2026高考物理总复习(人教)（粤）教师用教案第九章 第5讲　小专题 带电粒子在交变电场中的运动

第5讲小专题:带电粒子在交变电场中的运动

考点一带电粒子在交变电场中的直线运动

1.常见的交变电场

常见的产生交变电场的电压波形有方形波、锯齿波、正弦波等。

2.思维方法

从两条思路出发:一是力和运动的关系,根据牛顿第二定律及运动学规律分析;二是功能关系。

3.解题技巧

(1)按周期性分段研究。

图像

(2)图像at图像vt图像。

�−�

图像

�−�

[例1�]−【�单向直线运动模型】如图甲所示,某多级直线加速器由多个横截面积相同的金属圆

筒依次排列,其中心轴线在同一直线上,序号为奇数和偶数的圆筒分别与图乙所示交流电源两

极相连。t=0时,位于金属圆板(序号为0)中央的电子,由静止开始加速。电子通过圆筒间隙的

时间不计,且忽略相对论效应,则()

[A]圆筒内部电场强度大小随序号增大而减小

[B]电子在各圆筒中做匀加速直线运动

[C]电子在各圆筒中运动的时间都为T

[D]各圆筒的长度之比可能为1∶∶…

【答案】D23

【解析】金属圆筒中电场为零,电子不受电场力,做匀速运动,故A、B错误;只有电子在每个

圆筒中匀速运动时间为时,才能保证每次在缝隙中被电场加速,故C错误;电子进入第n个圆

�

2

筒时,经过n次加速,根据动能定理有neU=m,解得vn=,第n个圆筒长度

122𝑛�

2���

Ln=vn×=,则各金属筒的长度之比为1∶∶…,故D正确。

��2𝑛�

[例2]【2往2返�直线运动模型】(多选)接在平行板2电容3器A、B两极板的电压随时间变化关系

图像如图所示,两板间距足够大,一质量为m、带电量为+q的粒子(不计重力),开始时静止在两

极板中央,从某时刻由静止释放,关于带电粒子的运动,下列描述正确的是()

[A]若从0时刻由静止释放,粒子一直向右运动

[B]若从0时刻由静止释放,粒子先向右后向左做往复性的运动

[C]若从T时刻由静止释放,粒子时而右,时而左,每个周期都会向左移动一定距离

3

8

[D]若从T时刻由静止释放,粒子时而左,时而右,每个周期都会向右移动一定距离

3

8

【答案】AC

【解析】从0时刻释放粒子,根据静止粒子所受电场力方向及作用时间,画出粒子的vt图像

如图甲所示(取向右为正方向),

由图甲可知,粒子在0～时间内向右做匀加速直线运动,在～T时间内向右做匀减速运动直

��

22

至速度减为零,之后重复上述运动,因此粒子始终向右运动,故A正确,B错误;若粒子从T时刻

3

8

由静止释放,根据静止粒子所受电场力方向及作用时间,画出粒子的vt图像如图乙所示,

由图乙可知,粒子在电场力的作用下,时而右,时而左,一个周期内向左运动的位移大于向右运

动的位移,所以每个周期都会向左移动一定距离,故C正确,D错误。

作速度—时间图像时的注意点

(1)带电粒子进入电场的时刻。

(2)速度—时间图像的斜率表示加速度,因此加速度相同的运动图像一定是平行的直线。

(3)图线与时间轴围成的“面积”表示位移,且在横轴上方所围成的“面积”为正,在横轴下方所围

成的“面积”为负。

(4)注意对称性和周期性变化关系的应用。

(5)图线与横轴有交点,表示此时速度为零;对于运动很复杂,不容易画出速度—时间图像的问

题,还应逐段分析求解。

考点二带电粒子在交变电场中的偏转

1.当粒子垂直于交变电场(通常只讨论电压大小不变、方向周期性变化的情形)方向射入时,沿

初速度方向的分运动为匀速直线运动,沿电场方向的分运动具有周期性。

2.研究带电粒子在交变电场中的运动,关键是根据电场变化的特点,利用牛顿第二定律正确地

判断粒子的运动情况。根据电场的变化情况,分段求解带电粒子运动的末速度、位移等。

3.注重全面分析(分析受力特点和运动规律):抓住粒子运动时间上的周期性和空间上的对称

性,求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件。

4.对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场,若粒子穿过板间的时间极短,带电粒子穿过电

场时可认为是在匀强电场中运动。

[例3]【偏转运动的分析与计算】(多选)图甲为板间距为d,长度为2d的两水平金属板,在两

板间加上周期为T的交流电压u,电压u随时间t变化的图线如图乙所示,在t=0时刻,一质量

为m、不计重力的带电粒子沿板间中线垂直电场方向射入电场,粒子射入电场时的速度为v0,

刚好沿板右边缘射出电场,已知电场变化周期T=,下列关于粒子运动的描述正确的是()

2�

�0

[A]粒子的电荷量为q=

2

��0

2�0

[B]若粒子在t=0时刻以进入电场,则该粒子在t=2T时刻射出电场

�0

2

[C]若该粒子在t=T时刻以速度v0进入电场,从进入到射出电场,电场力对粒子不做功

1

4

[D]若该粒子在t=T时刻以速度v0进入电场,粒子会水平射出电场

1

4

【答案】ACD

【解析】粒子在电场中水平方向做匀速运动,运动时间为t==T,竖直方向粒子先加速后减速,

2�

�0

则=2×·()2,解得q=,故A正确;若粒子在t=0时刻以进入电场,则经过时间T,粒子将

2

�1��0���0�0

22��22�02

打到极板上,即该粒子不能射出电场,故B错误;若该粒子在t=T时刻以速度v0进入电场,粒子

1

4

在电场中运动时间为T,在竖直方向粒子在～时间内先加速,在～内做减速运动速度减

���3�

4224

为零,然后～T时间内反向加速,在T～内做减速运动直至速度减为零,以速度v0水平射出

3�5�

44

电场,则从进入到射出电场,电场力对粒子不做功,故C、D正确。

[例4]【偏转运动中的临界极值问题】(2024·广东广州期末)如图甲所示,两竖直平行金属板

A、B与x轴垂直,接在电压大小为U0=400V的稳压电源上,A板过原点,在B板上靠近中间处

有一长度d0=2cm的水平狭缝。在B板右侧水平放置边长为l=10cm的两正方形平行金属板

C、D,两板间距d=10cm,距板右端处垂直x轴有一足够大的荧光屏。A板中间位置沿z轴方

2

�

向有一线形离子源,可以连续释放初速度为零的正离子。已知离子源、B板上的狭缝和C、D

板中间线均在同一水平面内,且C、D板不加电压时,屏上会出现长2cm的一条水平亮线。现

在C、D两极板间接上如图乙所示的交流电压(若每个离子穿过C、D板间的时间极短,可认

为此过程中C、D板间电压不变,极板间形成的电场可视为匀强电场),忽略电场的边缘效应,

不计离子重力以及离子间的相互作用力,离子的比荷均为=2×106C/kg。求:

�

�

(1)离子穿过B板狭缝时的速度大小;

(2)C、D板间电压为U1=400V时,离子离开C、D板时的速度与水平方向夹角(即速度偏向角)

的正切值;

(3)离子打在屏上的区域面积S。

1

【答案】(1)4×104m/s(2)

2

(3)4×10-3m2

【解析】(1)设离子穿过B板狭缝时速度大小为v0,根据动能定理有

qU0=m,

12

0

2�4

解得v0=4×10m/s。

(2)C、D两板间电压U1=400V时,设粒子离开C、D间电场时沿竖直方向的速度分量为vy,

速度偏向角为θ,

水平方向l=v0t,

竖直方向q=ma′,

�1

�

vy=a′t,

速度偏向角的正切值

tanθ=,

��

�0

联立解得tanθ=。

1

2

(3)设粒子在运动过程中的加速度大小为a,离开偏转电场时偏转距离为y,沿电场方向的速度

为vy,速度偏转角为θ,其反向延长线通过O点,O点与板右端的水平距离为x,如图所示,

由类平抛运动的推论可知

x=,

�

2

设离子恰好从极板边缘射出时极板两端的电压为U′,有

d=at2,

11

2'2

=ma,

��

�

解得U′=800V,

可知,当|U|>800V时离子打到极板上,|U|≤800V时离子打到屏上。设粒子打到屏上区域的最

大偏转距离为y0,由三角形相似可得

1=�,

2�2

11

0

2�+2��

解得y0=0.1m,

2-32

因此,打到屏上区域为高2y0、宽d0的长方形,面积S=2y0d0=40cm=4×10m。

(满分:60分)

对点1.带电粒子在交变电场中的直线运动

1.(4分)(2025·广东中山期末)如图所示,从F处释放一个无初速的电子向B板方向运动,则下列

对电子运动的描述错误的是(电子电量为e,电源电动势为E)()

[A]电子到达B板时的动能是eE

[B]电子从B板到达C板动能变化量为零

[C]电子到达D板时动能是3eE

[D]电子在A板和D板之间做往复运动

【答案】C

【解析】从A板释放的电子,到达B板时所获得的动能等于电场力做的功,即W=qU=eE,故

A不符合题意;B、C间没有电场,所以电子在此处做匀速直线运动,则动能的变化量为零,故B

不符合题意;电子从A到D的过程,根据动能定理得eE-eE=EkD-0,则电子到达D板时动能

EkD=0,故C符合题意;电子在A板和D板之间先加速后匀速再减速,反向先加速后匀速再减速,

做往复运动,故D不符合题意。

2.(6分)(多选)如图甲所示,在两平行金属板间加有一交变电场,两极板间可以认为是匀强电场,

当t=0时,一带电粒子从左侧极板附近开始运动,其速度随时间变化关系如图乙所示。带电粒

子经过4T时间恰好到达右侧极板(带电粒子的质量m、电量q、速度最大值vm、周期T为已

知量),下列说法正确的是()

[A]带电粒子在两板间做往复运动,周期为T

[B]两板间距离d=2vmT

[C]两板间所加交变电场的周期为T,所加电压U=

2

2��m

�

[D]若其他条件不变,该带电粒子从t=开始进入电场,则该粒子能到达右侧极板

�

8

【答案】BD

【解析】由题图乙可知,运动过程中粒子速度方向未发生改变,带电粒子在两板间做单向直线

运动,A错误;速度—时间图像与t轴围成的面积表示位移,由题图乙可知两板间距离为

d=4×=2vmT,B正确;设板间电压为U,则粒子加速度为a==,则vm=a·=,解得

�m��������

2��2��m�24��m

U=,C错误;t=开始进入电场的粒子,速度—时间图像如图所示,由图像可知,粒子在一个

2

4��m�

�8

周期内的正向位移大于负向位移,故运动方向时而向右,时而向左,最终打在右板上,D正确。

3.(6分)(多选)如图甲所示,在竖直放置、距离足够大的两平行金属板中央有一个静止的电子

(不计重力),规定水平向左为正方向。当两板间加上如图乙所示的交流电压后,下列图像中能

正确反映电子受到的电场力F、位移x、动量p和动能Ek四个物理量随时间变化规律的是

()

[A][B]

[C][D]

【答案】AC

【解析】电子受到的电场力F=qE=,故电场力与交流电压变化趋势相同,A正确;开始时,

��𝐴

�

电子在电场力作用下做匀变速直线运动,则位移与时间的关系应该是二次函数,故B错误;根

据动量定理Ft=Δp,可知Ft图像与时间轴围成的面积表示电子的动量,则动量先均匀增大,再

2

均匀减小,再反向均匀增大,最后再均匀减小,故C正确;Ek=mv,前内速度随时间均匀增大,故

1�

24

动能Ek与时间t为二次函数关系,故D错误。

对点2.带电粒子在交变电场中的偏转

4.(4分)(2025·广东广州期中)如图甲所示,一电子以v0的初速度沿平行金属板的轴线射入金属

板空间。从电子射入的时刻开始在金属板间加如图乙所示的交变电压,假设电子能穿过平行

金属板。下列说法正确的是()

[A]电子只可能从轴线到上极板之间的空间射出(不包括轴线)

[B]电子只可能从轴线到下极板之间的空间射出(不包括轴线)

[C]电子可能从轴线到上极板之间的空间射出,也可能沿轴线方向射出

[D]电子射出后动能一定增大

【答案】C

【解析】将电子的运动沿水平方向和竖直方向正交分解,竖直方向仅在电场力作用下做变速

直线运动,水平方向做匀速运动,故经过电场区域的时间是一定的,竖直方向在电场力的作用

下做变速运动,在交变电流的一个周期内,竖直分位移为零;当电子在电场中运动的时间恰好

等于在A、B板间所加交变电压周期的整数倍时,电子可沿轴线射出,故A、B错误,C正确;

当电子恰好沿轴线射出时,电子速度不变,其动能也不变,故D错误。

5.(18分)如图甲所示,在竖直平面内固定两水平金属板P、Q,t=0时刻开始从板左侧沿中心轴

69

线水平连续发射速率v0=2×10m/s的大量带负电粒子,粒子比荷为=2×10C/kg,水平金属板

�

�

P、Q板长为L1=0.4m,两板间距d=0.1m。加在P、Q两板间电压UPQ随时间t变化关系如图

乙所示(每个带电粒子通过电场区域的极短时间内,电场可视作恒定),Um=250V,两板右侧放

一记录圆筒,筒左侧边缘与极板右端相距L2=0.2m,筒绕其竖直轴匀速转动,周期为T=0.4s,筒

的周长L=0.24m,筒能接收到通过P、Q两板的全部粒子。(不计粒子的重力及粒子间的相互

作用)

(1)求从金属板P、Q右侧射出的粒子的最大速度的大小(结果可用分式或根号表示)。

(2)以t=0时(如图乙,此时UPQ=0)水平向右入射的粒子打到筒上的点作为xOy坐标系(竖直向

上为y轴正方向,垂直竖直轴沿筒转动反方向为x轴正方向)的原点,求打到圆筒上最高点的粒

子对应的位置坐标。

【答案】(1)×106m/s(2)(3cm,10cm)

17

2

【解析】(1)粒子在极板间运动的时间为t==2×10-7s,

�1

�0

可知当粒子恰好从极板边缘飞出时,粒子获得的速度最大,有d=·t2,

11��

22��

解得U=125V<Um,

v=,

2��2

�0+(���)

代入数据解得v=×106m/s。

17

2

(2)由题图乙可知,t′=0.05s时粒子刚好从上极板右边缘飞出电场,由几何关系可知

�1=�,

22

�

1m

2+�2�

代入数据解得ym=10cm,

在t′=0.05s内圆筒转过的弧长即为横坐标

x1=t′=0.03m=3cm,

�

�

打到圆筒上的最高点对应的位置坐标为(3cm,10cm)。

6.(4分)粗糙绝缘的水平桌面上,有两块竖直平行相对而立的金属板A、B。板间桌面上静止

着带正电的物块,如图甲所示,当两金属板加图乙所示的交变电压时,设直到t1时刻物块才开

始运动,最大静摩擦力与滑动摩擦力可认为相等,则()

[A]在0～t1时间内,物块受到的摩擦力逐渐增大,方向水平向右

[B]在t1～t3时间内,物块受到的摩擦力先逐渐增大,后逐渐减小

[C]t3时刻物块的速度最大

[D]t4时刻物块的速度最大

【答案】C

【解析】在0～t1时间内,物块处于静止状态,电场强度方向水平向右,物块所受的电场力水平

向右,由平衡条件得摩擦力Ff=qE=,UAB增大,Ff随之增大,方向水平向左,故A错误。在t1～

��AB

�

t3时间内,物块向右运动,受到的是滑动摩擦力,物块对地面的压力不变,由Ff=μFN知Ff不变,故

B错误。在t1～t3时间内,电场力一直大于摩擦力,物块一直向右做加速运动;在t3～t4时间内,

电场力小于滑动摩擦力,物块向右做减速运动,所以t3时刻物块的速度最大,故C正确,D错误。

7.(18分)如图甲所示,在平面直角坐标系xOy的第一象限中存在竖直向下的匀强电场,电场强

度大小为E;第二象限中存在水平向右的匀强电场,电场强度大小也为E;第四象限中存在竖直

向上的匀强电场,电场强度大小为2E。一质量为m、电荷量为q的正离子从A点由静止释放,A

点位置坐标为(-d,d),不计该离子的重力。

(1)求离子第一次通过y轴时的速度大小;

(2)求离子第二次通过x轴时的位置坐标;

(3)若离子第一次经过x轴时开始计时,第四象限中的电场按图乙规律变化(图中T=6),求

��

离子第4次通过x轴的位置坐标。2��

【答案】(1)(2)(4d,0)(3)(13d,0)

2���

�

【解析】(1)根据动能定理有qEd=m,

12

21

解得离子第一次通过y轴时的速度大小�为

v1=。

2���

(2)离子�在第一象限做类平抛运动,水平方向有

x1=v1t1,

竖直方向有d=·,

1��2

2��1

联立解得x1=2d,

故离子第一次通过x轴时的位置坐标为(2d,0)。由于t1=d=v1t1,

��11

22

则有vy1=v1,

进入第四象限的电场时离子在竖直方向上沿y轴负方