第29练 抛物线（解析版）-高考一轮复习精讲精练

第29练抛物线学校____________姓名____________班级____________一、单选题1．抛物线的焦点到其准线的距离是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】解：抛物线的焦点为，准线方程为，所以焦点到准线的距离；故选：A2．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（

）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】C【详解】解：设点的横坐标为，抛物线的准线方程为，点在抛物线上，，，．故选：C．3．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：依题意设抛物线方程为，因为抛物线过点，所以，解得，所以抛物线方程为；故选：C4．抛物线上A点到焦点F的距离为，则点A的纵坐标为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【详解】解：由题得，所以抛物线的准线方程为.设点纵坐标为,则，所以.故选：A5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】解：由抛物线，可知，准线的方程为，过点作轴的垂线，垂足为，因为，所以，所以，所以点到准线的距离为．故选：C．6．已知抛物线E:的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且，则直线l的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：抛物线的准线为，所以，由题意可知直线的斜率存在，故设直线为，，，则，即，所以，，因为，即，所以，所以或，所以.故选：B7．已知O是坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上一点，且，则的面积为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【详解】由题可知，解得，所以的面积为，故选：C8．已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】A【详解】因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得．记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.9．已知抛物线，点，是曲线W上两点，若，则的最大值为（

）A．10 B．14 C．12 D．16【答案】C【详解】设抛物线的焦点为F，则,焦准距,准线方程为，根据抛物线的定义得，．又，所以．因为，当且仅当A，F，B三点共线时等号成立，即，所以的最大值为12，故选：C10．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则与相等的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，设，由，得，所以在点处的切线方程为，从而，根据抛物线的定义，得又，，所以由，，得是的中点，则，从而．故选：B．二、多选题11．已知抛物线C：的焦点为F，P为抛物线上一点，则下列结论正确的有（

）A．焦点F到抛物线准线的距离为2B．若，则点P的坐标为C．过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2D．若点M的坐标为，则的最小值为4【答案】AD【详解】由抛物线的解析式知，所以抛物线的焦点，准线方程为，所以焦点F到抛物线准线的距离为2，故选项A正确；设抛物线上点，则，解得，故，则点P的坐标有两个，故选项B错误；过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦为通径，长为，故选项C错误；由抛物线的图像及点M的位置可知，当M，P，F三点共线时，取得最小值，即，故选项D正确，故选；AD．12．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（

）A．点的坐标为B．若直线过点，则C．若，则的最小值为D．若，则线段的中点到轴的距离为【答案】ABD【详解】对A：因为抛物线方程为，其焦点在轴上，故其焦点为，A正确；对B：显然过点的直线斜率存在，故可设经过焦点的直线方程为，联立抛物线方程可得：，可得，，故B正确；对C：若，则，，三点共线，则，由中所得可知：，故错误；对D：，即，即，∴，故正确.故选：.三、解答题13．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.(1)求抛物线的方程.(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是，【解析】(1)由题意可得，则，解得.故抛物线的方程为.(2)由（1）可知，设.因为三点共线，所以，即，即，整理得.因为，所以.由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为.联立整理得，则.因为关于轴对称，所以，则，解得.故直线的方程为，即直线恒过点.14．已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．(1)求抛物线C的方程；(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．【答案】(1)y2＝4x(2)证明见解析【解析】(1)P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x．(2)证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，所以Δ＞0⇒16m2+16t＞0⇒m2+t＞0，，同理：，由题意：，∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，∴y1y2＝4，∴﹣4t＝4，∴t＝﹣1，故直线AB恒过定点(﹣1，0)．15．已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标