2024年高一数学期末试题专项汇编：一元二次函数、方程和不等式（3种经典基础练+3种提升练）解析版

专题02一元二次函数、方程和不等式

（3种经典基础练+3种优选提升练）

经

优

典

SB词题（共9题）选等与整理啊便1嗨）

基

提

基本不^5^应用纱［题）题型归纳基本不等式914题）—

础

升

题

恒成立问题供8题）题二次函数与一元二X方程、不钏（共21题）

等式性质与不等式性质（共10题）

一、单选题

1.（22-23高一上•甘肃酒泉・期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外

部尺寸长、宽、高之和不超过130cm,且体积不超过7200（）6、，设携带品外部尺寸长、宽、高分别

记为a,b,c（单位：cm）,这个规定用数学关系式可表示为（）

A.a+^+c<130Kabc<72000B.a+Z）+c>I30Kabc>72000

C.a+b+cW130且欣<7200。D.a+b+c2130且欣272000

【答案】C

【分析】根据数量关系列不等式，“不超过"不等号为“小于等于"

【详解】由长、宽、高之和不超过130cm得a+b+cK130,由体积不超过7200001?得a不472000.

故选：C.

2.（23-24高一上•云南昆明•期末）已知a,b,cwR,则下列命题为真命题的是（）

A.若a>b,则B.若。<回，则

C.若“>b,则〃（/+］）>+］）D.若a〈Z）<0,则

ab

【答案】C

【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，以及特例和作差比较法，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，例如：a=l,b=-2,满足a>b,但/<〃，所以A不正确；

对于B中，例如：a=-2,6=1,满足同，但所以B不正确；

对于C中，由〃(c?+l)-由c2+l)=(a-b)(c2+l),

因为可得”b>0且/+1>0,所以4匕2+1）>以。2+1）,所以C正确；

对于D中，由°<6<0,可,得〃一4>0,融>0,可得■!--=-——>0,

abab

所以,>，，所以D不正确.

ab

故选：C.

I

3.（23-24高一上•辽宁沈阳・期末）已知a=',8=（|j，c=2>贝北（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

【答案】D

【分析】根据不等式的性质即可比较大小.

【详解】因为/=（?丫=理>应=2；=。，

⑻4096

故”>c，

-j-|40

。40=2»=2$=32,

（3丫6561jo

=­=------<32=c,

⑴256

R|JA<c,

故人<c<a.

故选：D.

4.（22-23高一上•广东湛江•期末）下列命题中正确的是（）

A.若ac?>be?,则a>bB.若则口>b

C.若6,则a<bD.若,<:,贝!Ja>8

ab

【答案】A

【分析】利用不等式的性质逐个判断各个选项即可.

【详解】对于A,若启>儿2,又/>0,则。>方，故A正确，

对于B,若。=一2,6=1,满足/>〃，但是。<6,故B错误，

对于C,若«,贝故C错误，

对于D,若。=一2,b=[,满足但是。<8,故D错误,

ab

故选：A.

二、多选题

5.（23-24高一上•宁夏石嘴山•期天）英国数学家哈利奥特最先使用“〉〃和“〈〃符号，井逐渐被数学界

接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若6<口<0,贝ij（）

A.a2>b2B.—>—C.|«|<-bD.a>"+"

ab2

【答案】CD

【分析】根据不等式的性质及特殊值法可判断各选项.

【详解】选项A：若6=-2,a=-1,则42=]<4=从，故A错误：

选项B：若b=-2,a=-1,则，=一1<一（二]，故B错误；

a2b

选项C：因为6<。<0,则即一力>同>0,故C正确：

选项D：因为则。+6<2〃，即=故D正确；

2

故选：CD.

6.（21-22高一上•江苏镇江・期末）对于实数。，b,c,正确的命题是（）

A.若a>b,则B.若。>b>0,则

C.若则”>0,b<0D.若a>b>0,c>0,则--

abbb+c

【答案】ABD

【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可.

【详解】对选项A,因为所以。―巴==—>0,乎-b=?>0,

2222

所以竽>人故A正确：

对选项B,a>h>0,=-^=r>1,所以a〉\[ab，

4ab4b

因为=所以'即">>b，故B正确;

对选项C,令a=2,b=3,满足不满足a〉0,b<0.

ab

A.a1>ab>b1B.若CGR.则

-"八eib+mb2a+ba+2b

C.若m>0,则---->-D.--------->---------

a+maab

【答案】AC

【分析1对于A,用作差法比较大小即可；对于B,举特殊情况即可判断；对于C,用作差法比较即可;

对于D,用作差法比较即可.

【详解】对于A,因为所以"一M二。（"6）>0,

即/-b2即故标>">〃，故A正确；

对于B,若c=0则ac2=be2，故B错误；

b+mbm（a—b\八力+〃？h

对于c,-------------=<一（>0,即一,故C正确；

a+niaa（a+ni）a+ma

对于D,2»"2b/2=（j）（"〃）<o,故口错误.

abababab

故选:AC.

三、解答题

10.（23-24高一上•陕西榆林•期中）证明下列不等式：

（1）已知a>b>c>d,求证：一^―<—^―：

a-ab-c

（2）已知a>〃>0,c<"<0,e<0,求证：

a—ch-d

【答案】⑴证明见解析

⑵证明见解析

【分析】（1）依题意可得a-d>6-c>0,再根据不等式的性质证明:

（2）利用作差法证明即可.

【详解】（1）Qa>b>c>d,即a>6,-">-c,

：.a-d>b-c>0则一—<——.

fa—dh—c

（2）,：a>b>0,c<</<0,e<0,

-c>-t/>0,

:.a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0,

eee(b-d)-e(a-c^e(b-d-a+c)

0,

a-cb-d(a-c)(b-d)(p-c)^-d)

----->------

G-Cb-d

基本不等式（共14题）

一、单选题

I4

1.（23-24高一上•浙江•期末）已知。>1,b>0,且。+1=2,则，方的最小值为（

ba-\

A.4B.6C.8D.9

【答案】D

【分析】根据题意，以与b为基本量加以整理，化简后利用基本不等式算出答案.

【详解】由。+!=2得（a-1）+!=1,其中。一1>0,b>0,

bb

所以言+叩一）+丸+>4+*）+占"2餐

45

当且仅当伙"1）=不―即8"1）=2,则。=：,6=3时，等号成立,

b（a-\）3

4

故工+人的最小值为9.

a-\

故选：D

2.（22-23高一上•广东深圳•期末）若x,y满/+/一9=2,则（）

A.x+y<2B,x+y>-2y/2C.x2+<4D.x2+y2>2

【答案】C

【分析】由基本不等式的性质进行逐一判断即可.

【详解】因为-一+产22；9，，当且仅当x=N时取等号，

2222

所以2父+2/之2盯+.V+J，2=(x^y)=>x+y>

因为/+/+2q，=（X+»n孙=（¥卜匚_（/+/），

2

而犷+y2-xy-2,所以3(/+/)-(x+J，)~=4,

于是有F+J/N号2口匕32工之虫>_=_2后x+y426，故选项AB都不正确;

由/+/+/n3(吐』士/+/44，

2^2

故选：C

1+2〉m

3.123-24高一上•鼠州安顺・期末）若不等式恒成立•.则实数加的最大值为（)

4a\[h\[a+2\/b

A.2B.3C.4D.9

【答案】D

【分析】化简可得5+型+草2〃?恒成立，再根据基本不等式求解5+举+毕的最小值即可.

yjayjbyja\jb

4a+2\/b2\!a+4近

【详解】由题意>加恒成立,m恒成立.

4a

当且仅当a=b时取等号.

故实数〃?的最大值为9.

故选：D

4.（23-24高一上•云南昆明・期末）如图，为满足居民健身需求，某小区计划在一块直角三角形空地

中建一个内接矩形健身广场（阴影部分），则健身广场的最大面积为（）

A.32.5m2B.36m2C.37.5m2D.40m2

【答案】C

【分析】设出边长，利用相似得到定值，再利用基本不等式求解即可.

【详解】设矩形广场的长为x,宽为V,且0<x<15,0<^<10,

由三角形相似性质得看=*,化简得2x+3y=30,

而2x+3yN2师，当且仅当x=7.5,y=5时取等，故盯W37.5,

故健身广场的最人面积为37.5m：.

故选：c

二、多选题

5.(23-24高一上•福建漳州•期末)已知a>0,b>0,且。+26=2,则()

I129

A.的最大值为彳B.—+7的最小值为；

4ab2

C./+4/的最小值为2D.(。+2)(。+2)的最大值为8

【答案】BC

【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解：B选项，利用基本不等式"1"的妙用求出最值：C

选项，。+26=2两边平方后，利用基本不等式求出答案；D选项，变形得到(a+2)S+2)=8-2〃<8,

D错误.

【详解】A选项，因为〃>0,6,0,由基本不等式得“+2b之2屈，

即故A错误；

B选项,因为a>0,6>0,

所uj以fll厂21匕2V6/+八r112、Va7b-、5r2,flarb9厂

当且仅当即。=b=^时，等号成立，

ba3

179

故一+工的最小值为彳，B正确；

ab2

C选项，。+26=2两边平方得/一4帅+4/=4,

44=4一(/+4〃)，其中4HW/+4Z/,

当且仅当〃=乃，即。=1,6=!时，等号成立，

2

^4-(a~+4b-)<a2+4b2,解得/+昉22,

/+4/的最小值为2,C正确；

D选项，因为a+2b=2,«>0,6>0,

所以(〃+2)(/)+2)=(2—2/)+2)优+2)=8—2〃<8,

故D错误.

故选：BC

6.（23-24高一上,山东枣庄•期末）已知a,b,e满足〃+8+c=（）,且则（）

A.ac<0B.ab>acC.c（b-a）<0D.2"+2''>2

【答案】ABD

【分析】首先利用放缩法证明出Q>0,c<0,从而可以判断ABC,对于D则需要使用基本不等式.

【详解】因为所以3。>a+〃+c=O,即。>0,3c<a+h+c=0,即c<0,

所以ac[0,ab）ac9c（b-a）>0.故ABIF确C错误：

对于D：2“+2〃>26彳=2>/^>2亚=2，故D正确.

故选：ABD

7.（22-23高一上•广东茂名•期末）已知。>0力>0,且a+6=2,则（）

A.a2+b2>2B.2"+254

C.Iog3a+log2/>>0D.4a+4b<2

【答案】ABD

【分析】利用基本不等式的性质依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A,因为。>01>0,。+8=2,所以力+〃之鱼血=2,

2

当且仅当。=8=1时等号成立，故A正确.

对选项B,因为2“>0，2，>0，且。+8=2,

所以2"+2r2丁20.2,=2mb=4.

当且仅当2a=23即。=方=1时等号成立，故B正确.

对选项C,晦a+10g2b=（。生log210g21=0>

当且仅当。=〃=1时等号成立，故C错误.

对选项D,。>0,力>0,且。+方=2,所以a+bN2疯，

即而49a=1,当且a=b=l时等号成立.

2

所以（&+指）=a+b+2\/ab=2+2\jab<4,

所以G+N/K42,故D正确.

故选：ABD

8.（23-24高一上•河南安阳•期末）下列说法正确的是（）

A.x>0,XH1,则y=l"+?-的最小值是2

Y4-5S

B.x20,则尸4+4的最个值是5

C.x>0,则7=2'+//的最小值是1

4-2

1d

D.y==+y^~w（|x|<l）的最小值为9

【答案】BD

【分析】根据选项式子的特点，利用函数单调性或者基本不等式可得答案.

【详解】对于A,当工=1时，丁=1纵+/-=-2<2,A不正确；

101&¥

-x+5）1..---„.1

对于B,y=I——-=x/.v+4+,——_,令/=Jx+422，则歹=，+-，

Vx+4a+4t

由对勾函数的单调性可知，当d2时，y=/+l为增函数，所以V的最小值是B正确；

对于C,令f=2',由xNO得/之1,y=/+3，

4，

由对勾函数的单调性可知，当/N1时，y=f+；为增函数，所以y的最小值是•!，c不正确;

对于D,由1》1<1可得1一/>。，/=（4+3］卜2+1--）=5+式+£22«+5=9,

旧1-X//X21-尸

当且仅当*=£,即/=工时，取到等号，D正确.

x2\-x23

故选：BD.

三、填空题

21

9.（22-23高一上•广东广州•期末）已知x>0,y>0且一+—=1,若2x+y>刑恒成立,则实数机

txy

的取值范围是.

【答案】（9⑼

【分析】将2x+y与上+,相乘，展开后利用基本不等式求出2x+y的最小值，即可得出实数加的取

xy

值范围.

21

【详解】因为x>0,y>0,且一+—=1,

xy

所以，2x+y=（2x+y）（-+11=5+—+^>5+2/--^=9,

（xyjyx\yx

当且仅当x=P=3M,等号成立，故2N十y的最小值为9.

因为2x+y>〃?恒成立，所以，m<（2x+y）nin=9.

故答案为：（e,9）.

2x

10.（23-24高一上•河南•期末）已知x>0/>0,且2%十一二3,则一的最大值是

yy

【答案】39

In

【分析】直接利用基本不等式计算即可.

【详解】因为x>0,y>0,,所以2x+：N2Km=4后,

因为2v」=3,所以4上工3,即土

yyyy16

213

当且仅当2x=—,即x=—=:时，等号成立.

yy4

x9

所以一的最大值是；7.

y16

9

故答案为：—.

16

11.（21-22高一上•江西南昌•期末）当x>-2时，函数y=—+：；+6的最小值为

【答案】2>/2

2

【分析】将函数解析式变形为y=（x+2）+T，利用基本不等式可求得结果.

x+2

【详解】因为x>—2,贝iJx+2>0,则

2

=A-+4,Y+6=」+2）'+2=1+2-2_22卜+2）；=2无，

x+2x+2*〃x+2Vx+2

当且仅当工=&-2时，等号成立，

所以，当x>-2时，函数"』-4"+6的最小值为2五.

x+2

故答案为：2vL

四、解答题

12.（23-24制一上•四川遂宁•期末）（1）已知0<x<2,求x（2-x）的最大值;

（2）已知工>；3,求x+^一4；的最小值.

22.r-3

【答案】（1）1;（2）2x/2+|

【分析】（1）利用基本不等式即可得解；

（2）利用基本不等式，结合换元法即可得解.

【详解】（1）因为0<x<2,所以2-x>0,

则工（27）4（巴士产）=1,当且仅当x=2-x,即x=l时,

取到等号,

所以x（2-x）的最大值为1；

3

（2）因为所以2x—3>0,

令Z=2x-3,PPJx=—+—,/>0,

22

所以x+d-，+?+-^2I--2=242「，

2x-322tY2f22

/4T.r-

当且仅当5=7,即/=2后，即/=：+收时，取到等号，

所以x+的最小值为2及+g.

2x-32

13.（22-23高一上・陕西榆林•期末）已知。>0,b>0.

⑴若〃=6一求2的最大值：

aa

（2）^a2+9b2+lab=a2b2>证明：ab>3.

【答案】⑴9

（2）证明见解析

【分析】（1）由。=,x/）运用基本不等式求乘积得最大值；

aa

（2）直接由基本不等式/+9〃>6ab对已知等式进行放缩,证得结果.

【详解】（1）因为8=6」，所以"1=6.

aa

当且仅当8=',«=1力=3时，等号成立,

故2的最大值为9.

a

（2）证明：因为片+9从+2ab22后•92+2ab=8ab，

所以九228时,又。＞0力＞0,

解得。吐8,

当且仅当。=2"8=坟时，等号成立.

3

故小8.

14.（22-23高一上•河南•期末）证明下列不等式，并讨论等号成立的条件.

（1）若04x41,则

（2）若a/）工0,则2+£22.

ab

【答案】⑴答案见解析

⑵答案见解析

【分析】（1）利用基本不等式即可证明；

（2）讨论必＞0和砧＜0两种情况，脱掉绝对值符号，结合基本不等式证明即可;

【详解】（1）证明：因为0"小，所以0«五41，1-420，

所以4（i-4）v4+（；.）=5，

当且仅当q二1-五，即时，等号成立.

⑵证明：因为曲工0,当。＞＞0时,-+^=-+^-＞2^^=2,

当且仅当。=6工0时等号成立.

当融＜0时，卜刎用+卜斛2代代）=2,

当且仅当。=-6工0时等号成立.

综上,若帅，。,则上伽2成立，当且仅当/=心。时等号成立.

题型03二次函数与一元二次方程、不等式（共20题）

一、单选题

1.(23-24高一上•江苏徐州•期末)若命题“HxwR,/+公+/＜0”是假命题，则实数f的最小值为()

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】根据特称命题与全称命题的真假性质，结合一元二次不等式的解集的性质进行求解即可.

【详解】因为命题“%wR,/+4工+，＜0''是假命题，

所以命题“VxwR,.，+4x+/20''是真命题，

因此有△=42-4140=124,所以实数f的最小值为4,

故选：C

2.(23-24高一上•安徽宣城•期末)若命题Tx«-1,2],使/+]＞机，，是真命题，则实数〃[的取值范

围是()

A.(-00』B.(f,2)C.(f5)D.(5,+OD)

【答案】C

【分析】由存在性问题得(Y+1)皿=2?+1=5即可得解.

【详解】由题意命题7x«T2],使是真命题，所以〃?＜卜2+1%、=4+1=5,

当且仅当x=2,有(F+l).=22+l=5,所以实数〃?的取值范围是(-8,5).

故选：C.

3.(22-23高一上•河北保定•期末)关于二次函数_)，=%2一米+%-1(%工0),则下列正确的是()

A.函数图象与x轴总有两个不同的交点

B.若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则八＞0

C.不论太为何值，若将函数图象向左平移1个单位，则图象经过原点

D.当X21时，y随x的增大而增大，则A＜2

【答案】C

【分析】根据二次函数对应二次方程的判别式判断A,由根与系数的关系判断B,由图象的平移判

断3根据对称轴判断D.

【详解】•.•△=(-A)?—%"-1)=F—44+4=/-2＞之0,.•・函数图象与x轴总有两个不同的交点或相

同的交点，故A错误:

k>0

若函数图象与x轴正半轴交于不同的两点，则由根与系数的关系知左-1>0,解得％>1且人工2,故

△>0

B错误；

若将函数图象向左平移1个单位，可得到y=（x+l）J%（x+l）+"l,令x=0,则尸0,即图象经

过原点，故C错误；

当121时，y随x的增大而增大，即函数图象的对称轴尤=3<1,解得％42,故D错误.

故选：C

4.（23-24高一上・江苏南京・期末）若函数/（》）=--〃吹+3在区间（TO,2）上单调递减，则实数〃，的

取值范围是（）

A.（-»,2]B.[2,+co）C.（一应4]D.[4,+oc）

【答案】D

【分析】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解.

【详解】因为函数/（切=—-”+3在区间（-00,2）上单调递减，

所以解得〃吐4.

故选：D

二、多选题

5.（23-24高一上呐蒙古巴彦淖尔•期末）已知命题〃：X2-5X+4<0»则命题P成立的一个充分不

必要条件是（）

A.l<x<2B.2<x<4C.\<xD.x<4

【答案】AB

【分析】解不等式求得P：14xW4,利用充分不必要条件的概念计算即可.

【详解】由/_5%+4«0，解得1MXW4.

要满足题意，只需在｛x|lWxK4｝的子集中确定即可，

显然1Wx<2和2<xK4都是命题P成立的充分不必要条件.

故选：AB.

6.（23-24高一上•湖北十堰•期末）已知关于1的不等式.如2+队+°>0的解集为（70,2）33,+贫）.则

（）

A.a>0

B.不等式不+c>0的解集是解|xv-6}

C.a+b+c>0

D.不等式乐+"<0的解集为卜或

【答案】AC

【分析】由条件可得2,3为方程62+6+。=（）的两根，且。>0,结合根与系数关系可得〃,瓦。的关

系，再逐项判断各选项.

【详解】因为不等式.五+以+c〉0的解集为（田,2）53,+。），

所以2,3为力程0¥2+—。=0的两根，且。>0,

所以2+3=-±b,2x3=c-,

aa

所以b=-5a,c=6a,a>Q,

因为a>0,所以A正确；

因为人=-5a,。=6。，a>0,

所以不等式〃x+c>0可化为x<g,B错误；

因为〃=_5a,c=6a,a>0,

所以a+8+c=2a>0,C正确；

因为方=-5a,c=6a,a>0,

所以不等式队+a<0可化为5x>l,

解得，x>|,所以D错误；

故选：AC.

7.（23-24高一上•安徽宣城,期末）对任意的xwR,函数/（"=加-3x+中的值域是［0,+8）.则

下列结论中正确的是（）

A.a>0B.a^h=9

C./+4力的最小值是12D./+“5+3。+力的最小值是6-6百

【答案】ABC

【分析】由题意可得。＞0,且/'D=°，从而可求得。力的关系，即可判断AB；再根据基本不等

式判断CD即可.

【详解】因为函数/（切=♦-3x+中的值域是［0,+功，

所以。＞0,且=

99ab

即^；-——+—=0,所以『6=9,故AR正确：

4a2a4

9

由『6=9,得6=r＞0，

则/+46=/+与之2卜序=12,

当且仅当/=当，即。=遥0寸，取等号，

a

所以々2+48的最小值是12,故C.正确;

00

由/8=9,得力==>0,。6=—>0,

a~a

9929

则/+ab+3〃+b=/+—7+—+3a22XL­—=6+6^3，

a~aVa~

,9

«■=—

当且仅当°，即。=有时取等号,

-=3a

所以〃2+〃6+3〃+力的最小值是6+6后，故D错误.

故选：ABC.

8.（23-24高一上•江西抚州•期末）若正实数。/满足24+6=2,则下列结论中正确的有（）

14

A.j+j•的最小值为8.

112

B.-------------F--------------的最小值为。

4a+b2a+2b

C.2々+向的最大侑为2石.

2

D./+2/的最小值为§.

【答案】ABC

【分析】利用基本不等式求解最值判断A,B,C,利用消元法结合二次函数求得最值判断D.

【详解】A选项，因为。＞01＞0,且2〃+8=2,所以2师《2,

所以当且仅当2。=力=1时，等号成立，

I44

.-.p-+—>—>8,当且仅当2o=b=l时，等号成立，故A正确；

B选项,因为/^占4〔（4〃+小（2，+如]/2匕）

4+―+3]42.2），

614（i+b2a+2b）6V73

当且仅当竽当=普3,即2〃=〃=1时取等号，故B项正硝；

4a+b2a+2b

C选项，（2&+V^）2=4a+2b+4>&=4+4x&K4+4x^^=4+4=8,

当且仅当2a=6=l时取等号，所以2八+屈£2也,所以26+国的最大值为2正，故C项正

确;

D选项，因为/+2a2=(2-2〃)2+2cJ=6/-8a+4=6(a-214-->-,当且仅当a=6=：时取等

<3；333

号，

4

所以/+2〃的最小值为故D项错误.

故选：ABC.

【点睛】思路点睛：四个选项均要对所求式子进行变形，A,B,C选项利用T”代换以及基本不等

式求最值，同时也要注意取等条件是否成立，D选项由条件消元转换成二次函数求最值.

三、填空题

9.（23-24高一上•安徽毫州•期末）若关于x的不等式m2+x+]>（）的解集为灭，则实数6的取，直范

围为.

【答案】m>\

4

【分析】由一元二次不等式的解集为R，可知二次函数开口向上，判别式小于0,解得即可.

【详解】当阳=0时，x+l>0,A>-1,不满足题意；

m>0，所以，心?

当用工0时,

A=1-4ni<0

综上，实数〃，的取值范围为心

故答案为：w>7

4

10.（23-24高一上•江西九江•期末）设二次函数/（x）=#-2x+c（“£R）的值域是[0,+8）,则雪上

ca

的最小值是.

【答案】2

【分析】由二次函数值域确定参数关系，结合基本不等式即可求解.

【详解】根据题意知，<7>0,A=4-4ac=0,即ac=l,

所以_L+_LN2、[3=2,当且仅当'=,即。=c=l时等号成立.

caycaca

所以的最小值是2.

ca

故答案为：2.

11.（23-24高一上•新疆阿克苏•期末）已知不等式V—2x+5-2.20对于任意实数》恒成立，实数。

的取值范围.

【答案】（』,2]

【分析】由不等式/-24+5-220对于任意实数x恒成立，可得△«（）,从而得解.

【详解】由不等式f一24+5-2〃20对于任意实数工恒成立，可得AK0,

即4-4（5-20KO,解得心2.

故答案为：（Y,2].

12.（22-23高一上•江苏淮安・期末）设M表示函数/（"=卜2-公+2|在闭区间/上的最大值.若无第

数。满足%0旬22Mm2a，则正实数。的取值范围是.

【答案】2一瓜;

【分析】根据/（》）的表达式，画出其图象，根据图象，分。>4和两种情况讨论，结合图象得/（力

在区间[0,o],[a,2a]的最大侑即可列不等式求解.

【详解】函数/"）的图像如下:

/(工)的对称轴为x=2,〃2)=2J(0)=/(4)=2；当/(x)=0时,彳=2土点,

分类讨论如下：

⑴当a>4时,妁0司=/(4)，叫",2句=/(2。)，

依题意，/(a)>2/(2a),而函数在xN2+加时是增函数，此时〃<2*/,)</(勿)，故不可能；

(2)当。<4时，M［。同=2,

依题意，2NM臼，即圾3小，

令/(x)=l,解得：玉=2-6,工2=1,不=2+叔七=3，

则有：/2-6并且2心1,解得：2-V3<a<|；

或者“23并且2aW2+G，无解；

综_L:2—\/3<u<

故答案为：2-y/3<a

13.(23-24高一上•江苏盐城・期末)关于x的不等式尔_2x+140在(0,2］上有解，则实数a的取值

范围是.

【答案】(F,1］

【分析】根据题意将不等式转化为〃W—F在(0,2］能成立即可，再由二次函数性质求出

X

<2Y_1、

y=一丁/£(0,2］即可得。的取值范围是(-<»』.

IX/max

_i

【详解】由不等式加-2工+1W0以及工«0,2］可得〃4三一，

(2v-lA

依题意可知一二,xe(0,2］即可,

V*/max

又y=2"J=_(J■一1]+1,由xc(0,2]可得，e1’的

x~kxJxL，

利用二次函数性质可知=-（1-1『+1=1,即可得441;

即实数4的取值范围是（F』.

故答案为：（口[]

14.（23-24高一上・重庆・期末）关于x的一元二次方程/+（。2-1b+4-2=0有一个根小于—1,另

一个根大于1，则4的取值范围是

【答案】-2<a<0

/⑴<0

【分析】根据二次函数图像特征，满足•；1）<0，即得a的取值范围•

【详解】设〃x)=/+(/-l)x+”2,开口向上,

/⑴=1+(/-1)+〃-2<0

由题意知<,、/,\，

/(-1)=1-(^-l)+a-2<0

It72+a-2<0“口卜2<a<]

即｛2八，解得</A=n\i，

\-a~+a<0”(0或a)l

所以-2v"0.

故答案为：-2<«<0.

四、解答题

15.（23・24高一上•新疆阿克苏•期末）（1）求不等式3x-4<0的解集；

（2）求函数y=—二+式工>3）的最小值.

x-3

【答案】（1）（-1,4）.

（2）5.

【分析】（1）把不等式因式分解，因为开口向上，所以小于0取中间，得到结果:

（2）利用均值不等式相关知识进行求解.

【详解】（1）,/x2-3x-4<0>（Ar-4）（x+l）<0,

/.-l<x<4,所以不等式的解集为(一式).

(2)vx>3,.\x-3>0,

.•.)=--!—+(x-3>3>5,

x-3x-5

当且仅当》一3二工，即x=4时，取等号.

x-3

•**>min=5.

16.(23-24高一上•河北唐山•期末)己知函数/(x)=x2-(3a-l)x-a.

(1)若。=；,求不等式/(外>()的解集；

(2)若函数/(x)的图象与％轴交于.4(3,0),8(吃,0)两点，求|演-司的最小值.

【答案】⑴卜|x>l或XV-；，

⑵半

3

【分析】(1)解一元二次不等式，求出解集；

(2)x2-(3a-])x-a=0,由韦达定理得到两根之和，两根之积，进而得到瓜-司=J9H+：

求出最小值.

【详解】⑴时，x2-lx-^>0,解得x>l或x<-1

2222

原不等式的解集为卜卜>1或x<-3卜

(2)令丁-(3"1)%-°=0,

由△=(3a-l『+4a>0得9a2-2。+1〉0,

故4+/=%一1内/=-a,

故|再一/|=J(再+再)2-4内彳2=J(3a_1)一+4q=xl9a2-2a+1

当a=g时，|再-X2I取得最小值，最小值为手.

17.(23-24高一上嘿龙江牡丹江•期末)设命题〃：实数x满足(工-。)。-34)«0,其中。>0,命题

夕：实数人满足-2)/0.

⑴若4=1,且〃和4都是真命题，求实数X的取值范围：

(2)若4是”的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【答案】⑴24x43；

(2)1<«<2,

【分析】(1)把”=1代入，求出命题夕，夕为真命题的x范围，再求出公共部分即得.

(2)求出命题P为真命题的x范围，再充分不必要条件的意义列式求解即得.

【详解】(1)当a=l时，不等式(―3。)40为(x-lXx-3)W0,解得1443,即p：l«x«3,

由(x-3)@一2)40,得2KxK3,即夕：2gxM3,

由。和。都是真命题，得24x43,

所以实数x的取值范围是24x43.

(2)由a〉0,(x-a)(x-3a)<0,得即命题p:aK工K3。，由(1)知命题夕：2KxW3,

[a<2[a<1

因为是P的充分不必要条件，因此，，或’、，，解得1<。<2或lWa<2,即1KQ42,

3a>3[3a>3

所以实数。的取值范围是1工。<2.

18.(22-23高一上•湖南邵阳•期末)已知二次函数/(》)=--4x+c的图象过点(1,3).

⑴求/(力的解析式，并写出y=/(x)的单调递增区间(不要求证明)；

(2)求不等式/(x)>4-x的解集.

【答案】(1)/'(X)=/-4X+6,[2,+OC)；

Q)(-8,1)U(2,+OO).

【分析】(I)由题意可得/(。=3,求解即可；

(2)原不等式可转化为--3X+2>0,根据一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】(1)因为函数〃x)=x2-4x+c的图象过点(1,3),

所以/⑴=r-4xl+c=c-3=3，解得c=6.

所以/(x)的解析式为/(x)=--+6.

/(X)=X2-4X+6=(X-2)2+2,故)，=/。)的单调递增区间为[2,+8).

(2)/(x)>4-彳即为/_叙+6>4-x,

即/-3x+2>0,解得x<l或x>2.

故不等式/(x)>4-x的解集为(TO,1)U(2,*O).

19.(22-23高一上•湖北黄冈•期末)设函数/(力=0^+优-3卜+2.

⑴若不等式/3>0的解集为求”6的值；

(2)若〃/eRJ且WTGR都有/(l+x)=/(l-x).求4/+A2