2025年初三典型题目及答案

2025年初三典型题目及答案

一、单项选择题1.一元二次方程$x^2-3x=0$的根是（）A.$x=3$B.$x_1=0$，$x_2=3$C.$x=0$D.$x_1=0$，$x_2=-3$答案：B2.在$Rt\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，若$\sinA=\frac{3}{5}$，则$\cosB$的值是（）A.$\frac{4}{5}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{3}$答案：B3.抛物线$y=(x-2)^2+3$的顶点坐标是（）A.（2，3）B.（-2，3）C.（2，-3）D.（-2，-3）答案：A4.已知$\odotO$的半径为$5$，圆心$O$到直线$l$的距离为$3$，则直线$l$与$\odotO$的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定答案：A5.反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$）的图象经过点$(2,-3)$，则$k$的值为（）A.6B.-6C.$\frac{3}{2}$D.$-\frac{3}{2}$答案：B6.若点$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$都在一次函数$y=-x+3$的图象上，且$x_1\ltx_2$，则$y_1$与$y_2$的大小关系是（）A.$y_1\lty_2$B.$y_1=y_2$C.$y_1\gty_2$D.无法比较答案：C7.一个多边形的内角和是外角和的$2$倍，则这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形答案：C8.化简$\frac{x^2-1}{x}\div\frac{x-1}{x^2}$的结果是（）A.$x(x+1)$B.$x(x-1)$C.$(x+1)(x-1)$D.$x^2$答案：A9.不等式组$\begin{cases}2x+1\gt-1\\3x-5\leq1\end{cases}$的解集在数轴上表示正确的是（）A.略（正确解集为$-1\ltx\leq2$对应的数轴表示）B.略C.略D.略答案：A10.如图（题中无图，但假设为常见三角形相似情境），在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$，则$\frac{DE}{BC}$的值为（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{3}{4}$答案：B二、多项选择题1.下列运算正确的是（）A.$a^2\cdota^3=a^5$B.$(a^2)^3=a^6$C.$a^6\diva^2=a^3$D.$(ab)^3=a^3b^3$答案：ABD2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰三角形答案：ABC3.一元二次方程$x^2-2x-3=0$可以用以下哪些方法求解（）A.因式分解法B.配方法C.公式法D.直接开平方法答案：ABC4.以下关于函数的说法正确的是（）A.一次函数$y=kx+b$（$k\neq0$），当$k\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大B.二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），当$a\lt0$时，抛物线开口向下C.反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$），当$k\gt0$时，图象在一、三象限D.函数图象一定经过原点的是正比例函数$y=kx$（$k\neq0$）答案：ABCD5.一个口袋中装有$4$个红球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，不断重复上述过程，共摸了$100$次，其中有$25$次摸到红球，则口袋中白球可能有（）A.12个B.16个C.8个D.20个答案：A6.下列命题中，真命题有（）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C.对角线相等且互相平分的四边形是矩形D.对角线互相垂直、相等且平分的四边形是正方形答案：ABCD7.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图象如图（假设为开口向下，与x轴有两个交点，对称轴在y轴右侧等常见特征），则下列结论正确的是（）A.$a\lt0$B.$b\gt0$C.$c\gt0$D.$b^2-4ac\gt0$答案：ABCD8.如图（假设为两个相似三角形情境），$\triangleABC\sim\triangleADE$，则下列比例式正确的是（）A.$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$B.$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$C.$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}$D.$\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$答案：ACD9.已知$\odotO_1$和$\odotO_2$的半径分别为$r_1=2$，$r_2=3$，圆心距$d=5$，则两圆的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切答案：B10.以下数据能作为直角三角形三边长度的是（）A.3，4，5B.5，12，13C.7，24，25D.8，15，17答案：ABCD三、判断题1.二次函数$y=x^2$的图象开口向上。（）答案：√2.三角形的外心是三角形三条角平分线的交点。（）答案：×（是三边垂直平分线的交点）3.方程$x^2+2x+3=0$有两个不相等的实数根。（）答案：×（判别式小于0，无实数根）4.若两个相似三角形的相似比为$1:2$，则它们的面积比为$1:4$。（）答案：√5.一次函数$y=-2x+1$中，$y$随$x$的增大而增大。（）答案：×（$k=-2\lt0$，$y$随$x$增大而减小）6.圆内接四边形的对角互补。（）答案：√7.分式方程$\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x}$的解是$x=3$。（）答案：√8.不等式$2x-1\gt3$的解集是$x\gt2$。（）答案：√9.正六边形的每个内角都是$120^{\circ}$。（）答案：√10.若点$P(-2,a)$与点$Q(b,3)$关于原点对称，则$a=-3$，$b=2$。（）答案：√四、简答题1.解方程：$x^2-4x-1=0$答案：利用配方法，$x^2-4x=1$，$x^2-4x+4=1+4$，即$(x-2)^2=5$，$x-2=\pm\sqrt{5}$，所以$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$。2.已知在$\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AC=6$，$BC=8$，求$\sinA$和$\cosA$的值。答案：先根据勾股定理求斜边$AB$，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$。则$\sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，$\cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。3.已知二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点$(1,0)$和$(0,-3)$，求这个二次函数的解析式。答案：把点$(1,0)$和$(0,-3)$代入$y=x^2+bx+c$中，得$\begin{cases}1+b+c=0\\c=-3\end{cases}$，把$c=-3$代入$1+b+c=0$，得$1+b-3=0$，解得$b=2$。所以二次函数解析式为$y=x^2+2x-3$。4.如图（假设为一个简单的平行四边形），在平行四边形$ABCD$中，$AE$平分$\angleBAD$交$BC$于点$E$，若$AD=8$，$EC=3$，求$AB$的长。答案：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD\parallelBC$，$AD=BC=8$，$AB=CD$。又因为$AD\parallelBC$，所以$\angleDAE=\angleAEB$。因为$AE$平分$\angleBAD$，所以$\angleBAE=\angleDAE$，则$\angleBAE=\angleAEB$，所以$AB=BE$。已知$BC=8$，$EC=3$，则$BE=BC-EC=8-3=5$，所以$AB=5$。五、讨论题1.一次函数$y=kx+b$（$k\neq0$）与反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m\neq0$）的图象相交于$A(1,2)$，$B(-2,n)$两点。-求这两个函数的解析式。-求$\triangleAOB$的面积。-当$kx+b\gt\frac{m}{x}$时，求$x$的取值范围。答案：把$A(1,2)$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m=2$，所以反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$。把$B(-2,n)$代入$y=\frac{2}{x}$，得$n=-1$，即$B(-2,-1)$。把$A(1,2)$，$B(-2,-1)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}k+b=2\\-2k+b=-1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=1\end{cases}$，一次函数解析式为$y=x+1$。求$\triangleAOB$面积，直线$y=x+1$与$y$轴交点$C(0,1)$，$S_{\triangleAOB}=S_{\triangleAOC}+S_{\triangleBOC}=\frac{1}{2}×1×1+\frac{1}{2}×1×2=\frac{3}{2}$。由图象可知，当$kx+b\gt\frac{m}{x}$时，$x$的取值范围是$-2\ltx\lt0$或$x\gt1$。2.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(m+3)x+m+2=0$。-求证：无论$m$取何值，方程总有两个实数根。-若方程有一个根为负数，求$m$的取值范围。答案：在方程$x^2-(m+3)x+m+2=0$中，判别式$\Delta=(m+3)^2-4(m+2)=m^2+6m+9-4m-8=m^2+2m+1=(m+1)^2\geq0$，所以无论$m$取何值，方程总有两个实数根。由求根公式可得$x=\frac{(m+3)\pm\sqrt{(m+1)^2}}{2}=\frac{(m+3)\pm(m+1)}{2}$，则$x_1=1$，$x_2=m+2$。因为方程有一个根为负数，而$x_1=1$为正数，所以$x_2=m+2\lt0$，解得$m\lt-2$。3.如图（假设为一个三角形与圆相关情境，三角形内接于圆），$\triangleABC$内接于$\odotO$，$AB$是$\odotO$的直径，$\angleCAB=30^{\circ}$，过点$C$作$\odotO$的切线交$AB$的延长线于点$D$。-求$\angleADC$的度数。-若$AB=6$，求$BD$的长。答案：连接$OC$，因为$CD$是$\odotO$的切线，所以$\angleOCD=90^{\circ}$。因为$\angleCAB=30^{\circ}$，所以$\angleCOB=2\angleCAB=60^{\circ}$。在$\triangleOCD$中，$\angleADC=180^{\circ}-\angleOCD-\angleCOB=30^{\circ}$。因为$AB=6$，所以$OC=OB=3