2026届高三一轮复习讲义(教师基础版)数学第三章3.3导数与函数的单调性(二)

§3.3导数与函数的单调性(二)课标要求1.会根据函数的单调性求参数的范围.2.会利用函数的单调性解不等式、比较大小.题型一根据单调性求参数范围例1已知函数f(x)=lnx-12ax2-2x(a≠0)(1)若f(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.解(1)因为f(x)在[1，4]上单调递减，所以当x∈[1，4]时，f'(x)=1x-ax-2≤0恒成立，即a≥1x2-设G(x)=1x2-2x，x∈[1，所以a≥G(x)max，而G(x)=1x-1因为x∈[1，4]，所以1x∈1所以G(x)max=-716(此时x=4)所以a≥-716又因为a≠0，所以实数a的取值范围是-716，0∪(0，(2)因为f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，则f'(x)<0在[1，4]上有解，所以当x∈[1，4]时，a>1x2-又当x∈[1，4]时，1x2-2xmin=-1所以a>-1，又因为a≠0，所以实数a的取值范围是(-1，0)∪(0，+∞).思维升华由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立.(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集.跟踪训练1(1)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=aex-lnx在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为()A.e2 B.e C.e-1 D.e-2答案C解析依题可知，f'(x)=aex-1x≥0在(1，2)上恒成立，显然a>0所以xex≥1a在(1，2)设g(x)=xex，x∈(1，2)，所以g'(x)=(x+1)ex>0，所以g(x)在(1，2)上单调递增，g(x)>g(1)=e，故e≥1a即a≥1e=e-1，即a的最小值为e-1(2)(2025·沧州模拟)若函数f(x)=2x-3x-tlnx在(1，3)上不单调，则实数t的取值范围是(A.(26，7) B.(7，+∞)C.[7，+∞) D.[26，7]答案A解析函数f(x)=2x-3x-tlnx，求导得f'(x)=2+3x2依题意，f'(x)在(1，3)上有变号零点，由f'(x)=0，得t=2x+3x函数t=2x+3x在1，62上单调递减，26<t<5；在62，3上单调递增，26<t<7，所以实数t的取值范围是题型二利用单调性比较大小例2(1)(多选)(2024·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)=(x-1)2(x-4)，则()A.x=3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时，f(x)<f(x2)C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x)答案ACD解析对于A，因为函数f(x)的定义域为R，f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3)，易知当x∈(1，3)时，f'(x)<0；当x∈(-∞，1)或x∈(3，+∞)时，f'(x)>0，所以函数f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增，故x=3是f(x)的极小值点，故A正确；对于B，当0<x<1时，x-x2=x(1-x)>0，所以1>x>x2>0，由A选项分析可知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x)>f(x2)，故B错误；对于C，当1<x<2时，1<2x-1<3，由A选项分析可知，函数f(x)在(1，3)上单调递减，所以f(1)>f(2x-1)>f(3)，即-4<f(2x-1)<0，故C正确；对于D，当-1<x<0时，f(2-x)-f(x)=(1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0，所以f(2-x)>f(x)，故D正确.(2)若a=14ln14，b=23ln23，c=-1A.c<b<a B.b<c<aC.c<a<b D.b<a<c答案C解析因为c=-1e=1eln1e，a=14ln14=12ln12，构造函数f(x)=xlnx，x∈则f'(x)=lnx+1，令f'(x)>0，解得x>1e令f'(x)<0，解得0<x<1e可得f(x)在0，1e上单调递减，在1e，+∞所以c=f

1e<a=f

12<b=f

即c<a<b.常见组合函数的图象在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果.典例(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有x1f(x1)-x2f(x2)x1-x2>0，则称函数y=fA.f(x)=ex B.f(x)=x2C.f(x)=lnx D.f(x)=sinx答案ACD解析依题意，函数g(x)=xf(x)为定义域上的增函数.对于A，g(x)=xex，g'(x)=(x+1)ex，当x∈(-∞，-1)时，g'(x)<0，∴g(x)在(-∞，-1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；对于B，g(x)=x3在R上为增函数，故B中函数为“F函数”；对于C，g(x)=xlnx，g'(x)=1+lnx，x>0，当x∈0，1e时，g'(x∴g(x)在0，故C中函数不是“F函数”；对于D，g(x)=xsinx，g'(x)=sinx+xcosx，当x∈-π2，0时，g'(∴g(x)在-π故D中函数不是“F函数”.思维升华利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件判断已知(或构造后的)函数的单调性，利用其单调性比较大小.跟踪训练2(1)已知函数f(x)=lnx-xex，设a=f

32，b=f(2)，c=f

73A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b答案C解析易知f'(x)=1x-1-xex=当x∈(1，+∞)时，f'(x)=1x+x-1所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，故f

73>f(2)>f

32，即c>(2)(2024·贵州模拟)已知a=ln(2e)，b=e+1e，c=ln55+1，则a，b，c的大小关系为(A.c>a>b B.b>a>cC.a>b>c D.b>c>a答案B解析由题意，a=ln22+1，b=lnee+1，c=ln5设f(x)=lnxx，则f'(x)=当0<x<e时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x>e时，f'(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)max=f(e)=1e则1e>ln55，1e>ln22，即b>由ln55-ln22=2ln5-5ln210=可知c<a，故b>a>c.题型三利用单调性解不等式例3(2024·南充模拟)设函数f(x)=sinx+ex-e-x-x，则满足f(x)+f(3-2x)<0的x的取值范围是()A.(-∞，1) B.(1，+∞)C.(3，+∞) D.(-∞，3)答案C解析f(x)=sinx+ex-e-x-x，∴f(-x)=-sinx+e-x-ex+x=-f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，又f'(x)=cosx+ex+e-x-1≥cosx+2-1=1+cosx≥0，则f(x)在R上单调递增，又f(x)+f(3-2x)<0，∴f(x)<-f(3-2x)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(x)<f(2x-3)，又f(x)在R上单调递增，∴x<2x-3，∴x>3，故满足f(x)+f(3-2x)<0的x的取值范围是(3，+∞).思维升华利用函数的单调性解不等式的关键是首先判断函数的单调性，然后把不等式两边化成函数的两个函数值即可，易忽视函数的定义域.跟踪训练3(2025·西安模拟)已知函数f(x)=12x2-2x+lnx.若f(a+1)≥f(2a-1)，则a的取值范围是(A.(-∞，-1] B.(-1，2]C.[2，+∞) D.1答案D解析因为f(x)=12x2-2x+lnx，x∈(0，+∞)所以f'(x)=x-2+1x=x2-2x+1所以f(x)是增函数，所以若f(a+1)≥f(2a-1)，则a+1≥2a-1>0，解得12<a≤2课时精练(分值：80分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.(2024·重庆模拟)已知函数f(x)=13ax3+x2+x+4，则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的(A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C解析由题意知，f'(x)=ax2+2x+1，若f(x)在R上单调递增，则f'(x)≥0恒成立，则a>0，Δ=4-4a故“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件.2.函数f(x)=12x2-9lnx在区间[m，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是(A.[0，2) B.[0，2]C.(0，2] D.(0，2)答案C解析函数f(x)=12x2-9lnx的导数f'(x)=x-9x=x2-9令f'(x)≤0，解得0<x≤3，因为函数f(x)=12x2-9lnx在区间[m，m+1]则[m，m+1]⊆(0，3]，即m>0，m+1≤33.若a=1e2，b=3ln264，c=2ln381A.a<c<b B.a<b<cC.c<a<b D.c<b<a答案D解析因为a=1e2=lnee2，b=3ln264=ln882所以令g(x)=lnx则a=g(e)，b=g(8)，c=g(9)，g'(x)=1-2lnx当x∈(e，+∞)时，g'(x)<0，所以函数g(x)在(e，+∞)上单调递减.又e<e<8<9，所以g(e)>g(8)>g(9)，即c<b<a.4.(2024·苏州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=ex+sinx，则不等式f(2x-1)<eπ的解集是()A.1+π2，+∞C.0，1+eπ答案D解析当x≥0时，f'(x)=ex+cosx，因为ex≥1，cosx∈[-1，1]，所以f'(x)=ex+cosx≥0在[0，+∞)上恒成立，所以f(x)在[0，+∞)上单调递增，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在(-∞，0]上单调递减，所以f(-π)=f(π)=eπ，所以由f(2x-1)<eπ可得-π<2x-1<π，解得x∈1-π2二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.(2025·常州模拟)若函数f(x)=x-2x-alnx存在单调递减区间，则实数a的取值可以是(A.2 B.22 C.32 D.4答案CD解析因为f(x)=x-2x-alnx所以f'(x)=1+2x2-ax<0在(0，+即a>2x因为2x+x≥22x·x当且仅当x=2时等号成立，故a>22.6.已知0<x1<x2<1，则下列不等式恒成立的是()A.ex1-ex2>lnxB.x2·ex1>x1C.ex1-ex2<lnxD.x2·ex1<x1答案BC解析令f(x)=ex+lnx(0<x<1)，所以f'(x)=ex+1x>0故f(x)在(0，1)上单调递增，因为0<x1<x2<1，所以f(x1)<f(x2)，所以ex1+lnx1<ex2+ln可得ex1-ex2<lnx2-lnx1，故令g(x)=exx(0<x<1所以g'(x)=ex因为0<x<1，所以g'(x)<0，故g(x)在(0，1)上单调递减，因为0<x1<x2<1，所以g(x1)>g(x2)，所以ex1x即x2·ex1>x1·ex2，故B三、填空题(每小题5分，共10分)7.已知函数f(x)=3x+2cosx.若a=f(32)，b=f(2)，c=f(log27)，则a，b，c的大小关系为.

答案a>c>b解析由题意，得f'(x)=3-2sinx.因为-1≤sinx≤1，所以f'(x)>0恒成立，所以f(x)是增函数.因为2>1，所以32>3.又log24<log27<log28，即2<log27<3，所以2<log27<32，所以f(2)<f(log27)<f(32)，即a>c>b.8.已知函数f(x)=3xa-2x2+lnx(a>0)，若函数f(x)在[1，2]上不单调，则实数a的取值范围是答案2解析f'(x)=3a-4x+1若函数f(x)在[1，2]上单调，即f'(x)=3a-4x+1x≥0或f'(x)=3a-4x+1x≤0在[1即3a≥4x-1x或3a≤4x-1x在[1，令h(x)=4x-1x，则h(x)在[1，2]所以3a≥h(2)或3a≤h(1)，即3a≥152或又a>0，所以0<a≤25或a≥1因为f(x)在[1，2]上不单调，所以25<a<1四、解答题(共28分)9.(13分)已知函数f(x)=x2-2axex((1)当a=34时，求此时曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(6分(2)若f(x)在(2，+∞)上单调递减，求a的取值范围.(7分)解(1)当a=34时，f(x)=xf'(x)=-x∴f(1)=-12e，f'(1)=1∴曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y+12e=1e(x-1即2x-2ey-3=0.(2)∵f(x)在(2，+∞)上单调递减，∴f'(x)=-x2+2(a+1)x-2aex可得2a≤x2-2xx-1在(2令u(x)=x2-2xx-1，u'(x∴u(x)在(2，+∞)上单调递增，∴u(x)>u(2)=0，2a≤0，即a≤0，因此a的取值范围为(-∞，0].10.(15分)(2025·中山模拟)已知函数f(x)=klnx+1ex(k∈R(1)若函数f(x)为增函数，求k的取值范围；(8分)(2)已知0<x1<x2，证明：eex2-eex1(1)解f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=kx-1依题意f'(x)=kx-1ex≥0恒成立，即k≥xex令φ(x)=xex(x>0)，∴φ'(x)=当x∈(0，1)时，φ'(x)>0，当x∈(1，+∞)时，φ'(x)<0，∴φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，∴φ(x)max=φ(1)=1e∴k≥1e，故k的取值范围为1(2)证明由(1)可知，当k=1e时，f(x