重难点：常见的排列组合问题解题策略-2023学年高二数学考点复习（人教A版选择性）

重难点专题：常见的排列组合问题解题策略

考点1:排列的意义理解

例L将4封信投入3个信箱中，共有种不同的投法；

【详解】解析：（1）第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法；同理，第2,3,4封信各有3

种投法.根据乘法原理，共有3x3x3x3=34=81种投法.

?【方法技巧】

重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,

能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中,

关键是在正确判断哪个是底数，哪个是指数

【变式训练】】

1.仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（）种.

A.A；B.43C.¥D.C：

【答案】C

【分析】每个冠军都有3种可能，因为有四项比赛，根据乘法原理，可得冠军获奖者的可能情况.

【详解】解：由题意，每项比赛的冠军都有3种可能，

因为有四项比赛，所以冠军获奖者共有3x3x3x3=34种可能

故选：C.

2.核糖核酸（机4）分子是在生物细胞中发现的化学成分,一个机4分子是一个有着数百个甚至

数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4种不

同的碱基，分别用A、C、G、。表示.在一个7m分子中，各种碱基能够以任意次序出现，

所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类7m分子由100个碱基组

成，那么能有多少种不同的RV4分子？

第1位第2位第3位第10啦

4种4种4种4种

JxLilxJxUl

【答案】有4侬种不同的机4分子.

【分析】

分100步完成，完成每步都是4种，再利用分步计数原理计算可得结果.

【详解】

100个碱基组成的长链共有100个位置，

从左到右依次在每一个位置中，从A、C、G、。中任选一个填入，

每个位置有4种填充方法，

根据分步乘法计数原理，长度为100的所有可能的不同RNA分子数目有4100个.

3.甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只

有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况有多少种？

【答案】64

【分析】

完成这个工作是每一个学科必须有一个冠军，可以是相同的人得不同的冠军，所以对冠军有限

制对学生没有限制，每一个冠军有4种选择，由分步乘法计数原理可求.

【详解】

举例说出其中的一种情况，如数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，

可见研究的对象是“3门学科"，只有3门学科各产生1名冠军，才完成了这件事，而4名同学

不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步.

第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；

第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠

军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；

第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得情况；

由分步乘法计数原理知，共有4x4x4=43=64种不同的冠军获得情况.

【点睛】

易错点睛：研究完成的这件事是什么？是冠军选人而不是人选冠军，所以要把每一个冠军都选

上人即可.

考点2：相邻问题捆绑法

例2.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为.

【答案】2880

【分析】由捆绑法求解即可

【详解】先把4名女生捆绑在一起，看成一个整体，有A：种，

再把这个整体与另外4名男生进行排列，有A；种，

故不同的排法种数有A*=2880种，

故答案为：2880

A

•【方法技巧】

题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.使用捆绑法，然后进

行排列，简单计算可得结果

【变式训练】

1.3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（）

A.48种B.36种C.20种D.24种

【答案】B

【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解.

【详解】3名学生相邻，故将3名学生捆绑看成一个整体再与两名老师进行全排列,则共有A；A：=36排法，

故选:B.

2.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0相邻的排列方法有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

【答案】B

【分析】利用插空法，需注意3个1及2个0不加区分；

【详解】解：将2个0看成一个整体，插入到3个1所形成的4个空中的1个，

故有4种插法，从而有4种排列的方法；

故选：B

3.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排法有（）

A.72种B.60种C.48种D.36种

【答案】C

【分析】利用捆绑法，将甲乙捆绑在一起.再由分步计数原理即可计算出结果.

【详解】甲、乙相邻共有A；=2种.

将甲、乙捆绑与剩余的丙、丁、戊三人全排列有A：=4x3x2x1=24种.

贝I］共有2x24=48种.

故选：c.

考点3：相离问题插空法

例3.电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益

广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（）.

A.A：A；B.C;C；

C.A"D.

【答案】A

【分析】由题意，利用插空法，可得答案.

【详解】先排4个商业广告，则A：,即存在5个空，再排2个公益广告，则A）故总排法：A：A）

故选：A.

?【方法技巧】

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个

元素插入上述几个元素的空位和两端

【变式训练】

1.2022年北京冬奥会吉祥物"冰墩墩"和冬残奥会吉祥物"雪容融"，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各

国人民的喜爱.某商店有3个不同造型的"冰墩墩”吉祥物和2个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，

要求"冰墩墩"和"雪容融"彼此间隔排列，则不同的排列方法有多少种？（）

A.24B.12C.6D.2

【答案】B

【分析】先排2个雪容融，利用插空法排列3个冰墩墩即可.

【详解】解：先对2个雪容融排列A；,将3个冰墩墩插空放在3个空位上排列A；,

由分步乘法计数原理，排列方法有A；A；=12.

故选：B

2.五人并排站成一排，甲乙不相邻的排法种数为（）

A.30B.54C.63D.72

【答案】D

【分析】按照插空法列式，求解.

【详解】按照插空法，甲乙不相邻的排法种数有A；A：=72.

故选：D

3.有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆

放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（）

A.120种B.32种C.24种D.16种

【答案】D

【分析】红色在中间，先考虑红色左边的情况，再考虑右边，进而求出答案.

【详解】红色左边放一盆白色，一盆黄色，右边放一盆白色，一盆黄色，

先选左边，白色二选一，黄色二选一，再进行排列，故有C；C；A；种选法，

再考虑后边，剩余的白色和黄色进行排列即可，有A；种选法，

综上：一共有摆放方法C；C；A；A；=16种.

故选：D

考点4：元素分析法（位置分析法）

例4.6人排成一排照相，其中甲、乙两人必须排在中间两个位置，有种不同的排法.

【答案】48

【分析】先将甲、乙两人排在中间的两个位置，再将剩下的4人排在剩余的4个位置即可.

【详解】先将甲、乙两人排在中间的两个位置，有A；=2种排法，

然后剩下的4人排在剩余的4个位置，有A：=4x3x2x1=24,

所以由分步乘法原理可知共有2x24=48种不同的排法，

故答案为：48

£【方法技巧】、

某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

【变式训练】

1.将甲、乙、丙、丁四名大学生分到三个不同单位实习，每个单位至少分到一名实习生，则甲、乙两名大

学生不被分到同一个单位实习的概率为（）

5211

A.—B.-C.-D.一

6336

【答案】A

【分析】先求出甲、乙、丙、丁四名大学生分到三个不同单位实习，每个单位至少分到一名实习生共有的

选择数，再求出甲、乙两名大学生被分到同一个单位实习的选择数，再利用古典概型求概率公式及对立事

件求概率公式进行求解即可.

【详解】甲、乙、丙、丁四名大学生分到三个不同单位实习，每个单位至少分到一名实习生，

则必有2人分配到同一个单位，先从4人中选出2人，有C：=6种选择，

再进行全排列，有A；=6种选择，故总的方法有C：A；=36种，

其中甲、乙两名大学生被分到同一个单位实习的情况：从3个单位中选出一个分配给甲乙，再将剩余的丙

丁和剩余的两个单位进行全排列，有C；A；=6种选择，

所以甲、乙两名大学生被分到同一个单位实习的概率为三=],

故甲、乙两名大学生不被分到同一个单位实习的概率为1-5=乡

66

故选：A

2.五位同学站成一排合影，张三站在最右边，李四、王五相邻，则不同的站法种数为.

【答案】12

【分析】根据特殊元素优先原则，结合捆绑法可得解.

【详解】由李四、王五相邻，将两人视为一个整体，可看作共四位同学，

又张三站在最右边，只有1种情况，

所以不同站法种数为1xA；xA；=12种，

故答案为：12.

3.成语"五音不全”中的五音指古乐的五声音阶：宫、商、角、徵、羽，是中国古乐基本音阶.把这五个音

阶排成一列，形成一个音序.满足"徵""羽"两音阶相邻且在"宫"音阶之前的不同音序的种数为

.（用数字作答）

【答案】24

【分析】把"徵""羽"看成一个元素，排在"宫"的前面，再排"商""角"，最后计算"徵""羽〃交换顺序排列即可.

【详解】解：把"徵""羽"看成一个元素，在排好顺序的4个位置中选两个，按"宫"在后，"徵""羽"在前的顺

序，有G种排法，

另两个位置排"商""角"，有A；种排法，

"徵"，，羽，，又可交换顺序排列，有A：种排法，

故所求音序种数为=24.

故答案为：24.

考点5：多排问题单排法

例5.6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）

A、36种B、120种C、720种D、1440种

解析：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共用=72°

种，选c.

?【方法技巧】

把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

【变式训练】

L8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排

在后排，有多少种不同排法？

【解析】：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有用种，某1个元素排在

后半段的四个位置中选一个有N种，其余5个元素任排5个位置上有&种，故共有

=5760种排法.

考点6：定序问题缩倍法（等几率法）

例6.A5CRE五人并排站成一排，如果3必须站在A的右边（A3可以不相邻）那么不同

的排法种数

【解析】：§在A的右边与3在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数

人=60

的一半，即2种

?【方法技巧】

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

【变式训练】

1书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？

【解析】：法一：人；法二：

2,将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排，若A、B、C必须按A在前，B居中，C在后的

原则（A、B、C允许不相邻），有多少种不同的排法？

【解析】：法一：法二:

考点7：标号排位问题（不配对问题）

例7将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格

的标号与所填数字均不相同的填法有（）

A、6种B、9种C、H种D、23种

【解析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字

填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3X3X

1=9种填法，选B.

2【方法技巧】

把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下

去，依次即可完成.

【变式训练】

1：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张

贺年卡不同的分配方式共有（）

（A）6种（B）9种（C）ll种（D）23种

【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、do

第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；

第二步，假设甲取b,则乙的取法可分两类：

（1）乙取a,则接下来丙、丁取法都是唯一的，

（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。根据加

法原理和乘法原理，一共有3*（1+2）=9种分配方式。故选（B）

2.编号为A,B,C,D,E的5个小球放在如图所示的5个盒子里，要求每个盒子只能放1个小球，且A

球不能放在1,2号盒子里，B球必须放在与A球相邻的盒子中，求不同的放法有多少种？

【解析】

试题分析：借助题设条件运用排列数组合数公式和分类计数原理求解.

试题解析：

根据A球所在位置分三类：

(1)若A球放在3号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E,则根据分步计

数原理得，此时有A=6种不同的放法；

(2)若A球放在5号盒子内，则B球只能放在4号盒子内，余下的三个盒子放球C、D、E,则根据分步计

数原理得，此时有A=6种不同的放法；

(3)若A球放在4号盒子内，则B球可以放在2号、3号、5号盒子中的任何一个，余下的三个盒子放球C、

D、E,有A=6种不同的放法，根据分步计数原理得，此时有AA=18种不同的放法.

综上所述，由分类计数原理得不同的放法共有6+6+18=30种.

考点：分类计数原理和排列数组合数公式的综合运用.

考点7：不同元素的分配问题(先分堆再分配)：

例7.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁、戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，

每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是.

【答案】240

【分析】根据平均分组原则和分步计数原理即可解答.

ddcY

【详解】先将5名学生分成4组共有5：32=10种，

再将4组学生安排到4所不同的学校有A：=24种，

根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有10/24=240种.

故答案为：240

7【方法技巧】

注意平均分堆的算法

【变式训练】

1.甲乙丙丁四位同学分别去甘肃、内蒙古、北京三个地方调研新冠疫情发展情况，每个地方至少一个人去,

且甲乙两人不能去同一个地方，则不同分法的种数有—种

【答案】30

【分析】将甲乙丙丁四人分成三组，有两种方案，一是丙丁一组甲乙各一组，二是甲或乙和丙丁其中一个

组成一组，其他各一组，然后进行分配即可解出.

【详解】将甲乙丙丁四人分成三组且甲乙两人不能分在同一组的分法有：C1+2C*=5,

所以不同分法的种数有5A；=30,

故答案为：30.

2.己知有6本不同的书.

(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？

(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？

【答案］⑴15

(2)60

【分析】直接利用排列组合中的“平均分组"与"不平均分组”的计算方法计算即可.

(1)

6本书平均分成3堆，

6?x、—xl

所以不同的分堆方法的种数为2rxX.

A；3?2?

(2)

从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，

所以不同的分堆方法的种数为C：C；C；=6x.xl=60.

ZXI

考点8：相同元素的分配问题隔板法

例8.把20个相同的球全放入编号分别为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少

于其编号数，则有多少种不同的放法？

【解析】：向1,2,3号三个盒子中分别放入0,1,2个球后还余下17个球，然后再把这17

2

个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有016=120种。

?【方法技巧】

相同元素的分配问题隔板法

【变式训练】

1,10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至

少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故

共有不同的分配方案为=84种.

2.将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使

得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？

【解析】：1、先从4个盒子中选三个放置小球有盘种方法。

2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以

在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插

入两个板。各有穹、穹、点种方法。

3、由分步计数原理可得量仁°；=720种

考点9：走楼梯问题

例9.某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从A处到达他所在的班级3处（所有楼道间是连通的）,

则最短路程不同的走法数为（）

B

A

A.5B.10C.15D.21

【答案】D

【分析】

利用组合数可求最短路程不同的走法数.

【详解】

从4到3共需走7步，其中横步（向右）有2步，竖直向上的有5步，

故最短路程的不同走法数为a=21.

故选：D.

2【方法技巧】

（分类法与插空法相结合）注意把实际问题转化为组合问题，本题属于基础题.

【变式训练】

1小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16

级台阶，那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法？

【解析】：插空法解题：考虑走3级台阶的次数：

1）有0次走3级台阶（即全走2级），那么有1种走法；

2）有1次走三级台阶。（不可能完成任务）；

3）有两次走3级台阶，则有5次走2级台阶：

（a）两次三级台阶挨着时：相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，

有&=6种

（b）两次三级不挨着时：相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中，

有屐="种走法。

4）有3次（不可能）

5）有4次走3级台阶，则有2次走两级台阶，互换角色，想成把两个2级台阶放到3级台阶

形成得空中，同（3）考虑挨着和不挨着两种情况有种仁+资=15走法；

6）有5次（不可能）

故总共有：1+6+15+15=37种。

考点10：排数问题

例10.由0,1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数是

【答案】48

【详解】第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，有4种选法，

再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，有A；=12种选法，

由0,1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数是4x12=48.

故答案为：48.

?【方法技巧】

第一步先从非零的四个数中选择一个作为百位数字，再从剩余的四个数中选择两个排在十位和个位上，然

后利用分步乘法计数原理可得出答案.

【变式训练】

1.从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样

的三位数共有（）.

A.9个B.24个C.36个D.54个

【答案】D

【分析】先选后排，计算出结果.

【详解】先从3个偶数中选出1个，再从3个奇数中选出2个，先选后排，共有=3x3x6=54（个）,

故选：D

2.用0,1,2,3,4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（）

A.36B.48C.60D.72

【答案】C

【分析】当个位数为0时，从其他4个数选3个进行排列，当个位数为2或4时，从剩下的非零的3个数

中选一个排在千位，再从剩下的3个数中选2个排在十位和百位，最后用分类计数原理求解.

【详解】当个位数为0时，有A：=24个，

当个位数为2或4时，有2A；蜀=36个，

所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，

故选：C.

3.4张卡片的正、反面分别写有数字L2；1,3；4,5；6,7.将这4张卡片排成一排，可构成不同的四

位数的个数为（）

A.288B.336C.368D.412

【答案】B

【分析】由己知，可根据题意，分成当四位数不出现1时、当四位数出现一个1时、当四位数出现两个1

时三种情况，分别列式求解即可.

【详解】当四位数不出现1时，排法有：C；xC；xA：=96种；

当四位数出现一个1时，排法有：2xC；xC；xA：=192种；

当四位数出现两个1时，排法有：C；xC；xA；=48种；

所以不同的四位数的个数共有：96+192+48=336.

故选：B.

考点11：染色问题

例n.如图，节日花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽

种，则符合条件的种植方案有种.

【分析】根据题意，按选出花的颜色的数目分2种情况讨论，利用排列组合及乘法原理求出每种情况下种

植方案数目，由加法原理计算可得答案

【详解】如图，假设5个区域分别为1,2,3,4,5,

分2种情况讨论:

①当选用3种颜色的花卉时，2,4同色且3,5同色，共有种植方案C：A；=24（种）,

②当4种不同颜色的花卉全选时，即2,4或3,5用同一种颜色，共有种植方案C；-A：=48（种）,

则不同的种植方案共有24+48=72（种）.

故答案为：72

?【方法技巧】

涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论；

（2）根据相对区域是否同色分类讨论;

（3）将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。

【变式训练】

1.用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共有（）

A.24种B.36种C.48种D.72种

【答案】c

【分析】根据分步乘法计数原理逐一按①②③和④涂色，即可求解.

【详解】对于①②③，两两相邻，依次用不同颜色涂，共有4x3x2=24种涂色方法，对于④，与②③相

邻，但与①相隔，此时可用剩下的一种颜色或者与①同色，共2种涂色方法，则由分步乘法计数原理得

24x2=48种不同的涂色方法.

故选:C

2.用3种不同颜色给正三角形的3个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条边的两个端点涂不同颜

色，则不同的涂色方法共有（）种

A.6B.9C.3D.5

【答案】A

【分析】依题意，三个顶点要涂三个不同的颜色，则不同的涂色方法共有A；种

【详解】依题意，三个顶点要涂三个不同的颜色，则不同的涂色方法共有A；=6种

故选：A

3.学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄

荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区

【分析】运用分类计数原理、分步计算原理，结合组合定义进行求解即可.

【详解】当选择两种颜色时，因为榄绿与薄荷绿不涂在相邻的区域内，所以共有C：-l=5种选法，因此不

同的涂色方法有5x2=10种，

当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿都被选中，则有2种方法选法，

因此不同的涂色方法有2x2x2=8种，

当选择三种颜色且橄榄绿与薄荷绿只有一个被选中，则有2种方法选法，

因此不同的涂色方法有2x3x2x（2+l）=36种，

当选择四种颜色时，不同的涂色方法有2x2x2+2x2=12种，

所以共有10+8+36+12=66种不不同的涂色方法，

故答案为：66

考点12：几何中的排列组合问题：

例12.设。为正六边形ABCDEF的中心，在。，A,B,C,D,E,歹中任取三点，则取到的三点构成等边

三角形的概率为（）

,1689

A.—B.—C.—D.—

7353535

【答案】c

【详解】解：从。，A,B,C,D,E,尸中任取三点有C；=35种取法；

要使三点组成的三角形为等边三角形，

若取。点则有6种情况（。钻、OAF,OEF、OBC、ODC、ODE）；

若不取。点则有2种情况（ACE、BDF）；

故取到的三点构成等边三角形的概率?=当=之

故选：C

【方法技巧】

首先求出基本事件总数，再列出使三点为等边三角形的情况，最后利用古典概型的概率公式计算可得；

【变式训练】

1.从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（）

A.Cg-12B.C；-8C.C；-6D.C；-4

【答案】A

【解析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有C；种，去掉四点共面的情况即可求解.

【详解】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有C：种，

正方体表面四点共面不能构成四面体有6种，

正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有6种，

所以可得到的四面体的个数为《-6-6=C；-12种，

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这

是解题的关键.

2.一空间有10个点，其中5个点在同一平面上，其余没有4点共面，则10个点可以确定不同平面的个数

是.

【答案】111

【分析】先求所有可能构成的平面个数，然后考虑共面的5个点确定的平面数，即可求解.

【详解】不共线的三点可以确定一个平面，所以10个点最多可以确定C：。=120个平面，

而那5个共面的点，则可以确定仁=10个平面，而没有其他4点共面的，所以减少了10-1=9个平面，所以

一共可以确定的平面数为111.

故答案为：111

羔巩固提升

一、单选题

1.（2015・山东•高考真题）某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余

2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（）

A.10B.20C.60D.100

【答案】A

【分析】根据组合的定义计算即可.

【详解】从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有C；=10种安排方式.（选取3人后剩下2名同窗干

的活就定了）

故选：A

2.（2015・山东•高考真题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点

中任选一处，那么甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（）

2211

A.-B.-C.—D.~

9342

【答案】D

【分析】应用古典概型的概率求法，求甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率即可.

【详解】甲、乙两位同窗选取景点的种数为2x2=4,其中甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的种数为2,

21

甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率为:=彳.

42

故选：D

3.（2022•全国•高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和

丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方

式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；

注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!x2x2=24种不同的排列方式,

故选：B

4.（2022•全国•高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法,

若两数不互质，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种,

故所求概率尸=?21一-7=[2.

213

故选：D.

5.（2020・山东•高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意••间听课，则恰好全都进入同

一间教室的概率是（）

2111

A.—B.—C.—D.—

25162532

【答案】B

【分析】利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.

【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有25=32种方法，

其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以P=

3216

故选：B

6.（2020•山东•高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科

的课代表，则不同安排方法的种数是（）

A.12B.120C.1440D.17280

【答案】C

【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有团=1440种不同安排方法.

【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有C：C；种情况，

再分别担任5门不同学科的课代表，共有次种情况.

所以共有亡或团=1440种不同安排方法.

故选：C

7.（2021•全国•高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项

目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】c

【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘

法原理求得.

【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者

中任选2人，组成一个小组，有C；种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的

位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种，根据乘法原理，完成这件事，共有

C"4!=240种不同的分配方案，

故选：C.

【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排

思想求解.

8.（2021•全国,高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

【答案】C

【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.

【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,

共10种排法，

其中2个0不相邻的排列方法为：

01011,01101,01110,10101,10110,11010,

共6种方法，

故2个。不相邻的概率为白=0.6,

故选：C.

9.（2020•海南•高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至

少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）

A.2种B.3种C.6种D.8种

【答案】C

【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.

【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有C；C；=3种分法

第二步，将2组学生安排到2个村，有方=2种安排方法

所以，不同的安排方法共有3x2=6种

故选：C

【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.

10.（2020•海南•高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排

1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B.90种

C.60种D.30种

【答案】C

【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有C；；

然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有C；；

最后剩下的3名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有C；•C；=6x10=60种.

故选：C

【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

11.（2020•全国•高考真题（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为。2，…,。］2.设1§勺＜的12.若1=3

且_H=4,则称aj,ak为原位大三和弦；若k-/=4且jT=3,则称*aj,ak为原位小三和弦.用这12个

键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）

02。4。709«H

I\___冲人___人___FA_AH_A._I)

A.5B.8C.10D.15

【答案】C

【分析】根据原位大三和弦满足左一/=3J-i=4,原位小三和弦满足左-/=4,/-i=3

从i=l开始，利用列举法即可解出.

【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：k-j=3J-i=4.

二，=1"=5,左=8；i=2,j=6,k=9-i=3,j=7,左=10；i=4,j=8,k=U；i=5,j=9,k=U,

原位小三和弦满足：k-j=4,j-i=3.

i=lJ=4,k=S.,i=2,j=5,k=9；i=3,j=6,k=i0；i=4,j=7,左=11；i=5,j=8,左=12.

故个数之和为10.

故选：C.

【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题.

12.（2019•全国•高考真题（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是

1111

A.—B.—C.—D.-

6432

【答案】D

【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.

【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种

数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是g.故选D.

【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养.采取等同法，利用等价转化

的思想解题.

13.（2019•全国•高考真题（理））我国古代典籍《周易》用"卦”描述万物的变化.每一"重圭卜”由从下到上排

列的6个爻组成，爻分为阳爻"一一"和阴爻"一一"，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重

卦恰有3个阳爻的概率是

【答案】A

【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数

学素养，"重卦"中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问

题，利用直接法即可计算.

【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有26情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有C；,所以

该重卦恰有3个阳爻的概率为?='，故选A.

【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组

合问题.本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店"问题，满足条件事件的计算是相同元素

的排列问题即为组合问题.

14.（2012•浙江,高考真题（理））若从1,2,3,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则

不同的取法共有

A.60种B.63种C.65种D.66种

【答案】D

【详解】试题分析：要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有C；=i

种结果，当取得4个奇数时，有C；=5种结果，当取得2奇2偶时有=6x10=60种结果，共有

1+5+60=66种结果.故答案为D.

考点：分类计数原理.

15.（2012•全国•高考真题（理））将字母2闭〉3（：6排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母

也互不相