第3章 圆的基本性质（高效培优单元测试·提升卷）（教师版）

第3章圆的基本性质（高效培优单元测试·提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．如图，是的直径，点在上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查圆周角定理，根据直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，进行求解即可．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∵，∴；故选B．2．下列说法中，正确的是（）A．两个半圆是等弧B．三个点确定一个圆C．相等的弦所对的弧相等D．的圆周角所对的弦是直径【答案】D【分析】本题主要考查了圆的相关定义，根据等弧，确定圆的条件，圆周角定理等逐项判断即可.【详解】解：因为半径不相等的半圆不是等弧，所以A不正确；因为在同一条直线上的三点不能确定一个圆，所以B不正确；因为不在同一个圆中的相等的弦所对的弧不相等，所以C不正确；因为的圆周角所对的弦是直径，所以D正确.故选：D.3．如图，为的直径，，为上的点，．若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系．连接，，由圆周角定理得出，结合求出的度数，再利用等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：连接，，如图：∵，∴，∵，∴，∵，∴，故选：B．4．的半径，点C到圆心的距离为，则点C与的位置关系是（

）A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．无法确定【答案】C【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，当时，点P在圆外；当时，点P在圆上；当时，点C在圆内．根据点与圆的位置关系，即可进行解答．【详解】解：∵，∴点C在外，故选：C5．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，旋转角为θ（），点C的对应点E落在边上时，则旋转角θ的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了利用旋转的性质求角度，三角形内角和定理，等边对等角，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．先利用等边对等角和三角形内角和定理求得，再根据旋转的性质得出，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求得旋转角θ．【详解】解：∵在中，，∴，∵，∴，∵将绕点B逆时针旋转得到，旋转角为θ（），∴，，∴，，即，故选：B．6．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系．中国历来有“制扇王国”之称．如图1，是一把打开的扇子，转化为数学模型如图2所示，它是以O为圆心．、长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了求扇形面积，根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据即可求解．解题的关键是掌握扇形面积公式．【详解】解：根据题意可得：∵，，，∴，，∴，故选：C．7．如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（

）A． B．6 C．24 D．12【答案】C【分析】本题主要考查了正多边形，先画出图形，可知，再作，即可求出，然后根据勾股定理求出，进而求出答案.【详解】解：设正六边形的中心O，一边是，则，作于点G，可知是等边三角形，且正六边形是由6个等边三角形组成.如图，在中，，∴，∴，所以这个正六边形的面积.故选：C.8．如图，在中，半径，互相垂直，点C在劣弧上．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查圆周角定理，连接，根据圆周角定理可求解的度数，再利用圆周角定理结合垂直的定义可求解的度数即可．【详解】解：连接，，，半径，互相垂直，，，，故选：B．9．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，则

的半径长为（

）A．4米 B．5米 C．6米 D．8米【答案】B【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，设的半径长为，由垂径定理得（米），再由勾股定理列方程求出的值即可．【详解】解：如图，连接、，交于点，设的半径长为，∵点是运行轨道的最低点，点到弦的距离为米，∴，，∴，在中，，∴，解得：，∴的半径长为米．故选：B．10．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题考查了图形的变化，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，叫做一次变换，据此可得连续3次变换是一个循环，然后根据10被3整除后余数为1，即可确定骰子朝上一面的点数．【详解】解：根据题意可知，骰子第一次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4，骰子第二次向右翻滚，上面的点数为6，逆时针旋转前面的点数为2，骰子第三次向右翻滚，上面的点数为3，逆时针旋转前面的点数为1，骰子第四次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4，，以此类推可知连续3次变换是一循环．．得到第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5．故选：C．11．如图，在中，，，，为内一点，分别连接、、，当时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，将绕点顺时针旋转到，连接，由旋转性质可知，，，，则有，都是等边三角形，所以，，从而可得，，故有，，，在一直线上，然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．【详解】解：将绕点顺时针旋转到，连接，由旋转性质可知，，，，∴，都是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，，∴，，，在一直线上，∵，，，∴，，∴，∴，故选：．12．如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为，由的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解．【详解】解，如图，连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为，的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，如图，当、、三点共线时，的值最小，四边形是正方形，，，是的中点，，，由旋转得：，，，的值最小为．故选：B．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）13．如图，是的直径，点C、D在上，，则度．【答案】120【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键．利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，则．【详解】解：∵，是弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角，∴，∴．故答案为：120．14．一个挂钟的时针长5厘米，一昼夜这根时针针尖扫过的面积是平方厘米．【答案】【分析】本题考查了扇形面积的计算．熟记公式是解题的关键．一昼夜时针转过两圈，根据弧长公式求出转过的弧长，再根据可得面积．【详解】解：一昼夜时针转过两圈，所以（平方厘米）．故答案为：．15．石磨是我国古代的伟大发明之一，最初叫硙（读作wèi），汉朝才叫作磨．其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，点A在中轴线m上运动，点B在以O为圆心，长为半径的圆上运动，且．当点A运动了到点处时，点B按逆时针方向旋转到处，则．【答案】【分析】本题考查了弧长公式，根据题意易得：点A移动的距离点B在圆周上经过的弧长，然后进行计算即可，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．【详解】解：由题意得：，解得：，故答案为：．16．如图，在中，，D、E是斜边上两点，连接、，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，若的周长为4，则的长度为．【答案】4【分析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质．根据旋转得，，，证明，可得，据此求解即可．【详解】解：∵在中，，∴，由旋转得：，，，，，，又，，，，的周长为4，即，，故答案为：4．17．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长l为cm．【答案】【分析】本题考查了圆锥的有关计算，解题关键是熟知圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长和圆锥母线等于圆锥侧面展开图的半径，根据题意建立方程．根据侧面展开图的弧长等于底面周长列方程即可．【详解】解：圆锥的底面周长，由题意可得，解得，所以该圆锥的母线长为，故答案为．18．如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是．【答案】3【分析】本题考查了轴对称的性质，圆心角与弧，勾股定理，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，，．根据轴对称的性质得到，，进而可知，，根据勾股定理求出，可知，进而可求周长的最小值，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，，．∵点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴，，∵点B是劣弧的中点，∴，∴，∵，∴，∴．∴．∴周长的最小值，故答案为：3．三、解答题（本题共8小题，（本题共8小题，第19-第22题每题8分，第23-第26题每题10分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．如图，，交于点，，是半径，且于点．(1)求证：；(2)若，，求的半径．【答案】(1)见解析(2)的半径是【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程．（1）由垂径定理得到，由等腰三角形的性质得到，从而证明；（2）设的半径是，由勾股定理，垂径定理列出关于的方程，即可求出的半径．【详解】（1）证明：，，，，，；（2）解：连接，设的半径是，，，，，，，，，，的半径是．20．如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为．(1)画出将绕原点O顺时针方向旋转后得到的；(2)求（1）中线段扫过的图形面积．【答案】(1)图见解析(2)【分析】本题考查了图形的旋转以及扇形面积的计算，解题的关键是掌握旋转的性质和扇形面积公式．（1）根据旋转的性质，确定点、、绕原点顺时针旋转后的对应点、、的坐标，然后连接各点得到；（2）先求出线段和的长度，再根据线段扫过的图形面积等于以为半径的扇形面积减去以为半径的扇形面积，利用扇形面积公式计算．【详解】（1）解：画出将绕原点顺时针方向旋转后得到的，如下图所示：；（2）解：连接、、、，如图，由旋转可知：，，∴（1）中线段扫过的图形面积为，，，即（1）中线段扫过的图形面积为．21．如图，已知．

(1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图的痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若的半径为5，点到的距离为3，求的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识，（1）作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心；（2）作于利用勾股定理求出，再利用垂径定理可得，求出即可．【详解】（1）解：如图，作线段，的垂直平分线交点为，点即为的外接圆的圆心；

（2）解：作于．在中，，，，，，．22．如图，为的直径，点C在上，延长至点D，使，延长与的另一个交点为E，连接．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角得到，继而根据，得到，再根据等边对等角即可证得结论；（2）在中，结合已知条件利用勾股定理可求出的长，再利用圆周角定理结合（1）的结论可得，继而根据等角对等边进行求解即可．【详解】（1）∵为的直径，∴，即，又∵，∴，∴；（2）在中，，∴，又∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键．23．（1）问题：如图①，在中，，D为边上一点（不与点B重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为．（2）探索：如图②，在与中，，，将绕点A旋转，使点D落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长．【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）6【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答；（2）连接，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可；（3）过点A作，使，连接，证明，得到，根据勾股定理计算即可．【详解】解：（1），理由如下：连接，由题意得：，，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴；（2），理由如下：连接，由（1）得，，∴，，∴，∴，在中，，又，∴；（3）过点A作，使，连接，，∵，即，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质，二次根式的乘法等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．【问题探究】（1）如图1，内接于，，点D为劣弧上任意一点（点D不与点A、C重合），连接，点D在运动的过程中始终有，求的度数；【问题解决】（2）如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点A，B，C，D均为上的点，，，请问该四边形的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形周长的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，最大值为【分析】本题考查了圆的基本性质（圆周角定理、直径性质）、全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理及弦长最值的应用．解题的关键是通过构造全等三角形转化线段和，结合的固定角度确定固定线段长度，利用直径是最长弦求动态线段的最大值．（1）在上截取线段构造全等三角形，利用圆内接图形的角度关系和等腰三角形性质，推导出的度数；（2）延长至F使，连接，证明，得，可得，由勾股定理的逆定理可得；由及，得为直径圆周角对直径），四边形周长，利用直径是最长弦，得最大值为4米，进而求周长最大值．【详解】解：（1）如图3所示，延长至E，使，连接，四边形为的内接四边形，，又，，在和中，，，，，，为等边三角形．，即（2）该四边形的周长存在最大值，最大值为，理由如下：如图4所示，延长至F，使，连接，∵∴，从而，又，在中，因，，∴，故，从而可得，故为直径，，即，则，四边形周长，当最大时即为直径时，四边形周长最大值为25．在平面直角坐标系中，对于点和半径为1的给出如下定义：若过点的直线交于，两点，在，，三点中，其中一点恰为以另外两点为端点的线段中点时，则称点为的关联点．(1)当点与重合时．①在点，中，的关联点是___________；②已知点在直线上，若点为的关联点，直接写出的取值范围__________；(2)的圆心，直线与轴，轴分别交于点，，若线段上存在的关联点，则的取值范围是__________．【答案】(1)①E

②(2)【分析】本题在新定义的基础上，考查了点和圆的位置关系，根据一次函数求点的坐标，解直角三角形等知识，解决问题的关键是根据新定义转化为点和圆的位置关系．（1）①点E在内，连接，过点E作的垂线，交于两点，则E是的中点，点D在圆外，点D到最小的距离为3，大于的直径2，进一步得出结果；②设直线与x轴和y轴分别相交于点，则，点A、B到的最小距离是2，圆的直径是2，当点P在线段时，点P是的关联点，进一步得出结果；（2）先求得M和N坐标，作于A，作轴于B，当时，点A是的关联点，解直角三角形得出从而得出，进一步得出结果．【详解】（1）解：①点E在内