第2章《特殊三角形》全章同步练习-2025-2026学年浙教版八年级数学上册

第2章特殊三角形全章同步练习

2.1图形的轴对称

A掌握基本知识

1.下列交通标志中，属于轴对称图形的是（）

o@©©

ABCD

2.如图.△ABC与〉ABC关于直线1对称则NB的度数为（）

第2题图

A.30。B.500

C.100°D,I20°

3.图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）

第3题图

A.IB.5

C.10D.无数条

4.如图.MN是线段AB的垂直平分线点C在MN外,且与点A在MN的同T则,BC交MN于点P,则

()

第4题图

A.BOPC+APB.BCvPC+AP

C.BC=PC+APD.BC>PC+AP

5.如图,AD与BC相交于点O,AABO和^CDO关于直线PQ对称点A,B的对称点分别是点C,Do下列

结论不一定正确的是（）

第5题图

A.AD1BC

B.若连结AC,则AC±PQ

C.AABO^ACDO

D.若连结AC,BD,则AC/7BD

6.用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若N1=20。,则/2的度数为1

第6题图

7.如图，在△ABC中,NACB=80。点D在AB边上，将^CBD沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E

处。若NA=26。,则NCDE=________。。

C

8DA

第7题图

8.如图，在正方形网格中，点A,B,C均为网格线交点,请按要求作图。作图过程仅使用无刻度的直尺，保留

作图痕迹，无须说明理由。

(1)如图1,作出△ABC关于直线MN对称的图形。

(2)如图2,在直线MN上求作点P,使得NAPM二NBPN。

图1图2

第8题图

B提升关键能力

9.如图，在△ABC中,NABC=90o,NCAB=30o,D是直线AB上的一个动，点连结CDJl^aCDB沿着CD翻折，

得到△CDE。当^CDE的一边与^ABC的一边平行时，ZCDB的度数不可能是()

A.I5°B.45°4

第9题图

C.60°D.75°

10如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①，②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆

把纸带①沿AB折叠，量得N1=N2=59。;小铁把纸带②沿GH折登，发现GD与GC重合,HF与HE重合，且点C,

G,D在同一直线上，点E,H,F也在同一直线上。则下列判断正确的是()

A.纸带①，②的边线都平行

B.纸带①,②的边线都不平行

C.纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行

D.纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行

11如图,△ABC与△ADE关于直线MN对称。若NBAC=108o,NDAC=3()o*/EAM的度数。

12.(1)如图1,直线两侧有两点A,B,在直线上求一点C,使它到A,B两点的距离之和最小(保留作图痕迹，

不写作法)。

(2)如图2,直线同侧有两点A,B,在直线上求一点C,使它到A,B两点的距离之和最小(保留作图痕迹，

不写作法)。

B

B

图1图2

第12题图

6.求证：等腰三角形两腰上的高线相等。

根据所给图形，将“已知”“求证”补充完整，并写出证明过程。

已知:如图.在△ABC中,,BD_LAC,CE_LAB.垂足分别为D,E。

求证:。

第6题图

7.如图，在△ABC中,AB=AC,D,E分别是边AB,AC上的点，且AD=AE,BE与CD相交于点F。求证:DFtEF。

第7题图

提升关键能力

8.在正方形网格中，网格线的交点称为格点。如图，已知A,B是两格点，使得△ABC为等腰三角形的格点C

的个数是)

C.6D.8

9.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作一倍长三角形二若等腰三角形ABC是“倍

长三角形"，底边BC的长为3,则腰AB的长为

10求证：等腰三角形的底边中点到两腰的距离相等(要求画图，写已知、求证，然后证明)。

II.已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成20cm和8cm两部分，求等腰三角形的底边

长。

C发展核心素养

12」推理能力］如图,△ACB是以AB为底的等腰三角形，△DCE是以DE为底的等腰三角形，点A,D,E在

同一条直线上,连结BE。若NCAB二NCBA二NCDE=NCED=50。。

(1)求证:AD二BE。

(2)求NAEB的度数。

第12题图

2.3等腰三角形的性质定理

第1课时等腰三角形的性质定理1及等边三角形的性质

A掌握基本知识

1.如图.在△ABC中,AB=ACNAEOOJ^NACD的度数为（）

A.70。B.100。C.1100D.I400

2.如图，在△ABC+，AB=AC,ZBAC=130°,DA±AC,51!)ZADB=()

A.100°B.115°C.130°D.145°

3.如图,直线l〃m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上。若NABE=21。,则NACD的度数

为（）

A.450B.39。C.29°D.210

4.若等腰三角形的一个底角的度数为40。，则它的顶用的度数为。。

5.如图.在△ABC中以点A为圆心,线段AB的长为半径画弧，交BC于点D,连结AD。若NABD=55。厕/

ADC=______

第5题图第6题图

6.如图.在△ABC中.AB=AC,NA=36>BD平分NABC，交AC于点D。写出图中相等的角__________________

7.如图，已知线段a和N1用直尺和圆规作等腰三角形ABC使AB二AC二a,NB=Nl（保留作图痕迹不写作法）。

第7题图

8.如图.△ABC是等边三角形点D.E在直线BC上.DB=EC。求证:ND=NE°

9.如图，在△ABC中,AB=AC,点日F在边BC上,BE=CE点D在AF的延长线上,AD=AC0若NBAE=30。,求N

ADC的度数。

A

第9题图

B提升关键能力

io定义：等腰三角形的顶角与其中一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的••特征值”。若在等腰三角

形ABC中,NA=80。,则它的特征值k为。

“.如图，在△ABC中,NDCE=4()OAE=AC.BC=BD,贝！JNACB的度数为

12.已知在^ABC中,AC<AB<BC.

⑴如图I,线段AB的垂直平分线与边BC相交于点P.连结AP。求证:NAPC=2NB。

(2)如图2.以点B为圆心,AB长为半径画弧，与边BC相交于点Q,连结AQ。若/AQC=3/B,求/B的度

数。

图1图2

第12题图

13如图,△ABC是等边三角形，点D,E分别在BC,AC边上，其中BD=CE,连结AD,BE,两者相交于点匕

⑴求证:AD二BE。

(2)求NAPE的度数。

A-

第13题图

发展核心素养

14［应用意识］观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木

条画直龟法二如图1,他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：

①木条的两端分别记为点M,N,先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位

置记为点B,连结AB；

②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C(点A,B,

C不在同一条直线上)；

③连结CB并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在CB延长线

上的落点记为D；

④用另一根足够长的木条画线，连结AD,AC,则画出的NDAC是直角。

操作体验：⑴根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法。如图2,BA=BC,请画出以点A为顶点的直角，

记作NDAC。

推理论证：答案⑵如图1,小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：

证明:*.,AB=BC=BD,

・二△ABC与△ABD是等腰三角形，

・・・NBCA=NBAC,/BDA=NBAD,（依据1）

JZBCA+ZBDA=ZBAC+ZBAD=ZDAC0

•・•/DAC+ZBCA+ZBDA=180°/依据2)

工2ZDAC=180。,ZDAC=90°o

依据I：_________您据2:o拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一

定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差。如图3,点。在直线I上，请用无刻度的直尺和圆规在图

3中作出一个以O为顶点的直角，记作NPOQ,使得直角边OP（或0Q）在直线1上（保留作图痕迹，不写作法）。

第14题图

2.3等腰三角形的性质定理

第2课时等腰三角形的性质定理2

A掌握基本知识

1.如图.在△ABC中,AC=BC.CD_LAB于点D.给出下列结论:①CD平分NACB:②CD=AB;③/A=NB;④AD=B

D。其中正确的是)

c

第1题图

A.②③B.①④

C.①③④D.②③④

2.如图.ADCE均为△ABC的角平分线。若AB=AC,NCAD=20。厕NACE的度数为（）

A.200B.35°

D.70°

3.如图，在△ABC中，点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点。若NCAE=16。,则NB的度数为（

)

A.36。B.37°

C.48°D.74°

4.如图.在等边三角形ABC中,D是边BC的中点.则NB=°,ZC=°,ZADB=。，/

BAD=

第4题图第5题图

5.如图，在等边三角形ABC中,AD_LBC,垂足为D,点E在线段AD上。若NEBC=45。厕RACE的度数为

6.如图.在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线.E为AC上一点且AE=ADe若NBAD=50。,求NCDE

的度数。

第6题图

7.如图，在△ABC中,NABC=7()o,AB=AC=8.D为BC中点点N在线段AD上.NM〃AC交AB于点M.BN=3。

求:

(l)NCAD度数。

(2)ABMN的周长。

第7题图

8.如图.在△ABC中.AB二AC,AD为2ABC的角平分线。以点A圆心,AD长为半径画弧，与AB,AC分别相

交于点E,F,连结DE,DF。

(1球证:△ADE^AADFO

(2)若/BAC=80。,求/BDE的度数。

第8题图

B提升关键能力

9.如图.已知△ABC为等边三角形,D为BC上一动点，E为△ABC外一点AD=AE,NDAE=60。,连结C

E。若AB=4.当四边形ADCE的周长取最小值时，BD的长为()

A.IB.2C.3D.4

10如图在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点BFJLAC于点F,交AD于点E。若AF=BF,BD=2,则AE=.

11如图，已知和线段a,用直尺和圆规作一个等腰三角形，使它的顶角等于Na,底边上的高线等于ao

第11题图

12如图，在△ABC中,AB=AC.BD_LAC于点D,CEJ_AB于点E,BD,CE相交于点F。求证:AF平分/BAC。

第12题图

13如图在4八13(2中,28人09()。£为边BC上的一点，且AB=AE,D为线段BE的中点，过点E作EF_LAE,

交过点A平行于BC的直线于点F。求证：

(l)ZC=ZBADe

(2)AC=EFO

第13题图

C发展核心素养

14［模型观念］如图，在等边三角形ABC中，AD,CE是^ABC的两条中线.AD=5。P是AD上的一动点，则

PB+PE的最小值为（）

第14题图

A.2.5B.5

C.7.5D.10

2.4等腰三角形的判定定理

A掌握基本知识

1.下列条件中，可以判定^ABC是等腰三角形的是（）

A.ZB=40°,ZC=80°

B.ZA:ZB:ZC=1:2:3

C.2ZA=ZB+ZC

D.三个角的度数之比是2：2：1

2.下列三角形中，不能判定为等边三角形的是（）

A.有一个内角是60。的锐角三角形

B.有一个内角是60。的等腰三角形

C.顶角和底角相等的等腰三角形

D.腰和底边相等的等腰三角形

3.已知在4ABC中.AH为边BC上的高线.再添加下列条件中的一个后，仍不能判定△ABC是等腰三角形的是

)

A.BH=HCB.ZBAH=ZCAH

C.ZB=ZHACD.SAABH=SAAHC

4.如图，在△ABC中,AB二AC,BD是NABC的平分线。若NA=36o,AD=2VI则BC的长为

5.将两个全等的各有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条长直角边在同一条直线上,则

图中等腰三角形的个数是.

第6题图

6.如图，上午8时，一条船从A处出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达B处。从A,B

处分别望向灯塔C,测得NNAC=42o,NNBC=84。厕从B处到灯塔C的距离为海里。

7.在学习三角形时，小舟和小海讨论f证明题:“如图,AB=AC,NABD=NACD。求证:BD=DC。"你觉得谁说的

对?请写出正确的证明过程。

软|我准备连结AD来证明；

，嘉|下面是我的证明过程：

证明：连结AD。

在AABD和4人。。中，

AB=AC,A

,：<Z.ABD=Z.ACD,A

AD=AD,5<!>C

：.^ABD^^ACD,

.,.BD=DC.

第7题图

8.如图，在△ABC中,AB二AC。分别根据以下条件，说明△OBC是等腰三角形。

(DBD,CE分别是两腰上的高线。

(2)BD,CE分别是两腰上的中线.

(3)BD,CE分别是两底角的平分线。

第8题图

B提升关键能力

9.如图.在△ABC中,NA=9(T,AB=AC=6,D为边BC的中点，点E,F分别在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AED

F的面积为()

A.I8B.9V2C.90.6招

1()如图在△ABC中,NB=50o,NC=90。。在射线BA上找一点D,使^ACD为等腰三角形，则NACD的度数

为。

11.有下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60。的等腰三角形；③所有外角都相等的三角形；④

一腰上的中线也是这条腰上的高线的等腰三角形。其中是等边三角形的有(填序号)。

12如图，BD是等边三角形ABC的中线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于点E,连

结DE。求证:CD=CE。

第12题图

13.如图、在△ABC中,NA=40。,点D,E分别在边AB,AC上,BD=BC二CE,连结CD,BE。

(庙NABC=80。,求NBDC,NABE的度数。

(2用出NBEC与NBDC之间的数量关系.并说明理由。

第13题图

发展核心素养

14」推理能力]如图,0为等边三角形ABC内一点NAOB=ll()o,NBOC=a。以OC为一边作等边三角形OCD,

连结AD。

⑴当a=15()。时，试判断^AOD的形状，并说明理由。

(2探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

第14题图

2.5逆命题和逆定理

A掌握基本知识

1.下列命题的逆命题是真命题的为()

A若a=b,则间=|b|

B.如果x=y,那么\[x=y[y

C.如果|x|,|y|互为相反数，那么冈-卜|=0

D若a>0,b>0,则a+b>0

2.下列命题中，其逆命题成立的是（）

①全等三角形的对应角相等；

②全等的两个三角形成轴对称；

③全等三角形的周长相等；

④能够完全重合的两个三角形全等。

A.①②B.①④

C.②④D.③④

3.下歹」aI的取值中，可以用来证明命题''若a>l,则Ma，，的逆命题是假命题的反例是（）

A.a=-2B.a=-l

C.a=lD.a=2

4.给出下列说法：

①“两直线平行，同位角相等”与、祠位角相等，两直线平行”互为逆定理；

②命题“如果两个角相等，那么它们都是直角''的逆命题为假命题；

③命题“如果・a=5,那么a=-5”的逆命题为“如果a=・5,那么・a=5"。

其中所有正确的说法是（）

A.①②B.©®

C.②③D.①@@

5.下列定理中，没有逆定理的是（）

A.成轴对称的两个图形是全等图形

B.在同一个三角形中，等角对等边

C.两直线平行，同旁内角互补

D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

6.写出命题“如果a=b那么3a=3b”的逆命题:。

7.写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题。若是假命题，请举反例说明。

⑴垂直于同一条直线的两条直线平行。

(2)有一个角是60。的三角形为等边三角形。

⑶若x=y=0,则x+y=0。

8.利用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理证明以下命题：

已知:如图,AB=AC,DB二DC,点E在AD上。求证:EB=EC。

第8题图

B提升关键能力

9.如图.点D在4ABC的边BC上.点P在射线AD上(不与点A.D重合).连结PB.PC。下列命题中，不一

定是真命题的是)

A.若AB=AC,AD_LBC,则PB=PC

B若PB=PC,ADJ_BC,则AB=AC

C.若AB=AC,N1=N2厕PB=PC

D.若PB=PC,N1=N2,贝!JAB=AC

1。命题”等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是_____________________________逆命题是_________命题

(填嗔'或假

11如图，已知在等腰三角形ABC中.AB=AC点D,E分别在边AB.AC上,且AD=AE.连结BE,CD.两者相交于点

F。

(1)判断NABE与NACD之间的数量关系,并说明理由。

(2)求证：过点A,F的直线垂直平分线段BCO

12如图，在△ABC中，边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,直线DM,EN相交于点0。

⑴试判断点0是否在BC的垂直平分线上，并说明理由。

(2)若/BAC=100。,求NM0N的度数。

第12题图

发展核心素养

13」推理能力］⑴已知命题：“P为等边三角形ABC内一点,若点P到三边的距离相等，则PA=PB=PC。”写出

它的逆命题，判断其逆命题是否成立。若成立，请给出证明。

(2)进一步证明：等边三角形ABC内一点P到各边的距离之和为定值。

2.6直角三角形

第1课时直角三角形的性质

A掌握基本知识

1.设直角三角形中一个锐角为x(0<x<90),另一个锐角为y。，则y与x的数量关系为()

A.y=l80+xB.y=180-x

C.y=90+xD.y=90-x

2一技术人员用刻度尺(单位：cm)测量某三角形部件的尺寸。如图，已知NACB=90。,点A.D.B对应的刻度分别

为1,4,7,则CD的长为（）

A.3cmB.3.5cm

3.如图，一根木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，当木棍A端沿墙下滑且B端沿地面向右滑行时，

AB的中点P到点O的距离()

A.变大B.变小

C.先变小后变大D.不变

4.如图，在RtAABC中，D是AC的中点NBDC=6()o,AC=6、则BC的长是()

A.3B.6

C.8D.9

第4题图第5题图

5.如图在RSABC中,NABC=90o.D为AC的中点。若NC=55°,则ZABD的度数为1

6.如图「人_10人「8_108,垂足分别为人和B。若D是0P的中点.连结DA.DB.则DA与DB的数量关系是

4

第6题图

7.若直角三角形斜边上的高线长与中线长分别为5和6,则它的面积为。

8.如图，在RlAABC中,/ACB=90。,将边BC沿斜边上的中线CD折叠到B'C处。若NB=50。,则CACB=_。

9.求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

已知:如图.在RtAABC中,NA=30o,NACB=90。。

求证：BC=；4B.

（1请用两种方法完成证明。

（2这个命题的逆命题是_________命题（填“真”或“假）

第9题图

提升关键能力

10如图，在△ABC中，若AB=AC=4,NBAC=I5O。,贝!]SAABC的值为（）

A.2B.3

II如图，在△ABC中,AB=AC,NBAC=l2（）o,EF为AB的垂直平分线，交AB于点E,交BC于点F。若BF=5厕

FC的长为（）

A.5B.7

C.10D.12

12如图在RtAABC中,NACB=90\D为AB的中点,DE_LAC于点Eo若NA=3()o,DE=4cm厕AB=

_cm,CD=cm。

第12题图第13题图

13如图,在△ABC中,NC=90。,AB=l(),AO8、BC=6线段DE的两个端点D,E分别在边AC,BC上滑动、且DE=4O

若M,N分别是DE,AB的中点.则MN的最小值为,

14如图在RtAABC中,NACB=90o,CD是AB边上的中线,DE_LAB于点D.交AC于点E。求证:NAED:/

DCB。

15如图.△ABC为等边三角形.BD是AC边上的高线.延长BC至点E.使CE二CD。

(1)求证:口8也£。

(2)过点D作DF_LBE,垂足为Fe若CF=3,求△ABC的周长。

发展核心素养

⑹推理能力］如图.在△ABC中,AB二AC,D,E分别是AB,BC的中点，连结AE.在AE上取点F,使得EF=AD,连结

DF并延长，交AC于点G。

⑴当NBAC=60。时.求NAGD的度数。

（2）设NBAC=a,NAGD=p，探究a,p之间的关系。

第16题图

第2课时直角三角形的判定

A掌握基本知识

1.在具备下列条件的△ABC中，不属于直角三角形的是（）

A.ZA+ZB=ZC

B.ZA-ZB=ZC

C.ZA:ZB:ZC=1:2:3

D.ZA=ZB=2ZC

2.如果三角形的一个顶点是它的三条高线的交点，那么这个三角形是（）

A.说角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

3.如图，在四边形ABCD中,AB〃DC。若/BAD的平分线与/CDA的平分线相交于点E,则△AED的形状

B.直角三角形

C.纯角三角形

D.等腰三角形

4.如图.在△ABC中.AB=AC=6,AD是角平分线,BE是中线，则DE的长为（）

A.3B.4

C.5

第4题图

5.如图，在△ABC中.CD是AB边上的高线。若NDCB=NA,则NBCA=

6.在△ABC中.若力=匚8=；口。,则此三角形是三角形。

7.如图,CE_LAD.垂足为E,ZA=ZCe求证:△ABD是直角三角形。

8.如图,AD,BF分别是△ABC的高线与角平分线、BF,AD相交于点E,Z1=Z2O求证:△ABC是直角三角形。

9.我们知道定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。请思考：上述定理的逆命题成立吗?若成立，写出

其逆命题，并证明；若不成立，试说明理由。

(1逆命题是:________________________________

(2)已知:o

求证:0

证明：

B提升关键能力

10如图在△ABC中,D是BC边上的一点,AD二AB,E,F分别是BD,AC的中点。若AC=8.则EF的长为

./^e

BEDC

第10题图

11已知:如图,BD_LAC.垂足为EqABE的中线EF的反向延长线交CD于点G,ZB=ZCO

⑴求证:EG是4CDE的高线。

⑵若EG是4CDE的中线.判断△ABE的形状，并说明理由。

第11题图

12在^ABC中,NABC=45o,ADlBC.垂足为D,BE_LAC垂足为E.直线AD交直线BE于点F,连结CF。

⑴如图1若NBAC是锐角，求证:4CDF是等腰直角三角形。

(2)如图2若NBAC是钝角则(1)中的结论是否仍成立嘴说明理由。

第12题图1第12题图2

发展核心素养

13」模型观念］如图，在△ABC中,/C=90o,NA=30o,AB=4cm。动点P.Q分别从A,B两点同时出发，各在AB,

BC边上匀速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s,vQ=1cm/s。当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动，设

点P运动的时间为t（s）o

⑴当t为何值时，△PBQ是等边三角形？

（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

第13题图

2.7探索勾股定理

第1课时勾股定理

A掌握基本知识

1.在直角三角形中，若勾为3,股为4,则弦为（）

A.5B.6

C.7D.8

2.下列图形中，不能用来证明勾股定理的是（）

ABCD

3.如图，长方形OABC的边OA长为2,边AB长为I,OA在数轴上。以原点O为圆心，对隹线OB长为半径

画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数为（）

-2-101^345

第3题图

A.x/2B.V3

C.V5D.2.5

4.图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2,其中AB=AB;

AB±BC于点C,BC=0.5尺BC=2尺。设AC的长度为x尺.所列方程为,

图1

第4题图图2

5.如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺设地毯,贝!地毯的长度至少为叫

6.如图在4ABC中.AB=AC,AD是BC边的中线。若AB=5,BC=6,则AD=,

7.如图在RtAABC+,ZACB=90°,CD是斜边AB上的高线，且AB=13,BC=12O求

(DAC的长。

(2)CD的长。

第7题图

8.如图，将等腰直角三角尺按如图所示的方式放置，直角顶点C在直线m上,分别过点A,8作AE_Lm于

点E,BD_Lm于点D。

(1球证:CE=BD.

（2）若设△AEC的三边长分别为a,b,c利用此图证明勾股定理。

第8题图

提升关键能力

9.如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图"，是由四个全等的直角三

角形拼式的。若图1中大正方形的面枳为24，小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图2,则图2中

大正方形的面积为)

A.24

图I图2

第9题困

10如图，在△ABC中.NBAC=90o,NB=30o,A04。以点A为圆心.AC长为半径作弧.交BC于点D；再分别以

点C和点D为圆心，以大于gDC长为半径作弧，两弧相交于点E作射线AE,交BC于点F,则BF的长为（）

A.5B.6C.7D.8

11如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1。记

这个图形的周长（实线部分）为1,则下列整数与1最接近的是（）

第11题图

A.I4B.13C.12D.lI

12如图，在△ABC中,AB=I5,BC=I4,AC=13.求△ABC的面积。

BC

第12题图

13如图，在6x7的网格中，每个小正方形的边长均为1,△ABC和^DFE的顶点都在格点上。求证:NABC=

ZDFE.

第13题图

14如图,z^ACB与AECD均为等腰直角三角形,/ACB=/ECD=90。点D在AB边上。若AD=5,BD=12,求D

E的长，

发展核心素养

15」创新意识］如图所示的图形是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是

由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形。设图中AF=a,DF=b，连结AE,BEO若△ADE与△B

EH的面积相等，则9+A-。

第15题图

第2课时勾股定理的逆定理

A掌握基本知识

1.下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（）

A.6,8,11B.15,9,17

C.1.5,2,2.5D.2,4,、而

2.下列条件中，不能判定^ABC是直角三角形的是（）

A.a:b:c=7:25:24

B.t?=（a+c）（a-c）

C.ZC=ZA-ZB

D.ZA:ZB:ZC=3:4:5

3.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜

五里，中斜十—里，大斜十三里，欲知为田几何〃这道题讲的是：白一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，

13里，问这块沙田的面积有多大?题中的''里”是我国市制长度单位，1里=500m,则该沙田的面积为（）

A.7.5km2B.15km2

C.75km2D750切?2

4.如图，在△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB边上的中线,则CD的长是（）

A.5B.6.5C.6D.13

5.如图，在△DEF中,DE=17,EF=30,EF边上的中线DG为8,则ADGF是________三角形。

第5题图

6.方格纸中小正方形的顶点叫格点。点A和点B是格点，位置如图所示。

（1衽图1中确定格点C,使仆ABC为直角三角形，画出一个这样的^ABC。

（2底图2中确定格点D，使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的^ABD。

（3底图2中.满足题⑵条件的格点D有几个?

图1图2

第6题图

7.如图,△ABC是等腰三角形.其中AC=AB,BC=3,D是线段AB上一点.满足BD=1.8,连结CD,CD=2.4。

(1)求证:CD_LAB。

⑵求AC的长。

第7题图

8.如图点D在4ABC内部,NBDC=90o,CD=3.BD=4,AC=12,AB=13。

(1)求BC的长。

⑵求图中阴影部分的面积。

B提升关键能力

9.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式：a=如/-〃2)力=〃〃?片

『十〃，其中m>n>0,m,n是互质的奇数。下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是()

A.3,4,5B.5,12,13

C.6,8,10D.7,24,25

10如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位，点A,B,C,D,E均在小正方形方格的顶点

上，皖AB,CD相交于点F。若NCFB=aJIP」NABE为（）

第10题图

A.I80°-aB.180。-2a

C.90°+aD,90°+2ot

H一艘轮船以16海里/时的速度离开港口0（如图），向北偏东40。方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的

速度向北偏西的某个方向航行。已知它们离开港口1.5h后相距30海里（即AB=30海里），问另一艘轮船航行的方向

是北偏西多少度?

12如图、在四边形ABCD中,AB=9cm,AD