2025人教版八年级数学上册同步训练（基础+提升）三角形的高、中线与角平分线（学生版+详解版）

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

夯实基础篇

一、单选题：（每题3分，共18分）

1.在ZkABC中，画边BC上的高，正确的是（）

A

A.BDB.CFC.AED.BF

3.下列叙述中错误的一项是（）.

A.三角形的中线、角平分线、高都是线段.

B.三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部.

C.只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形.

D.三角形的三条角平分线都在三角形内部.

4.已知,4E、BD是的高线,4E=6cm,BD=5cm,BC=8cm,则AC的长

度是（）

A.8cmB.8.6cmC.9cmD.9.6cm

5.如图，在aABC中，AB=5,AC=3,AO为BC边上的中线，则ZkAB。与描。/）

的周长之差为（）

A

6.如图，AO,AE,AF分别是“AC的中线，角平分线，高，下列各式中错误

的是（）

A.BC=2CDB.NBAE=L/BAC

2

C.ZAF5=90°D.AE=CE

二、填空题：（每题3分，共15分）

7.如图，ZCBD=ZE=ZF=90°,则线段是.A8c中8C边上的高.

8.如图，“BC中，AO是8c上的中线，8E是A48D中AD边的中线，若aABC

的面积是24,AE=3,则点8到直线4Q的距离为.

9.如图，在△A8C中，AQ、AE分别是8C边上的中线和高，AE=6,SJBD=

15,则CD=.

A

10.如图，在三角形ABC中，43_LAC,4/)_LAC,垂足为O,"=3,AC=4,BC=5,

贝ljA£)=.

11.已知A"C中，4C=30cm,中线A。把二48c分成两个三角形，这两个三角形

的周长差是12cm,则力3的长是__________.

三、解答题：（每题8分，共40分）

12.如图，8。和CE是AA8C的中线,AE=3cm,CD=2cm,若△ABC周长为15cm,

求BC边的长.

13.如图，△ABC的周长是21cm,AB=AC,中线分AABC为两个三角形,

且△"/）的周长比ABC。的周长大6cm,求AB,BC.

14.如图，AABC的顶点都在边长为1的正方形方格纸的格点上，将aA3c向上

平移4格.

:.z\=____

：.BD//EF（）.

能力提升篇

一、单选题：（每题3分，共9分）

1.在等腰△ABC中，AB=AC,中线B。将这个三角形的周长分为15和12两个

部分，则这个等腰三角形的底边长为（）

A.7B.10C.7或11D.7或10

2.如图，ZkABC的面积为3,BD：DC=2：1,E是AC的中点，AQ与8E相交

于点P,那么四边形尸DCE的面积为（）

3.如图，aABC的面积是24,点。，E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中

点，则△4EG的面积是（）

A.9B.10C.11D.12

二、填空题：（每题3分，共9分）

4.如图，在一ABC中，AB=AC=2t尸是8C边上的任意一点，PE工AB于点E,

打'LAC于点尸.若5人叱=无,贝1」尸£+尸尸=.

5.如图，在ABC中，已知点。，E,尸分别为边8C,AQ,CE的中点，且-ABC

的面积等于24cm2,则阴影部分图形面积等于cm2

6.在..ABC中，4=90。，48=8cm,8c=6cm,点力是A8的中点，点。从A点

出发,沿线段AD以每秒2cm的速度运动到".当点尸的运动时间，=

秒时，/6的面积为5cm2.

三、解答题：(9分)

7.如图，在“8C中，CD、CE分别是一相。的高和角平分线,

ZBAC=a、NB=队a>fi).

⑴若。=70。,//=40。，求NDCE的度数;

(2)试用。、4的代数式表示NOCE的度数.

思维拓展篇

1.阅读下列材料：

阳阳同学遇到这样一个问题：如图I,在A/WC中48=4。，8。是AA4C的高，。是

8C边上一点，PM、PN分别与直线A3,AC垂宜，垂足分别为点M、N.

求证：BD=PM+PN.

阳阳发现，连接”，有SMBC=SMBP+SW即;AC8O=；A8,PM+gACPN.由

AB=ACf可得BD=PM+PN.

他又画出了当点。在。的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如

图2所示，他猜想此时80、PM、PN之间的数量关系是：BD=PN—PM.

A

请回答：

（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；

证明：连接AP.***SUB?=SMPC_,

-ACBD=-AC---AB

22---------2

\'AB=ACt:.BD=PN-PM.

（2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题：

在AA8C中，AB=AC=BC,8。是AA8C的高.尸是AA8C所在平面上一点，PM、

PN、PQ分别与直线AB、AC、8c垂直，垂足分别为点M、N、Q.

①如图3,若点尸在AABC的内部，猜想8。、PM、PN、P。之间的数量关系并写

出推理过程.

②若点。在如图4所示的位置，利用图4探究得此时B。、PM、PN、P。之间的

数量关系是：.（直接写出结论即可）

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

夯实基础篇

一、单选题：（每题3分，共18分）

1.在aABC中，画边8C上的高，正确的是（)

B

C.

D.

CGA

【答案】A

【解析】

【详解】

解：A.此图形中4。是8c边上的高，符合题意;

B.此图形中CE不是8c边上的高，不符合题意;

C.此图形中4£是A。边上的高，不符合题意；

D.此图形中8G是△BCG中边上的高，不符合题意；

故选：A.

【点睛】

本题考杳三角形高的画法,解题关键在理解底与高的对应关系，作钝角三角形的高是易错点.

2.如图，在..ABC中，BC边上的高为（）

A.BDB.CFC.AED.BF

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角形高的定义是从一个顶点到它对边的垂线段即可判断.

【详解】

根据三角形的高的定义，在aABC中，8c边上的高应是过点A垂宜于8c的线段，

从图中可以看出，过点A垂直于8C的线段是AE,所以是3C边上的高.

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角形高的定义，熟练掌握三角形的高概念，仔细观察图形中符合定义的线段即

可.

3.下列叙述中错误的一项是（）.

A.三角形的中线、角平分线、高都是线段.

B.三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部.

C.只有•条高在三角形内部的三角形•定是钝角三角形.

D.三角形的三条角平分线都在三角形内部.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角形的角平分线、中线、高的概念和性质进行一一判断.

【详解】

A：三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确；

B：锐角三角形三条高在三角形内部，直角三角形一条高在三角形内部，钝角三角形一条高

在三角形内部，正确；

C：只有一条高在三角形内部的三角形是钝角三角形或直角三角形，错误；

锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确

故选：C

【点睛】

本题考查三角形的三线，掌握高、中线、角平分线的定义是解题关犍.

4.已知，AE.刖是一ABC的高线，AE=6cm,BD=5cm,BC=8cm,则AC的长度是（）

A.8cmB.8.6cmC.9cmD.9.6cm

【答案】D

【解析】

【分析】

根据等面积法即可求解.

【详解】

解：AC是_ABC的高线，AE=6cmfBD=5cm,BC=8cm,

：.-ACxliD=-AExBC,

22

AExBC6x848一

即AC=----=--=—=9.0cm.

BD55

故选D.

【点睛】

本题考查了三角形高线的相关计算，理解三角形的高线的意义是解题的关键.

5.如图,在"BC中,55=5,5c=3,AD为BC边上的中线,则△ABD与拉4仪）的周长之差

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意,AO是AABC的边BC上的中线，可得4。=。，进而得出“4。的周长EW+8/AAQ,

△4CD的周长=AC+C/)+A。，相减即可得到周长差.

【详解】

解：・・・A。是aABC的中线，

:・BD=CD,

：./\ABD与ZkACD的周长之差为：

(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)

=AB+BD+AD-AC-CD-AD

=AB-AC

=5-3

二2；

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了三角形的中线、高和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的

关键.

6.如图，AD,AE,AF分别是_A8C的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是()

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可:

【详解】

解：A.,・・A。是“8C的中线

・•・BC=2CD,

故诜项正确，不符合颍意：

B.TAE是&ABC的角平分线

ABAE=-ZBAC

2

故选项正确，不符合题意；

C.・・"F分别是:ABC的高，

・•・ZAFB=90°

故选项正确，不符合题意；

D.AE=CE不一定成立，故选项错误，符合题意.

故选：D.

【点睛】

此题考查三角形的高线，带平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的定

义进行判断即可.

二、填空题：（每题3分，共15分）

7.如图，NCBD=NE=/F=90°,则线段是中边上的高.

【解析】

【分析】

根据三角形高线的定义判断即可；

【详解】

,?AELBC,

:.中8C边上的高是AE.

故答案是AE.

【点睛】

本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高线，准确分析判断是解题的关键.

8.如图，0AC中，AO是3C上的中线，回是“3D中A。边的中线，若的面积是

24,AE=3,则点8到直线入。的距离为.

A

【解析】

【分析】

由三角形的中线平分三角形面枳的性质可得AABE的面积，再由三角形面积公式即可求得结

果.

【详解】

•••4。是△4BC的8c边上的中线，SABC=24,

•••cnAUD_~_~L2QABC——I9'/♦

:BE是"BD中AD边上的中线,

设点B到直线AD的距离为h,则SAHF=^AE-h=6,

BP—x3//=6,

2

/.h=4.

即点8到直线4。的距离为4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了三角形一边上的中线平分三角形面积的性质、三角形面积等知识，掌握三角形一

边上的中线平分三角形面积的性质是本题解答的关键.

9.如图，在中，AD.AE分别是BC边上的中线和高，AE=6fS^ABD=\5,则C。

A

【答案】5

【解析】

【分析】

由利用三角形的面积公式可求得8。的长，再由中线的定义可得CZ>8D,从而得解.

【详解】

解：・・・S4A4。=15,AE是8C边上的高，

则gx64Q=15,

解得：BD=5,

•••A。是8C边上的中线，

：・CD=BD=5.

故答案为：5.

【点睛】

本题主要考查三角形的中线，三角形的高，解答的关键是由三角形的面积公式求得BD的长.

10.如图，在三角形48c中，ABLAC,AD±BC,垂足为。，AB=3,AC=4,BC=5,

贝I」AD=.

【答案】2.4

【解析】

【分析】

根据面积相等可列式（A&AC=28C・4O，代入相关数据求解即可.

【详解】

解：VAB1AC,AD1BC,

.\-AB-AC=-BC^AD

22

VAB=3,AC=4,BC=5,

…必£上=2.4

BC5

故答案2.4

【点睛】

此题主要考查了运用等积关系求线段的长，准确识图是解答本题的关键.

11.已知.ABC中，AC=30cm,中线A。把分成两个三角形，这两个三角形的周长

差是12cm,则A3的长是_________.

【答案】42cm或18cm

【解析】

【分析】

先根据三角形中线的定义可得BD=CD,再求出把A18C周长分为的两部分的差等于

\AB-AC\,然后分AB>AC.4BVAC两种情况分别列式计算即可得解.

【详解】

TA。是aABC中线，

：・BD=CD.

•••A。是两个三角形的公共边，两个三角形的周长差是12cm,

，如果A8>AC,那么A"AC=12cm,即A8-30=12cm

/.Afi=42cm；

如果A8V4C,那么AC-4B=12cm,即30-48=12cm

A8=18cm.

综上所述：AB的长为42cm或18cm.

故答案为：42cm或18cm.

【点睛】

考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.

三、解答题：（每题8分，共40分）

12.如图，B。和CE是A4BC的中线，AE=3cm,C£>=2cm,若AABC周长为15cm,求8c

边的长.

B

【答案】5cm

【解析】

【分析】

根据中线定义可得AB,AC,根据aABC周长公式即可求解.

【详解】

•・•BD和CE是AABC的中线，

AI3=2AE=2x3=6。刀，AC=2CD=2x2=4cm,

•・•AABC周长为15cm,即A8+AC+BC=15cm,

・•・BC=i5-AB-AC=[5-6-4=5cm.

【点睛】

本题考查三角形中线定义、三角形周长公式，解题的关键是根据三角形中线求出43和AC

的长.

13.如图，的周长是21cm,AB=ACf中线8。分△ABC为两个三角形，且△4BD的

周长比△AC。的周长大6cm,求八8,BC.

【答案】AB=9cm,BC=3cm.

【解析】

【分析】

由8。是中线，可得4D=C£>,又由AABD的周长比△BCD的周长大6cm,ZiABC的周长是

21cm,AB=AC,可得AB-8C=6cm,2AB+BC=2\cmt继而求得答案.

【详解】

解：・・・B。是中线，

：.AD=CD=^AC,

的周长比△/3C。的周长大6cm,

Z.CAB+AD+BD)-CBD+CD+BC)=48-BC=6cm①，

•1△ABC的周长是21cm,AB=AC,

••・2AB+BC=21cm②，

联立①②得：AB=9cm,BC=3cm.

【点睛】

本题考查了三角形周长与三角形的中线.注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

14.如图，aABC的顶点都在边长为1的正方形方格纸的格点上，将△A4C向上平移4格.

(1)请在图中画出平移后的三角形AgC；

⑵在图中画出三角形△ABC的高CD、中线8E；

(3)AA3C的面积是.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)8

【解析】

【分析】

(1)根据图形平移的性质画出平移后的aA，夕C即可：

(2)找出线段AC的中点E,然后连接BE,再过点C向A8所在的直线作垂线，垂足为。

即可；

(3)直接根据三角形的面积公式即可得出结论.

(D

如图所示，三角形就是所要求做的图形；

(2)

如图所示，三角形ZiAAC的高C。、中线3氏

故AABC的面积是8.

【点睛】

本题考查作图一平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键.

15.如图，已知A。，AE分别是“A8C的高和中线，AB=9cm,AC=12cm,BC=15cm,

NBAC=90°.

(1)求A。的长度；

⑵求“跳:的面积.

【答案】⑴弓cm

(2)27cm2

【解析】

【分析】

(1)利用等面积法，根据义咏=gAA.AC=3阮"。，代值求解即可：

(2)根据已知条件和(口中求出的4。长，利用三角形面积公式得出几W.=38小A。，代

值求解即可.

(1)

解：在A48c中，NA4C=9(广，AO是边3C上的岛，

AB=9cm,AC=12cm，BC=15cm，

「•根据S^BC=1八&AC=gBC-AO可得

5AB-AC9x1236

AD=-----------=---------=-cm；

BC155

(2)

解：在&44c中，踮是边4c上的中线，且8c=15cm,

BE=-BC=—cm,

22

在AABE中，八。是边比:上的高，且由(1)知AO=Mcm,

•c_1瓯xn_11536”2

=-BE*AD=-x—x—=21cm.

【点睛】

本题考查三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线与高线是解决问题的关键.

16.请补全证明过程及推理依据.

已知：如图，BCHED,BD平分NABC,所平分4ED.

求证：BD//EF.

证明：・・・8。平分/4BC,石产平分4£7),

AZ1=7Z^4ED,Z2=y^4BC()

*：BC//ED()

AZAED-()

ZAED=^-ZABC

AZ1=________

：.BD//EF().

【答案】角平分线的定义；已知；NA8C；两直线平行，同位角相等；Z2；同位角相等，

两直线平行

【解析】

【分析】

根据角平分线的定义得出艰据平行线的性质定理得出N4E/X

NA8C,求出N1=N2,再根据平行线的判定定理推出即可.

【详解】

证明：平分NA8C,EF平分NAED,

/.Zl=^AED,N2=1N48C（角平分线的定义）

*：BC//ED（已知）

AZAED=ZABC（两宜线平行，同位角相等）

ZAED=^ZABC

AZ1=Z2

：.BD//EF（同位角相等，两直线平行）.

故答案为：角平分线的定义；已知；/ABC；两直线平行，同位角相等；N2；同位角相等，

两直线平行.

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，能熟记平行线的性质

定理和判定定理是解此题的关键.

能力提升篇

一、单选题：（每题3分，共9分）

I.在等腰△AAC中，AB=AC,中线8。将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则

这个等腰三角形的底边长为（）

A.7B.10C.7或11D.7或10

【答案】C

【解析】

【分析】

题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等

量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案.

【详解】

设等腰三角形的底边长为右腰长为y,则根据题意，

V

x+-=15x+—=\2

2或②，2

得①

,,+尸2v+-=15

2

解方程组①得〈

根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形;

x=l

解方程组②得

y=l()

根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，

即等腰三角形的底边长是11或7；

故选：C.

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质及相关计算.学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为

15,12中包含着中线BO的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情

况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理.

2.如图，aABC的面积为3,BD：DC=2：1,E1是AC的中点，人力与8E相交于点尸，那

么四边形POCE的面积为（）

「13

D.—

20

【答案】B

【解析】

【分析】

连接CP.设△CPE的面积是x,ACOP的面积是》根据以）：OC=2：I,石为人C的中点，

得AB。尸的面积是2y,ZkAPE的面枳是x,进而得到△A8P的面积是4x.再根据aABE的面

4

积是△3CE的面积相等，得4x+x=2y+x+y,解得尸不x,再根据AABC的面积是3即可求得

X、y的值，从而求解.

【详解】

连接CP,

设ACPE的面积是x,ACDP的面积是y.

•:BD：DC=2:1,E为AC的中点，

・•・丛BDP的面积是2y,&APE的面积是人

":BD：DC=2：1

:.△A8。的面积是4x+2y

的面积是4工

：Ax+x=2y+x+y,

4

解得产耳黑

又•••△ABC的面枳为3

3

/.4x+x=—,

2

3

x=­.

10

则四边形PDCE的面积为x+产得.

故选B.

【点睛】

此题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系.等高的两个三角形的面积比

等于它们的底的比；等底的两个三角形的面积比等于它们的高的比.

3.如图，△ABC的面积是24,点。，E,F,G分别是月C,AD,BE,CE的中点，RUAFG

的面积是（）

【答案】A

【解^5]

【分析】

首先根据点E是AD的中点,可知LBE=S&E，S,,旌=Sg再根据点D是8C的中点,

"J得Sy既.=S琥,即可得

Svw=Sv呼=Svm=S》*=-Svw.=6,然后根据点凡G是BE,CE的中点，得

Sv码=gSv,3=3,Sy=JSVME=3,可知FG是ACBE的中位线，可得

乙乙

Sv用7=3S、附F=3,即可得出答案•

【详解】

丁点E是AO的中点,

,,SABE=SBDE，S^ACE=SacDf；•

••点。是4c的中点,

s

。780£°aCDE，

（5；加=6.

・VS7睡=^VACE~S&ca;

••点F,G是BE,CE的中点,

£

3

2SvABE~3，SVAEGs、飕='

2

•・R7是aCBE的中位线,

S'ER；=彳S78c正=3»

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了三角形的面积和中线的关系，三角形中位线的定义和性质等，将一个三角形

的面积转化为求三个小三角形的面积是解题的关键.

二、填空题：（每题3分，共9分）

4.如图，在-ABC中，AB=AC=2,。是4C边上的任意一点，PELAB于点E,PFLAC

于点、F.若S48c=无，则所+"=.

【答案】&

【解析】

【分析】

根据SABC=S"P+SAPC=；A8・PE+；AC,P/"结合已知条件，即可求得尸石+尸尸的值.

乙乙

【详解】

解：如图，连接心

•PEJ.A3于点E,用_LAC于点F

.•.S&〃c=S+SA^=^ABPE+^AC-PF

'.*AB=AC-2,SAHC=>/?.

-ABPE+-ACPF=PE+PF=42

22

故答案为：x/2

【点睛】

本题考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键.

5.如图，在4A8c中，已知点D,3"分别为边AD,CE的中点，且.A8c的面积

等于24cm2,则阴影部分图形面积等于cm?

【解析】

【分析】

因为点尸是CE的中点，所以"的底是aBEC的底的一半，ABEF高等于ABEC的高;同

理，。、E、分别是8C、AD的中点，可得△E8C的面积是△A4C面积的一半；利用三角形的

等积变换可解答.

【详解】

解.：如图，点F是CE的中点，

••.△BEF的底是EF,△BEC的底是EC,即而高相等，

S△叼•=-jSXBEC，

是AD的中点,

:•S△BD否鼻S△ABD,SACD/^=ySAACD>

5A£BC=g5△八8C，

SABE产—S△八sc,且SA,iBC=24cm2,

4

/.S△叼=6cm2,

即阴影部分的面枳为6cm?.

本题考查了三角形面积的等积变换:若两个三角形的高（或底）相等，面积之比等于底边（高）

之比.

6.在一ABC中，ZB=90%AB=8cm,BC=6cm,点。是A4的中点，点尸从A点出发，

沿线段八。以每秒2cm的速度运动到8.当点尸的运动时间/=秒时，./CD的

面积为6cm2.

【答案】1或3

【解析】

【分析】

分为两种情况讨论：当点尸在A。上时，当点P在。8上时，根据三角形的面积公式建立方

程求出其解即可.

【详解】

•・・A3=&w,点。是A8的中点，

»\AD=BD=4cm,

当点P在上时,AP=2ir

：.PD=4-2t

••QPCD的面积为6cM,

；,gpDxBC=6,gpix（4-2/）x6=6

解得/=ls,

当点P在BD上时，AP=2t,

：,DP=2t-4f

•・・./。。的面积为65?2，

二;DPxBC=6,即：（2z—4）x6=6,

解得t=3s,

综上，当点。运动时间3I或3秒时，-PC。的面积为6皿，

故答案为：1或3.

【点睛】

本题考杳了三角形的中线，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求

解是关键.

三、解答题：（9分）

7.如图,在.A8C中,CD、C£分别是4ABe的高和角平分线，NBAC=a,NB=的＞。）.

（1）若。=70。.4=40。，求NQCE的度数；

（2）试用a、P的代数式表示NOCE的度数

【答案】（1）NDCE=15。

【解析】

【分析】

（1）根据三角形的内角和定理求出NAC8的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性

质求出/QCE.

（2）由（1）的解题思路却可得正确结果.

（1）

解：vZBAC=70°,ZB=40°

ZACB=180°-（ZBAC+ZB）=180°-（70。+40°）=70°.

CE是N4C8的平分线，

・•.ZACE=-^ACB=35°.

2

。。是高线，

二ZAZX?=90°,

ZACD=90。-ABAC=20°,

ZDCE=ZACE-ZACD=35°-20°=}5°.

(2)

解：・JN8AC=a,』B=p

...AACB=180°-(ZBAC+ZB)=180°-(a+/?),

CE是ZAC6的平分线，

ZAC£：=-ZACB=-x[180o-(a+^)]=90o-^y^.

CD是高线，

ZADC=90。，

・•.ZACD=90°-ZBAC=90°-a,

/。。：=乙4。£-44。0=90。-