辽宁省沈文新高考研究联盟2025-2026学年高二上学期10月质量监测数学试题（解析版）

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2025-2026（上）10月月度质量监测

高二数学

本试卷满分150分考试时间120分钟

第Ⅰ卷选择题（共58分）

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且

只有一项是符合题目要求的）

1.下列命题中，假命题是（）

A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B.ab是向量ab的必要不充分条件

C.只有零向量的模等于0

D.共线的单位向量都相等

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的概念逐项判断即可.

【详解】选项A：由空间向量的定义知，空间向量具有大小和方向，

所以任意两个空间向量不能比较大小，故A为真命题；

选项B：两个向量模长相等，方向不一定相同，充分性不成立，

两个相等向量模长一定相等，必要性成立，故B为真命题；

选项C：长度为0的向量叫做零向量，只有零向量的模长等于0，故C为真命题；

选项D：共线的单位向量是相等向量或相反向量，故D为假命题；

故选：D

2.四面体OABC中，OAa，OBb，OCc，且OP2PA，BQQC，则PQ等于（）

211211

A.abcB.abc

322322

211211

C.abcD.abc

322322

【答案】B

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【解析】

【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则计算即得.

【详解】因为OP2PA，BQQC，

22111

所以OPOAa，OQOBOCbc，

33222

112

所以PQOQOPbca，

223

故选：B.

3.已知向量a2,1,1,b9,x,y,a与5ab共线，则ab（）

7696

A.B.63C.D.83

22

【答案】A

【解析】

【分析】根据空间向量的坐标表示和模的公式进行计算即可.

【详解】由题意知，5ab1,5x,5y，

211

又因为a//5ab，所以，

15x5y

977

解得xy，所以ab7,,

222

494976

∴ab49.

442

故选：A.

4.已知空间三点A4,1,3，B2,5,3，C3,x,0共线，则实数x的值为（）

A.3B.5C.3D.5

【答案】A

【解析】

【分析】利用空间向量共线定理列出方程组，求解即得.

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【详解】由A4,1,3，B2,5,3，C3,x,0可得AB(2,4,6),AC(1,x1,3)，

因A,B,C三点共线，故存在tR，满足ACtAB，即(1,x1,3)t(2,4,6)，

2t1

则有4tx1，解得x3.

6t3

故选：A.

5.设,是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）

A.若m//,//，则m//B.若,m,n，则mn

C.若m,n,nm，则D.若m//,m,n，则m与n相交

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理，通过分析每个选项中所

给条件，判断直线与平面、平面与平面的位置关系是否成立.

【详解】对于A，已知m//,//,根据面面平行的性质，直线m可能与平面平行，也可能在平面

内，所以不能得出m//,故选项A错误；

对于B，已知,m,n，此时直线m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故选项B错误；

对于C，已知m,n,nm，则直线m,n所在的方向向量即分别为平面,的法向量，

两法向量垂直，则两面垂直，故选项C正确；

对于D，已知m//,m,n，根据线面平行的性质定理，如果一条直线和一个平面平行，

经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，所以m//n,故选项D错误.

故选：C.

6.如图，边长为2的正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，且点B和点D到平面的

2

距离均为，则平面A1C1D与平面的夹角的余弦值为（）

2

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1216

A.B.C.D.

2236

【答案】A

【解析】

【分析】根据点到面的距离的性质，结合面面垂直的判定定理，得到E，A，F三点共线，根据三角关系，

得到C1，D1，B到平面的距离，进而得直线BD1与平面的夹角正弦值，求出平面A1C1D与平面的

夹角的余弦值.

【详解】点B和点D到平面的距离相等，故BD∥平面，

而为平面法向量，故平面平面，

BDACC1A1ACC1A1

分别过C，A1作平面的垂线，垂足为E，F，如图，则E，A，F三点共线，

2

由BGDH，且BD与AC中点重合可知CE2．

2

因此，，故，

CAE30A1AF60A1F3

进而由C1CE150易知点C1到平面的距离为23，

∥

又因为B1D1与A1C1中点重合，且B1D1平面，

22

因此点D1到平面的距离为3，而点B到平面的距离为，

22

22

3

且，故直线BD与平面的夹角正弦值为1，

BD123122

232

易知直线BD与平面ACD垂直，故平面ACD与平面的夹角的余弦值为1．

111112

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故选：A

【点睛】

7.17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，

求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在VABC中，若三个内角均小于120，则

当点P满足ÐAPB=ÐAPC=ÐBPC=120°时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称

为费马点.根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b和c是平面内两个互相垂直的向量，且b2，

c3，则ababac的最小值是（）

A.323B.323C.232D.232

【答案】A

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，将向量放在坐标系中，将问题转化为点Px,y到A2,0，B2,0，

C0,3三点的距离之和，再利用费马点的性质即可求解.

【详解】b2，c3，b和c是平面内两个互相垂直的向量，

不妨设b2,0，c0,3，ax,y，

2

则abx2y2，表示点Px,y到点A2,0的距离，

2

abx2y2，表示点Px,y到点B2,0的距离，

2

acx2y3，表示点Px,y到点C0,3的距离，

ababac表示点Px,y到A2,0，B2,0，C0,3三点的距离之和，

由费马点的性质可知，当ÐAPB=ÐAPC=ÐBPC=120°时，点Px,y到三角形三个顶点的距离之和

最小，

点A2,0，B2,0关于y轴对称，点P在y轴上，如图，

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11

在AOP中，APOAPB12060，又OA2，

22

OA23

23

tanAPO，解得OP，故点P的坐标为0,，

OP33

22

22343，22343，23，

PA020PB020PC3

33333

434323

此时，PAPBPC3323，

333

ababac的最小值是323.

故选：A.

1

在平面直角坐标系中，定义：nnn，其中，若*，

8.Ax1,y1Bx2,y2.s,tN

ABnx1x2y1y2

且st，则下列结论错误的是（）

A.若A,B关于x轴对称，则ABsABt

B.若A,B关于直线yx对称，则ABsABt

C.若OAs2OBs，则OAt2OBt

D.若PMAMs1，QM|AMt1，则PQ

【答案】C

【解析】

【分析】利用给定定义，结合对称点的特征，指数函数的单调性即可判断A，B，通过举反例判断C，利用

子集的性质结合给定条件判断D即可.

【详解】对于A，因A,B关于x轴对称，且Ax1,y1，Bx2,y2，则x2x1,y2y1，

11

于是，ssssss，

ABsx1x2y1y2x1x1y1y12y1

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11

tttt

同理，tt，即ABsABt，故A正确；

ABt(x1x2y1y2)(x1x1y1y1)2y1

对于B，因A,B关于直线yx对称，且Ax1,y1，Bx2,y2，则x2y1,y2x1，

111

ssss

则sss，

ABs(x1x2y1y2)(x1y1y1x1)2x1y1

111

tttt

同理，ttt.

ABt(x1x2y1y2)(x1y1y1x1)2x1y1

x*1111

取函数f(x)2，显然该函数在R上为增函数，由s,tN，且st，可得，则有st，

st22

11

因|x1y1|0，故有st，即ABsABt，故B正确；

2|x1y1|2|x1y1|

11

ssss

对于C，因s，s，

OAs(x1y1)OBs(x2y2)

11

sssssssssss

由OAs2OBs可得：ss，则有xy2(xy)2x2y，

(x1y1)2(x2y2)112222

1111

若取s，满足上式，但此时，tttt，s，

x12,x20,y12,y22OAt(22)22OBt2

111

则s，由上分析，st，故OAt2OBt，故C错误；

2OBt2222

1

ssss

对于D，设点M(x,y)P，则s，即xxyy1，

AMs(xx1yy1)111

而ss，因，故得sstt，

xx1,yy1[0,1]st1xx1yy1xx1yy1

即点M(x,y)Q，即得PQ，故D正确.

故选：C.

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9.如图，已知四面体ABCD，点E,F分别是BC,CD的中点，下列说法正确的是（）

A.ABBCCDADB.ABBCADDC

1

C.ABBCBDAFD.ABAEEFFB

2

【答案】ABC

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【解析】

【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解.

【详解】A：因为ABBCCDACCDAD，故A正确；

B：因为ABBCADACADDC，故B正确；

1

C：因为ABBCBDABBFAF，故C正确；

2

D:因为ABAEEFEBEFFB，故D错误.

故选：ABC.

10.已知点M(1,1)，N(2,1)，且点P(a,b)在直线l:xy20上，则（）

39

A.a2b2a2b的最小值为B.|PM||PN|的最小值为29

8

1

C.存在点P，使得PMPND.存在点P，使得2|PM||PN|

4

【答案】ABD

【解析】

2

22539

【分析】A选项，将b2a代入，化简得到aba2b2a，得到最小值；B选项，

48

求出M(1,1)关于直线的对称点M3,1，最小值为MN29；C选项，结合b2a，得到

PMPN2a25a7，从而得到方程，由根的判别式得到方程无解，C错误；D选项，由两点间距离公

式和2|PM||PN|得到方程，由根的判别式得到方程有解，D正确.

【详解】A选项，点P(a,b)在直线l:xy20，故b2a，

2

22222539

故aba2ba2aa22a2a5a82a，

48

539

故当a时，a2b2a2b取得最小值，最小值为，A正确；

48

B选项，设M(1,1)关于l:xy20的对称点为Mm,n，

n1

11

m1m3

则，解得，

m1n1n1

20

22

所以M3,1，连接MN，与l:xy20相交于点P，

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22

此时|PM||PN|取得最小值，最小值为MN321129，B正确；

2

C选项，PMPN1a,1b2a,1b1a2a1b，

2

又b2a，故PMPNa2a2a23a2a25a7，

1127

令PMPN得2a25a7，即2a25a0，

444

1

由于25227290，方程无解，故不存在点P，使得PMPN，C错误；

4

2222

D选项，由2|PM||PN|得21a1b2a1b，

222

平方化简得41a31b2a，

222

又b2a，故41a33a2a，

即2a210a90，100429280，方程有解，

故存在点P，使得2|PM||PN|，D正确.

故选：ABD

11.中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原（成单纯的二维线条，其中的数字

2

“8”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把与定点M(a,0)，N(a,0)距离之积等于aa0的动

点的轨迹称为双纽线.曲线C是当a2时的双纽线，P是曲线C上的一个动点，则下列结论正确的是（）

A.点P的横坐标的取值范围是[2,2]B.OP的最大值是22

C.PMN面积的最大值为2D.PMPN的取值范围是4,42

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据双纽线的定义求出曲线的方程，逐一判断各选项的真假即可.

【详解】设P(x,y)是曲线上任意一点，根据双纽线的定义可得：(xa)2y2(xa)2y2a2，

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当a2时，曲线的方程为(x2)2y2(x2)2y222，

对于A：整理可得：x2y241616x2，则y21616x2x240，

可得x48x20，解得22x22，故A错误；

对于B，|OP|x2y21616x24，

因为22x22，所以8x28，所以1616x216168144122，

所以|OP|12422，即曲线上任意一点到坐标原点O的距离的最大值为22，故B正确；

212

对于C：y21616x2x240，令t1616x2[4,12]，则xt1，

16

111

所以y2tt23(t216t)3(t8)21，

161616

1

所以当t8时，(y2)1，所以PMN面积的最大值为412，故C正确；

max2

对于D：(x2)2y2(x2)2y22(x2)2y2(x2)2y22224，

当且仅当(x2)2y2(x2)2y2，即x0,y0时取等号，

((x2)2y2(x2)2y2)2(x2)2y2(x2)2y22(x2)2y2(x2)2y2

2(x2y2)82222(22)2822232，

所以((x2)2y2(x2)2y2)242，

所以PMPN的取值范围是4,42，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：利用双纽线的定义求得曲线方程是关键，进而利用不等式求得最值.

第Ⅱ卷非选择题（共92分）

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12.设平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点，则点P到平面的距离

d____________

APn

【答案】

n

【解析】

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【分析】根据空间点到平面的距离的定义即可求解.

【详解】过点P作平面的垂线l，交平面于点B，

则n是直线l的方向向量，也即平面的法向量，

APn

则点到平面的距离就是在直线上的投影长，即向量的长度，也即

PAPlBPd.

n

APn

故答案为：.

n

13.设点A2,0和B0,3，在直线l：xy10上找一点P，使PAPB取到最小值，则这个最

小值为__________

【答案】17

【解析】

【分析】求出点B关于直线l：xy10的对称点为C，连结AC，则AC交直线l于点P，点P即为

所求的点，此时PAPBPAPC，PAPBAC.

min

【详解】解：

设点B关于直线l：xy10的对称点为Cm,n

mn3

线段BC的中点,在xy10上

22

mn3

则101

22

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又klkBC1，

n3

112

m

解12得，m2,n1;C2,1

2

AC221217

故答案为：17

【点睛】本题考查线段和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，

属于中档题.

14.VABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC2，点D满足DAAC，点E是BD所在直线上一点，

CE

若CExCAyCB，则x2y______；向量CA在向量CE上的投影向量记为m，则实数m的取

CE

值范围为______．

2

【答案】①.2②.m1

2

【解析】

【分析】建立适当的平面直角坐标系，可得点E的坐标（用CExCAyCB中的参数x,y表示），结合点

CACE

E是BD所在直线上一点，即可得第一空答案；由题意m，利用投影数量的几何意义可求其范围.

CE

【详解】

由题意以点A为原点，AB,AC所在直线分别为x轴，y轴，

因为VABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC2，点D满足DAAC，

所以ABAC1AD，即A0,0,B1,0,C0,1,D0,1，

的

设点E坐标为xE,yE，

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所以，

CExE0,yE1xCAyCBx0,1y1,1y,xy

所以点E的坐标为y,xy1，

因为点E在直线BD上面，

所以yExE1，即xy1y1，

所以x2y2（这里的x,y是指CExCAyCB中的x,y）；

CE

因为向量CA在向量CE上的投影向量记为m，

CE

CACE

所以mCAcosCA,CE，

CE

如图，AH⊥CE于H，过C作直线平行于BD，过A作该直线的垂线，垂足为G，

当CA,CE为锐角时，0mCHCA1，当且仅当CE,CD重合时等号成立；

当CA,CE为直角时，m0；

2

当CA,CE为钝角时，CGm0即m0，

2

2

综上，m1.

2

【点睛】关键点睛：第一空的关键是得点E坐标，结合B,D,E三点共线，第二空的关键是将问题转换为方

程有解即可顺利得解.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

15.已知直线l:ykxk1．

（1）求证：直线l恒过定点A1,1；

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（2）已知两点B4,4，C0,2，过点A的直线与线段BC有公共点，求直线的倾斜角的取值范围．

【答案】（1）证明见解析

（2）45135

【解析】

【分析】（1）直线方程整理为关于k的方程，由恒等式知识可得定点坐标；

（2）求出直线AB,AC的倾斜角，直线介于直线AB,AC之间，由此可得结论．

【小问1详解】

证明：由ykxk1，得y1kx1．

由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点A1,1．

【小问2详解】

由题意可知kAC1，kBA1，

由题意可知直线的倾斜角介于直线AB与AC的倾斜角之间，

又AC的倾斜角是45，AB的倾斜角是135，A点横坐标在B,C两点横坐标之间，因此直线可能与x轴

垂直，倾斜角可以是90，

∴的取值范围是45135．

16.如图，直三棱柱ABCA1B1C1的体积为4，D是AB的中点.

（1）求证：BC1//平面A1CD；

（）若△的面积为，求点到平面的距离

2A1CD22AA1CD.

【答案】（1）证明见解析；

2

（2）.

2

【解析】

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【分析】（1）连接AC1，交A1C于点O，连接OD，易得OD//BC1，再由线面平行的判定证明结论；

（2）设VABC的面积为S，棱长AA1的长度为h，B到平面A1CD的距离为d，再应用等体积法有

VV求点面距

A1ACDAA1CD.

【小问1详解】

连接AC1，交A1C于点O，连接OD，

因为O，D分别是AC1，AB的中点，所以OD是ABC1的中位线，

所以OD//BC1，因为BC1平面A1CD，OD平面A1CD，

所以BC1//平面A1CD.

【小问2详解】

设VABC的面积为S，棱长AA1的长度为h，B到平面A1CD的距离为d，

因为直三棱柱ABCA1B1C1的体积VSh4，

1

因为D是AB的中点，所以ACD的面积为S，

2

1112

所以三棱锥A1ACD的体积VShSh，

A1ACD3263

21

因为△的面积为，由VV得，解得2

A1CD22A1ACDAA1CD22dd.

332

2

所以A到平面A1CD的距离为.

2

17.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O为AC中点，D是BC上一点，OP⊥底面ABC，

BC⊥面POD．

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（1）求证：点D为BC中点；

（2）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好是PD的中点．

【答案】（1）证明见解析

23

（2）

3

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的性质证明；

（2）做辅助线，利用图中的几何关系求解.

【小问1详解】

连接OD，PD，BC平面POD，BCOD，又ABBC,OD//AB，O是AC的中点，所以

OD是OC边上的中位线，D是BC边的中点；

【小问2详解】

连接OB，ABC是等腰直角三角形，OBAC，由题意OP平面ABC，OPOB，又O是

AC的中点，△PAC是等腰三角形，PAPC，

连接PD，取PD的中点G，连接OG，由题意OG平面PBC，OGPD，

11

又G是PD的中点，POD是等腰直角三角形，POODBCAB，

22

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2

2

22213，23，

PAAOPOABABABABPA

2223

23

k；

3

23

综上，当k时，O在平面PBC内射影恰好是PD得中点.

3

1

18.如图，在四棱锥PABCD中，AD//BC,ABPD6,BCPC2,AD4,cosDAB.

3

（1）求证：PBCD；

（2）若PB23，求平面PAB与平面PBD夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

31

（2）

33

【解析】

【分析】（1）取AD的中点M，连接MB，证明四边形BCDM为平行四边形，则CD//BM且CDBM，

利用余弦定理求出BD6，从而可得CDBC，利用勾股定理证明CDPC，则CD平面PBC，再

根据线面垂直的性质即可得证；

（2）先利用余弦定理求出PCB120，再以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面PAB

与平面PBD的法向量，再求出法向量夹角的余弦值，进而可得出答案.

【小问1详解】

取AD的中点M，连接MB，

则BC//MD且BCMD，

所以四边形BCDM为平行四边形，所以CD//BM且CDBM，

在△ABD中，由余弦定理得，

1

BD2AB2AD22ABADcosDAB361626436，

3

所以BD6AB，

所以BMAD，BM622242

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所以BMBC，所以CDBC,CD42，

则PC2CD2PD2，所以CDPC，

又BC,PC平面PBC，BCPCC，

所以CD平面PBC，

又PB平面PBC，所以PBCD；

【小问2详解】

在△PBC中，由余弦定理得，

PC2BC2PB244121

cosPCB，所以PCB120，

2PCBC2222

如图，以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则A42,4,0,B0,2,0,D42,0,0,P0,1,3，

故PB0,3,3,PA42,5,3,PD42,1,3，

设平面PAB的法向量为mx1,y1,z1,，平面PBD的法向量为nx2,y2,z2

mPA42x15y13z10nPD42x2y23z20

则有，，

mPB3y13z10nPB3y23z20

22

令，则，

y11,y21m,1,3,n,1,3

44

1

13

mn831

则cosm,n，

mn333333

88

31

所以平面PAB与平面PBD夹角的余弦值为.

33

19.人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，

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常用测量距离的方式有种．设Ax,y，Bx,y，则欧几里得距离22；

31122D(A,B)x1x2y1y2

曼哈顿距离d(A,B)x1x2y1y2，余弦距离e(A,B)1cos(A,B)，其中

cos(A,B)cosOA,OB（O为坐标原点）．

34

（1）若A(1,2)，B,，求A，B之间的曼哈顿距离d(A,B)和余弦距离e(A,B)；

55

（2）若点M(2,1)，d(M,N)1，求e