专题24.5相似三角形的性质（10大题型能力提升）九年级数学上学期培优讲义（沪教版五四制）原卷

20252026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】专题24.5相似形的性质知识点一、相似三角形的性质1.根据相似三角形的定义，可以直接得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2.相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.相似三角形性质定理2:相似三角形周长的比等于相似比.相似三角形性质定理3:相似三角形面积的比等于相似比的平方.知识点二、相似三角形性质的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点：测量旗杆的高度的几种方法：2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.题型01：相似三角形的性质理解【例2】（2025·上海闵行·一模）已知两个相似三角形对应高之比为，那么这两个三角形的周长之比为．【例3】（202425宝山实验学校九年级月考）若两个相似三角形的面积之比为，则它们的对应中线之比为．A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍C．没有变化 D．无法确定题型02：相似三角形性质的应用——求边长或周长AABCPQ题型03：相似三角形性质的应用—相似三角形的高的比等于相似比ABCABCDEFGHPABCDEFGHK题型04：相似三角形性质的应用—含平行线的相似三角形题型05：相似三角形性质的应用—图形的面积A． B． C． D．题型06：相似三角形性质的应用—动点问题A． B． C．或 D．以上均不对题型07：相似三角形性质的实际应用【例23】某时刻量得一棵树AB在地面上的影子长BE=30米，同时测得在BE方向上竖起的一根与地面垂直的标杆CD的影长DF=3米，已知标杆高DC=2米，求：树AB的高度。BDEFBDEFCA4．图1是装了红酒的高脚杯示意图（数据如图），喝去一部分红酒后如图2所示，此时液面的长为．【例24】（2022秋·上海静安·九年级校考期中）一天某时刻小杰发现学校的旗杆AB和一篮球架CD的影子重叠在一起，于是他选择好位置，使得他的影子和它们的影子也重叠在一起（即BG、DG、NG在一直线上，如图所示），此时点A、C、M、G也在一直线上．已知小杰的身高MN=1.7m，他的影子长NG=2m，篮球架的高CD=4.08m，且BD=DN题型08：相似三角形的判定与性质的综合计算A． B． C． D．题型09：相似三角形的判定与性质的综合证明成比例线段【例29】（2022秋·上海徐汇·九年级校考阶段练习）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D、E分别在边BC、AB上，线段AD与CE相交于点F，且(1)求证：∠CDF=∠CFD；(2)如果AE=AF，求证：CF题型10：综合压轴【例32】（2022秋·上海·九年级上海市市北初级中学校考期中）如图，已知ΔABC中，AB=4，BC=5，AC=6，把线段AB沿射线BC方向平移至PQ，直线PQ与直线AC交于点E，又连接BQ与直线AC交于点D(1)若BP=3，求AD的长；(2)设BP=x，DE=y，试求y关于x的函数解析式；(3)当BP为多少时，以Q、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．一、选择题A．6 B．9 C．12 D．3A．4 B．8 C． D．填空题5．（2025·上海杨浦·一模）如果两个相似三角形对应高的比是，那么它们的面积比是．6．（2025·上海青浦·一模）如果两个相似三角形面积的比为，那么它们周长的比为．7．（2025·上海长宁·一模）如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为．8．（2022秋•闵行区期末）如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为．三、解答题(1)求线段的长；（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长.（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相