2024-2025学年江苏省东台市高一下学期期中数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省东台市2024-2025学年高一下学期期中数学试卷一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）1.若复数（为虚数单位），则的虚部是（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】复数的虚部为.故选：A2.已知向量，不共线，，，若，则（）A. B. C.6 D.【答案】C【解析】因为，且，所以，即，又向量，不共线，所以，解得.故选：C3.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，又，所以，所以.故选：D4.已知点，，若直线上的点满足，则点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令坐标原点为，由，得，则，而点，，因此，所以点坐标为.故选：D5.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】向量，，则，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B6.如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（）A.200m B.400m C. D.【答案】C【解析】在中，在中，在中．故选：C7.在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，则，而三点共线，则，所以.故选：C8.若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作向量，由，，得是腰长为的等腰三角形，，而的所有内角均小于120°，因此取得最小值的点是的费马点，，则，点在斜边的中线上，如图，，，，所以的最小值为.故选：B二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）9.在中，角所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】ABD【解析】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；对于C，由正弦定理，即，所以，因为，则,因为，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误；对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确.故选：ABD.10.已知复数，，下列选项正确的是（）A.若，则B.若，则或C.若，则的最小值为2D.【答案】BD【解析】对于A：若，则，而，，，故A错误；对于D：设，，，则，所以，又，，所以，故D正确；对于B：因为，所以或，即或，故B正确；对于C：设，由，所以，即，则，解得，所以，所以的最小值为，故C错误.故选：BD11.如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（不含端点），且，，为垂足，记，，下列说法正确的有（）A.的周长大于2 B.C. D.的最小值为【答案】BC【解析】对于A，，则的周长为2，A错误；对于C，由，得，整理得，C正确；对于B，，则，而为锐角，则，，B正确；对于D，由，得，整理得，即，而，即，又，解得，当且仅当时取等号，又，因此的最小值为，D错误.故选：BC三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.）12.若复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数________.【答案】【解析】因为，所以，所以.故答案为：13.已知，则_________.【答案】【解析】因为，所以，即，所以，所以.故答案为：14.若外接圆的圆心，半径为，且，则边长为_________.【答案】【解析】在中，令内角所对边分别为，其外接圆半径为，则，由，得，，则，于是，即，则，即，因此，所以.故答案为：四、解答题（本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.）15.已知复数，其中为虚数单位.（1）求为何值时，为纯虚数；（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.解：（1）因为为纯虚数，所以，解得；（2）复数在复平面内对应的点为，依题意，解得，即的取值范围为.16.设为实数，已知向量，.（1）若，求的值；（2）设，向量与的夹角为，求的大小.解：（1）向量，，由，得，所以.（2）依题意，，由，得，解得，因此，，，，，则，而，所以.17.已知函数.（1）求函数的最小正周期及对称中心；（2）若函数在区间上的值域为，求的取值范围.解：（1）因为，所以函数的最小正周期；令，，解得，．所以的对称中心为．（2）当时，，又，，且在上单调递减，在上单调递增，因为在的值域为，所以，解得，即的取值范围为．18.在中，已知为边上一点，满足，.（1）若，，求的面积；（2）若，求的长.解：（1）因为，，所以，且，所以，即，又，所以，所以，所以，解得（负值已舍去），所以;（2）因为为上一点，满足，所以，所以，因为，所以，所以，又，所以；19.在锐角中，内角所对的边分别为、、，为的重心，已知，.（1）求的大小；（2）若，求；（3）求的取值范围.解：（1）由正弦定理得，，得，得，因为，所以，得，得，得，即，因为，所以.（2）如图：连接，并延长交为点，因为为的重心，所以M为的中点，且，而，得，得，即，因为，所以，即，由余弦定理得，，而，得，故，得，故．（3）由(2)知，，得，而，得，故，令，得，得，由正弦定理得，得，故，由(1)知，，则，而是锐角三角形，有，解得，则，得，即，即，因为，所以，而，因为，所以，故的取值范围为：江苏省东台市2024-2025学年高一下学期期中数学试卷一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）1.若复数（为虚数单位），则的虚部是（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】复数的虚部为.故选：A2.已知向量，不共线，，，若，则（）A. B. C.6 D.【答案】C【解析】因为，且，所以，即，又向量，不共线，所以，解得.故选：C3.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，又，所以，所以.故选：D4.已知点，，若直线上的点满足，则点坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令坐标原点为，由，得，则，而点，，因此，所以点坐标为.故选：D5.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】向量，，则，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：B6.如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（）A.200m B.400m C. D.【答案】C【解析】在中，在中，在中．故选：C7.在中，，是直线上的一点，若，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，则，而三点共线，则，所以.故选：C8.若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】作向量，由，，得是腰长为的等腰三角形，，而的所有内角均小于120°，因此取得最小值的点是的费马点，，则，点在斜边的中线上，如图，，，，所以的最小值为.故选：B二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.）9.在中，角所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】ABD【解析】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；对于C，由正弦定理，即，所以，因为，则,因为，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误；对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确.故选：ABD.10.已知复数，，下列选项正确的是（）A.若，则B.若，则或C.若，则的最小值为2D.【答案】BD【解析】对于A：若，则，而，，，故A错误；对于D：设，，，则，所以，又，，所以，故D正确；对于B：因为，所以或，即或，故B正确；对于C：设，由，所以，即，则，解得，所以，所以的最小值为，故C错误.故选：BD11.如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（不含端点），且，，为垂足，记，，下列说法正确的有（）A.的周长大于2 B.C. D.的最小值为【答案】BC【解析】对于A，，则的周长为2，A错误；对于C，由，得，整理得，C正确；对于B，，则，而为锐角，则，，B正确；对于D，由，得，整理得，即，而，即，又，解得，当且仅当时取等号，又，因此的最小值为，D错误.故选：BC三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，计15分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.）12.若复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数________.【答案】【解析】因为，所以，所以.故答案为：13.已知，则_________.【答案】【解析】因为，所以，即，所以，所以.故答案为：14.若外接圆的圆心，半径为，且，则边长为_________.【答案】【解析】在中，令内角所对边分别为，其外接圆半径为，则，由，得，，则，于是，即，则，即，因此，所以.故答案为：四、解答题（本大题共5小题，计77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.）15.已知复数，其中为虚数单位.（1）求为何值时，为纯虚数；（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围.解：（1）因为为纯虚数，所以，解得；（2）复数在复平面内对应的点为，依题意，解得，即的取值范围为.16.设为实数，已知向量，.（1）若，求的值；（2）设，向量与的夹角为，求的大小.解：（1）向量，，由，得，所以.（2）依题意，，由，得，解得，因此，，，，，则，而，所以.17.已知函数.（1）求函数的最小正周期及对称中心；（2）若函数在区间上的值域为，求的取值范围.解：（1）因为，所以函数的最小正周期；令，，解得，．所以的对称中心为．（2）当时，，又，，且在上单调递减，在上单调递增，因为在的值域为，所以，解得，即的取值范围为．18.在中，已知为边上一点，满足，.（1）若，，求的面积；（2）若，求的长.解：（1）因为，，所以，且，所以，即，又，所以，所以，所以，解得（负值已舍去），所以;（2）因为为上一点，满足，所以，所以，因为，所以，所