（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步精讲精练第3章 圆锥曲线的方程 章末测试（基础）（解析版）

16/16第3章圆锥曲线的方程章末测试（基础）单选题1．已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可知，，且双曲线焦点位于x轴上故该双曲线的渐近线方程为，故答案为：C2．已知双曲线：的离心率为，则的焦点坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意得，双曲线：是焦点在轴的双曲线，所以，，所以，解得，所以，所以焦点坐标为.故答案为：D.3．已知实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．2C．或2D．或【答案】C【解析】∵实数成等比数列，∴m2=9，∴m=±3

①当m=3时，圆锥曲线为椭圆，

其中a2=3，b2=1，c2=2，则离心率为；

②当m=-3时，圆锥曲线为椭圆，

其中a2=1，b2=3，c2=4，则离心率为；故答案为：C.

4．已知抛物线，定点A(4，2)，F为焦点，P为抛物线上的动点，则的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】如图，

作PQ，AN与准线x=-2垂直，垂足分别为Q，N，则|PQ|=|PF|，|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AN|=6，当且仅当Q，P，A三点共线即P到M重合时等号成立．故答案为：B．

5．双曲线的左右焦点分别是，，直线与双曲线在第一象限的交点为，在轴上的投影恰好是，则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设原点为，∵直线与双曲线在第一象限的交点在轴上的投影恰好是，∴，且，∴，将代入到双曲线方程，可得，解得，即，则，即，即，解得（舍负），故。故答案为：D.6．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨设双曲线的一条渐近线为，圆的圆心为，半径，则圆心到渐近线的距离为所以弦长，化简得：，即，解得，所以.故答案为：B7．已知双曲线（）的左､右焦点分别为，，过点作一条渐近线的垂线，垂足为P若的面积为，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】设过右焦点且与渐近线垂直的直线为l，则直线l的方程为.由y=1ax，y=−a(x−c)，得，，即.则的面积为，∴，∴，∴。故答案为：B8．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与圆相切，且与双曲线的左支交于点P.若，则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设过的直线与圆相切的切点为，则，所以，设，由于，所以，，所以在中，，所以由正弦定理得，所以，由双曲线的定义知，所以，即，所以双曲线的离心率为。故选：A二、多选题9．已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为2的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率可以是（）A．2 B． C． D．3【答案】BCD【解析】∵双曲线的渐近线方程为，由题意可知：，∴，，，，，．故答案为：BCD.10．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线交抛物线于、两点，则（）A．抛物线的准线方程为B．线段的中点在直线上C．若，则的面积为D．以线段为直径的圆一定与轴相切【答案】BCD【解析】对于A选项，抛物线的准线方程为，A不符合题意；对于B选项，设点、，设线段的中点为，则y12=4x1所以，，故，B对；对于C选项，设直线的方程为，联立y=x+by2=4x，可得，，解得，由韦达定理可得，，，解得，点到直线的距离为，故，C对；对于D选项，设线段的中点为，则，由抛物线的定义可得，即等于点到轴距离的两倍，所以，以线段为直径的圆一定与轴相切，D对.故答案为：BCD.11.已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，P为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有（）A．的周长为8 B．的最大面积为C．存在点P使得 D．的最大值为5【答案】AB【解析】对A，由椭圆，可得的周长为：，A符合题意；对B，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积为：，B符合题意；对C，当P为椭圆短轴顶点时，为最大，此时，即为锐角，所以不存在点P使得，C不符合题意；对D，由椭圆，所以，又，所以，所以，D不符合题意.故答案为：AB.三、填空题12.已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为．【答案】9【解析】设抛物线的解析式，则焦点为，对称轴为轴，准线为，直线经过抛物线的焦点，A，B是与的交点，又轴，，，又点在准线上，过点P作l的垂线，垂直为D，，.故答案为：9.13.已知双曲线的渐近线方程是，且双曲线经过点，则双曲线的标准方程为.【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为，代入，可得，则双曲线的方程为.故答案为：14.已知，分别是双曲线，的左、右焦点，双曲线上有一点，满足，且，则该双曲线离心率的取值范围是【答案】【解析】如示意图，设，由双曲线的定义可得：，而，由余弦定理：，于是.记，而，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，则函数在上单调递增，所以，，即。故答案为：。四、解答题15.已知抛物线C：的焦点与椭圆：的一个焦点重合．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l：交抛物线C于，两点，O为原点，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）解：∵椭圆：的焦点坐标为，∴，即．∴抛物线C的方程为：（2）证明：联立方程组x=my+4y2=4x消去x，整理得．∴∴，即，∴，∴16.已知拋物线的焦点为，过点且斜率为的直线交于两点.当时，.（1）求的方程；（2）若关于轴的对称点为，当变化时，求证：直线过定点，并求该定点坐标.【答案】（1）（2）【解析】（1）解：直线l的斜率为k且过焦点，则直线l的方程为，当k=1时，直线l的方程为，联立方程组y2=2px，y=x−则，所以，，解得所以抛物线C的方程为（2）证明：设，直线PQ的斜率存在，，因为P，T关于x轴对称，则，所以，直线TQ的方程为，即联立方程组y2=8x，y=k(x−2直线TQ的方程为，即，令8(x+2)=0，17.已知点，圆：，点是圆上的动点，的垂直平分线与交于点，记的轨迹为．（1）求的方程；（2）设经过点的直线与交于，两点，求证：为定值，并求出该定值．【答案】（1）（2）-1【解析】（1）解：圆的圆心为，半径，由点在的垂直平分线上，得，所以，所以的轨迹是以A，为焦点的椭圆，，，所以，，，所以的方程为（2）证明：①当直线的斜率不存在时，易知，②当直线的斜率存在时，设：，，，则把代入得，显然，有，，，所以，综上所述，为定值-118.已知椭圆与抛物线有相同的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）解：椭圆与抛物线有相同的焦点，即且，，椭圆的方程为：.（2）解：由（1）可知的坐标为.显然的斜率不为0.设直线的方程为：，设，.联立，可得，恒成立，，，，.当且仅当，即时取等号，面积的最大值为.19.已知椭圆的左右焦点为，且为长轴的一个四