吉林省、黑龙江省六校联考2024-2025学年高一年级下册7月期末考试 数学试题（含解析）

吉林省、黑龙江省六校联考2024-2025学年高一下学期7月期末考试

数学试题

一、单选题

1.若A,4为互斥事件，则

A.P(A)+P(B)<\B.P(A)+P(B)<[

C.尸(⑷十尸(6)=1D.尸(力)十尸(6)>1

2.已知锐角三角形边长分别为4,3,x,则x的取值范围是()

A.(1,V7)B.(L5)C.(疗/)D.(>/7,5)

3.如图，在直角梯形44。。中，AB±AD,AB//CD、AB=3,CD=l,AD=>Ji,则直角梯形的直观图

的面积为()

A.8B.2&C.1D.V2

4.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在下图两种分布形

态中，4,〃,c,d分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是()

A.1为中位数，力为平均数，。为平均数，d为中位数

B.。为平均数，〃为中位数，。为平均数，d为中位数

C.。为中位数，/)为平均数，。为中位数，d为平均数

D.。为平均数，b为中位数，。为中位数，d为平均数

5.空间中有两个不同的平面。，力和两条不同的直线孙〃，则下列说法错误的是()

A.若a_L£,〃？_La,〃_L〃，则〃

B.若a工人ac0=n，由A.n,则_L

C.若aH仇m工0，则阳_L〃

D.若〃_La,〃_L夕,〃?1a,则，〃1p

6.2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40,40,20,18,16,15,14,13,则这组数据的上

四分位数为（）

A.40B.30C.15D.14.5

7.类比思想是学习数学的一种重要的思想方法，是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象

的性质迁移到另一类数学对象上去的一种思维方法.在平面几何中，有如下命题“正三角形48c的高为〃。

是VjBC内任意一点,O到三边的距离分别为4,W，4,则为定值，，.证明如F：设正三角形片8。

r

边长为明高表。到三边的距离分别4也,4,则：S.AOB+S.BOC+S.8尸S.A耽,即:

Ladi+Lad2+Ladi=yaht化简得，4+4+出=〃，...4jq±4.=i（定值）.类比此命题及证明方法，

在立体几何中可解决以下问题，正四面体P-/8C中，AB=6,若点M是正四面体尸内任意一点，

点”到平面平面F/13,平面〃8C,平面zlPC的距离分别为4，4,出，同，则4|外|出|4=<）

A.272B.2GC.2加D.276

8.某班准备从全班50人中选一人参加学校活动，投票结果甲乙丙三人票数并列第一，现决定抽签的方式

在甲乙丙中确定最终人选，抽签规则如下，班主任掷骰子确定三人抽签顺序，抛掷一枚均匀的骰子，每个

点数对应一种抽签顺序，然后甲乙丙按照相应顺序依次从装有大小形状完全相同的两白一红三个小球的盒

子里不放回的各自取一球，取到红球即胜出，则甲胜出的概率为（）

A.—■B.——C.D.—

35015018

二、多选题

9.设复数z=^+且"其中i是虚数单位，』是z的共辆复数，下列判断中正确的是（）

22

A.zz=\B.4z>z4-iC.z2=1D.|z|'=1

10.以下叙述不正确的是（）

A.若事件48,C两两独立，则P（4BC）=P（/）P（B）P（C）

B.若P（/8C）=P（/）P（B）P（C）,则事件48c两两独立

C.若尸（4+8+C）=P（4）+P（8）+P（C）,则事件4民。两两互斥

D.若事件48,。两两互斥，则.（>+5+C）=尸（4）+尸（8）+.（C）

II.已知平面直角坐标系中三个点，4（T6）1（0,则下列说法正确的是（）

A.若四边形力比'。为平行四边形，则。点坐标为(4,0)

B.以A为圆心，作一个半径为1的圆，点尸为该圆上的任意一点，次=2焉+〃万，若2+〃为正值,

则2+〃的最小值为4

C.若荏与刀+/〃工的夹角为锐角，则实数，〃的取值范围为(T,e)

D.与力48c的角平分线所在直线平行的一个向量的坐标为(G-1,6+1)

三、填空题

12.如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边名G上有10个不同的点，

片记…/。，记网=瓯•而(i=L2,3,…,10),若网+吗+…+阳=540,则等边三角形的边长为,

13.甲乙两人玩猜数字游戏，先由中心中想一个数字，记为。，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字

记为人其中。力€{1,2,3,4,5,6},若|”人归1,就称甲乙“心有灵犀现任意找两人玩这个游戏，则他们“心

有灵犀”的概率为.

14.如图，在直角梯形力4c。中，AB〃CD,AB工BC,AB=2CD=2,4D=6,以6C边所在的直线为轴，

其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行

一周回到点A,则蚂蚁爬行的最短路程为.

15.为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为400的样本，测量它

们的尺寸(单位：mm),并将数据分为[92,94),[94,96),[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106]七组,

其频率分布直方图如图所示.

⑴若V/8C的面积为86，且8为锐角，求4C的长度.

(2)试问2cos8-cos。是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由，

(3)求四边形力8c。面积的最大值.

18.如图，在四棱锥〃-48c。中，平面力8CO,底面/8CO为梯形，BC//AD,平面平面

(1)若平面04c与平面相交于直线/,求证：BC//1；

(2)求/与力C所成的角；

(3)求二面角C-尸。-力的余弦值.

19.法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离

之和最小的点.托里拆利确定费马点的方法如下：

①当V/l8c三个内角均小于120"时，满足NAOB=4B0C=ZCOA=120°的点。为费马点；

②当V/i8c有一个内角大于或等于120：时，最大内角的顶点为费马点.

请用以上知识解决下面的问题：

已知V力4c的内角A、B、。所对的边分别为。、b、c,点M为Y4BC的费马点,。=1且

sinB=sinC=cos5sinJ

(1)求角C;

⑵求砺•砺+丽•沅+砺而；

(3)已知在V/13C中，若点，为V49C平面上任意一点，求府-两+|9-园+廊-祠的最小值.

题号12345678910

答案BDCABBDAAEAB

题号11

答案BI)

1.B

【详解】因为A,B互斥，但A,B不定对立，所以P(/)iP(0G

2.D

根据已知，利用三角形三边关系及余弦边角关系列不等式求边长的范围.

【详解】由三角形三边关系有l<x<7,又三角形为锐角三角形，

若x<4,则/+9>16,可得x>",即不<x<4,

若壮4,则好+舒〉,/,可得》<5,即4Vx<5,

综上，y/l<X<5.

故选：D

3.C

根据己知求原图的面积，再由斜二测画法中原图与直观图面积关系求结果.

【洋解】由题设S.m=gx/Ox(CQ+48)=2^,

由SA，B6=^SABCD=乎、2&=1.

故选：C

4.A

在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数是每组频率的中间值乘频数再柞加之和，由

此能求出结果.

【详解】解：在频率分布直方图中，

中位数两侧小矩形的面积相等，

平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和，

结合两个频率分布直方图得：

。为中位数，%为平均数，。为平均数，d为中位数.

故选；A.

5.B

根据各项线线、线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质判断各项的正误.

【详解】A：由a_LP，〃?_La,则〃或mu/?,又〃_L夕，贝!〃?_L〃，对；

B：由=，则〃?,仅平行或相交(不一定垂直)，错；

C：由a//,〃！％则ml/,又〃//,则必有/«_!_〃,对；

D：由〃_La,〃?_La,则〃?〃〃，又〃_1_尸，Ijlijm1fl,对.

故选：B

6.B

运用百分位数的求法求这组数据的.上四分位数即可.

【详解】由题设，数据从小到大为13,14,15,16,18,20,40,40,且8x75%=6,

所以数据的上四分位数为失”=30.

故选：B

7.D

根据题设，应用等体积法有/T8C=嗫Y8C+嗫如8+匕f8c+%YPC，结合棱锥的体积公式列方程，即可

得.

【详解】

如图，正四面体P-48C的棱长为6,设点，为点尸在底面48C上的射影，

连接C”并延长交48于点£,连接尸£,则在1=比=且、6=36，EH=WcE=&

23

故正四面体的高为尸H=JPE2一52="3一=2而，且各侧面的面积为S=gx6x3豆=96,

由^P-ABC=^M-ABC+^M-PAB+^M-PBC+^M-APC»可得,'9月X2娓=—X9yHX(4+%+4+4),

JJ

解得4+4+4+〃4=2#.

故选:D

8.A

根据已知分析得到不同抽签顺序下甲胜Hl的概率，法■：应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率：

法二：利用二项分布以6,工)，利用二项分布期望求法求甲胜出的概率均值，即可得.

IO

【详解】由题意，抽签顺序有6种可能，分别为｛甲乙丙｝、｛甲丙乙｝、｛乙甲丙｝、｛乙丙甲｝、｛丙甲乙

｝、｛丙乙甲｝，各情况出现概率为:，

对于｛甲乙丙｝、｛甲丙乙｝两种情况，此时甲胜出的概率为g,

211

对干｛乙甲丙｝、｛丙甲乙｝两种情况，此时甲胜出的概率为三乂彳=可，

D乙D

对于｛乙丙甲｝、｛丙乙甲｝两种情况，此时甲胜出的概率为:x：xl=；,

法一：甲胜出的概率为，xL+，x1+，x，+Lx，+，x，+，x』二J：

6363636363633

法二：无论哪种情况甲胜出的概率为白，故甲胜出服从8(6,±),则甲胜出的概率均值为6x《=；

1o1oIX3

故选：A

9.AD

由共扼复数的定义及复数的性质及乘法运算判断各项的正误即可.

【详解】由题设彳=；一等"则［=g+¥i)(；-等i)=l,A对；

由4z=2+2&i,z+地i=』+2"i,而复数不能比较大小，B错；

22

由/=(_!_+正产=」+且"C错；

2222

由忖2=j+*“2=i,口对.

故选：AD

10.AB

利用前提举反例，结合独立事件的判定判断A、B；由概率的性质及事件的运算、互斥事件定义判断C、D.

【详解】A：若事件48,。两两独立，则尸(/独=尸(冷尸⑻,P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),

抛两次硬币，上第一次正面，8:第二次正面，C:两次结果相同，

所以P(4=P(8)=P(C)=：,PG4B)=PQC)=P(BC)=!，显然满足前提，

24

ffuP(JBC)=l,此时P(4)P(8)P(C)=",不满足P(4纥)=P(,4)P")P(C),即A错；

B：对于样本空间{123,4,5,6,7,8},若4={1,2,3,4},8={1,3,4,5},C={1,6,7,8},则48c={1},

所以P(4)=P(8)=P(C)=1且P(4BC)=；,此时满足P(川?C)=P(/1)P(8)P(C),

2o

但,4C={1},即P(/C)=4,显然P(/C)/PQ)P(C),显然4c不相互独立，即B错；

O

C：若P(N+8+C)=P(4)+P(/?)+P(C),而

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AC)-P(AB)-P(BC)+P(ABC)t

所以P(ABC)=P(AC)+P(A8)+P(BC),

必有P(ABC)=P(AC)=P(4B)=P(BC)=0,即事件4民C两两互斥时成立，即C对；

D：若事件48,。两两互斥，必有尸(4+8+。)=尸(4)+P(8)+P(C),即D对.

故选：AB

II.BD

A应用向量相等的坐标表示求得0(2,26)即可判断；B令井(cosJ-Lsin夕+6),则/=(cos,$in。)，且

4+〃cos9=4

04。＜2兀，根据已知得〈厂，八，进而有

-j3/i+〃sing=0

2^3tan2—

4(百+sin。)由zl+〃＞0得或学＜曰＜兀，即可判断:

=4x(1+--------------------------

sinO+VJcosOV3+2tan--V3tan2-2362

22

C根据已知得)耳•()》+〃［沅)=4(1+/〃)＞0且1+4〃7Hl即可判断；D根据已知求得反5,后6对应的单位向量

分别为(一界，停，；，进而得到与48C的角平分线所在直线平行的一个向量为与士与即可

\/\/7

判断.

【详解】A：由题设方^=了3=(1,一6)，设Q(XJ)，贝IJ(3-x,6-y)=(l,—JJ),

所以x=2,y=2百，故。(2,2百)，错；

B：由题设，P(cos^-l,sin^+73)»则方=(cos。,sin8),且04。＜2兀，

______%+〃cos0=4

乂4C=/M8+〃4尸，所以(4.0)=〃1,—6)+〃(cose,sin。)，贝〃r八

-V3A+//sin^=0

〃_2百

所以4-i”耳sin。，即"好+72冬则”嬴吗

=人=-^sinO=2sin。

而V3sin(0+§，则

2(JJ+sin。)4(V3+sin9)4(V3cos2—+V3sin2—+2sin—cos—)V3+2tan-+V3tan2-

A+//--------7=--------------2222_4x________2_________2

sine+>/3cos。r-aLf)

sin(^+y)2sin-cos-+石cos2--V3sin2-V3+2tan——V3tan"—

222222

25*

=4x(1+),

,^3+2tan——y/3tan'—

22

由几十〃>0,只需sine+6cose=2sinQ+三)>0,即sin(0+工)>0,

33

又;<夕+々<与，则或2兀<夕+]<弓，可得或曰<夕<2兀，

所以0工4<1•或~7~<g<兀，若tan4=0,则义+〃=4,

23622

令工=tan号工0,则x=tan?e(一走,0)U(0,6),故Le(-00,-石)U(巫,+8),

223X3

2瓜222

22>0,即2+〃>4,

所以VV3+2x-V3xJ_+_?__]（1+_L）

X，瓜（Xb）3

综上，义+〃的最小值为4,对；

C：由题设荏=（1,一百），衣=（4,0）,则方+加衣=（1+4%一方），

所以7瓦(74+〃?/IC)=1+4〃?+3=4(1+〃?)，~AB与+的夹角为锐角，

所以4（1+小）＞0且1+4加工1,可得，〃＞一1且加工0,错;

»对应的单位向量分别为-;，络—―

D：由题设限沅=（3,右）

乙乙2'2'

所以与N43C的角平分线所在直线平行的•个向量为

显然向展（石-1,6+1共线，对.

故选：BD

12.3

建立平面直角坐标系，求出直线4G的方程，将月(七,乃)代入直线的方程，并用向量的坐标表示出

成=福-丽(，=123/-,10),和上式联立，即可得出叫，最后求出等边三角形的边长.

【详解】设等边三角形边长为4,以A为坐标原点，4G所在直线为X轴建立平面直角坐标系,

则8,(即，,M=(—,，54(—,，G(4〃,0),

'222

0—叵

直线84cl的斜率为：----^―=-73，方程为：y=-\f3(x-4a)-

4a--

2

设月(七,乃)，因为［(孙乂)在44c上，所以X=-6区-4a),

且力”=(七,必)，依题意，

成=丽・亚=(言,孚)-(4乂)=£玉+学乂=£%+学［一、万(七一4叫=6/(/=1,2,3,110)，所以

供+恤+…+町o=6/xl0=540,解得。=3(负的舍去)，即等边三角形的边长为3.

►

x

故答案为：3.

3?

根据已知确定所有可能情况，再列举出|。-耳41的对应情况，应用古典概型的概率求法求概率.

【详解】由题设，所有可能的有序数对S*)共有6x6=36个，

而卜-/)归1的情况有

(1,1),(1,2),(2』),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共有16个,

所以任意找两人玩这个游戏，他们“心有灵犀”的概率为916=:4；.

369

4

故答案为:9

14.12

根据已知几何体是母线长为6,上下底面半径分别为1,2的圆台，其侧面展开图为圆环的一部分，将其补为

圆铢并将侧面展开，即可求蚂蚁爬行的最短路程.

【详解】由题意，几何体是母线长为6,上下底面半径分别为1,2的圆台，其侧面展开图为圆环的一部分,

所以，可将几何体补为母线长为12,底面半径为2的圆锥，再将其侧面展开如下图示，

A'

所以圆环的一部分4QQW,即为圆台的侧面展开图，而4OH=衰=:，

所以为等边三角形，故蚂蚁爬行的最短路程为线段加=12.

故答案为：12

15.（l）x=0.12；

（292件：

（3）均值、方差分别为94、

6

（1）利用频率和为1列方程求参数值：

（2）根据直方图估计400件样本中尺寸在［98』00）内的样本数即可；

（3）利用分层抽样中各层样本与总体均值、方差间的关系求总为的均值和方差.

【详解】（1）由图知（0.02+0.04+x+0.09+0.1+0.07+0.06）x2=l,可得x=0.12；

（2）由图知400件样本中尺寸在［98,100）内的样本数为400x0.09x2=72件；

（3）由分层抽样的等比例性质，第一、二组抽取数据分别为4、8个，

所以抽出数据的均值为4x93*+8x945=94,

抽出数据的方差为分的1+（93-94）［+8x［2+（94.5-94）［｝=*

16.（1）证明见解析

（2）①证明见解析；@8

（1）由勾股定理得由面面垂直的性质定理可得8CJLCO,再由线面垂直的判定定理即可证明;

（2）①利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理可得CD//E/7,再由即可证明；②根据

线面垂直判定定理可得481平面将多面体分成2个四棱锥，再根据锥体的体积公式求解即可.

【详解】（1）证明：因为AB=&AC=6BC，

所以/82=力？+8。2,所以/C_LBC.

因为平面ACD_L平面ABC,且平面4COD平面ABC=AC,BCu平面ABC,

所以5C_L平面力CO.

因为COu平面48,所以8cle'Q.

因为CO_L48,

/Bu平面48C,8Cu平面/8C,且｛BcBC=B,

所以CO_L平面48C.

(2)①证明：因为4E=8E,且尸为线段48的中点，所以EFJ.力反

因为平面力8C_L平面48E,且平面/BCD平面月EFu平面48石,

所以EF_L平面/18C.

所以Eb_LC/，

由(1)可知COJ_平面力8C,则CD//EF,CDLCF,

因为?1E=Ji5,AF=^AB=2,且EFA.4B,所以七尸=一AF?=3・

因为。。=3,所以四边形COE尸是矩形.

②解：因为AC=8。，且尸为线段44的中点，所以C48,

由①知上/_L/I8,

因为E/u平面COE/Lbu平面CZ)£7"且所口仃二尸，

所以力〃平面CQE/7,

由①知£"=3,

因为4C=2五，AF=^AB=2,所以C〃=J/C?-月尸=2.

则四棱锥力—COE"的体积匕="x2x3x2=4.

故多面体ABCDE的体积/=2匕=8.

17.(1)6：

(2)是，2cosB-cosO=l：

⑶24日

(1)利用三角形面积公式列方程得sinA=4i,再由平方关系及余弦定理求边长即可；

3

(2)应用余弦定理得cos£)=’2彳。，=——任进而计算2cos8-cos。，即可得结论；

48cos96

(3)由题设可得四边形面积S=12(sinD+2sin8),令〃i=sinO+2sin4>0,结合(2)结论并应用平方关

系、和角余弦公式得〃?2+1=5-48s(8+。)，根据余弦函数性质求阳最大值，即可得.

【详解】(1)由题设148-8Csin8=8石，又80=8,48=6,可得sin8=@,

23

2_______________________________

又8为锐角，则cos8=§,^LAC=yJAB2+BC2-2AB-BCcosB=>/36+64-64=6：

小的n八AD2+CD2-AC20AB、BC?-AC?

(2)由题设cosQ=----------------------,cos5=----------------------

2ADCD2ABBC

6100-^C2

又BC=2CD=8、AB=AD=6,贝(cos。三:、一一，cos13--------------

4896

所以2cos8_cosQ=2J00''C_52一,4C一二］,为定值;

9648

由

(3)S=SA/I,LcLn/+Sa/i,O„Lr=-2AD2CDsinD+—ABBCs'\nB=I2(sin£>+2sinB),

令阳=sinQ+2sin6〉0,则〃/=sin2Z)+4sin28+4sin8sinO，

X2cos-cos£)=1,贝ij1=cos?Z)+4COS28—4cos8COS。»

所以〃/+i=5—4cos(6+£>),

当cos(8+Q)=-l,即8+。=兀时，最大〃J+i=9,此时“a=2/，

所以四边形ABCD面积的最大值S=12x2>/2=24&•

18.(1)证明见解析

(喘

(3)y

(1)证明出BCH平面PAD,再利用线面平行的性质可证得结论成立；

(2)证明出8C_L/18,可得出V4AC的形状，由异面直线所成角的定义可知/与4C所成的角为N/CB或

其补角，即可得解;

(3)取力£>的中点0,连接C。，过O作0E上PD于E,连接底，根据线面垂直的判定和性质定理及二面

角的定义有N0EC是二面角C-尸D-4的平面角，进而求其余弦值.

【详解】（1）因为BC//4。，BCu平面P4）,4）u平面口。，所以AC〃平面产力

因为BCu平面「8C,平面尸8CD平面P力。=/,故〃/8C.

（2）过点A在平面产内作力〃_1尸4,垂足为点〃，如下图所示：

因为平面产力8"L平面P8C,平面218c平面AHu平面P力B,

AH1.PB,故平面P8C,

因为8Cu平面28C,所以4〃_L8C,

因为平面力8C。，4Cu平面48CQ,所以4。_1_尸力，

因为月4n/〃=4,PA、