线段垂直平分线的性质（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）原卷版-2025年新八年级数学（浙教版）

线段垂直平分线的性质

(2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测)

B题型预览

典型例题一作已知线段的垂直平分线

典型例题二根据垂直平分线的性质求长度

典型例题三根据垂直平分线的性质求周长

典型例题四根据垂直平分线的性质求角度

典型例题五利用垂直平分线的性质求最值

典型例题六垂直平分线的判定与性质综合问题

典型例题七垂直平分线常见辅助线添加

隰知识梳理

知识点01线段的垂直平分线

(1)定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)

垂直平分线，简称“中垂线”.

(2)性质：

①垂直平分线垂直且平分其所在线段.

②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.

③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等.

求做线段AB的垂直平分线

B

作法:

（1）分别以点A,B为圆心，以大于」AB的长为半径作弧，两弧相交于c,D两点；

2

（2）作直线CD,CD即为所求直线.

要点归纳：

作弧时的半径必须大于‘AB的长，否则就不能得到交点了.

2

【即时训练】

1.（2025•浙江杭州•模拟预测）如图，在A/BC中，进行以下操作：①分别以点3为圆心，大于;43

的长为半径作弧，两弧交于点。，E-,②作直线。E交边48于点。，交BC于点、H；③连接已知

OH=4,周长为16,则△408的周长为（）

【即时训练】

2.（24-25八年级上•浙江绍兴•期末）如图，四边形ABC。是“等形"，AB=AD,BC=DC,点E是对角线/C

的一个三等分点，连接BE,DE,图中面积相等的三角形有（）对.

A.0B.1C.2D.3

知识点02垂直平分线的性质与判定

1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

如图，直线1，AB,垂足为C,AC=CB,点P在1上.求证：PA=PB.

证明：•/1±AB,AZPCA=ZPCB.

又AC=CB,PC=PC,APCA^APCB(SAS),/.PA=PB.

2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

求证：如图，若PA=PB,则点P在线段AB的垂直平分线上。

证明：(1)当点P在线段AB上时，

VPA=PB,点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上;

(2)当点P在线段AB外时，如右图所示.

*/PA=PB,APAB是等腰三角形.

过顶点P作PCLAB,垂足为点C,.•.底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.

即PC±AB,且AC=BC.

直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.

3.线段垂直平分线的作法

①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线，

②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；

③尺规法：

(1)分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E、F；

(2)过点E、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。

4.总结

内容线段的垂直平分线上的点到

以H线段的两个端点的距离相等

性质-

作用见垂直平分线，得线段相等

线段的垂直

平分的性质

和判定

山4到线段的两个端点距离相等

「内谷

的点在线段的垂直平分线上

判定-

一作用判断一个点是否在线段的垂

直平分线上

【即时训练】

1.（24-25八年级上•浙江嘉兴•阶段练习）如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆垂直平分

AB,AC=5cm,则8c的长是()

A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm

【即时训练】

2.（24-25八年级上•浙江杭州•期末）如图，直线/与线段42交于点。，点尸在直线/上，且尸/=尸2.则下

列说法正确的是（）

A.AO-BO

B.直线/是48的垂直平分线

C.若/，M，则直线/是42的垂直平分线

D.若NA=NB,则直线/是/B的垂直平分线

画经典例题

口【典型例题一作已知线段的垂直平分线】

【例1】（24-25八年级上•浙江嘉兴•期中）如图，在△NBC中，分别以点8和点C为圆心，大于38。长为

半径画弧，两弧交于点新，N,作直线交NC于点。，交BC于点E,连接HD,若/8=8,

BC=6,AC=9.则△NBD的周长为（）

A.14B.15C.17D.23

【例2】（2025•浙江丽水•模拟预测）如图，观察尺规作图的痕迹，若48=8,AC=6,则△4DC的周长为

A.12B.13C.14D.15

【例3】（24-25八年级上•浙江绍兴•期中）如图，在正方形网格中，△跖G绕某一点旋转某一角度得到

△RPQ,则旋转中心可能是.

【例4】（2025•浙江嘉兴•模拟预测）如图，在△/BC中，点。为边的中点，连接CD.请用尺规作图法

在边NC上求作一点E,使〃BCE=SABS.（保留作图痕迹，不写作法）

0变式训练

1.（2025•浙江杭州•模拟预测）已知线段利用直尺和圆规作N2的垂直平分线，下列4个作图中正确

图①图②图③图④

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2025•浙江金华•模拟预测）如图，在RtA42C中，按以下步骤作图：①分别以A,8为圆心，大于;北

的长为半径作弧，两弧相交于N两点；②作直线1W交/C于点。，连接AD.若NADC=30。，则

1

tan/

'M

B

3.（2025•浙江丽水•模拟预测）是△4BC中NC边上的中线.

（1）尺规作图：作出8。的三等分点E、F.（要求：保留痕迹，不写作法）

（2）当点E靠近点B时，连接/£、AF,若义小=6,则△ABC的面积为.

4.（2025•浙江金华・模拟预测）如图，已知△/8C.

BC

（1）尺规作图：作边8c的垂直平分线，交/C于点。，交8c于点£；（保留作图痕迹，不要求写作法，标明

字母）

（2）在（1）的条件下，连接2D.若△/BC的周长为16,BE=3,求的周长.

国【典型例题二根据垂直平分线的性质求长度】

【例1】（24-25八年级上•浙江绍兴•期中）如图，AB=BC=4,DA=DC,若44c5=60。，则OC的长度

B

L5

A.1B.V3C.2D.-

2

【例2】（24-25八年级上•浙江丽水・期中）如图，在△/3C中，2C的垂直平分线交于点。，若

BD=2,AD=\,则/C的长度x取值范围为.

【例3】（24-25八年级上•浙江嘉兴•期中）如图，在△/8C中，ZC=90°,=30。,43的垂直平分线分别

交/8,/C于点。、E.连接BE,已知CE=2,求NE的长度.

【例4】（24-25八年级上•浙江杭州•期中）如图，△N8C中，AD平分NBAE,ADLBE,所垂直平分

AC,交NC于点尸，交BC于点、E.

⑴若㈤E=48。，求的度数；

⑵若A/BC周长26,AF=6,求DC的长度.

0变式训练

1.（2025•浙江绍兴•模拟预测）如图，在A/BC中，是边8c的垂直平分线，£为胡的延长线上一

点.过点E作昉」3c于点巴交NC于点若N3=10,AH=6,AE=4,则板的长度为（）

2.（24-25八年级上•浙江舟山•期中）如图在一个残缺的圆的一段圆弧上任取两点4B,连接48,再作出

的垂直平分线，交AB于点、D,交荔于点C,如果知道N3、CD的长度，即可计算得出这个残缺的圆的半

径，已知/2=4gcm,CD=2cm,则圆的半径为cm,阴影部分的面积为

3.（2025•浙江宁波•模拟预测）（1）解方程：x（x-2）+x-2=0；

(2)如图，在△NBC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,AB=1Q.

①尺规作图：请借助无刻度的直尺和圆规求作一条直线£尸，使得直线所垂直平分线段交AB于点、

E,交直线/C于点八（保留作图痕迹，不要求写作法）

②在①的条件下，求所的长度.

4.（24-25八年级上•浙江温州•阶段练习）如图，P为等边△ABC外一点，垂直平分于点“，ZBAP

的平分线交PC于点D

H

C

B

（1）①直接写出与PB的位置关系为.

②。尸与D2的数量关系为,并写出证明过程.

（2）求证：DA+DB=DC-,

（3）若等边△A8C边长为幅，连接BN,当△AttH■为等边三角形时，请直接写出CP的长度.

国【典型例题三根据垂直平分线的性质求周长】

【例1】（24-25八年级上•浙江绍兴•期中）如图，平行四边形/BCD的对角线/C的垂直平分线交于点

E,连接CE.若平行四边形的周长为36cm,则ACDE的周长为（）

A.12cmB.24cmC.15cmD.18cm

【例2】（24-25八年级上•浙江嘉兴•期中）如图，在矩形/5CD中，分别以点4C为圆心，大于:/C的长

为半径作弧，两弧相交于点N作直线MV,交BC于点、E,交/。于点尸，若BE=3,AF=5,则矩形

【例3】（24-25八年级上•浙江湖州•期末）如图，在中，分别以点A和点8为圆心，大于g/B的长为

半径画弧，两弧相交于点〃，N,作直线交8C于点。，交4B于点E,连接若△/OC的周长

为12,AE=4,则△NBC的周长为.

【例4】（2025•浙江杭州•模拟预测）如图,在口/BCD中:

（1）实践与操作：尺规作的垂直平分线，垂足为£,交于点尸，连接/尸；

（2）应用与证明：在（1）的条件下，若/。=4,AB=3,求四边形的周长.

0变式训练

1.（2025•浙江舟山•模拟预测）如图，在△A8C中，ZC=90°,AC=6,BC=8,按下列步骤尺规作图：①

分别以48为圆心，大于g/8的长为半径画弧，两弧分别交于点加和N；②作直线交4B于点E,

交8C于点尸，则△EEB的周长为（）

A.8B.10C.15D.20

2.（24-25八年级上•浙江杭州•期中）如图，在口4BCD中，对角线NC,AD相交于点。，ACLBC,

AB=10,AC=6,过点。作交CD于点E,连接8E,则aBEC的周长是.

3.（24-25八年级上•浙江衢州•期中）如图，在A/3C中，跖垂直平分NC,交4c于点、F,交BC于点、E,

AD1BC,垂足为。，^.BD=DE,连接/E.

⑴求证：AB=EC-

(2)若DC+/尸=16,求A/BC的周长.

4.（24-25八年级上•浙江丽水•期中）如图，在A/BC中，AB=AC,的垂直平分线MN交/C于点

D,交AB于点、E.

（1）求证:是等腰三角形；

（2）若N/=40。，求/D2。的度数；

（3）若NE=6,ACB。的周长为20,求A/8C的周长.

以【典型例题四根据垂直平分线的性质求角度】

【例1】（2025八年级上•浙江温州•专题练习）如图，在△/BC中，ZC=31°,N/8C的平分线BO交NC

于点。，如果。E垂直平分BC,那么//的度数为（）

A

D

BEC

A.87°B.62°C.90°D.93°

【例2】（24-25八年级上•浙江宁波•阶段练习）如图，在△ABC中，A8的垂直平分线交2C于。，NC的垂

直平分线交8C于E,/B4c=124°,则/ZX4E的度数为（）

【例3】（24-25八年级上•浙江温州•期末）如图，AB=AC,ZA=50°,48的垂直平分线MN交NC于点

D,则ND8C的度数为.

【例4】（24-25八年级上•浙江丽水•期中）△48C中，直线加垂直平分48,直线〃垂直平分/C.

①若N8/C=100。，贝l|NCUE=；

②若NA4C=a,求ND4E的度数；（用含。的式子表示）

（2）如图2,若直线加，〃与8C交于同一点尸，求NA4C的度数；.

0变式训练

1.（24-25八年级上•浙江绍兴•阶段练习）如图，在△48C中，AB=AC,ZA=40°.分别以点43为圆

心，以大于长为半径画弧，两弧分别交于点M,N,直线交/C于点。.连接20,则ND8C的度

2

数是（）

2.（24-25八年级上•浙江嘉兴•期中）如图，△4BC中，z5=90°,乙4=30。.NC的垂直平分线分别交

AC,48于点O,将△/OC绕点。逆时针旋转得到△/'OC,旋转角为a（O°<a<360。）.连接

C'M-当△4MC'是直角三角形时，旋转角。的度数为.

3.（24-25八年级上•浙江嘉兴•期中）如图，在正方形48。中，点£、厂分别在CD上，AFLDE,

连接瓦L

（1）当。尸=£b时，求//FD的度数；

（2）当。尸=CF时，求证：ZAFD=ZEFC.

4.（24-25八年级上•江苏无锡•期中）教材呈现：如图是2024苏科版八年级上册数学教材第59页的部分内

容、我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴.

如图①，直线/是线段的垂直平分线，尸是直线/上任一点，连接尸/、PB.将线段沿直线/对折,

我们发现PA与PB完全重合，即P/=尸8.

尺规作图：在图②中，作△Z8C边8C的垂直平分线加，“，交点为。（不写过程，保留作图痕迹）;

（1）若/8=90。，则直线机，〃夹角的度数为:

（2）若/B=a90。），求直线加，〃所夹锐角的度数（用含a的代数式表示）.

J【典型例题五利用垂直平分线的性质求最值】

【例1】（24-25八年级上•浙江绍兴•阶段练习）如图，44。2=60。，点尸是内的定点且。尸=2道,

若点A/、N分别是射线。4、。8上异于点。的动点，则APAW周长的最小值是（）

D

A.6B.3C.—D.—

22

【例2】（24-25八年级上•浙江嘉兴・期末）如图，等腰的底边8c长为6,面积是24,腰NC的垂直平

分线E尸分别交NC,4B边于E,R点.若点。为边的中点，点G为线段跖上一动点，则ACDG周长的

最小值为.

A

【例3】(24-25八年级上•浙江杭州•阶段练习)如图，在△/BC中，AB=AC,的垂直平分线交于点

N,交ZC于点连接MB.若AB=7cm,的周长是12cm.

(1)求8c的长；

(2)若点P是直线上的一点，直接写出尸8+PC的最小值为cm.

【例4】(24-25八年级上•浙江温州•期中)如图，在中，ZC=90°,边48的垂直平分线交BC于

点。，垂足为£,4D平方/BAC.

(1)求—2的度数；

(2)求证：3CD=BC；

(3)若NC=2,点尸是直线AD上的动点，求|依-尸C|的最大值.

0变式训练

1.（24-25八年级上•浙江绍兴•期末）如图，Rt“3C中，ZACB=90°,NB=30。，NC=2,D为2C上一

动点，跖垂直平分4。分别交NC于£、交4B于尸，则8尸的最大值为（）

A

2.（24-25八年级上•浙江丽水・期末）如图，在△NBC中，AB=AC,/C的垂直平分线交NC于点尸，交4B

于点E,连接EC,/8=10,△8EC的周长为18.若点尸在直线M上，连接尸/、P8,则8C=,\PA-PB\

的最大值为.

3.（24-25八年级上•浙江嘉兴•期末）如图，在中，ZC=90°,ZB=30°,BC=6,。为48的中

点.

（1）若尸为8C上的一点，连接NP,DP,使得4P+DP有最小值.请作出点尸（不要求写作法）;

（2）在（1）的条件下，请求出"+DP的最小值.

4.（24-25八年级上•浙江丽水・期末）在"BC中，ZS=9O°,AB=1,。为8c延长线上一点，E为线段/C,CD

的垂直平分线的交点，连接EA,EC,ED.

图3

(2)当NB/C=60。时,

①如图2,连接/D,按边分，△/££）是.三角形.

②如图3,直线CF与交于点R满足=为直线CF上的一个动点.说明当点尸在什么位

置时，尸£-尸。的值最大？并求出这个最大值.

凰【典型例题六垂直平分线的判定与性质综合问题】

【例1】（2025•浙江绍兴•模拟预测）如图，在△NBC中，AB=AC,点。是a/BC内一点，连接。8,OC,

连接工。并延长交8C于点。，若OB=OC,BC=8,则CD的长为（）

A.4B.5C.2D.6

【例2】（24-25八年级上•浙江温州•期中）风筝又称“纸莺”“风莺”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有

2000多年的历史.如图是一款风筝骨架的简化图，已知4B=4D,8C=CD,ZC=90cm,AD=60cm,制作这

个风筝需要的布料至少为（）cm?

A

A.1800B.5400C.2700D.1200

【例3】（24-25八年级上•浙江绍兴•阶段练习）如图，△NBC是等腰三角形，AB=AC=2,分别以点B、C

为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P,作射线NP,若NA4尸=50。，则扇形A4C的面积

【例4】（24-25八年级上•浙江嘉兴•期中）如图，在△NBC中，A8的垂直平分线4交NB于点交8c于

点D,/C的垂直平分线4交NC于点N,交3C于点E,4与4相交于点O,△/£>£的周长为10.

（1）求8c的长；

（2）试判断点。是否在边8C的垂直平分线上，并说明理由.

0变式训练

1.（24-25八年级上•浙江嘉兴•期末）如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心围成的△/BC区域内

修建一个电视信号发射塔。，使得该发射塔。到三个乡镇中心4民。三地的距离相等，以下选址正确的是

AA

2.（24-25八年级上•浙江杭州•期中）如图，在等边A/BC中，边上的中线40=6,尸是边上的一个

动点，E是边NC的中点，在点尸运动过程中，存在E尸+CF的最小值，这个最小值是.

3.（24-25八年级上•浙江丽水•期中）如图，在△48C中，AD1BC,即垂直平分/C,交NC于点尸，交

BC于点,E,且BD=DE,连接/E.

⑵若△NBC的周长为32cm,AC=12cm,求DC的长.

4.（24-25八年级上•浙江绍兴•阶段练习）如图，已知：AB=AC,点£在的延长线上.

⑴求证：/E垂直平分8C;

⑵求证：ABDE四△CDE

国【典型例题七垂直平分线常见辅助线添加】

【例1】（2025八年级上•浙江•专题练习）如图，在△ABC中，E、尸分别在48、NC上，DELDF,D

是中点，试比较8E+C尸与所的大小：—•（提示：可添加辅助线）

【例2】（24-25八年级上•浙江・期末）已知：如图，点P在线段N8外，且P4=PB,求证：点P在线段42

的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法正确的是.

①作NAPB的平分线PC交AB于点、C

②过点尸作尸CLN3于点C且/C=8C

③取48中点C,连接PC

④过点尸作PCLA8,垂足为C

【例3】（24-25八年级上•浙江湖州•期末）如图是课上老师呈现的一个问题:

思路一：过点初作EF||CD(如图甲)；

思路二：过点G作GE〃及W,交CD于点、E；

思路三：过点。作。尸〃交AB于点、F.

解答下列问题：

(1)根据思路一(图甲)，可求得/尸如V的度数为；

(2)根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线；

(3)请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求NP九W度数的解答过程.

0变式训练

1.(24-25八年级上•浙江杭州•期中)如图，等腰直角三角形NBC,E是射线上一点，点8作5Ml/T

于Af,在射线MB上取点尸，使NECF=45。.

图1备用图

(1)在图1中按要求补全图形.

(2)猜想图1中ZE,BF,斯之间的数量关系，并证明.

(3)点E在射线上运动时BF,£尸之间的数量关系是否发生变化，如果发生变化，直接写出变化后

AE,BF,斯之间的数量关系.

2.(24-25八年级上•浙江嘉兴•阶段练习)如图，在ZUBC中，40平分/C/5,过点。作DW工48于

DV工NC的延长线于N,且BM=CN.

(1)求证：点。在BC的垂直平分线上;

(2)若/3=8,AC=4,求BN的长.

3.(24-25八年级上•浙江丽水・期末)【教材呈现】如图1,连接△/3C的顶点A和它所对的边BC的中点

所得线段/。叫做A/BC的边2C上的中线.学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1,在A4BC

中，48=8,/C=6,D是8c的中点，求8c边上的中线的取值范围.

A

图1图2

【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2,延长/。到E,使DE=4D,请

完成证明“△/OC咨△灯"”的推理过程.

(1)求证：XADC2EDB.

(2)求的取值范围.

【问题解决】

(3)如图3,在ZUBC中，Z5=9O°,AB=2,是△48C的中线，CE1BC,CE=4,且/4DE=90。,

求/£的长.

图3

4.(24-25八年级上•浙江宁波•期末)【阅读理解】

中线是三角形中的重要线段之一.在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，

可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到

同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”

A

ED

G

8x\cK/J£lT

、、％BDC

图1图2图3

【初步感知】

（1）如图1,在△48C中，48=6,AC=10,。是BC的中点，求8c边上的中线ND的取值范围.小明

在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长/。到点E,使DE=AD,连接BE.可以判定

l\ADC^EDB,从而得到ZC=EB=10.这样就能把线段/8、AC,2AD集中在AN班中，利用三角

形三边的关系，即可求出中线4D的取值范围是（请直接写出答案）

【实践应用】

（2）为了测量学校旗杆N5和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首

先取地面BC的中点。，用测角仪测得此时ZADE=90°,测得旗杆高度AB=10.8m,教学楼高度CE=20.2m,

求/E的长.

【拓展探究】

（3）如图3,△NAD和4ACE均为等腰直角三角形，连接。£,BC,点、尸是8C的中点，连接工4

并延长，与DE相交于点G.试探究：DE和/尸的数量关系和位置关系并说明理由.

磐过关检测

1.（2025•浙江温州•模拟预测）如图，在a/BC中，AB>AC,一定不可能经过点A的是（）

A.BC边的中线B.3C边的垂线

C.8C边的平行线D.8C边的垂直平分线

2.（2025•浙江绍兴•模拟预测）如图，在A/BC中，DE是/C的垂直平分线，交BC于点交/C于点

E,AB=4cm,AC=5cm,BC=6cm,则△48。周长为（）

A

C.11cmD.12cm

3.（2025•浙江嘉兴•模拟预测）如图，在四边形45CD中，/5〃CD,E为的中点，S.AE1DE,延长QE

交48的延长线于点F.若48=9,CD=4,则的长为（）

A.11B.12C.13D.14

4.（24-25八年级上•浙江嘉兴•期末）如图，在△NBC中，分别以点48为圆心，大于的长为半径作

弧，两弧相交于点跖N,作直线交3C于点D,交AB于点。，连接若UBC的周长比

的周长大14.则的长为（）

C.7D.8

5.（24-25八年级上•浙江绍兴•阶段练习）如图，已知△NBC中，ZACB=9Q°,是NB/C的平分线，CE

是48边上的高，4D与C£交于点尸，过点。作。G〃CE交于点G,连结CG交4D于点则下列结

论中，不一定成立的是（）

A

A.DC=DGB.GD=GBC.CF=GDD.FH=DH

6.（24-25八年级上•浙江温州•课后作业）如图，若直线/满足_____且______,则直线/叫作线段的垂

直平分线.

AOB

7.（2025八年级上•浙江温州•专题练习）如图，在AABC中，是/C的垂直平分线，AE=9cm,如果八4BD

的周长为39cm,则zUBC的周长是—cm.

A

BDC

8.（24-25八年级上•浙江嘉兴•期中）如图，在△4BC中，直线/垂直平分边8C,分别交/C,BC于点E,

D,连接3E.若NC=13,AE=1,则3E的长为.

9.（24