课件：第1章 勾股定理 问题解决策略：反思

八年级(上册)北师大版2025新版教材第一章勾股定理问题解决策略：反思1.进一步经历对解决问题的过程、方法及问题的变化等进行反思的过程，体会反思在解决类似问题中的价值.2.知道反思可以加深对问题及解决问题的思路、策略与方法的理解，进而丰富解决问题的经验，提高解决问题的能力.学习目标思考如图，一个圆柱的高为12cm，底面圆的周长为18cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?AB新知探究理解问题(1)在这个问题中，已知条件有哪些?你认为已知条件足够解决这个问题吗?解：这个问题中，已知条件有圆柱底面的周长、圆柱的高.认为已知条件足够解决这个问题.新知探究(2)沿侧面爬行的可能路线有哪些?什么情况下路线最短?请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下.解：我们不妨做一个模拟实验，取一个圆柱形水杯，按照上图中的位置在水杯上标上点A和点B，将一根绳子(绳子不能伸缩)的一端固定在点A，绳子绕着水杯经过点B(绳子紧贴杯壁)，通过拉B端绳子来调节路线，可以发现路线有很多，但随着B端不断拉紧绳子，紧贴杯壁的绳子不断变短，直到不能拉动为止，此时路线最短.BA新知探究拟订计划(1)以前研究过最短路线问题吗?这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同?解：以前研究过两点之间的最短路线问题、与垂线段最短有关的最短路线问题、将军饮马问题等，以前研究的这些问题都是在平面上进行研究的，现在这个问题是在立体图形上(即曲面上).新知探究(2)如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题?各个点的位置如何确定?解：我们可以将圆柱的侧面展开，展开之前先标记各点或者展开之后根据点相对于剪痕的位置确定.新知探究实施计划(1)如图，将圆柱侧面剪开，确定展开图的形状，以及与圆柱的对应关系.BA12侧面展开图12A18新知探究(2)在图中标出点B的位置.9BA'BA12侧面展开图12A'A18新知探究(3)在图中确定A，B两点之间最短的路线，并计算它的长度.由题可知AA'=12cm，A'B=18÷2=9（cm），所以AB2=AB2+AB2=122+92=225，所以AB=15.9BA'12A新知探究回顾反思(1)在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中，你获得了哪些经验?解：先类比以前研究过的最短路线问题，比较这些问题之间的不同点，然后根据不同点将现在研究的问题转化为之前研究过的问题(即将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题)，然后借助两点之间线段最短及勾股定理，进而解决问题.新知探究

新知探究(3)解决这个问题的经验，还可以运用到哪些问题中?例如，能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短距离问题?解：还可以解决蚂蚁在圆柱侧面上、楼梯表面上、正方体表面上、长方体表面上等两点之间的爬行路线最短问题.新知探究归纳：几何体侧面或表面最短路径问题的基本模型圆柱新知探究台阶归纳：几何体侧面或表面最短路径问题的基本模型新知探究归纳：几何体侧面或表面最短路径问题的基本模型棱柱(以长方体为例)新知探究归纳：几何体侧面或表面最短路径问题解题步骤：将立体图形展开成平面图形→确定相关点位置→构造直角三角形→根据勾股定理求解.新知探究(4)生活中还有哪些现实问题涉及几何体表面上的最短距离?举几个实例，并思考解决问题的方案.解：飞机的飞行路线问题、管道和电缆铺设问题、建筑中圆柱结构装饰彩带问题等.如飞机通常沿着地球表面的大圆航线飞行，这是两点之间的最短路径.新知探究如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24m，高为10m，从A处环绕油罐建梯子梯子的顶端正好到达A点的正上方B点，问所建梯子最短需多长?跟踪训练解：连接AB′，线段AB′即为最短路线.由圆柱的侧面展开图可知BB′的长即为圆柱底面的周长，剪痕AB的长即为圆柱的高，所以BB′=24m，AB=10m.在Rt△ABB′中，∠B=90°，由勾股定理，得AB′2=AB2+BB′2=102+242=676，所以AB′=26m，所以所建梯子最短需要26m.跟踪训练1.如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm、10cm、6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少?课堂练习解：如图所示，将这个台阶展成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB的长.在Rt△ABC中，BC=55cm，AC=（10+6）×3=48（cm）.由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=482+552=5329.所以AB=73cm.因此，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是73cm.课堂练习2.为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带.已知大厅圆柱的高为6m，底面周长为2m.如果希望彩带从圆柱底端绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带多少米?

课堂练习3.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的