高考数学一轮复习 第六章　培优点9　新情景、新定义下的数列问题 讲义（学生版）

培优点9新情景、新定义下的数列问题近几年全国各地高考试题，我们总能在试卷的压轴题位置发现新定义数列题的身影，它们对数列综合问题的考查常常以新定义、新构造和新情景形式呈现，有时还伴随着数列与集合，难度较大．题型一数列中的新概念通过创新概念，以集合、函数、数列等的常规知识为问题背景，直接利用创新概念的内涵来构造相应的关系式(或不等式等)，结合相关知识中的性质、公式来综合与应用．例1(1)0－1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列a1a2…an…满足ai∈{0,1}(i＝1,2，…)，且存在正整数m，使得ai＋m＝ai(i＝1,2，…)成立，则称其为0－1周期序列，并称满足ai＋m＝ai(i＝1,2，…)的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0－1序列a1a2…an…，C(k)＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,a)iai＋k(k＝1,2，…，m－1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0－1序列中，满足C(k)≤eq\f(1,5)(k＝1，2,3,4)的序列是()A．11010… B．11011…C．10001… D．11001…(2)(2023·武汉模拟)将1,2，…，n按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤i<j≤n，如果ai>aj，那么称数对(ai，aj)构成数列{an}的一个逆序对．若n＝4，则恰有2个逆序对的数列{an}的个数为()A．4B．5C．6D．7思维升华与数列的新概念有关的问题的求解策略①通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决．跟踪训练1(多选)(2023·江西联考)在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组A＝{a1，a2，a3，…，an}，ai∈{0,1}，i＝1,2,3，…，n，f(A)表示把A中每个1都变为0,0，每个0都变为1，所得到的新的有序实数组，例如A＝{0,1}，则f(A)＝{1,0,0}．定义Ak＋1＝f(Ak)，k＝1,2,3，…，n，若A1＝{0,1}，则()A．A100中有249个1B．A101中有249个0C．A1，A2，A3，…，A100中0的总个数比1的总个数多250－1D．A1，A2，A3，…，A100中1的总个数为251－1题型二以数列和项与通项关系定义新数列例2(1)(多选)(2023·苏州模拟)若数列{an}满足：对任意的n∈N*(n≥3)，总存在i，j∈N*，使an＝ai＋aj(i≠j，i<n，j<n)，则称{an}是“F数列”．则下列数列是“F数列”的有()A．an＝2n B．an＝n2C．an＝3n D．an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)))n－1(2)(多选)(2023·威海模拟)已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn.设λ与k是常数，若对任意n∈N*，均有成立，则称此数列为“λ－k”数列．若数列{an}是“eq\f(\r(2),2)－2”数列，且an>0，则()A．Sn＝9n－1B．{an}为等比数列C．{Sn－an}的前n项和为eq\f(9n－1－1,8)D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,an)))为等差数列思维升华解决此类问题，关键是根据题干中的新定义、新公式、新定理、新法则、新运算等，将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系进行求解．跟踪训练2(多选)(2023·北京人大附中模拟)已知数列{an}满足：对任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得Sn＝am，则称{an}为“回旋数列”．以下结论中正确的是()A．若an＝2023n，则{an}为“回旋数列”B．设{an}为等比数列，且公比q为有理数，则{an}为“回旋数列”C．设{an}为等差数列，当a1＝1，公差d<0时，若{an}为“回旋数列”，则d＝－1D．若{an}为“回旋数列”，则对任意n∈N*，总存在m∈N*，使得an＝Sm题型三数列新情景例3(1)九连环是中国最杰出的益智游戏．九连环由九个相互连接的环组成，这九个环套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解下来，规则如下：如果要解下(或安上)第n号环，则第(n－1)号环必须解下(或安上)，n－1往前的都要解下(或安上)才能实现．记解下n连环所需的最少移动步数为an，已知a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋2an－2＋1(n≥3)，则解六连环最少需要移动圆环步数为()A．42B．85C．256D．341(2)(2021·新高考全国Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折n次，那么eq\i\su(k＝1,n,S)k＝__________dm2.跟踪训练3几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>55且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是()A．95B．105C．115D．1251．(2023·河北统考)数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2,4,7,11,16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2,3,4,5，新数列2,3,4,5为等差数列，则称数列2,4,7,11,16为二阶等差数列．现有二阶等差数列{an}，其前七项分别为2,2,3,5,8,12,17，则该数列的第20项为()A．173B．171C．155D．1512．(2023·佳木斯模拟)科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，其定义是：对于函数f(x)，若数列{xn}满足xn＋1＝xn－eq\f(fxn,f′xn)，则称数列{xn}为牛顿数列，若函数f(x)＝x2，数列{xn}为牛顿数列且x1＝2，an＝log2xn，则a8的值是()A．8B．2C．－6D．－43．若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(2,x3)，则称x1，x2，x3成一个“β等差数列”．已知集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为()A．25B．50C．51D．1004．(2023·盐城模拟)将正整数n分解为两个正整数k1，k2的积，即n＝k1·k2，当k1，k2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如20＝1×20＝2×10＝4×5，其中4×5即为20的最优分解，当k1，k2是n的最优分解时，定义f(n)＝|k1－k2|，则数列{f(5n)}的前2023项的和为()A．51012 B．51012－1C．52023 D．52023－15．(2023·郑州模拟)普林斯顿大学的康威教授发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”，该数列的后一项由前一项的外观产生．以1为首项的“外观数列”记作A1，其中A1为1,11,21,1211,111221，…，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观上看是2个1，因此第三项为21；第三项外观上看是1个2,1个1，因此第四项为1211，…，按照相同的规则可得A1其他项，例如A3为3,13,1113,3113,132113，…，若Ai的第n项记作an，Aj的第n项记作bn，其中i，j∈[2,9]，若cn＝|an－bn|，则{cn}的前n项和为()A．2n|i－j| B．n(i＋j)C．n|i－j| D.eq\f(1,2)|i－j|6．(多选)在数列{an}中，若aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则{an}称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为()A．若{an}是等方差数列，则{aeq\o\al(2,n)}是等差数列B．若{an}是等方差数列，则{aeq\o\al(2,n)}是等方差数列C．{(－1)n}是等方差数列D．若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列7．(多选)(2023·浙江联考)“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次这两种运算，最终必进入循环图1→4→2→1.对任意正整数a0，按照上述规则实施第n次运算的结果为an(n∈N)，下列说法正确的是()A．当a0＝7时，则a11＝5B．当a0＝16时，数列{an}为递减数列C．若a5＝1，且ai(i＝1,2,3,4)均不为1，则a0＝5D．当a0＝10时，从ai(i＝1,2,3,4,5,6)中任取两个数至少一个为奇数的概率为eq\f(3,5)8．(2023·宝鸡模拟)对给定的数列{an}(an≠0)，记bn＝eq\f(an＋1,an)，则称数列{bn}为数列{an}的一阶商数列；记cn＝eq\f(bn＋1,bn)，则称数列{cn}为数列{an}的二阶商数列；依此类推，可得数列{an}的P阶商数列(P∈N*)，已知数列{an}的二阶商数列的各项均为e，且a1＝1，a2＝1，则a10＝__________.9．(2023·潍坊模拟)若项数为n的数列{an}满足：ai＝an＋1－i(i＝1,2,3，…，n)，我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1,2,2,1为4项的“对称数列”；数列1,2,3,2,1为5项的“对称数列”．设数列{cn}为2k＋1项的“对称数列”，其中c1，c2，…，ck＋1是公差为2的等差数列，数列{cn}的最大项等于8，记数列{cn}的前2k＋1项和为S2k＋1，若