2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考强化卷（苏科版高效培优·强化卷）全解全析

八年级数学上学期第一次月考卷（苏科版）

强化卷・全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：苏科版2024八年级上册第1章〜第2章。

第I卷

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求,

答案涂在答题卡上）

1.（24-25七年级下•福建莆田•阶段练习）下列运算中，错误的有（）

①小含=②JD2=±4；③口=-爬;④

A.3个B.2个C.1个D.4个

【答案】A

【详解】解：①陛=错误；

V144V144121212

②=J记=4,原式错误；

③0=-亚=-1，正确；

④生+[=糕哮，原式错误：

综上，错误的有①②④，共3个，故选：A.

2.（24-25八年级下•四川成都・期口）下列命题是假命题的是（）

A.三个角都相等的三角形是等边三角形B.角平分线上的点到角的两边距离相等

C.等腰三角形的中线就是角平分线D.到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

【答案】C

【详解】A.三个角都相等的三角形是等边三角形，符合等边三角形的判定定理，为真命题.

B.角平分线上的点到角的两边距离相等，符合角平分线的基本性质，为真命题.

C.等腰三角形的中线是否为角平分线需具体分析.等腰三角形底边上的中线、高线、顶角平分线三线合一,

但若中线为腰上的中线，则不一定为角平分线.题干未明确“中线〃的位置，表述不严谨，存在反例，故为假

命题.

D.到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，符合垂直平分线的判定定理，为真命题.故选：C.

3.（24-25八年级上•江西宜春•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.近似数100.180精确到（）.（）1B.近似数13.06精确到百分位

C.近似数6.2万精确到十分位D.近似数31.6x103精确到十分位

【答案】B

【详解】解：A、近似数100.180精确到（）.001,故本选项错误，不符合题意;

B、近似数13.06精确到百分位，故本选项正确，符合题意；

C、近似数6.2万精确到千位，故本选项错误，不符合题意；

D、近似数31.6xIO3=31600精确到百位，故本选项错误，不符合题意；故选：B

4.（24-25八年级上•江苏•期末）根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（）.

A.如图1,线段4）与8。相交于点O,AO=DO,BO=CO,"BO与ADCO

B.如图2,AC=ADfBC=BD,MBC与A4BD

C.如图3,线段力C、8。相交于点凡已知/44=QC,BE=CE,NAEB=/DEC,"BE与4DCE

D.如图4,已知NC/IB=NDB4Z1=Z2,AABC与&BAD

【答案】C

【详解】解：A.在图1中，由/。=。。，NAOB=/DOC,BO=CO,根据"SAS”证明△力80g△OCO,

可判断A不符合题意；

B.在图2中，由4C=力。，BC=BD,AB=AB,根据"SSS”证明△48。，可判断B不符合题意；

C.在图3中，AB=DC,BE=C£,4星=NOEC不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断△相£

与自DCE全等,可判断C符合题意；

D.在图4中，由NC4B=/DB4AB=BA,N2=N1,根据"ASA〃证明0△比1。，可判断。不符合

题意.故选：C.

5.（24-25七年级下•湖北恩施•阶段练习）已知a,6为实数，且底疝力-痔^+25,则标+Q的值为

（）.

A.10B.9C.8D.7

【答案】D

【详解】解：•••b=V^-V^+25，”一8之0,8-«>0,

6=25,.•.姒+扬=网+岳=2+5=7,故选：D.

6.（24-25七年级下•山西吕梁•期天）小明同学亲手绘制了一副面枳为625cn?的正方形书画作品，准备通过

快递邮寄给“红色精神代代传”革命题材书画作品组委会.已知快递站的一种包装袋是长方形，其长、宽之比

为3：2,面积为600cm汽请你通过计算帮助小明判断能否在不折叠书画作品的前提下，使用该包装袋进行

邮寄？（）

A.能B.不能，包装袋的长够，宽不够C.不能，包装袋的长、宽都不够D.无法判断

【答案】B

【详解】（1）解：面积为625cm2的正方形书画作品的边长是辰=25cm.

:包装袋的长、宽之比为3:2,.,.设长方形包装袋的长为3xcm,宽为2xcm,

由题意得3x・2x=600,即6/=600,.•」=10（负值舍去），，长方形包装袋的长为30cm,宽为20cm；

•••20<25<30,.•.不能，包装袋的长够，宽不够.故选B.

7.（24-25八年级上•山东济宁•期E如图，ZU8C中，N48C的角平分线80和4C边的垂直平分线。E

交于点。，力M_L口的延长线于点DN_L8c于点N.若力8=3,8c=7,则4W的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】解：连接力。、CD

①N84E+NC力E=I8O。：②。“为。的平分线；③AE=CE；（4）ZECD=60°.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【详解】解：为等边三角形，.•.480=60。，

•••4£。=120。，AZJ5C+ZJED=180°,

•••四边形中，ZABC+ZAED+ABAE+Z.CDE=360°,

ZBAE+NCDE=360°-180°=180。.故结论①正确；

如图，过后点作川,以的延长线于/点，作反7_1_8。于6点.则NEE4=NEGQ=90。，

•/Z^E+ZE4F=180°,/81£+/。。£=180°,/.ZFAE=ZCDE,

又・：EA=ED,.让FAgEGD（AAS）,：.EF=EG,：.BE为NABC的平分线.故结论②正确；

VBA=BC,BE平分N/14C,垂直平分/C,.・.£4=£：。.故结论③正确；

•/ZACB+ZACE+ZECD=180°,而乙4c8=60°,NACE工603/.ZEC/）^60°.故结论④不正确；

综上，正确的结论有3个.故选：C.

10.（2025・河北邢台•二模）如图，在RtAJ5C中，/C=8C,N力C8=90。，在MBC外的R3OCE中，EC=CO,

/ECD=9/,连接力。，转动RS。"使EC的延长线与线段力。相交于点M,点知为力。中点，连接8E,

下列几人的结论：甲同学说：△8E。为直角三角形且/4£。=90。；乙同学说：8E的长是。财的长的2倍;

丙同学说：AACE与“。。的面积相等.其中正确的是（）

A.甲的说法正确B.乙的说法正确C.丙的说法正确D.三人的说法都正确

【答案】D

【详解】解：延长CM,过点力作力产_LCM于点R如图所示：则/k=90。，

vZDCE=90°,/.ADCM=180°-90°=90°,=NQCN,•点M为力。的中点，力〃=DM,

,ZMF=NCMD,：.“MFgADMC（AAS）,：.AF=CD,CM=FM,S^AMF=S&DMC,

v£C=Z）C,：.AF=ECtvZJC/?=90°,ZJCF+Z5C£=90°,

•.乙4CF+NCAF=90°,；.NC4F=NBCE,•：AC=BC,：."CF注ACBE（SAS）,

.'.ZBEC=ZAFC=90°,RE=CF,$“（/•=54帅，

为直角三角形且/BEC=90°,故甲说法正确；

vCM=FM=-CF,BE=CF,：.BE=2CM,故乙说法正确：

2

•・SS=w+qV4-?=s

•06/f.WF。口DMC9••""cr-乙伊一=°”CM十°KDM八八CD9

•：S“CF=S.CBE，：以腔=$28,故丙说法正确；综上分析可知：三个人的说法都正确•故选：D.

第n卷

二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上）

11.（24-25七年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，是一个计算程序.若输入K的值为64,则输出y的结

果为.

【答案】正

【详解】解：输入工=64,

第一步：求64的立方根，^64=4,是有理数，不输出;

第二步：求4的算术平方根，4=2,2是有理数，不输出：

第三步：求2的立方根，正是无理数，输出入故答案为：V2.

12.（24-25八年级上•广东云浮•期末）小刚参加一项跳跃泥潭障碍的体能训练，他平时助跑跳跃距离约为

4.5±0.1m,但不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（48的长度），于是测量了相关长度，由于米

尺长度有限，小刚测得彳C=2.2m,8C=2.1m,根据小刚的测量，他完成这项训练挑战.（填“能〃

C

【答案】能

【详解】解：由题意可知，44<4C+8C=2.1+2.2=4.3<4.5—0.1=44,

••・小刚能完成这项训练挑战.故答案为：能.

13.（23-24八年级上•广东河源•阶段练习）利用表格中的数据，求反？+4.1232-71丽的值（结果保留整

数），结果应是.

a710^

172894.12313.038

183244.24313.416

19361435913.784

【答案】5

【详解】解：••,182=324,.••反i=1.8，・••JF7=4.123，，4.1232=17,

•••7^90=Vio7T9=13.784,­.V124+4.1232-V190=18+17-13.784,故答案为：5.

14.（24-25七年级下•安徽淮北•阶段练习）如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数,

即当/+//=（）时，a+6=0.由此解决下列问题：（1）若（—2.65y+/=o,则》=：

（2）若行漏和在可互为相反数，且〃-3的平方根是它本身，则机+〃的立方根为

【答案】2.65-2

【详解】解：（1）根据题意可知-2.65与V互为相反数，故y=2.65,故答案为：2.65：

(2)根据题意,得7+4〃i+4—3切=0,解得

•・・〃-3的平方根是它本身，.•.“-3=0,解得〃=3.

.•.加+〃=-11+3=—8,故加+〃的立方根为屿=一2，故答案为：-2.

15.(24-25八年级上•北京西城・期末)如图所示的“画图仪〃由两根有轨道槽的木条。P，QR组成,两根木条

在点。处相连并可绕点0转动.另有长度与OS相等的两根木条MS,M7,其中木条MS1的一端S固定在木

条。P上的相应位置，木条MS可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的位置可改变NP。灭的

大小.若小华同学在某次借助“画药仪〃画图时，摆出的位置恰好满足：ST=SN,则此时/力1伏=

【答案】9()

【详解.】解：由题意可得5河=57=7必，「./\57"为等边三角形，

/.NTSM=4TMs=60°,，ZQSM=180。一=120°,

♦・・SQ=SM,NSMQJ80。一产”=3。。,.£TMQ=90。,:"TMR=900,故答案为：90.

16.(24-25七年级下•四川成都•期末)如图,为的中线，过点8作BE〃4C交4。的延长线于点

E,点尸在线段AD上且满足BF=BE,延长BF交AC于息G,若8G=4,FG=：,则线段CG的长度为.

【答案】｛

【详解】解：•••力。为ZU4C的中线，.♦.4。=。。，•••BE〃4C,.•・/£•=/&£),

又\/BDE=UDC,LBDEWMDA,：.AC=BE,•：BE=BF,：.AC=BF,ZE=NBFE,

M・；NE=ZCAD,NBFE=NAFG,：2GAF=ZGFA,：.AG=FG="

6

191951477

：.AC=BF=BG-FG=—,：.CG=AC-AG=--一二二二二一；故答案为：

666633

17.（24-25七年级下•安徽蚌埠•期中）定义：对于任意实数“X］表示不大于x的最大整数.如：

［3J4］=3,［1］=1,［-1.2］=-2,若对数65进行如下运算：①［而］=8；②［两=2；③这样对

数65运算3次后的值就为1.一个正整数总可以经过若干次这样的运算后值为1,则数2025经过_____次

这样的运算后值为1.

【答案】4

【详解】解：①•・・屈？=45,•・•［表砺］=45.

②;6VA＜7,.・.［屈］=6.

③;2＜指＜3，，［C］=2.

④二［啦］=1.故答案为：4.

18.（24-25八年级上•湖北随州•期末）如图，在等腰Rt△/也。中，ZC=90°,。为48的中点，将两直角边

足够长的三角板的直角顶点放在点。处，绕点。任意旋转三角板，使两直角边分别交力C,BC于点E,F

（点E,F与点、A,B,。不重合），连接七户，下列结论：①DE=DF,②△4OE与△£1“有可能全等，

③△「斯的周长等于△力8C的周长的一半，④四边形CEQ/的面积等于△居＜:的面积的一半.其中正确的

【答案】①②④

【详解】解：如图，连接CO,♦.•在等腰R2/4C中，4cB=90。，。为48的中点,

.CD1AB,NA=NACD=NBCD=NB=45。,CD=AD=DB..

C/

/ISA

E,

AB

D

-DEIDF^ADE+Z.CDE=NFDC+Z.CDE=90°，

；ZDE=/CDF,：.“DE&CDF（ASA）,：.AE=CF,DE=DF,故①正确；

:.MEF的周长=CE+CT7+EF=CE+AE+EF=AC+EF

•••LABC的周长=4C+8C+48=2AC+2AD=2（AC+AD）

•；EF\4。不一定相等，・・•△CO•的周长不一定等于△ABC的周长的一半，故③错误；

•••ZC=90°MEF是直角三角形

•.•4=45。，点凡F与点小B,。不重合；二/力。后工90。；二当/力七。=90。时，

••・△4。。是等腰直角三角形；"£=。石=。£：=；4。=6；二”。£且4跖。（5人5）,故②正确；

,**MDE出&CDF；*e-S'ADE=S《CDF'：，S四边形国）F=^^CED+^LCDF=+^^ADE=S^DC=5^^ABC»④।上确；

综上所述，其中正确的结论是①②④.故答案为：①②④.

三、解答题（本题共X小题，共78分。其中：19・20题X分，21・24题每题10分，25・26题每题11分，答

案写在答题卡上）

19.（24-25八年级上•江苏•期中）计算与解方程:

（l）（x-l）3=y；⑵（1-X『-64=0.闭^^7+（_3»加—（―2齐⑷旧—我+4一|石—2|.

【答案】⑴x=g（2）x=—7或x=9⑶-40⑷—g+J5

【详解】（1）解：（4-1）3=4，.•..，二1■.（2分）

o22

（2）解：v（l-64=0,.*.（1-x）'=64,/.l-x=8oKl-x=-8,x=-7ngx=9；（4分）

（3）原式=-6+（-3）xl0-4=-6-30-4=-40.（6分）

（4）原式=2-2+2-（2-G）=3-2+2-2+百=」+G.（8分）

222

20.（24-25七年级下•四川广元•期末）在数学主题乐园，正方形迷宫边长对应正数的平方根分别是弘-4和

26-6,解出6才能进入，穿过迷宫来到宝藏密室，门锁密码由125的立方根a组成.进入密室后，需解出

关干戈的方程2x+3a=ll,才能兑换奖励.（1）求a,b,x的值；（2）将奖励存入边长为〃的正方体盒子,

若盒子体积比F大上求々+1的算术平方根.

【答案】（l）a=5,6=2,x=-2（2）6

【详解】（1）解：•••正方形迷宫边长对应正数的平方根分别是％-4和26-6,

...3/,-4+26-6=0,:.b=2,（2分）

••泡是125的立方根，••・a=Vi方=5，二方程2x+3a=ll变形为2x+l5=ll,解得》=-2；（4分）

（2）解：根据题意，得2=（"4-d=（5-2）3-（-2）3=35,（6分）

.•/+1的算术平方根为再打=6.（8分）

21.（24-25七年级下•安徽阜阳•期中）【阅读材料】

对于实数-我们规定：用表示。的整数部分.例如：因为1<6<2,所以行的整数部分为1,即

网=':因为2<币<3,所以"的整数部分为2,即（5）=2.

【应用】（1）填空：（JF）=.（2）若网=2,求出满足题意的所有x的整数值.

【拓展】（3）如果我们将正实数。的整数部分（五）进行开方，得出算术平方根为1次运算，将上述运算一

直进行下去，直到结果为1时停止运算.例如：布）=3,3的算术平方根为行；（6）=1,1的算术平方

根为1,此时运算停止，共进行2次运算.求对实数炳经过几次运算之后的结果是1?

【答案】（1）3;（2）4或5或6或/或8：（3）3次.

【详解】解:（1）因为9<13<16,

:.耶<至〈历,即3<后<4,.•.（布）=3.（2分）

（2）因为（4）=2,22=4»32=9,所以4Kxv9,（4分）

所以x的整数值为4或5或6或7或8.（5分）

（3）囚为121<137<144,所以、©<历7<圻石，即

故第1次运算：（V137）=ll,11的算术平方根为而；（7分）

因为9<11V16,所以的<而<而，即3<布<4，

第2次运算：（而）=3,3的算术平方根为行；

因为1<3<4,所以Ji■（石<〃，即lvg<2,（9分）

第3次运算：（6）=1,1的算术平方根为1.故对实数屈经过3次运算之后的结果足1.（10分）

22.（24-25八年级下•山东青岛•期末）探索新知：如图①，力。是△力8c的角平分线，段与黑之间有怎

样的关系呢？过点。作。七，/氏。尸J.4C,垂足分别为F,过点力作4〃_L8C,垂足为

A

AA

:,DE=DF

.；S&ABD=；ABDE=；BDAH,S△皿=gACDF=；DCAH

.4〉_•_BDABBD

•.--------———------1;J=-----

S△的ACDCACDC'

nr\

新知应用：(1)如图②，是a/BC的角平分线，若48=5,AC=3t则0=_________

DC

⑵如图②，力。是△48C的角平分线，若沁•=：,则段=_________：

'△ADC。ZC

（3）如图③，平分//2C,CE平分//C",若/4:“C:/C=5:6:4,$“始=加，求四边形/后尸。的值。

（用含m的式子表示）.

【答案】（1）:（2）/（3）导〃？

OI）

【详解】（1）解：过点。作OEJ•力氏。尸1/C,垂足分别为E,F,过点4作4〃_L8C,垂足为〃

or)c

vAB=5,AC=3,：.---=—.设8Z)=5x,DC=3x,

3

：♦BC=BD+DC=8x，：，=—=—.(2

BC8x8

(2)解：过点。作。七_1_4氏。9_1力。，垂足分别为E,F,过点4作力，_LZ?C,垂足为〃

由探索新知可知，对于△A8C,/£>是角平分线时:

$-ABDE

、6ABD_2

SAnAoBtDJ=—2AB-DE,SZ-iz!.ArA^>=—2ACDF；

S"：MCDF

2

r———2/BD_ABS"_aABa如攵次*4—公、

VDE=DF:-v一工，二下二三.故再案为工；（分）

7------h4

、a.40cAC>34Cbb

(3)•••加平分/彳8。，.・.点。到/8,8c的距离相等，.•.*3=笈='|,

»必C6

S/8C=S,ABD+SRDC=M»S“BC=-W»S.、BDC二'同理CET-，分/ACB,

S.CEAC423

==

•••T^T777»•••SJCE=£/〃，\/JCE=7W»(6分)

b,BCEBCb55

连接N/L过点F作FG,FH,RM分别垂直于48,BC,AC,

:BD平分NNBC,CE平分NACB,FG=FH,FH=FM,：.FG=FM

.•.47平分/力。8,...点尸至~4,BC,力C三边的距离相等，

*'•S/BF:S^BCF'S^ACF=4B:BC-AC=5^6：4,（8分）

124

S“BC=S/BF+S&BCF^^^ACF=机；二=~nifS^CF=1"'，^^>ACF=百'〃*

522]414

：•SjU边形的D=SJBD+S-ACE+S^BCF~S&ABC=y〃?+《用+《〃?一机=W〃].故答案为W"2.（10分）

23.（24-25七年级下•广东湛江•期末）项目式学习活动主题：估算A0纸的长与宽

【知识储备】（1）如图1,把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积

为2的大正方形，则大正方形的边长为一.

图1

一般结论：正方形的对角线与边长的比是.

【项目素材】如图2,按照国际标准，A系列纸为长方形（长宽比相同），其中A0纸的面积为厉儿

将A0纸沿长边对折、裁开，便成两张A1纸：将A1纸沿长边对折、裁开，便成两张A2纸；将A2纸沿长边

对折、裁开，便成两张A3纸;......将An纸沿长边对折、裁开，便成两张A（〃+l）纸.

（2）【任务探究】任务「AI纸面积是A2纸面积的一倍，A2纸周长是A4纸周长的一倍；

（3）任务二：将一张A4纸按如图3所示进行两次折叠（折痕分别是48和/E）,观察发现点8恰好和点C

重合，求A4纸的长与宽之比.

（4）任务三：根据上述结论，估算A0纸的K和宽分别是多少塞米（结果取整数）.

（参考数据：&al.4142，V1.4142»1.1892,250.7071,血7071*0.8409，,1414200*189.2,

J707100±840.9,72x840.9«1189.2»72x1189,2»1681.8）

【答案】（1）近：V2：l:（2）2,2；（3）&」：（4）A0纸的宽约为841mm,则长约为1189mm.

【详解】解：（1）•・•两个边长为1的小正方形，合成一个大正方形面积为2,

•.天正方形的边长为近；正方形的对角线与边长的比是加：1.故答案为：V2;正：1（2分）

（2）根据图2的面积关系发现：A1纸面积是A2纸面积的2倍・A2纸周长是A4纸周长2倍；

故答案为：2,2；（4分）

（3）解：由折叠的性质可知4c=彳5,由（1）可知在正方形中物：/尸=应：1，

-AC：AF=y[2：\^即A4纸的长宽之比为&：1；（6分）

（4）解：由（3）可知：A0纸的长与宽之比是正：1

设A0纸的宽为xmm,则长为,7A0纸的面积为1mZ-心由]^,岳…=10"，。分）

1A61

?=-^=106X-^«707100,x«V707100«840.9«841»（9分）

72X«V2X841«1189;故A0纸的宽约为841mm,长约为1189mm.（10分）

24.（24-25八年级上•山东•期末）折叠可以解决很多问题.我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等,

那么不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢？

【问题情境】如图1，在△力8c中，AB>AC,怎样判断NC与N4的大小关系呢？

解答：将边力。折叠，使力。落在边力4上，点。的对应点为C,折痕与8c交于点。.

由折叠可得ZACD=ZC.又<ZACD>Z.B,，NC>NB；

结论：在三角形中，大边对大角；反之，大角对大边.

（1）若/。8=60。，ZC=80°,求NC'QB的度数；

（2）若NC=2N4,判断1C,月8与。。之间的数量关系，并说明理由：

【变式探究】（3）如图2,在Rt"4C中，ZZ?JC=90°,ZZ?=30°,4。是△/也。的角平分线.设力C=a,

AB=b,求4。的长（用含a,/）的代数式表示）;

【思维拓展】（4）在△力8c中，AB=AC.N8/C=100。，。是边8c上的动点，连接4。，将△AB。沿力。

折叠，得到△花。，且点石在直线8c的下方,4E与边BC交『点、M.继续将力。向下折叠，使边4C与4E

重合，折痕为/尸（尸在边CW上），连接£7L若△力E尸是等腰三角形，请直接写出的度数.

【答案】（1）NC'D8=40。；（2）AC+CD=AB,理由见解析；（3）BD=3a-b；（4）当是等腰三

角形时，的度数为1（）。或25。或40。.

【详解】解：（1）••・在△XBC中，ZCAB=60°,ZC=80°,.■.Z/?=180°-（ZC/f^+ZC）=40°,

•••将/1C沿4。折叠，点。落在力8上，点。的对应点为C',如图1所示：.,.N4CQ=NC=80。,

图1图2图3

vZACD=ZB+ZCDB,80°=40°+^CDB,ZCDB=40°；（2夕

（2）AC,与C。之间的数量关系是：AC+CD=AB,理由如下

将边力。折叠，使4C落在边力8二，点。的对应点为C'，折痕与8c交于点。，如图2所示：

根据折叠的性质得：ACAC,CD=C'D,NAC'D=NC,NC=2/B,:"AC'D=2/B,

X-.ZACD=ZB+ZCDB,：.2/B=NB+NCDB,（4分）

：2B=NCDB,:.C'B=C'D,：CB=CD,:.AC+CD=AC+CB=AB；（5分）

（3）将边4。折叠，使彳。落在边上，点C的对应点为C',折痕与8C交于点。，如图3所示:

根据折叠的性质得：ACf=AC,CD=CD,ZACD=ZC,

在RtZ\/8C中，NB4c=90。，NB=30。，.•.NC=60。，.•・N4C7）=NC=60。，（6分）

•••4C'Q=N8+"O8,.•.60°=30°+NC'Q4,.•."08=30。，

：.CB=C'D,..C,B=C,D=CD=AB-AC,=AB-AC,-：AC=a,AB=b,：.CD=b-a,（7分）

在RtZ\48C中，NB=30。，：.BC=2AC=2a,：.BD=BC-CD=2"(b-a)=3"b；(8分)

(4)在△N8C中，AB=ACf^BAC=100°,/.B=ZC=^-(180°-ABAC)=40°,如图4所示：

设EBAD=a,NADC=/BAD+Z^=a+40°,：.^ADB=\80°-ZJDC=180°-(a+40°)=140°-a,

根据折叠的性质得：NADE=NADB=T40。一a,ZAED=Z5=40°,

:"FDE=NADE-ZADC=140°-a-(a+40°)=100°-2a.

•.•将力。向下折叠，使边4C与4£重合，折痕为//(尸在边CM上)，••./4£/=/。=40。，

."FED=AAEF+Z.AED=80°，:"DFE=180°-(NFDE+ZFED)=180°-(100°-2«+80°)=2a,

在中，/DFE=2a,ZFED=80°,ZFM=100°-,

当MM是等腰三角形时，有以下三种情况：

当£>“=b时，则=•••1()0。-2a=80。，解得：a=10。，乙%0=1()。；

当DE=EF时,则/厂。£=/。"£,.力。。。-2a=2a,解得：a=25°,/.BAD=25°；

当DF=OE时，则NO尸石=/在瓦九.••2a=80。，解得：a=40。，.•.N历1。=40。，

综上所述：当AQ£F是等腰三角形时，/A4Q的度数为10。或25。或40。.(10分)

25.(24-25七年级下•广东深圳•期末)【模型呈现】“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理〃.“一

线三等角〃模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形.

图1图2图3

⑴【模型理解】如图1,已知，点C在线段QE上，NBEC=NBC4=NADC=9。,若8C=4C,则4石与CO

的数量关系为，3E,与£>笈的数量关系为；

(2)【拓展延伸】在Rt△力尸。中，4cp=90',分别以％。、/尸为腰，在左侧作等腰直角三角形48C,在右

侧作等腰直角三角形4P。，其中乙4。8=/尸力。=90°,AC=\,

①如图2,连接B。，当交线段。的延长线于点M时，求证：BM=QM；

②如图3,连接4。当交线段C力于点M,且S"P=3S”“0时，求B尸的长.

【答案】(l)BK-8：+=①证明见解析

【详解】（1）解：•••/8EC:/C£>4=/8C4=9（r,

/.A+ZACD=90°=NACD+/BCE：.ZBCE=Z.A,

又,：BC=AC,：.^BEC^CDA（AAS）f：.BE=CD,EC=AD

由DE=EC+CO=5E+4O.故答案为：BE=CDxBE+AD=DE.（2分）

（2）解：①作交直线MCfE,则NE=9（I,

•.•/PAQ=90°,ZEAQ+NPAC=180°-ZPAQ=90,，（4分）

••Z4CP=90\.-.ZC™+ZP/1C=9O\:.^EAQ=zLCPA,

又,•/£=//CP=90"AQ=AP,.-.△£，J0^ACP^（AAS）,（6分）

:.EQ=CA,AC=CB，:.EQ=CB,

又/EMQ=/.CMB,/E=Z.MCB=90,△EMQ=△GV/5（AAS）,QM=BM.（8分）

②作OE_LMC交直线MC于£则NE=90’，

由①得，AEAQmA