云南省曲靖市某中学2024-2025学年高一年级下册阶段性测试（四）数学试题B

云南省曲靖市第一中学2024-2025学年高一下学期阶段性测试

(四)数学试题B

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

15.

A.l-2iB.----iC.l+2iD.-----F—1

2222

2.sin400°cos20°-cos40°cosll00=（〕)

B,昱j_

A._Bc.D.

22-22

3.已知向量加=(2,。)，〃=若m〃n,贝！|。=()

A.—2B.2C.-D.—

22

4.a,£是两个不同的平面，加u分，贝■刀”是“加_1。”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，点。满足8D=28C(O<2<1),£为AC的

中点，若DA-DE=6,则x等于()

.-2„1.3c121.3

A.万或以B,万或7C.三或丁D,£或了

乙3J3J4

6.已知随机事件A和区互斥，A和C对立，且尸(C)=0.6,0(5)=。.3,则尸(AB)=()

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.7

7.已矢口sin[a+£—cosa=-^-,贝！J

3

8.已知非等腰三角形ABC的内角分别为A氏C,若sin4A=sin45,则下列结论一定不正

确的是()

sinC=^

A.B.sinA=cosB

2

C.cosC=^-

D.sin2A=sin25

2

二、多选题

9.如图是某企业2018年至2024年的污水净化量(单位：吨)的折线图，则()

A.这组数据的中位数等于平均数

B.这组数据的第60百分位数是55

C.污水净化量逐年递增

D.去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小

10.将函数/(x)=sin2无+有cos2x的图象向左平移彳个单位长度后得到函数g(x)的图象,

若人a)=7'(x)g(x)，eO)=4?，则()

g(x)

A.〃(x)与。(x)的最小正周期相同

B.h(x)与夕(x)的对称中心完全相同

C.与g(x)在［-？,与上的值域相同

44

D.f(x)与g(x)的图象在［0,河上恰有四个交点时，机的取值范围为［誓477r，当SOir)

11.如图，正方体ABC。-A与G2的棱长为2,点尸在线段与C上运动，贝U()

试卷第2页，共4页

A.三棱锥尸-ABD的体积为定值

B.AD,与平面PAtD所成角的正弦值随着点尸从耳移动到C越来越大

C.GP+AP的最小值为"+应

D.当点尸为4c的中点时，过点尸作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为2兀

三、填空题

12.已知单位向量匕满足(。+6>(°一26)=-：，贝1］卜+6卜.

13.已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为.

14.函数y=>/3sin2尤+2$111工+45/5<：0$尤的最大值为.

四、解答题

15.已知平面向量讶，b满足：|。|=4,卜卜3，(2a-3万)«2a+6)=61.

(1)求。与。的夹角。；

⑵求向量。在向量3a+26上的投影向量的模.

16.已知函数/(无)=2cosx(瓜iiix+co&x)-l.

⑴求“X)的最小正周期和单调区间；

⑵若〃a)=g,a,求cos2a的值.

17.记VABC的内角A,3,C的对边分别为a,b,c,已知/+/=。.

⑴求C；

(2)若c=7,asin8=TsinC,求VABC的周长.

18.设函数〃x)=Msin®尤+0),其中m＞o,。＞0,|0|＜为，其图象的两条对称轴间的最

短距离是不若对尤eR恒成立，且《行=-2.

⑴求“X)的解析式；

(2)在锐角VABC中，A,B,C是VABC的三个内角，满足/11]=sin(A-止gcos(A-B),

求证：A=23,并求吧£的取值范围.

sin6

19.设尸为多面体M的一个顶点，QM.，2口23)是多面体“上所有与点尸相邻的顶点，

定义多面体M在点尸处的离散曲率为

\-^{AQXPQ2+ZQ2PQ3+Q3PQ4++ZQk_lPQk+ZQkPQ^,其中所有角均采用弧度制表

示.如图，在直四棱柱ABCD-A与G2中，底面ABC。为菱形，AB=sl3,A\=\.

⑴求四棱柱4BCD-A耳G2在点A和点8处的离散曲率之和；

⑵若Be】与平面ACG所成角的正弦值为走，求四棱柱ABCD-A^QD,在点C处的离散曲

4

率；

(3)若四面体4-A3。在点4处的离散曲率为3,求二面角a-2。-A的余弦值.

试卷第4页，共4页

《云南省曲靖市第一中学2024-2025学年高一下学期阶段性测试(四)数学试题B》参考答

案

题号12345678910

答案ABABBDBDABDABD

题号11

答案ACD

1.A

【分析】根据复数的四则法则计算即可.

l-7i_(l-7i)(3+i)3+i-21i-7i2

【详解】

3-i-(3-i)(3+i)-3^?-10

故选：A.

2.B

【分析】由诱导公式及正弦和角公式逆用可求值.

［详解］sin400°cos20°-cos40°cosl10°=sin(360°+40°)cos20°-cos40°cos(90°+20°)

=sin40°cos20°-cos40°(-sin20°)=sin40°cos200+cos40°sin20°

=sin(40°+20°)=sin60°=g.

故选：B.

3.A

【分析】利用向量平行的结论求参数的值.

【详解】因为相〃“，所以axl=2x(-l).即〃=—2.

故选：A

4.B

【分析】利用线面垂直及充分性，必要性知识即可求解.

【详解】充分性：由夕，分，设ac/3=b,当机与6不垂直时，即不能得到"」。，故充分

性不成立；

必要性：当〃又mu(3,则可得故必要性成立；

综上所述：贝甘匕，刀''是"加，打”的必要不充分条件，故B正确.

故选：B.

5.B

【分析】先根据平面向量的线性运算表示出ZM，DE-,再根据平面向量的数量积运算得出

答案第1页，共11页

r>A-£>E=162*12-20/L+12;最后结合D4.£)E=6，0<2<1,列出等式求解即可.

【详解】因为=O<Z<1

所以04=84-8。=BA-XBC，DC=BC-BD=BC-ABC=(1-A)BC.

又因为E为AC的中点，

所以DE=D4+AE=D4+1AC=D4+Ur>C-DA)=1(DC+r>A)=BA+(1-2A)BC

22、

又因为△48c是边长为4的等边三角形，

所以庭20=网冈8$三=4乂4乂：=8,=网2=4x4=16,BC=\BC^=4X4=16.

BA+(1-22)BC

贝山.£)£1=

，2,,2

BA+(1-32)BA-BC-A(1-22)BC-

16+8(1-32)-162(1-22)

=16%—202+12.

又因为ZMQE=6，O<A<1,

13

所以16/1/-202+12=6,解得：2=—或2=：.

24

故选：B

6.D

【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可.

【详解】由A和C对立，可得P(A)+尸(C)=l,贝lJP(A)=0.4,

又由随机事件A和8互斥可知尸(AS)=0,

所以P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.3-0=0.7.

故选：D.

7.B

【分析】首先根据两角和的正弦公式展开，再利用辅助角公式，求得cos(a+m),进而求得

cos(2a+g),根据cos12a-；j=cos12a+g-7ij=-cos(2tz+g],得出答案.

【详解】由sin[a+&]-cosa=g,得走sina」cosa=且，所cos(a+工]=-妇，

52

答案第2页，共11页

由二倍角公式得cos（2a+^m=2cos2（夕+1）—1=2（--^-）2—1=—1,

p（c兀）（271]（2兀）

又cos12a~-I=cosl2cr+--7tI=-cosI2tz+-I,

所以cos12tz=

9.昱r

COS3二5一6

所以一:

TtV33,

cos3j5

故选：B

8.D

【分析】根据给定条件，结合诱导公式求出A8关系的所有可能结果，再逐项分析判断.

0<A<71

【详解】在非等腰VA5C中，Aw瓦,由sin4A=sin43,

0<A+B<7i

TTTT

得44+48=兀或4A+43=3兀或4A=4B+2TI（0<B<-）或43=4A+2兀（0<4<一）,

44

即A+B=女或A+B=至或A=3+工（0<3（工）或8=A+工（0<A<二），

4424-24

当A+8=—时，C=—,贝！JsinC=,cosC=>即AC可能正确；

4422

TTJJJi

当A=BH—（0<3<一）时，sinA=sin（BH—）=cosB,B可能正确；

242一

TT

对于D,要sin2A=sin25,而AwB,贝U必有2A+23=兀，即8+8=5,不成立，D错误.

故选：D

9.ABD

【分析】将污水净化量从小到大排列为52,52,53,54,55,56,56,根据中位数，平均

数，百分位数，方差，标准差公式，逐项判断即可.

【详解】由折线图可知某企业2018年至2024年的污水净化量从小到大排列为52,52,53,

54,55,56,56,

则其中位数为54,平均数为（（52+52+53+54+55+56+56）=54,所以A正确；

易知7x06=4.2,所以第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即为55,所以B正确；

有折线图知f=4到r=5污水净化量减少，所以C错误；

原数据方差为

答案第3页，共11页

掉2018年的污水净化量数据后，新数据52,53,54,55,56,56,平均数

)(52+53+54+55+56+56)=?

方差为

12018

一<一

697

所以去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的方差会变小，即标准差变小，所以D正确.

故选：ABD

10.ABD

【分析】利用辅助角公式化简/(%),进而求出g(x)M(x)，9(x),再结合三角函数图象性质逐

项求解判断.

【详解】函数f(x)=2sin(2x+》g(%)=/(%+：)=2cos(2%+—),

27rjr

则h(x)=2sin(4x+—),夕(％)=tan(2x+—),

对于A,〃(x)的最小正周期为彳=],0(x)的最小正周期为T，A正确；

对于B,由4x+0=E,%eZ,得力(x)图象对称中心卜m+",o](%eZ),

由2x+g="收eZ,得9(x)图象对称中心(一=+",0)伏eZ),B正确；

3264

TTJI1111'1L1

对于C,当一■时，2%+彳£[-二二]，/(%)£[-1,2],g(x)£[-指,2],C错误;

44366

it1111

对于D,由/(%)=g(x),得tan(2x+耳)=1,解得2%+§=^+左兀,2£Z,

即X=-或+g,左eZ,方程/•(》)=g(X)在［0,m］上恰有四个根,

兀4兀，Ji5K□口477C59兀

则_---1---<m<-----1---BP-----<m<——,D正确.

2422422424

故选：ABD

11.ACD

【分析】证得4C//平面A3。并结合锥体体积判断A；证得平面尸判断B；利用

两点间线段最短判断C；求出最小截面圆半径判断D.

答案第4页，共11页

【详解】对于A,在正方体A3CD-44G2中，48。的面积为定值，而4C//AD,

40匚平面42。，瓦co平面A12Q,则4C//平面Af。，即点尸到平面A|B£＞的距离为定

值，

因此三棱锥尸-A3。的体积为定值，A正确;

对于B,由CD,平面ADRA，A，u平面4D2A，得而

7T

AQ［。。=242。（=平面尸4。，则平面尸AQ,即AR与平面PAQ所成角为,

B错误；

对于C,将正△△4c与等腰Rt4C。置于同一平面，连接AC/BtC=E,

显然4G垂直平分8|C,AP+ClP<ACl=AE+ECx=2-Ji~+^2=yl6+^i,C正确;

对于D,正方体的外接球的半径R=6,当点尸为8c中点时，以点尸为截面圆心的截面面

积最小，

又正方体的中心（即外接球球心）到点尸的距离为1,因此截面圆半径最小为6万=血,

所以截面面积的最小值为2兀，D正确.

故选：ACD

12.亚

3

【分析】由已知可求得。力=；,进而利用卜+0=+2°力+1可求模.

答案第5页，共11页

【详解】因为(a+b)・(4—2b)=—g,所以J—2a・Z?+Q・b-2Z?2=—：，

41

所以1—"心―2二—耳，所以〃/=§,

所以卜+4=yla2+2a-b+b—Jl+2xi+1=~~~•

故答案为：巫.

3

13.45°

【分析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系

求出此角.

【详解】设侧棱与底面所成的角为6.因为是正四棱锥，所以顶点到底面的高的垂足一定是

底面正方形的中心，所以在由侧棱、高和底面对角线的一半所构成的直角三角形中，

亚r

C县故岭5。・

12

【点睛】本题考查棱锥的结构特征，以及求直线和平面成的角的方法，体现了数形结合的数

学思想.

【分析】由三角恒等变化结合基本不等式计算即可.

y=6sin2x+2sinx+4^/3cosx

=2^3sinxcosx+20cosx+2sinx+2近cosx

=2A/3COS%（1+sinx）+21inx+6cosx）

JA/Scosx+l+sinx^4.（兀）

+4sm+

【详解】42J^3J

=2sin[x+2]+g+4sin^x+

=2sin2（x+*|J+6sin[x+lj+g

因为-"sin卜,

所以当sin5J=1时，2sin2[x+三）+6sin[x+今]+g17

.取得最大值万,

此时x=2kit+3keZ）满足百cosx=l+sin;c.

17

故答案为：—.

答案第6页，共11页

兀

5⑴92

⑵26

【分析】（1）先应用数量积运算律化简求解得出。年=-6,余弦公式计算求解；

（2）应用数量积运算律结合模长公式计算，再应用投影向量模长公式计算求解.

【详解】（1）（2a-36）«2a+6）=61，/.4。2—4。,b—3b2=61，

..I.1a-b1

又14=4,W=3,“6=_6,："。n=丽=-

又6>G[O,7t],•'.^=y-

(2)\3a+2b\=9a2+l2a-b+4b2=108,|3a+2/?|=673.

向量a在向量3a+26上的投影向量的模为

a-(3a+2b]3a°+2a-b36r-

\a\-------j--------------j-=—i--------------j—=—T==273

同2Hp〃+246,3

jrjrjr27c

16.(1)兀；增区间为[---卜kjt,—卜kit],k£Z,减区间为[—Fku,-----卜kii\,ksZ

3663

7Q\4-3上

()10

【分析】(1)根据题意，化简得到〃x)=2sin(2x+J),结合正弦型函数的性质，即可求解;

O

Q7T47T3

(2)由〃a)=~得到sin(2a+B)=z，根据基本关系式，求得cos(2a+&=—,结合

56565

TT7T

cos2a=cos[(2a+—)——],即可求解.

66

【详解】(1)解：由函数f(x)=2cosx(百sinx+cosx)—1=2百sinxcosx+2cos2%—1

=上sin2x+cos2x=2sin(2x+—),

6

可得函数/(x)的最小正周期为7=3=无,

JTTTTTTTTT

令---F2ht<2xH——<——卜2krt,kGZ,可得---\-kn<x<——l-kn.keZ,

26236

所以函数/(%)的单调递增区间为[-g+标?+E]#eZ；

36

jrjr37rjr27r

令]+21CJI<2x+—<^-+2kji,keZ,—+fai<x<—+ATI,A:GZ,

所以函数“X)的单调递减区间为《+E,g+E]#eZ.

答案第7页，共11页

(2)解：由.可得/(a)=2sin(2i+5)=不，即sin(2a+^)=1,

工生(7171)-“日。，兀[2717TI]C兀、3

因为。£：,彳，可得2。+工£1-'-^,可得cos(2i+：)=一二,

<42J6136/65

所以cos2a=cos[(2a+-^-)--^]=cos(2a+/+；sin(2a+看)

=3x(一3+L3=T

252510

2兀

17.⑴F

(2)15

【分析】（1）由条件根据余弦定理求cosC,再结合C的范围求结论;

（2）由条件，结合正弦定理可求必，由关系/+"一°2=0求。+》，由此可得结论.

【详解】(1)S^Ia2+b2+ab-c2=0，

/+—c2—ab1

所以由余弦定理得cosC=

lab2ab2

因为c«o,兀），所以C=$.

(2)因为〃sin5="sinC,c=7,

7

由正弦定理可得"="。=15.

7

由(1)可*矢口0?=4+/+ab—(Q+b)2—ab,

所以72=(a+b)2—15,解得a+A=8,

所以VABC的周长为Q+Z?+C=15.

18.⑴/（x）=2sin（2x-9）

⑵证明见解析，吗41,2）

sinB

【分析】（1）根据函数对称轴距离可得最小正周期，进而可得。，再根据不等式恒成立可确

定函数最小值点，进而可得。，代入/，鼻|=-2可得小

（2）根据三角恒等变换化简可得证，再由sinC=sin（A+3）,可得吗=4cos?2-1,结

sinB

合8的取值范围可得解.

【详解】（1）由已知函数图象的两条对称轴间的最短距离是

则如■即T型=花

答案第8页，共11页

又外>0,所以G=2,

又对xeR恒成立，且，植］=-2,

（71।71

则2x1J+0=-5+2^1,keZ,且机=2,

兀

解得夕=—§+2左兀，ksZ,

又ld<T，所以夕=一£,

乙J

综上所述“月=2$出（2了-鼻；

（2）由⑴得（曰=25"8-3，

Xsin（A-B）-A/3cos（A-B）=2sin^A-B-^,

即2sin（8-三］=2sin^A-B-,即sin（8-：1=sin^A-B--1-^

又VABC为锐角三角形，

-_（八兀）_,._兀|7L7T।c兀।5兀兀）

所以A,0,-）则B—3e1A4-B--e~,

所以人一—崂，

即4=23,

又在VABC中,

sinC=sin（A+3）=sin（23+3）=sin23cosB+cos23sin3=4sin3cos2B-sinB,

sinC.2n1

所以一^；=4cosB-l,

sinn

0<B<-

2

717tIt

又0<A=2B<-，即Be,cosBe

6542'2'

27

71

O<C=71—A——

2

则吧C=4cos2g-le（l,2）.

sin5

19.（1）1

⑵！

3

⑶当

3

答案第9页，共11页

【分析】(1)根据条件知ABC。为菱形，AA，B用与底面ABCD垂直，再根据在顶点处的离

散曲率的定义计算即可；

(2)可证得3D1平面ACG,设AC3£>=。，则NBCQ即为BG与平面ACQ所成的角.求

出NBCD,再根据在顶点处的离散曲率的定义计算即可；

(3)连接。A，由Q4_L3£),O\±BD,可知二面角A-B。-A的平面角为ZA18A.根据

四面体4-A3。在点A处的离散曲率为:，求得/网。£，进而可求出二面角4-8。-A

的余弦值.

【详解】(1)因为四边形ABCZ)是菱形，所以/ZMB+/ABC=7T,