB2U42BI，且4/2与4当互斥，必与4与%分别相

互独立，

所以PQ4)=「(44)+P82BD=P(&)P(B2)+PG42)P，I)=?x22xg=得，

O7io71Z

囚此，“星队''在两轮活动中猜对3个成语的概率是2.

(2)rtl(1)知甲两轮猜对0个，1个，2个成语的概率分别为po=(1-p)?,pi=2P(1-p),P2=p2,

乙两轮猜对。个，1个，2个成语的概率分别为q°=%%=%《2=:，

因为甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，

所以“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为PoX+PlXqi+P2Xqo=g(l-p>+gx2P(1-p)+

-p2=—,

9r225

整理得p2=亲又因为OVpVl,所以p=(

【变式5.1](2324高一上•江西上饶•期末)甲、乙两人组成“博学队”参加上饶市中学“博学少年”比赛，每轮

比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为右乙每轮猜对的概率为*在每轮比赛中，甲和

乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.

(1)求甲两轮至少猜对•一个数学名词的概率；

⑵求“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率.

【解题思路】(1)根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可：

(2)两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.

【解答过程】(1)设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件F,则P⑹=2x；x；+e)2=4+^=刍

(2)设事件A=、、甲第一鸵猜对“，8="乙第一轮猜对”，C=''甲第二蛇猜对"，"='、乙第二蛇猗对”，

E二““博学队”猜对三个数学名词”，所以PG4)=P(C)=2P(8)=P(D)=p

P(A)=P(G=g,P(8)=p①)=|，则E=ABCDUABCDUABCDUABCD,

由事件的独立性与互斥性，得尸(£)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)

=P(/)P(B)P(C)P(D)+P(4)P(月)P(C)P(D)+P(A)P(B)PC)P(D)+P(4)P(8)尸(C)P(万)

=lX£XiXi+lX3XlX3+lx3xlx34X3X1X£=264

5555555555555555625

故“博学队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率为祟.

625

【变式5.2](2324高一下.陕西咸阳•阶段练习)甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简

称甲队、乙队、丙队，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队

轮空；每场比赛的胜队与轮空队法行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，

剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙两队首先比赛，

丙队轮空.设甲队与乙队每场比赛，甲队获胜概率为0.5,甲队与丙队每场比赛，甲队获胜概率为().6,乙

队与丙队每场比赛，乙队获胜概率为0.4,各场比赛相互独立，且无平局.记事件A为甲队和乙队比赛甲队

输，事件8为甲队和乙队比赛乙队输，事件C为甲队和丙队比赛甲队输，事件。为乙队和丙队比赛乙队输，

事件E为甲队和丙队比赛丙队输，事件尸为乙队和丙队比赛丙队输.

⑴求“乙队连胜四场”的概率；

(2)写出用A,B,C,D,E,尸表示“比赛四场结束”的事件，开求其概率；

(3)求“需要进行第五场比赛”的概率.

【解题思路】(1)确定“乙队连胜四场''的事件为小凡4凡根据相互独立事件的概率计算公式，即可求得答案；

(2)由题意可得“比赛四场结束''共有"甲队连胜四场”，“乙队连胜四场“，“丙队上场后连胜三场”3种情况,

结合独立事件的乘法公式以及互斥事件的概率加法公式，即可得答案；

(3)根据对立事件的概率计算，即可得答案.

【解答过程】(1)依题意，P(/l)=0.5,P(F)=0.4,“乙队连胜四场”的事件为力凡4凡

P(AFAF)=P(A)P(尸)P(4)P(F)=0.5x0.4x0.5x0.4=0.04.

(2)“比赛四场结束”共有三种情;兄，分别是：“甲队连胜四场”为事件8E8E,

“乙队连胜四场”为事件为凡4广；“丙队上场后连胜三场”为事件力DCD和事件BCDC,

比赛四场结束”的概率为Pi=P(BEBE)+P(AFAF)+P(ADCD)+P(BCDC)

=(0.5x0.6x0,5x0,6)+(0.5x0.4x0.5x0.4)+(0.5x0,6x0,4x0.6)+(0.5x0.4x0.6x0.4)=

0.09+0.04+0.0724-0.048=0.25.

(3)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，

・•・需要进行第五场比赛的概率为P2=1-片=0.75.

【考点6独立事件与其他知识综合】

【例6.1](2324高一下•江西•阶段练习)某地文化和旅游局统计了春节期间100个家庭的旅游支出情况，

统计得到这100个家庭的旅游支出(单位：千元)数据，按[3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13]分戊5组，并绘

(1)估计这100个家庭的旅游支出的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)：

⑵估计这10。个家庭的旅游支出的第70百分位数(结果保留一位小数)；

(3)以这100个家庭的旅游支出数据各组的频率代替各组的概率，在全国范围内随机抽取2个春节期间出游

的家庭，每个家庭的旅游支出情况互相不受影响，求恰有I个家庭的旅游支出在[3,5)内的概率.

【解题思路】(1)利用频率分布直方图估计平均数.

(2)利用频率分布直方图求出第70百分位数.

(3)利用频率估计概率，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解即得.

【解答过程】(1)估计这100个家庭的旅游支出的平均值为：

2(4X0.050+6x0.0754-8x0.175+10x0.1504-12x0.050)=8.3(千元).

(2)由频率分布直方图知，旅游支出在[3,9)的频率为2x0.050+2x0.075+2x0.175=0.6,

在[3,11)的频率为0.6+2x0.15=0.9,则这100个家庭的旅游支出的第70百分位数ae(9,11),

则Q6+(Q-9)x0.150=0.7,解得a=9.7,

所以估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数为9.7.

(3)以频率估计概率，得每个家庭的旅游支出在［3,5)内的概率为2x0.050=0.1,

所以抽取2个家庭，恰有1个家庭的旅游支出在［3,5)内的概率为0.1x0.9+0.9x0.1=0.18.

【例6.2］(2324高一上•江西抚州•期末)2023年9月23日，中国农历象征收获的秋分时节，第19届亚洲

运动会在浙江杭州降重开幕.杭州基础设施全面升级、城市面貌焕然一新、民生服务格局大变.为了解杭

州老百姓对城市基础设施升级工化满意度，从该地的4,B两地区分别随机调查了40户居民，根据大家对

城市基础设施升级工作的满意度评分(单位：分)，得到4地区的居民满意度评分的频率分布直方图(如图)

和6地区的居民满意度评分的频数分布表(如表I).

满意度评分[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数2814106

(1)根据居民满意度评分，将居民的满意度分为三个等级(如表2),估计哪个地区的居民满意度等级为不满

意的可能性大.说明理由.

(2)瘠频率看作概率，从A,8两地区居民中各随机抽查1户居民进行调查，求至少有一户居民评分满意度等

级为“非常满意”的概率

【解题思路】(1)根据频率和为1计算得到a=0.030,分别计算两个地区的不满意频率，比较得到答案.

(2)确定p(M)=0.05,p(N)=0.15,得到p(C)=l-p(M)p@),计算得到答案.

【解答过程】(I)(0.010+0.020+a+0.020+0.015+0.005)x10=1,a=0.030,

A地区的居民满意度等级为不满意的频率为(0.010+0.020+0.030)X10=0.6,

由表I可知B地区的居民满意度等级为不满意的频率为誓=0.25,

故W地区居民的满意度等级为不满意的可能性更大.

(2)记事件M表示“从4地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”，

则r(M)=0.005x10=0.05.

记事件N表示“从8地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”，

则r(N)=3=0.15.

事件M和事件N相互独立，则事件而和事件斤相互独立，

p(M)=0.95,p(耳)=0.85,

记事件•。表示“至少有一户居民评分满意度等级为非常满意”，

则r(C)=1-P(M)P(/V)=1-0.95x0.85=0.1925.

【变式6.1](2024高三・全国・专题练习)插花是一种高雅的审美艺术，是表现植物自然美的一种造型艺术，

与建筑、盆景等艺术形式相似，是最优美的空间造型艺术之一。为了通过插花艺术激发学生对美的追求，

某校举办了以“魅力校园、花香溢校园”为主题的校园插花比赛。比赛按照百分制的评分标准进行评分，评委

由10名专业教师、10名非专业教师以及20名学生会代表组成，各参赛小组的最后得分为评委所打分数的

平均分.比赛结束后，得到甲组插花作品所得分数的频率分布直方图和乙组插花作品所得分数的频数分布表,

如下所示：

（1）估计甲组插花作品所得分数的中位数（结果保留两位小数）；

（2）若该校拟从甲、乙两组插花作品中选出1个川于展览，从这两组插花作品的最后得分来看该校会选哪一

组，请说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

⑶从40名评委中随机抽取1人进行调查，试估计其对乙组插花作品的“观赏值”比对甲组插花作品的“观赏

值”高的概率.

【解题思路】（1）根据频率分布直方图中位数的求法计算即可：

（2）根据加权平均数的求法计算甲乙两组的得分平均数比大小即可；

（3）列出乙组观赏值高于甲组的几种情况，根据相互独立事件求其概率即可.

【解答过程】（1）设甲组插花作品所得分数的中位数为“，

由频率分布直方图可得甲组得分在前三个分数区间的频率之和为0.3,在最后三个分数区间的频率之和为

0.26,故工£[84,88）,

所以（%-84）x0.110=0.5-0.3，解得工«85.82.

即估计甲组插花作品所得分数的中位数为85.82

（2）由频率分布直方图可知，甲组插花作品的最后得分约为

（0.010X74+0.025x78+0.040X82+0.110X864-0.040X904-0.020X94+0.005X98）

x4=85.6

由乙组插花作品所得分数的频数分布表，得下表

分数区间频数频率

[72,76)10.025

[76,80)50.125

[80,84)12().30()

[84,88)140.350

[88,92)40.100

[92,96)30.075

[96,100]10.025

所以乙组插花作品的最后得分约为

0.025x74+0.125x784-0.300x824-0.350x86+0.100x904-0.075x94+0.025x98=84.8.

因为85.6>848所以该校会选择甲组插花作品用于展览

(3)设“对乙组插花作品的，观赏值'比对甲组插花作品的，观赏值'高”为事件C,

“对乙组插花作品的，观赏值'为2”为事件必，

“对乙组插花作品的，观赏值'为3”为事件小,

“对甲组插花作品的，观赏值'为1”为事件反，

“对甲组插花作品的'观赏值'为2”为事件为，

则C=A2B1uA3B1UA3B2.

P(B1)=(0.010+0.025+0.040)x4=0.3,P(%)=(0.110+0.040)x4=0.6,

由频数分布表得，PG42)=詈=045,2(力3)=裳=0.1.

4040

因为事件4与乌•相互独立，其中i=2,3,j=l,2,所以

P(C)=P(A2B1UA3B]UA3B2)=P(4)P(8])+P(A3)P(^)+P(A3)P(B2)

=0.45x0.3+0.1x0.3+0.1x0.6=0.225,

所以估计该评委对乙组插花作品的“观赏值”比对甲组插花作品的“观赏值''高的概率为0.225.

【变式6.2](2223高一下•湖南长沙•期末)某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了几位市民进行心

理健康问卷调查，将所得评分百分制按国家制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调

查评分在[70,80)中的市民有200人.心理测评评价标准

调查评分[0,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

心理等级EDCBA

⑴求？1的值及频率分布直方图中t的值；

（2）该地区主管部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75,则只管发放心理指导资料，否则

需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.（每组

的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分+100）

（3）在抽取的心理等级为。的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理

疏导.据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在［40,50）的市民的心理等级转为8的概率为%调查评分

在［50,60）的市民的心理等级转为B的概率为点假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3

人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为8的概率.

【解题思路】（1）根据调查评分在［70,80）中的市民有200人，且频率为10x0.020可求出几的值，再由各

组频率和为1列方程可求出£的值；

（2）根据频率分布直方图结合平均数的定义求出调查评分的平二匀值，再计算出心理健康指数比较即可；

（3）根据频率分布直方图结合分层抽样的定义求出抽取的调查评分在［40,50）和［50,60）中的人数，然后根据

相互独立事件的概率公式求解即可.

【解答过程】（1）由已知条件可得九二•；；篝=1000,

U.U/XAU

又因为每组的小矩形的面积之和为1.

所以（0.035+0.025+0.02+0.004+8t）x10=1,解得t=0.C02；

（2）由频率分布直方图可得，

45x0.02+55x0.04+65x0.14+75x0.2+85x0.35+95x0.25=80.7.

估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7,

所以市民心理健康指数平均值为怨=0.807>0.75.

所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.

(3)由(1)知：t=0.002,则调查评分在［40,50)中的人数是调查评分在［50,60)中人数的;，

若按分层抽样抽取3人，则调查评分在［40,50)中有1人，在［50,60)中有2人，

设事件M=”在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为审.

因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，

所以P(M)n=x.x.+jxJx.+N.x”：

4334334339

故经心理疏导后恰有一人的心理等级转为B的概率为g.

模块二；课后作业OI

1.(2324高一下•福建原门•阶段练习)已知事件A与8相互独立，且PG4)=05P(B)=0.6,则PQ4U8)=()

A.0.3B,0.6C,0.8D,0.9

【解题思路】

根据题意，结合PG4UB)=PQ4)+P(8)-PG4B),即可求解.

【解答过程】由题意，事件/与事件8相互独立，且PG4)=0.5,P(8)=0.6,

则PQ4UB)=P(A)+P⑻-P(AB)=0.5+0.6-0.5X0.6=08.

故选：C.

2.(2324高二下•广东惠州,阶段练习)依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，4表示事件“第一次抛掷骰子的

点数为2”，4表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，4表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6"，儿表

示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则()

A.4与人为对立事件B.4与4为相互独立事件

C.&与4为相互独立事件D.4与4为互斥事件

【解题思路】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由&n4=0Au4H。即可判断A；

由P(4)P(4)hP(4人)即可判断B：由PG42)P(A)=PG4必J即可判断C,由小n4工。即可判断D.

【解答过程】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，

样本空间c如下：

{(1.1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(L6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共36个样本点.

则事件必包括(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),共6个，P(4()=g

事件4包括(LI),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),,共18个，P(A2)=^

事件/包括(L5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个，P(4)=总

事件4包括(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6个,玖人)=白=；.

3bo

对于A,A3C}A4=0,A3UA4^a,所以4与4不为对立事件，故A错误；

对于B,事件力遇3包括(2,4),则PGM3)=a乂P(&)=±2(甸=总

36oJo

所以P(&)P(43)WPG4〃3)，即必与力3不相互独立，故B错误；

636

对于C,事件44包括(1,6),(3,4),(5,2),则PGM4)=专,又0(4)=}P(4)=a

所以PQ42)P(4)=；X；=^=PQ4244)，即4与4相互独立，故C正确；

Z612

对于D,事件42力4包括(1,6),(3,4),(5,2),则42n4H0，即42与44不为互斥事件，故D错误.

故选：C.

3.(2324高一上•江西抚州•期末)从甲袋中摸出一个红球的概率是g从乙袋中摸出一个红球的概率是：，

34

从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是()

A.2个球都是红球的概率为W

B.2个球中恰有I个红球的概率为盘

C.至少有1个红球的概率为；

D.2个球不都是红球的概率为3

【解题思路】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率可判断A；根据独立事件乘法公式、互斥

事件加法公式计算可判断B；根据对立事件的概率计算可判断