高三数学上学期专项突破练：指对幂函数（含解析）

高三数学上学期专题突破练：指对塞函数

一.选择题（共8小题）

1.（2025春♦江阳区校级月考）已知Q=[。以？，b二（另一百，c=si几等，则c的大小关系为（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<h

2.（2025♦肇庆一模）Iog3l8-k）g32=（）

A.4B.210g32C.Iogs2D.2

3.（2025春•辽宁期末）“加=-3或机=2”是“幕函数/（%）=（m2+m-为偶函数，，的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.（202.5春•衡南县期末）函数（2丫-4）+2（〃>0且“WI）的图象所过定点的坐标为（）

A.（2,2）B.（0,2）C.（1,2）D.（2,0）

5.（2025春•镇雄县月考）已知函数,f（x）=（。+2）厂3+2]〃>（））的图象恒过定点A,且点A又在

函数g（x）=log2（«-x）的图象上，则。=（）

A.3B.5C.8D.II

6.（2025春•龙凤区校级月考）已知函数/（x）=产与函数g（K）=1+等的图象相交于A（xi,yi）,

人JL

B（X2,）2）两点，且XlV您，则下列结论中，不正确的是（）

A.y\y2=1B.x2y1

-3

y2yi3

C.卫上2>1D.x2y2<7e2

X2-X1'

7.（2025春•五华区校级月考）已知函数/（x）=log.（。>0且aWl）在（0,+-）上单调递增，

Jl/（16）=-1,贝lj。=（）

A.3B.4C.9D.16

8.（2025春•上城区校级期末）Qeepse以（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它

G

是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=其中心表示每

一轮优化时使用的学习率，口表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，Go表示

衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为06衰减速度为20,且当训练迭代轮

数为10时，学习率衰减为0.3,则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为

)

（参考数据；棺2〜03,7^3^0.477）

A.14B.15C.16D.17

二.多选题（共3小题）

（多选）9.（2025春嘀州月考）下列不等式正确的是（）

A.（V2）3>3^B.（迎/<36

C.Iog23>log45D.Ini<i

（多选）1（）.（2025春•项城市校级期末）已知函数/（x）=/中（心0,〃为）的图象恒过点4,

则下列函数图象也过点4的是（）

A.y=V1—%+2B.y=\x-2+1

C.>,=log2（2x）+1D.y=2x-1

（多选）11.（2025春•镇雄县月考）已知），与，的函数关系式为），=〃厂।（。>0且aWl）,部分图象

如图所示，则（）

B.i（〃>0且aWl）的值域为（-1,+~）

C.y=-5%+4）的单调递减区间为（-8,1）

D.当），为10,20,30时，分别对应力，/2,右,则2/2>八+扫

三.填空题（共3小题）

12.（2025春•辽宁期末）若方>1,且log3a.log3b=4,则"的最小值为.

13.（2025•昆明一模）已知/J）=9・3心点A（・1,/（・1））,B（2,/（2））,点C,。在y=f

（x）图象上，若四边形/4C。为平行四边形，则八8C。的面积为.

14.（2025春•宝山区校级月考）若关于x,y的方程组以:二系11J。有无数组解，则

1（aby=•

四.解答题（共5小题）

15.（2026春•山东校级期末）（1）43—产）2+8:十（券）-：-0.52+（V3-l）°；

（2）（log43+logQ3）（log32+log92）+log沏-2Mq2s.

16.（2025春•郑州校级期末）已知事函数/（k）=（3m22〃力/的定义域不为A.

（1）求/（x）的解析式；

（2）若不等式/（a+1）+f（2a-3）V0恒成立，求a的取值范围.

17.（2025春•陆良县期末）己知得函数/（x）=（〃尸-2〃任1）/「在（0,+8）上单调递增.

（1）求〃?的值；

（2）若函数g（x）=/（%）+盒，判断g（X）在［2,+8）上的单调性并用定义法证明你的结论.

18.（2025春•临泉县期末）实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是

社会文明水平的一个重要体现.处理生活垃圾的主要方式有填埋方式和环保方式.去年某地产生

的生活垃圾为10（）万吨，其中80万吨垃圾以填埋的方式义理，20万吨垃圾以环保的方式处理，预

计每年生活垃圾的总量依次递增10%,同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加10万吨.已知

用填埋的方式处理生活垃圾的成本为100元/吨，用环保的方式处理生活垃圾的成本为500元/吨.

（1）为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起该地通过填埋方式处理的垃圾总量关于年数〃

的表达式；

（2）求从今年起，该地6年内处理生活垃圾的预算总和.（参考数据：1/6比1.77）

19.（2025春•青山湖区校级期末）已知寡函数/•（%）=（口2+0一1）”4伽£/?）满足/'（3）</（5）.

（I）求函数的解析式；

（2）若函数g（x）=［f（x）产+〃/j）,八64,16］,且g（x）的最小值为0,求实数〃?的值；

（3）若函数〃a）=〃-/（卢3）,是否存在实数a,b（“〈〃），使函数〃（x）在［a,切上的值域

为［“，勿？若存在，求出实数〃的取值范围，若不存在，请说明理由.

A.(2,2)B.(0,2)C.<1,2)D.(2,0)

【解答】解：函数y=k)ga(2x-3)+2中，令2r-3=l,得x=2,

此时y=0+2=2,所以定点坐标为(2,2).

故选：A.

5.(2025春•镇雄县月考)已知函数/(x)=(。+2)尸3+2(^>0)的图象恒过定点A,且点A又在

函数g(x)=log2(a-x)的图象上，则”=()

A.3B.5C.8D.11

【解答】解：因为函数/G)=(。+2)13+2(«>0)的图象恒过定点A,

令x-3=0,得x=3,所以y=/(3)=1+2=3,即A=(3,3),

又因为点A在g(x)=log2(«-A)的图象上，

所以3=log2(a-3),UPa-3=8,解得a=ll.

故选：D.

6.(2025春•龙凤区校级月考)已知函数/(x)="与函数g。)=1+74T的图象相交于A(xi,yi),

人JL

B(X2,”)两点，且XIVR,则下列结论中，不正确的是()

l

-

B.e

Ac.D.3

3-

>1-e2

2

【解答】解：由题意蜻=i+W■有两个不等的实数根，靖=雪，

X—LX—1X—1

令h(X)=x-则h(-x)=-x-=-h(x)，

丫241

即/?(X)为奇函数：当时3>1,/i\x)=j2T7>0,九(%)为增函数；而/?(XI)=h(X2)=0,

利用对称性可得XI+X2=0.

X1X2X1+X2

对于A：yxy2=ee=e=1,选项A正确;

对于4：代入％2=-%「yi=eX1,得％2丫1=令〃=-xi>(),则％2、1=〃。一"，

函数A(M)=ueM,k'(〃)=eu-uel,=zel,(1-M),

当〃VI时，/(〃)为正，”>1时，/(〃)为负,

在〃n时”⑷取最大值£1故叱"q1故选项B正确;

eX2-eX1"1+%2

对于C：先证明指数均值不等式-------->eF".证明如下：

%2-％1

短2-〃141+犯

要证明:--------,不等式两边同除以。必，

“2一31

e^2-^l-l£1±£2_〃2一%1一1%2-*1

只需证:--------->e2灯，即证：---------->e2,令1=>0得,

到一%1制一%1

02J1

即证----->er<=e2r-2t-er-1>0,

2t

令/?（，）=>'--1,求导得〃'（r）=2e2t-2/*^-2el=2elCe1-t-1）,

设（p（/）=e'-，-1,则<p1（/）=el-1,

当r<0时，（pz（r）<0,函数（p（/）在（・8,o）上单调递减，

当，>0时，“（力>0,函数<p（r）在（0,+8）上单调递增，

所以d-f-12“（0）=0,

所以向2l+1,故力'（/）20对，>0恒成立，所以/?（r）在（0,+8）上单调递增，

又h（0）=0,所以〃⑺=e1,-2re,-1>0,故原指数均值不等式得证.

由指数均值不等式-------->e2=1,可得枕_茎1>1,故选项。正确；

乃2一乃1X2-Xi

对于D：由e*2=14得0+2H0=x2-14--0+3>2V2+3,故选项D

错误.

故选：D.

7.（2025春•五华区校级月考）己知函数/（x）=log“t（a>0且〃中1）在（0,+8）上单调递增，

且/（16）=患一1，贝Ua=（）

A.3B.4C.9D.16

【解答】解:因为函数/（/）=log«x在（0,+8）上单调递增，所以。>1,

又因为"16）=得j-1,

所以1o%16=高/-1=21og<4,

1

解得1oga4=2或log,/4=-I,

所以。=16或（舍）.

故选：D.

8.（2025春♦上城区校级期末）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它

G

是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L°D而，其中L表示每

一轮优化时使用的学习率，〃）表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G）表示

衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为06衰减速度为20,且当训练迭代轮

数为10时，学习率衰减为0.3,则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为

（）

（参考数据：欣230.3,收3=0.477）

A.14B.15C.16D.17

101

【解答】解：由题意知，0.3=0.6X020,解得0=4,

所以令I=0.6x(1)20<0.2,得(捌<1,

G12g30.477

n即n—>loqi-=----«=0.795,

20V32lg22x0.3

所以00.795X20=15.9,

所以迭代轮数至少为16.

故选：C.

二.多选题（共3小题）

（多选）9.（2025春•衢州月考）下列不等式正确的是（）

A.(V2)3>3^B.(或/<3及

31

C.Iog23>iog45D.In5V5

【解答]解：由(迎)3>3&>0,f#[(V2)3]2>(3^)2>0,BP23>32'^>32>0,即8>9不成立,

选项A错误，8正确：

rhlog23=log49>log45,选项。正确;

由三<y/e,得bi-<lne2=!n«=选项Q正确.

故选：BCD.

（多选）10.（2025春•项城市校级期末）已知函数/（公（a>0,.K1）的图象恒过点4,

则下列函数图象也过点A的是（）

A.产71一%+2B.y=\x-2+\

C.y=log2⑵）+1D.y=2x-1

【解答】解:函数/（幻="」+1（〃>（）,的图象晅过点A（1,2）,

当x=l时，y=2,故选项人正确；

当x-l时，y-|l-2|+1-2,故选项B正确；

当x=l时，y=log2（2X1）+1=2,故选项C正确：

当x=l时，y=2X2-1=3,故选项。错误.

故选：ABC.

（多选）11.（2025春•镇雄县月考）已知），与/的函数关系式为），="一1（。>0且。声1）,部分图象

如图所示，则（）

A.当，=0时，y=1

B.（a>0且aWl）的值域为（・1,+°°）

C.y=ZogJ/-5%+4）的单调递减区间为（-8,1）

D.当），为10,20,30时，分别对应小/2,门，则2/2>八+/3

【解答】解：对于4,函数/（x）="7的图象过点（2,2）,则2=廿1解得4=2,

所以y=2厂I当/=（）时，v=选项A正确；

对于4,因为产2门=k2：,指数函数产2,的值域为（0,+8）,

所以函数），=2厂।的值域为（0,+8）,选项4错误；

对于C,由题意知，>,=logfl（x2-5A,+4）=log2（x2-5x+4）,

令/=7-5x+4,贝lj/-5x+4>0,解得xVl或x>4,

由t=x1-5,r+4=（x-1）2一5在（-8,1）上单调递减，在（4,+8）上单调递增，

且y-log2Z在定义域上单调递增，所以y-log“（/-5x+4）的单调递减区间为（-1）,选项

C正确；

对于。，依题意，令2。】-1=10,可得力=log210+l,同理/2=log220+l,H=log230+1,

由"+/3=log2300+2,得2/2=2Iog220+2=log2400+2>n+t3=log2300+2,即2r2>A+3选项。正确.

故选：ACO.

三.填空题（共3小题）

12.（2025春•辽宁期末）若a>l,b>\,且log3a・log3〃=4,则（必的最小值为81.

【解答】解:a>\,b>l,.*.log3^>0»log3b>0,且log3a・log3b=4,

+log3b>2Jlo§3。•log3b=2"=4,

当且仅当log3a=log3Z?B|Ja=b时等号成立，

a4

又log3a+log3Z?=log3。。，Alog3b>4=log33,

・・・曲234=81,则必的最小值为81.

故答案为：81.

13.(2025♦昆明一模)已知/U)=?-3x,点A(-1,/(-1)),B(2,/(2)),点C,。在)，=/

(x)图象上，若四边形A8CD为平行四边形，则A3CD的面积为12.

【解答】解：函数/(X)=/-33的定义域为R,

因为/(-x)=(-x)3-3(-x)=-9+3尸-f(A),

所以/(x)为奇函数，图象关于原点。成对称中心，

又因为平行四边形A8C。是中心对称图形，且点A,4,C,。都在函数/(x)的图象上,

所以平行四边形人BC。的充称中心为原点0,

因为A(-1,2),B(2,2),

所以&=(-1,2),而=(2,2),\0A\=V5,\OB\=2yf2,

.OAOB21

cos/-zAOnDB=————=

底2&-7TF

\0A\\0B\

所以sinNA04=Vl—COS2LAOB=>F(卷¥=.，

所以Sg)A8CD=45MOB=4x2XV5x2^2x-7==12.

故答案为：12.

)

14.(2025春・宝山区校级月考)若关于为)，的方程组爆了茅)\=]0有无数组解,则疝彳=_2

【解答】解：因为以」[Ho有无数组解，

则直线重合，所以。=-2,8=1,

则J(ab)2=7(-2xiy=2.

故答案为：2.

四.解答题(共5小题)

15.(2026春•山东校级期末)⑴«3—兀)2+8：+(勘一」-0.52+(V3-l)°；

(2)(，。,%3+logQ3)(log32+，。&2)+log距-21092s.

【解答】解：(I)J(3—兀)2—83+(捺)3—0,524-(V3-1)°=(zr—3)+2+^—^4-l=7r4-2>

(2)原式=[(^+》，。。23]x[(1+^)log32]4-^—5=-3.

16.(2025春•郑州校级期末)已知《函数/(4)=(3—・2m)产的定义域不为R.

(1)求/(x)的解析式：

(2)若不等式/(4+1)+f(2a-3)VO恒成立，求。的取值范围.

【解答】解：(1)由恭函数的定义可得3加2・2〃?=1,解得利=1或机

若机=1,则/(工)=x的定义域为R,不符合题意，

电的定义域为（・8,0）U（0,+8）,符合题意,

1

所以/（X）的解析式为了（X）=荻

11，

（2）由（1）得，/（x）的定义域（・8,o）U（0,+8）关于原点对称，且/（・X）=后=一露=一，

所以/a）为奇函数，

由（2a-3）<0,可得/'（a+1）<-/（2«-3）=/（3-2«）,

因为/（x）在（-8,0）上递减且恒负，在（0,+8）上递减且恒正，

a+1>0（c+1<0

，或［a+1<0

3-2a>03-2aV0或

3-2。>0’

1a+l>3-2aU+l>3-2a

解得a<-I，或§<a<^

所以4的取值范围为｛a［a<-1或三<a<^］.

17.（2025春•陆良县期末）已知哥函数/（x）=（渥-2〃2+1）/7在（0,+8）上单调递增.

（1）求〃？的值；

（2）若函数g（x）=/a）+7^，判断g（x）在［2,+8）上的单调性并用定义法证明你的结论.

J\A）

【解答】解：（1）因为暴函数/a）=（川-2〃?+i）/…在（0,+oo）上单调递增，

所以it?-2m+1—1,且m-1>0,

所以m=2；

（2）由（1）可知f（x）=%，则gQ）=x+±故g（x）在［2,+8）上单调递增;

人

证明如下：

任取XI,X2G[2,+8),且

则g(%l)-g(%2)=%+尚一(%2+尚)=

因为XlV%2,所以XLX2<0,

因为xi,X2E[2,+8),所以;nxi>4,所以XLV2-4>0,

灯八](41-%2)(%1%2-4)

所以----------------<0,即g(XI)-g(X2)<0,

X1X2

所以g（XI）<£（X2）,即g（x）在［2,+8）上单调递增.

18.（2025春•临泉县期末）实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是

社会文明水平的一个重要体现.处埋生活垃圾的主耍方式有填埋方式和环保方式.去年某地产生

的生活垃圾为100万吨，其中80万吨垃圾以填埋的方式处理，20万吨垃圾以环保的方式处理，预

计每年生活垃圾的总量依次递增10%,同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加10万吨.已知

用填埋的方式处理生活垃圾的成本为100元/吨，用环保的方式处理生活垃圾的成本为500元/吨.

(1)为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起该地通过填埋方式处理的垃圾总量关于年数〃

的表达式；

(2)求从今年起，该地6年内处理生活垃圾的预算总和.(参考数据：1.16比1.77)

【解答】解：(I)由题意知，从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成公比为1.1的等比

数列｛〃〃｝,

今年起每年用环保的方式处理的垃圾总量(单位：万吨)构成公差为10的等差数列｛加］,

今年起每年用填埋的方式处理的垃圾总量(单位：万吨)构成数列｛c“，满足cn=a“-加.

则。〃=100义(1+0.1)"=<00X1.1",加=20+10〃，cn=z-m=100X1.1〃-20-10〃.

(2)设6年内处理生活垃圾的预算之和为W,数列｛为｝的前〃项和为S”，

数列｛c"的前〃项和为6，

四=1-S6=1100X(1.16-1)-33O^1IOOX(1.77-1)=517,

1-1.1

所以W33OX5OOX104+517X100X104=2.167X10