《有理数及其大小比较》教案

1.2.1有理数的概念课时目标1.正确理解有理数的概念及分类,能够准确区分正整数、0、负整数、正分数和负分数.2.了解有理数的概念,掌握有理数的分类方法,会将有理数恰当归类,体会分类讨论的数学思想方法,培养学生的数感.学习重点理解有理数的概念,并能掌握有理数的分类.学习难点有理数的分类.课时活动设计回顾引入1.到目前为止,我们都认识了哪些数?2.什么是正数?什么是负数?3.观察下面的数,它们有什么特征?你能将它们进行分类吗?+2,-3,+8,-13,+20,-6,+290,-123,-53,+22,-43.设计意图:引导学生回顾上一节课的内容,为本节课的学习作铺垫.探究新知教师给出一些正数、负数,写在黑板上,如:正数:+7,13,998,4,70,+1.8%,16,+17,3.8,+负数:-9,-4.5,-910,-4,-2,-2.7%,-8,-2.7,-4思考:你能将上述正数、负数再进行分类吗?说一说你分类的依据.学生分类,教师同步展示:正整数:+7,998,4,70,+17;正分数:13,+1.8%,16,3.8,+负整数:-9,-4,-2,-8;负分数:-4.5,-910,-2.7%,-2.7,-4引导学生对前面的数进行概括,得出:正整数、0、负整数统称为整数;正分数和负分数统称为分数.整数可以看作分母为1的分数,正整数、负整数、0、正分数和负分数都可以写成分数的形式.教师给出有理数的概念:可以写成分数形式的数称为有理数.其中,可以写成正分数形式的数为正有理数,可以写成负分数形式的数为负有理数.让学生在总结出5类数基础上,进行概括,并尝试进行分类,通过交流和讨论,再加上老师适当的指导,逐步得出下面的两种分类方式.按定义分类:(2)按性质分类:有理数整数正整数0负整数设计意图:通过对数进行分类,引导学生认识有理数,培养学生科学严谨的态度,让学生知道分类要做到不重不漏;通过分类,体会分类讨论的数学思想方法,培养学生的数感与抽象能力.典例精讲例指出下列各数中的正有理数、负有理数,并分别指出其中的正整数、负整数:13,4.3,-38,8.5%,-30,-12%,19,-7.5,20,-60,1.解:正有理数:13,4.3,8.5%,19,20,1.2负有理数:-38,-30,-12%,-7.5,-60;其中负整数有-30,-60设计意图:通过例题,加深学生对有理数及其分类的认识,提高学生的应用能力.巩固训练1.对于-3.14,下列说法正确的是(C)A.是负数不是分数 B.不是分数是有理数C.是负数也是分数 D.是分数不是有理数2.下列关于“0”的说法:①是整数,也是有理数;②不是正数,也不是负数;③不是整数,是有理数;④是整数,不是自然数.正确的有(C)A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.下列关于有理数的分类,正确的是(D)A.有理数分为正有理数和负有理数B.有理数分为正有理数、0和分数C.有理数分为正整数、负整数和正分数、负分数D.有理数分为整数和分数4.把-13,+6,-5.3,0,7.9,-113,215正数集合:{+6,7.9,215,200,0.31,…};整数集合:{+6,0,-7,200,-41,…};非负数集合:{+6,0,7.9,215,200,0.31,…};负分数集合:{-13,-5.3,-113设计意图:通过例题,加强学生对有理数的认识和理解,并能进行有理数的分类.课堂小结1.什么是有理数?2.有理数可以怎么分类?设计意图:让学生自己总结有理数的概念和分类,促进学生对本节课内容的掌握,提高学生的总结归纳能力.

1.2.2数轴课时目标1.经历从现实生活抽象出数轴的过程,体会数学与现实世界的联系,培养学生的建模能力与抽象意识.2.知道数轴的三要素,会画数轴,培养学生的动手能力.3.能用数轴上的点表示有理数,初步体会数形结合的数学思想方法.学习重点数轴的概念和用数轴上的点表示有理数.学习难点有理数与数轴上的点的对应关系.课时活动设计情境引入在一条东西向的马路旁,有一个汽车站牌,汽车站牌东侧3m和7.5m处分别有一棵柳树和一根交通标志杆,汽车站牌西侧3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆.思考:(1)如果你在汽车站牌处,怎样说明其他物体的位置?如果以汽车站牌为参照点,并用0表示该点,你能用有理数表示其他物体的位置吗?说一说你的想法.(引导学生用不同的方法表示)设计意图:从现实生活的实例出发,引导学生体会要确定一条马路上物体的位置,需要知道参照点、距离和方向,为学习数轴三要素作铺垫.探究新知探究1数轴的概念及画法你能画图表示出教学活动1中的情境吗?学生画图,教师巡视指导,并给出准确图形.问题:为了使表达更清楚,我们规定向东为正,根据正数和负数可以表示具有相反意义的量,请同学们探讨,如何用正数、负数把汽车站牌两边的位置表示出来?学生先独立思考,再小组讨论自己想到的办法,教师巡视并给予恰当点拨.请同学们按照如下方法,将柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系表示出来.解:在一条直线上任取一点O为基准点,规定1个单位长度(线段OA的长)代表1m长,再用0表示点O,用负数表示点O左边的点,用正数表示点O右边的点.这样就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点.学生自己完成,请两名同学上台板演,教师点评并给出正确的画法.柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系如图所示,大家说一说下图中的数分别表示什么物体的位置?观察如下图所示的体温计,它和上图有什么共同点?有什么不同点?学生自主交流,教师进行指导.总结:在数学中,可以用一条直线上的点表示数,它满足以下三个条件:(1)在直线上任取一个点表示数0,这个点叫作原点;0是正数和负数的分界;原点是数轴的“基准点”.(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向;(3)选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3,…;从原点向左,用类似方法依次表示-1,-2,-3,…(如图所示).像这样,规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.原点将数轴(原点除外)分成两部分,其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴;另一侧的部分叫作数轴的负半轴.探究2数轴上的点与有理数的对应关系问题:请同学们尝试在数轴上表示出数6.5和-32学生思考,动手尝试,教师请学生代表上台板演.解:在数轴的正半轴上,距离原点6.5个单位长度的点表示数6.5;在数轴的负半轴上,距离原点32个单位长度的点表示数-32总结:一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在数轴的负半轴上,与原点的距离是a个单位长度.数轴上与原点的距离是a个单位长度的点,简称为数轴上与原点的距离是a的点.设计意图:通过把现实生活中的场景用数学图像简洁地表示出来,培养学生的抽象能力与动手操作能力;在画图的过程中,引导学生归纳总结数轴的概念,再思考画图的注意事项,培养学生的抽象概括能力;通过观察数轴上的两个与原点的距离相等的点,找到这两个数之间的联系,再次体会数形结合的思想方法,同时也为下一节引入相反数的概念作铺垫.典例精讲例画出数轴,并在数轴上表示下列各数:3,-4,4,0.5,0,-52,-1解:如图所示.设计意图:通过对例题的思考与解答,让学生初步体会数形结合的数学思想方法,培养学生的抽象能力.巩固训练1.在已知的数轴上,表示-2.5的点是(A)A.点AB.点BC.点CD.点D2.在数轴上表示-3,0,5,13的点中,在原点右边的点有(BA.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.画出数轴,并在数轴上表示下列各数:-2,5,0,2.5,-3.5,14,-4解:如图所示.设计意图:通过设置不同层次的练习,不仅能使学生的新知得到及时巩固,也能使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.课堂小结1.什么是数轴?2.数轴的三要素是什么?3.如何画数轴?4.如何在数轴上表示有理数?设计意图:让学生自己总结,促进学生对本节课内容的掌握,提高学生的总结归纳能力.1.2.3相反数课时目标1.掌握相反数的概念,进一步理解数轴上的点与数的对应关系.2.理解-a可以是正数,也可以是负数,培养学生的抽象思想.学习重点求已知数的相反数.学习难点根据相反数的意义化简符号.课时活动设计情境引入请两个学生背靠背站在同一位置,然后一个向右走5步,一个向左走5步.问题:如果向右为正,那么向右走5步,向左走5步各记作什么?设计意图:从实际情境引入,激发学生的兴趣,为本节课的学习作铺垫.探究新知探究1相反数的概念问题:请同学们在数轴上,画出表示+3,-3的点,并观察点的特征.解:如图所示.根据图形,可得到在数轴上,+3和-3所对应的点位于原点的两边,并且与原点的距离相等.请同学们再举出几组具有这样特征的两个数,并总结发现的规律.归纳:一般地,设a是一个正数,数轴上与原点的距离是a的点有两个,它们分别在正、负半轴上,表示a和-a,这两个数只有符号不同(如图所示).像3和-3,12和-12这样只有符号不同的两个数,互为相反数.追问:上面的a一定是正数吗?-a一定是负数吗?代入具体数值进行验证.一般地,a和-a互为相反数.这里,a表示任意一个数,可以是正数、负数,也可以是0.探究2多重符号的化简我们知道,a与-a互为相反数,那-(-a)与-a有什么关系呢?请在数轴上找出这两个数表示的点,并说明它们之间的关系.学生自主探究,小组讨论并派代表回答.根据数轴,可知-(-a)=a,所以-(-a)与-a互为相反数.在正数前面添上“-”号,就得到这个正数的相反数.在任意一个数前面添上“-”号,新的数就表示原数的相反数.请同学们借助数轴说明-(-5)=+5,-(+5)=-5.从以上的化简结果中,可以发现什么规律?归纳:化简多重符号时,只需数一下数字前面有多少个负号,若有偶数个,则结果为正;若有奇数个,则结果为负.设计意图:通过让学生思考相反数的特征,让学生理解相反数,培养学生的抽象概括能力,通过具体的相反数让学生总结一般的相反数的表示方法,经历由特殊到一般的研究过程,培养学生的数学思维.典例精讲例1(1)分别写出-7和43(2)a的相反数是2.4,写出a的值.解:(1)-7的相反数是7,43的相反数是-4(2)因为2.4与-2.4互为相反数,所以a的值是-2.4.例2化简下列各数:-(-3),-(+4),+(-5).解:-(-3)=+3.-(+4)=-4.+(-5)=-5.设计意图:通过例题,加深学生对相反数的认识,提高学生的应用能力.巩固训练1.-2的相反数是(A)A.2B.-12C.-2D.2.若a与-5互为相反数,则a的值是(B)A.-5 B.5 C.-15 D.3.相反数等于它本身的数是(C)A.正数 B.负数 C.0 D.非负数4.如图,表示互为相反数的两个数的点是(D)A.点A和点B B.点A和点C C.点B和点C D.点A和点D5.化简下列各数:+(-3),-(-7),-(+3.2),-(-0.5).解:+(-3)=-3.-(-7)=+7.-(+3.2)=-3.2.-(-0.5)=+0.5.设计意图:通过设置不同层次的练习,不仅能使学生的新知得到及时巩固,也能使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.课堂小结1.相反数的定义是什么?2.互为相反数的两个数在数轴上表示的点的特征是什么?3.怎样求一个数的相反数?怎样表示一个数的相反数?4.怎样化简多重符号?设计意图:让学生自己总结,促进学生对本节课内容的掌握,提高学生的总结归纳能力.1.2.4绝对值课时目标1.理解绝对值的概念及其几何意义,通过从数、形两个方面理解绝对值的意义,初步了解数形结合的思想方法.2.会求一个数的绝对值;知道一个数的绝对值,会求这个数.3.掌握绝对值的有关性质.学习重点绝对值的概念.学习难点绝对值的几何意义.课时活动设计情境引入两辆汽车从同一处出发,分别向东、西方向行驶10km,到达A,B两地,它们的行驶路线相同吗?它们的行驶路程相同吗?设计意图:通过情境引入,激发学生的学习兴趣,为本节课的学习作铺垫.探究新知探究1绝对值的概念在教学活动1中,两辆汽车的行驶路线不同,但行驶的路程相等.如果我们将道路抽象成数轴,点O为原点,向东为正方向,那么点A表示+10,点B表示-10,点A,B到原点O的距离就是我们这节课要学习的绝对值.请同学们自己总结绝对值的概念,教师点评.绝对值的概念:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值,记作|a|(a可以是正数、负数和0).问题1:根据绝对值的概念,说出10和-10的绝对值分别是多少?解:上图中,点A与点B分别表示10和-10,它们与原点的距离都是10个单位长度,所以10和-10的绝对值都是10,即|10|=10,|-10|=10.问题2:0的绝对值是多少?解:根据上图,可知点O表示的数是0,由于点O是原点,所以0的绝对值等于0,即|0|=0.探究2绝对值的性质问题3:写出下列各数的绝对值:6,-8,-3.9,52,-211学生自主作答,教师请两名同学上台进行板演.解:|6|=6,|-8|=8,|-3.9|=3.9,52=52,-211问题4:上述各数的绝对值与原数有什么关系?学生分小组进行交流,请学生代表发言,教师最后进行总结.解:6,52,100的绝对值等于它本身,-8的绝对值是8,8与-8互为相反数,所以-8的绝对值是它的相反数,同理,可得-3.9,-211的绝对值是它们的相反数.由此,我们可以得出结论:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0,即(1)如果a>0,那么|a|=a;(2)如果a=0,那么|a|=0;(3)如果a<0,那么|a|=-a.设计意图:通过让学生自己探究绝对值的概念及性质,让学生更加深刻地理解本节课的内容,并提高学生的推理和分析能力.典例精讲例(1)写出1,-0.5,-74(2)如图,数轴上的点A,B,C,D分别表示有理数a,b,c,d,这四个数中,绝对值最小的是哪个数?分析:对于(2),一个数的绝对值越小,数轴上表示它的点离原点越近;反过来,数轴上的点离原点越近,它所表示的数的绝对值越小.解:(1)|1|=1,|-0.5|=0.5,-74=(2)因为在点A,B,C,D中,点C离原点最近,所以在有理数a,b,c,d中,c的绝对值最小.设计意图:通过例题,让学生会求一个数的绝对值,并理解数轴上的点离原点越近,绝对值越小.巩固训练1.-10的绝对值是(B)A.-10B.10C.110D.-2.下列各数中,与--23相等的数是(DA.32 B.-32 C.23 设计意图:通过设置不同层次的练习,不仅能使学生的新知得到及时巩固,也能使学生的思维能力得到有效提高,能更好地将知识学以致用.课堂小结1.什么是绝对值?如何求一个数的绝对值?2.在学习绝对值的过程中,你经历了什么?这个过程中用到了哪些数学方法?积累了哪些活动经验?3.绝对值有哪些性质?设计意图:学生通过自主反思,可进一步加深对绝对值的理解;通过反思数学思想方法与活动经验,培养学生的数学思维品质,让学生学会学习,学会思考.

1.2.5有理数的大小比较课时目标1.经历有理数大小比较法则的获得过程,积累数学活动经验,培养学生的抽象概括能力.2.掌握有理数大小的比较法则,会用法则比较有理数的大小,发展学生的数感.学习重点有理数的大小比较.学习难点两个负数的大小比较.课时活动设计回顾引入比较下列各组数的大小:0<1,1<2,6>3.想一想,任意两个有理数的大小如何比较?如-4与-3,-2与0,-1和1的大小.设计意图:通过正数的大小比较引入有理数的大小比较,为本节课的学习作铺垫.探究新知下图是未来一星期中每天的最高气温和最低气温.问题:上图中,最高气温是多少?最低气温是多少?解:星期一到星期日的最高气温分别是8℃,7℃,6℃,5℃,3℃,4℃,9℃,最低气温分别是0℃,1℃,-1℃,-2℃,-4℃,-3℃,2℃.追问1:你能将这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列吗?解:这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列为-4,-3,-2,-1,0,1,2.追问2:你能把这些数在数轴上表示出来吗?从中能得出什么结论?学生动手画数轴,观察、思考、讨论,最后在教师的引导下得出结论.结论:在水平的数轴上表示有理数,数学中规定:它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数.探究:(1)在数轴上表示-2与-3,并用“<”把这两个数连接起来;(2)在数轴上表示-5与-8,并用“<”把这两个数连接起来;(3)在数轴上表示-1.5与-1.8,并用“<”把这两个数连接起来.思考:两个负数如何比较大小呢?不画数轴你能比较两个负数的大小吗?学生独立思考,然后小组讨论,各组发表不同的见解.教师对学生的回答进行评价,引导学生说出用数轴法和绝对值法比较两个负数大小的方法.总结:一般地,(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;(2)两个负数,绝对值大的反而小.设计意图:通过让学生思考两个有理数比较大小的方法,培养学生的抽象概括能力,发展学生的数学思维.典例精讲例比较下列各组数的大小:(1)5和-2; (2)-3和-7;(3)-(-1)和-(+2); (4)-(-0.5)和|-1.5|.解:(1)因为正数大于负数,所以5>-2.(2)先求绝对值,|-3|=3,|-7|=7.因为3<7,即|-3|<|-7|,所以-3>-7.(3)先化简,-(-1)=1,-(+2)=-2.因为正数大于负数,所以1>-2,即-(-1)>-(+2).(4)先化简,-(-0.5)=0.5,|-1.5|=1.5.因为0.5<1.5,所以-(-0.5)<|-1.5|.设计意图:通过例题讲解,让学生掌握有理数比较大小的方法,且能够灵活运用数轴法和绝对值法去比较两个负数大小.巩固训练1.下列各数中,最大的数是(D)A.-10 B.-3 C.0 D.22.比较下列各组数的大小:(1)3和0;(2)-|-3|和-(+5);(3)|-10|和-(-15).解:(1)因为正数大于0,所以3>0.(2)先化简,-|-3|=-3,-(+5)=-5.再求绝对值,|-3|=3,|-5|=5.因为3<5,即|-3|<|-5|,所以-|-3|>-(+5).(3)先化简,|-10|=10,-(-15)=15.因为10<15,所以|-10|<-(-15).设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.课堂小结1.两个负数比较大小的书写格式是什么?2.异号两数比较大小,需要考虑什么?3.同号两数比较大小,需要考虑什么?设计意图:让学生自己总结,促进学生对本节课内容的掌握,提高学生的总结归纳能力.1.2.5有理数的大小比较在水平的数轴上表示有理数,数学中规定:它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数.一般地,(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;(2)两个负数,绝对值大的反而小.综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.下列各数中,是负数的是()A.-1 B.0 C.0.2 D.12.当-a=-7时,-a的相反数是()A.7 B.-7 C.±7 D.不能确定3.手机信号的强弱通常采用负数来表示,绝对值越小表示信号越强(单位:dBm),则下列信号最强的是()A.-50 B.-60 C.-70 D.-804.在体育课的立定跳远测试中,以2.00m为成绩标准,若小明跳出了2.45m,可记作+0.45m,则小亮跳出了1.75m,应记作()A.+0.25m B.-0.25m C.+0.35m D.-0.35m5.已知药品A的保存温度要求为-1℃~4℃,则下列温度符合要求的是()A.-1.1℃ B.0℃ C.4.1℃ D.5℃6.地理学上规定不同地形海拔d(单位:m):平原d<200;丘陵200<d<500;山地d>500,且相对高度大于200,等高线密集;高原d>500,且相对高度小,等高线十分密集.某地区的分层设色地形图如图所示,图中用字母A,B,C,D表示不同区域,其中为平原区域的是()A.A B.B C.C D.D7.下列式子错误的是()A.-(-3)=+3 B.-|-4|=4C.-12<-13 D.-[-(-12)]8.下列木棍的长度中,最接近9cm的是()A.10cm B.9.9cm C.9.6cm D.8.6cm9.在-0.1428中用数字3替换其中一个非0数字后,使所得的数最小,则被替换的数字是()A.8 B.3 C.2 D.110.在数轴上表示2与n的两点分别为M,N,若M,N两点之间的距离为3,则n=()A.-1或5 B.1或-5C.-1 D.1二、填空题(将结果填在题中横线上)11.-1.414的相反数是.

12.比较大小:(1)3-10;(2)-5-9.

13.若|-a|=8,则a=.

14.袋装牛奶的质量标准为100g,现抽取5袋进行检测,超过标准的质量记作正数,不足的记作负数,结果如下表所示:代号①②③④⑤质量/g-2+4-1+5-6其中,质量最接近标准的是(填写序号).

15.绝对值小于3.5的所有整数的积是.

16.在数轴上,点A,B表示的数分别是1,3,从点A出发,沿数轴向负方向移动2个单位长度到达点C.从点B出发,沿数轴向正方向移动2个单位长度到达点D,则点C,D之间的距离为个单位长度.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.把下面的有理数填入它们属于的集合内:227,0,-14,-1.26,-(+5),+|-2|,0.正有理数集合:{…}.负有理数集合:{…}.18.点O,A,B,C在数轴上的位置如图所示,O为原点,点A,C之间的距离为2,点A,B与点O之间的距离相等.若点C表示的数为-4,则点B表示的数为多少?19.已知点A,B,C在数轴上的位置如图所示.(1)写出数轴上A,B,C各点分别表示的有理数;(2)在该数轴上表示下列各数:-45,4(3)将(1)(2)中的六个数按从大到小的顺序排列,并用“>”连接.20.聪聪和慧慧为了合理计划自己的开支,每天坚持记录自己当天的收支情况,这是她们上周的统计(记收入多于支出为正,单位:元).人物周一周二周三周四周五周六周日聪聪10-5.200-4.805-3-4慧慧800-6-100根据上表回答下列问题:(1)分别说出聪聪上周记录的数据中10,0,-3各数的实际意义;(2)慧慧在哪几天支出多于收入?21.一次体育课上,老师对七年级女生进行了仰卧起坐测试,以36个为标准值,超过的次数用正数表示,不足的次数用负数表示,第一小组8人的成绩如下:2,-3,4,0,1,-1,-5,0.(1)这8名同学各做了多少个仰卧起坐?(2)这个小组的达标率是多少?(达标率=达标人数总人数×22.请阅读小彬的学习笔记,并完成相应的任务:×年×月×日比较两个数的大小的方法今天,我在一本数学课外书上看到这样一道题:比较-99201与-51101的大小解:因为99201<12,51101我有如下思考:这种方法叫什么方法?是通过哪个量作比较的?……任务:(1)上述方法是先通过找中间量来比较出99201,51101的大小,再根据“两个负数比较大小,大的反而小”,得出结论-99201>-(2)利用上述方法比较-119230与-5412123.【阅读理解】在数轴上,|a|的几何意义是表示数a的点与原点的距离,例如:|3-(-2)|可以理解为表示3的点与表示-2的点之间的距离.回答下