2025-2026学年安徽省淮南某中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

2025.2026学年安徽省淮南二中高二(上)开学数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合4={0,1,2,3},B={y\y=3-x2,xeA],则4nB=()

A.{0,123}B.{1,2,3}C.{2,3}D.{3}

2.在复平面内，i为虚数单位，若复数(l+i)z=(2-i),则z=()

「

A..--1-3-i.pB..--1.+3-.113.D.-+-i

3.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6,乙中靶的概率为0.7,且两人是否中靶相互

独立，若甲、乙各射击一次，则()

A.两人都中靶的概率为0.12B.两人都不中靶的概率为0.42

C.恰有一人中靶的概率为0.46D.至少一人中靶的概率为0.74

4.已知函数y=ax-1+l(a>0,aH1)的图象恒过定点4且点力在直线y=mx+n(in,n>0)上，则3

的最小值为()

A.4B.1C.2D.13

5.已知向量应为单位向量，向量了在五上的投影向量为一2,，则4•]=()

A.-2B.-1C.0D.

6.如图，P为平行四边形48CD所在平面外一点，E为力D的中点，尸为PC上一点，当出〃平面EBF时，f=()

B]

D,

7.己知函数/•(%)=1：二2；：：；,£1，有且仅有一个零点，则正数。的取值范围为()

A.(0,2)B.(0,2)U[e,3)C.(0,2]U[e,3)D.[e,3)

8.通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对(Zi，Z2)(Z1,Z2GC)

看作一个向量，记益=(Z],Z2)，则称力为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于五=(Z1，Z2)工=(Z3，Z4)，

z^z2sz3.z4,AEC,我们有如下运算法则:(Dd±b=(zi±z3,z2±z4)：®Xa=(AzpAz2)；翻不=zxz3+

Z2£,：⑷司=府五则下列结论正确的是()

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A.若五=(1,2—i),石=(l+i,2i),则五•石=-l+5i

B.若五=(l,2-i),b=(l+t2i),则|五+回=JTU

C.(Za)-d=a(Ab)

D.a-(^+c)=a-d+a-c

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知事件43满足P(A)=0.5,P(S)=0.4,则下列说法正确的是()

A.若BG4则P(4B)=0.5

B.若48互斥，则PQ4+H)=0.9

C.若A,8互斥,则P(4B)=0.2

D.若力，8相互独立,则P(A+8)=0.7

10.已知a,0为锐角,sina=sin(a—夕)=一一孔则()

47V~2

A.sin2a=-B.sinp=

ai

C.tan(a+/?)=-.D.tanp=-

-LJ/

11.如图，正方体ABCD-ABiGD］的棱长为1,P为BC的中点，Q为线段CCi上的

动点，过点4P，Q的平面截该正方体所得截面记为S,则下列命题正确的是()

A.直线4P与直线的Di所成角的正切值为:

B.当CQ=5寸，截面S的形状为等腰梯形

C.当。(？=飘，S与CM1交于点R,则

D.当时，直线PQ与平面ACCMi的夹角正弦值的取值范围是(驾3)

人1U乙

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=4,c=2心，A=^,则6:=____.

13.已知命题p：V2x-1<1,q：x2-(2cz+l)x+a2+a<0,若p是q的充分不必要条件，则实数a的取

值范围是______.

14.高一某班有24名男生和40名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为4,若男生

分数的方差为94,全班分数的方差为84,则女生分数的方差为

四、解答题：本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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15.(本小题13分)

为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了40名工人某天牛.产该产品的数量，得到频率分布直方

图如图所示.

(1)求频率分布直方图中a的值.

(2)求这40名工人一天生产该产品的数量的众数，80%分位数和平均数.

16.(本小题15分)

如图，在边长为2的正方形中，点E是4B的中点，点尸是的中点，将△4ED,△BE凡△DC尸分别

沿DE,EF,DF折起，使4B,C三点重合于点4'.

(1)求证4'D上EF；

(2)求三棱锥4’—EF。的体积.

(3)求点F到平面力'ED的距离.

17.(本小题15分)

已知向量沅=(sinx,cosx),n=(cosx,—y/~3cosx'),函数f(%)=mn.

(1)求/co的最小正周期及单调递增区间；

(2)若g(x)=/3乃+?(3>0)在区间［0《］上的值域为［―3,1］,求实数3的取值范围.

18.(本小题17分)

己知/(%)=log。工(Q>。且QH1).

"i"O

(1)判断并证明函数/(%)的奇偶性;

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答案解析

1.【答案】C

【解析】解:因为力={0,1,2,3},所以B={y\y=3-x2,xeA)={3,2,-1,-6),

所以4nB={2,3}.

故选：C.

由题意可得8集合中的元素，进而可得HG8.

本题考查两个集合交集的求法，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：根据题意可知，复数(l+i)z=(2—i),

则z=W=M-13.

———i

(1+0(1-0222

故选：C.

利用复数的除法运算求解即得.

本题考查了复数的除法运算，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：设甲中靶为事件4乙中靶为事件8,

则P(A)=0.6,P(B)=0.7,

则两人都中靶的概率为0(4)xP(B)=0.7X0.6=0.42,故A错误；

两人都不中靶的概率为(1-P(4))X(1-P(B))=0.3X0.4=0.12,故4错误；

恰有一人中靶的概率为(1-PQ4))xP(8)+PQ4)(1-P(8))=0.3x0.6+0.7x0.4=0.46,故C正确；

至少一人中靶的概率为1一0.3x0.4=0.88,故。错误.

故选：C.

设出事件、根据相互独立事件的概率公式计算求解.

本题考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了指数函数过定点问题，以及利用基本不等式求最值，是基础题.

由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得m，n的关系，然后由基本不等式求得最小值.

【解答】

解：由％-1=0,解得％=1,

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又/⑴=2,

所以函数y=谟一】+1过定点为A[l,2),

代入直线y=mx+九中，

得m+n=2(m,n>0),

所以3+3=X3+3)(m+n)=*2+A?号(2+2j^)=2,

当且仅当m=n=/时等号成立，

所以工+工的最小值为2.

mn

故选：c.

5.【答案】4

【解析】解:另在N上的投影向量为一2五，则需看二-2优

则煞=_2,

人」同2乙，

根据题意可知，向量方为单位向量，

所以五不=一2.

故选:A.

结合题意，由投影向量的计算公式可得.

本题考查了投影向量的计算公式，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：连接4c与BE相交于点。，连接90,如图所示,

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PA〃平面£W,24u平面P4C,平面P4Cn平面EB"=FO,/0,则有北二黑.

rCUC

^AOE=Z-BOC,乙AEO=^CBO,LAEO^LCBO,蔡=祭.

平行四边形4BCD,E为AD的中点,=所以2=上

BC2FC2

故选：D.

连接4。交BE于点0,运用线面平行的性质定理，可得P力〃F0,再由平行线分线段成比例定理，可得结论.

本题考杳的知识点是线面平行的性质定理，平行线分线段成比例定理，考查了相似三角形的性质，属于中

档题.

7.【答案】B

【.解・析】解：当好-5%+6=0,解得％=2或x=3,当|"x-1|=0,解得x=e,

当a=2时，/'(%)有两个零点％=2和％=e,不符合题意，故C错误；

当a=e时，f(x)有一个零点％=2,符合题意，故力错误：

当G=1时，f(x)有一个零点x=e,符合题意，故。错误，8正确.

故选：B.

当好一5%+6=0或|"工一1|=0时求得心然后验证Q=2,Q=e,a=l,利用排除法可得答案.

本题由要考查由函数零点求参数情况，属于中档题.

8.【答案】BCD

【解析】解：对于4,•••五=(1,2-i),b=(1+i,2i),

：.ab=zxz3+z2zA=1x(1—i)+(2—f)(—2i)=-1-53选项A错误;

对于8,va=(1,2-i),石=(l+i,2i),

'-a+b=(Zi+z3,z2+z。=(2+i,2+i),

A\a+b\=J(a+b)-(a+b)=7(2+i)(2-i)+(2+i)(2-i)=Vlo,选项8正确；

对干C,Xa=(4Z[”Z2)，，(入方)•》=M1Z3+M2Z4,

—♦.—♦————

Ab=(AZ3,AZ4),:.a•(Ab)=Z\Xz2+z2^z4=Az1zj+Az224>

(Aa)-b=a-(Ab),选项。正确；

对干。，设Z=(z5,z6),则石+c=(z3+z5,z4+z6),

a-(b+c)=zx(z3+z5)+z2(z4+z6)=zxz3+z2z44-ZjZs+z2z6=a-b+a-c,选项。正确.

故选:BCD.

诜项力，用定义方•/)=Z1Z3+Z2Z4求解即可：诜项4,用同=\!五•结合方•了=Z1Z3+Z2Z4求解即可：诜

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项C,用定义求出左右两边是否相等即可；选项。，左边用瓦+B=(Z1+Z3，Z2+Z4)和2•b=Z1Z3+Z2Z4

定义求出，右边也求出，看是否相等即可.

本题考查了平面向量的数量枳运算问题，也考查了新定义的应用问题，是中档题.

9.【答案】BD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于4因为BG4则P(AB)=P(B)=0.4,故/错误；

对于B,若4B互斥,则PG4+8)=P(4)+P(B)=0.5+0.4=0.9,故月正确；

对于C,若48互斥，则事件48不可能同时发生，所以P(48)=0,故。错误；

对于D,若A,B相互独立,则PQ4B)=PG4)・P(B)=0.5x04=0.2,

所以PQ4+B)=P(A)+P(B)-PQ48)=0.5+0.4-0.2=0.7,故。正确.

故选：BD.

利用事件的关系结合概率求解可判断A的真假：根据互斥事件的概率加法公式可判断8的真假：根据互斥事

件的概念可判断。的真假，根据独立事件的概率公式结合概率的加法公式可判断。的真假.

本题考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，涉及概率的性质，属于基础题.

10.【答案】ABC

【解析】解：因为0VaV*0</?<p所以—]<a—

所以cos(a-/?)>0,

由sina==cosa=V1—sin-a=?，(T)

故sizi2Q=2sinacosa=2xx■?=选项4正确；

因为sin(a-8)=-泮，所以cos(a-/?)=V1-sin2(a-/?)=今乎，

所以sin/?=sin[a-(a-/?)]=sinacos(a-/?)-cosasin(a-P)=^7-^xx(-②,

JXU口AwXV/

选项8正确;

由(D^-tana=迎g=2,

cosa

由②f导：cosp=V1-sin2/J=所以tan"舞=7,tan(a+。)=普:;黑=3=-卷，

所以。正确，。错误.

故选：ABC.

由a,£为锐角，求出a一夕的范围,根据sina=4士sin(a—夕)=一号/由同角三角关系式分别求得cosa,

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tana,cos(a-«,再依据二倍角正弦公式，两角差的正弦公式：两角和的正切公式及同角三角函数关系式

分别求各选项对应的三角函数值，即可选出正确选项.

本题考查同角三角函数间的关系及二倍角公式和两角和与差的三角函数公式的综合应川，属于中档题.

11.【答案】ABD

【解析】解：对于选项4因为48〃4为〃

故/8力。即直线力P与直线。山1所成角，

因为tan皿P=黑/故选项/正确;

因为CQ=：,易得PQ//BCJ/AD],

因为平面BCCiB"/平面

连接力，即为截面S与正方体的一条截线，

连接0Q,计算易得〃Q=/P,枚截而S的形状为等腰梯形PQ54,故选项4正确;

对于选项C,如图，过点A作PQ的平行线交直线。小于点E,连接EQ,交GDi于点R,

因为48//CD,易得△PCQS^AOE,

则丝=丝，

J/1DPC

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则。山=5

如图，又可得△GRQ〜△D/E,

cQQ

则-

DE

O-1

1

-

即4

-

1

2-

对于选项。，如图，取DC中点S,连接PS,BD,PS交AC于点M，连接QM,

易得PS//BD,BD1AC,则PS1AC,

又因为CCi1平面NBC。，PSu平面力BCD,则CglPS,

因为4CnCCi=C,AC,CCiu平面力CC]Ai，

故PS_L平而/CC1Al,

则/PQM即直线PQ与平面力CG%的夹角，设为仇

不妨设CQ=x,则无6弓，1),

PM_索

在At△PMQ中，sin9=

PQ~2V4x2+f

因x£(g,l),则2V4%2+1<5,

可得票＜s出6故选项。正确.

故选:ABD.

对于4通过平移得到线面所成角，计算即得；

对干B,利用面面平行的性质定理作出截面，即可.判断其形状；

对于C,通过作图，利用面面平行的性质定理和三角形相似的性质计算即得；

对于0,取DC中点S,连接PS,BD,交4C于点M,连接QM,可证PSJ•平面ACC1&,推得乙PQM即直线PQ

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与平面4cg4的夹角仇设CQ=x,XG（11）,结合图形求出371。=」'：,由函数的单调性即可求得

乙2v4/+1

其范围.

本题考查立体几何综合问题，属于难题.

12.【答案】*

O

【解析】解：a=4,c=2<2,A=l

由正弦定理得治=忌

所以.。=等=今

其中c<a,C<4故。为锐角，所以。屋.

故答案为:今

由止弦定理进行求解，注意cva,C<A,故。为锐角，从血得到答案.

本题主要考正弦定理的应用，属于基础题.

13.【答案】｛a|0WaW：｝

【解析】解：由V2%—1W1得042%—1W1,即：三工工1,记4=G，1］；

由好一（2a+l）x+a?+Q&o得-（a+i）］Q-Q）工0,即a工工WQ+1,记8=［Q,Q+1］.

因为p是q的充分不必要条件，所以4$乩

11

<-a<-

则

或

2-2解得0WQ<2或0<。外,

+1>1a+1

-

1

所

以O<a<

--2一

故答案为：｛a|OWQW:｝.

先解不等式得到命题p和q成立的x的范围，再由p是q的充分不必要条件得到自变量范围的包含关系从而可得

结果.

本题主要考查了充分必要条件与集合包含关系的转化关系的应用，属于基础题.

14.【答案】72

【解析】解:设男生分数为勺，々，…，外4,男生分数均值为七

女生分数为yi，%，…，%o，女生分数均值为歹，

则还歹=4,总体均值为5亚=2g+鲁（i）=］今

,64642

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24—2

男生分数方差为星唠2=94,则(勺一；)2=94x24,

全班分数方差为/短管曾(力一计9=8%

由瞪I(勺-X+1)2=蹬1(左一x)2+£窘5(左一7)+24X(1)2=24X94+0+24X竽=2406,

所以2406+靡淤内"=84,

64

解得蹬>=2970,

因为x=y+4,

所以0?)2=2M(%一y-1)2=2970,

解得工23-3)2=2880,

则女生分数的方差为招铲A=鬻=72.

4040

故答案为：72.

由平均值公式、方差公式，根据男生分数、全班分数的方差可求出女生分数的方差.

本题主要考查了分层随机抽样的均值和方差公式，属于中档题.

15.【答案】0.025：

众数为60：80%分位数为73,平均数为64.

【解析】(1)由频率分别直方图的性质，

可得(0.020+0.040+a+0.010+0.005)xl0=1,

解得。=0.025；

(2)由频率分布直方图，可得众数为注竺=60：

由频率分布直方图可得：

0.2x50+0.4x60+0.25x70+0.1x80+0.05x90=64,

所以这40名工人一天生产该产品的数显的平均数为64：

因为前2组的频率和为10X(0.02+0.04)=0.6<0.8,

前3组的频率和为0.6+0.25=0.85>0.8,

所以80%分位数在第3组，设80%分位数为X,

则0.6+(%-65)x0.025=0.8,解得x=73,

所以80%分位数为73.

(1)由频率分布直方图中各个矩形而枳之和为1列方程求解即可：

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(2)根据众数、百分位数以及平均数的定义，结合频率分布直方图，逐一计算即可.

本题考查频率分布直方图的性质，考查众数、百分位数及平均数的求法，属中档题.

16.【答案】证明见解答；

3：

1.

【解析】(1)证叨：由题意，折叠前月。_LAE,CD±CF,

则折叠后力fDLA7E,A'DF,

因为4zEC\A7F=Af,AfE.A7Fu平面力'EF,

故,4'Z)1平面力'EF,

因为E尸u平面A'EF,故4,DJ.EF；

(2)解：由(1)问可知，A'D1平面AzEF,

所以三棱锥0-A'的高A'D=AD=2,

又因为△?1'折叠前为△8EF,点E,尸分别为718,8。的中点，

所以%，EF=SMEF=1x1X1=1,

所以V/T-EFD~^D-AzEF~，卬"，。=§乂5乂2=§;

/

(3)解：由题意，SAA，FD=jxAExAD=jx1x2=1,

设点尸到平面A'ED的距离为九，

则有匕4，-EFD=VF-A，ED=1SA4，ED•九=/解得九=1，

即点尸到平面A'ED的距离为1.

(1)只需证明A'D1平面4'EF,再结合线面垂直的判定定理即可得证；

(2)只需分别求出三棱锥。-4'E”的高、底面积，再结合棱锥的体积公式求解即可;

(3)由等体积法求解即可.

本跑考杳线面垂直的判定，考查棱锥体积的求法及点到平面距离的求法，属中档题.

17.【答案】兀，[一卷+k匹、+kn](kEZ)；

[6,31

【解析】(1)依题意，得f(%)=访•元=sinxcosx-，9cos2%

1.ry/~3r/3./r7T、/3

=^sin2x--cos2x--=sin(2x

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函数/(%)的最小正周期T=y=n；

由-5+2k/r<2x―^<-^+2kn,kEZ,得一卷+kn<%<-^+kn,kEZ,

4J4JL/X

所以/(%)的单调递增区间为[一号+而微+核](kEZ);

(2)由(1)知，g(x)=fO%)+¥=sin(2ax—弓)，(<o>0),

当XW[O,?]时，2a)x-^e[-5,7T0)

乙ooo

因为g(x)在xW[0,勺上的值域为[一苧,1],

所以^工府一搭工?，

LJD

解得'<0)<|,

所以实数e的取值范围是点,不.

O3

(1)首先利用向量数量积公式，结合二倍角公式和两角和差公式，将/。)化简为/Q)=sin(2x-5)-4,再

利用周期公式求出周期，利用正弦函数的图象和性质求解函数/■")的单调递增区间；

(2)首先求出g(x)=sinQur-^),再利用已知xw[0,^],可求出的取值范围，又g(x)在xW[0,^]

上的值域为[-苧,1]，结合正弦函数的图象，建立3的不等式，进而求出3的取值范围.

本题考查二倍角公式及两角和与差的三角函数公式的综合应用，属于中档题.

18.【答案】解：(1)/(%)为奇函数.证明如下：

由冶>0,解得％3或%>3,

A.IJ

即/(%)的定义域为(-00,-3)U(3,+00),关于原点对称,

l

又/(-x)=loga^=，。或当=(冷尸=-°9a^=-f(x),

••・/(%)为奇函数.

(2)gQ)=/(x-3)=1。或1=loga^+1),

由上上>0,解得％<0或%>6,

X

即g(%)的定义域为(.8,0)U(6,+co),

又函数y=?+1在(-8,0),(6,+8)上单调递增，

当G>1时，g(%)在(-8,0),(6+8)上单调递增，

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当OVaVI时,g(戈)在(-8,0),(6,+8)上单调递减,

综上，当Q>1时，g(x)的增区间为(一8,0)、(6,+8),无减区间；

当0<Q<1时，g(x)的减区间为(一8,0)、(6,+oo),无增区间.

(3)由logman)Vloga(am),m<n,得OVaVl,

又GTI>0,am>0,得m>0,n>0,6<m<n.

•••g(%)在(6,+8)上单调递减，则g(%)在上的值域为[g(n),g(m)],

坦，。(九)=logman)阳J丁=访

，

=loga(amy'|^=azn

•••Tn,几是方程V=ax即a，一%+6=o在(6,+8)的两个不同的根，

rax62-6+6>0

Ijlij.J=1-24a>0,解得OVQV.

宣>6

・••存在满足题意的m,n,此时Q的取值范围为((),《).

【解析】(1)利用定义法即可证明函数的奇偶性；

(2)根据对数复合函数的单调性的应用即可求解.；

(n-6

--=an

(3)由函数的单调性可知0<QV1且6VTHV〃，进而，:6，则山，几是方程。好一%+6=0在(6,+

---=am

m

8)的两个不同的根，解不等式组彳-6+6>°即可.

本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查运算求解能力，属于中档题.

19.【答案】千

证明见解析；

(封，丁)

【解析】(1)解：根据2a-b=2ccos8,结合余弦定理得2a-b=2cx2f2

次Z,ac

两侧同乘a,可得2a2-。匕=小+一匕2,整理得次+一=