高考数学专项研究：导数（26）含绝对值的导数

高考数学专项研究：导数（26）含绝对值的导数第五章函数模型第三节含绝对值的导数压轴方法与定理:（1）整体绝对值：考虑端点函数值和极值的绝对值大小;局部绝对值:分类讨论去绝对值.注:二次函数的对称轴即为极值横坐标（2）绝对值不等式:aa（3）解不等式:fx>f一、整体绝对值方法:一般是比较区间端点函数值和极值的绝对值大小。1.fx=x解:f当a≤0时,f′x≤当a≥1时,f′x≥当0<a<1,由当x∈0,x1,fx极大值fx1故fx从而fx1当又故当23≤a<又所以当23≤a<当34≤a<综上,ff2.已知函数fx(I)求曲线y=(II)当x∈−2(III)设Fx=fx−x+aa∈R解:(I)由fx=1令f′x=1,即34x2所以曲线y=fx的斜率为1的切线方程是y=x与y(II)令gx=fx−令g′x=0得x−−00884g+−+g−70y−↗0所以gx的最小值为-6,最大值为0.故−6≤(III)由(II)知,当a<−3时,当a>−3时,Ma≥F综上,当Ma最小时,a二、局部绝对值方法:以分类讨论的方法去绝对值1.x2+2+x解:x2+分类讨论即可:当2<x由单调性可得fxmin【同源练习】fx=−xlnx+ax在0,e上单调递增,g解:当a≥3时,则ex<a,所以gx=a−当2≤a<3x∈lna因为a≥2,所以−a+a2.f（1）若fx在−1,1（2）设b∈R,若fx+b解:(1)当x≥a所以x①a≤−1时,因为−1≤x所以Ma=②−1<a<1x−1,所以M因为f1−f−13<③a≥1时,有x≤所以M（2）令ℎx=x因为fx+b2≤4对由(1)得①a≤−1时,ℎx最大值为ℎ1=则−4−3a+b≥−2且4−3a+令ta=−ta在0,13③13<a<则a3+b≥−④a≥1时,最大值ℎ则3a+b−2综上,3a3.a>0,fx解:由x∈1①当a≥2fx在1,e2单调递减,所以fx②当0<a<2时,若1≤所以fxmax=f若ea<x≤e2又gx=ex当ea<x<得a≥e又e22e24.设a为实数,函数fx（1）若f0≤1（2）讨论fx（3）当a≥2时,讨论fx(1)f0=a2当a≤0时,0≤1,显然成立;当a>0综上所述,a的取值范围是a≤(2)f对于u1=x所以fx在a对于u1=x所以fx在−∞,综上,fx在a,+∞上单调递增,在（3）由(2)得fx在a,+∞上单调递增,在0,(i)当a=2令fx+4因为fx在0,而y=−4x在0,2上单调递增,y<f当x≥2时,fx=xx−22x+1=0,因为x≥(ii)当a>2时,当x∈0,a时,f0=2a当x=a时,y=−4a因为a所以fa=a−a综上,当a=2时,fx+4x有一个零点x=2;当a>2,y=fx与y5.已知a>0,（1）证明:当0≤①函数fx的最大值为2a②fx（2）若−1≤fx≤解:(1)证:①f当b≤0时,有f′x≥当b>0此时fx在0,b6a上单调递减,在f②由于0≤x≤f当b>2a>设gx=2x00331g-0+g1单调减极小值单调增1所以,g所以当0≤x≤1（2）解:由①知,当0≤x≤若2a−b所以−1≤f2a−在直角坐标系aOb中,①表示的平面区域为如图所示阴影部分,其中不包括线段BC作一组平行直线a+b=tt∈R三、不等式性质1.设函数fx=αcos的最大值为A.(I)求f′x;(II)求A;(III)证明解:(I)f′(II)当a≥1因此,A=3a−2.当0<令gt=2at2+a−1且当t=1−a4a令−1<1−a(i)当0<a≤15时,gt在−1(ii)当15<a<1又g1−a综上,A(III)由(I)得f′当0<a≤当15<a<1当a≥1时,f′2.已知定义在0,1上的函数①f0②对所有x,y∈0,若对所有x,y∈A.12B.14C.1不妨设0≤y≤x≤当12<≤=3.设函数fx（1）讨论函数fsinx在（2）记f0x=x2−a解:(1)fsinf因为−π2<①当a≤−2,②当a≥2,③当−2<a<2,在−−π2<x≤x0因此,−2<a<2,b（2）−πf当a0−a当a0−a由此可知,函数fsinx−f01.已知x−a2⋅lnx解:显然x∈(0,1即x∈(1fx单调递增,g五、绝对值函数的处理办法(一)极值点、端点值取最值带有绝对值的函数其最值往往在极值点、端点值处取到1.a为实数,fx=x2−ax在区间0,有题意可得ga即可得到1−a=a2(二)端点效应定义:fx=ax1.a∈R,y=x解:令x+4x那么必有yt=4=注:含有绝对值的一次函数可以直接选取其端点值的中点,那么我们讨论这个中点与a的关系即可。当a=92时,恒成立;当a(四)曲直分开,转而高度差尽管这种做法属于切比雪夫最佳逼近定理,但是为了考虑到大多数同学的程度以及不超纲的原则,我们先介绍这种做法,即分成一个曲线和直线,我们去寻找其高度差即可。而关于切比雪夫最佳逼近定理,我们在后文会详细阐述。1.fx=2x−ax−使得fx0≥f转化为两个函数值的高度差maxfmin{maxfx2.fx=x3−6x2+ax+bf令gx=由g′x=3x−1又若对任意实数a和b,总存在x0∈那么x∈0①当9−a=0时,a由于gx∈0,4,则②当9−a>0时,a<9则f3=若ℎ1<2,则③当9−a<0则f0=若ℎ1<2,则综上,当且仅当a=93.fx=x3−6x2+ax+解:令gx=x3连接直线AB,直线AB的斜率为-9,g因此在x=1处的切线y=−故取a=9,b=−证明:f故而f(四)最值定理若fx在区间m,易知函数fx与参数b的距离最大值的最小值是当b其中,当b=0时,fx在区间1.fx=x2+ax+ba、minMa,min故原不等式恒成立(五)切比雪夫最佳逼近定理fx在m,n上连续,E=max若实数x0∈m,n满足fx0−ax0若集合A={gxmaxx∈mfx的最佳逼近直线