2025-2026学年广西玉林市五校联考高二（上）月考数学试卷（9月份）含解析

2025-2026学年广西玉林市五校联考高二（上）9月月考

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量H=（1,%2）,d=（-4,4,y）,若五与b共线，则x+y=（）

A.12B.9C.-9D.-12

2.已知直线2x-y+l=0与％：x+ky-3=0垂直，则实数k的值为（）

A.2B.-2C.1D.

3.过点P（—1,2）的直线/与x轴、y釉分别交于4B两点，且P恰好是4B的中点，则力B的斜率为（）

A.1B.C.-2D.2

4.已知四棱锥P-48C0的底面为正方形，PA1平面4BCD,P4=4B=1,点E是BC的中点，则点E到直线PD

的距离是（）

D.乎

A

-TB与c岑4

5.直线/过点P（l,0）,且与以4（2,1）,B（0,，3）为端点的线段总有公共点，则直线/斜率的取值范围是（）

A.[-73,1]B.(-oo,-\f3]U[1,+co)

C.(-8,一遮]D.[1,+8)

6.若点4(-3,-4),8（6,3）到直线，：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值为（）

D.-皴一|

A-9B-3C.

7.如图，在正方体力中，点M,N分别是40,。声的中点,

①MN//平面/BCD；

湃面4/VD1平面DiMB；

③有线MN与丛内所成的角为45°；

④直线D道与平面为N。所成的角为45c.

A.1B.2C.3D.4

8.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABC。，48EF的边长都是3,且它们所在的平面互相垂直.活

动弹子M,N分别在正方形对角线AC和8尸上移动，则MN的最小值为（）

A.72B.y/1

3/22/3

Cr-Dn.亍

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知直线，1：ax+y-3a=0,直线52x4-(a-l)y-6=0,则()

A.当Q=3时，。与％的交点是(3,0)B.直线人与％都恒过(3,0)

(3.若。1/2,则a=gD.3ae/?,使得“平行于。

10.下列命题中正确的是()

A.若A,B,C,。是空间任意四点，则有而十而十而十万

B.若直线1的方向向量与平面a的法向量的夹角等于130°,则直线/与平面a所成的角等于50°

C.已知0万,可是空间的一个基底，则何+5方+2元+万+初也是空间的一个基底

D.已知。为坐标原点，向量瓦5=-i+2j-Z,砺二-3：+6:-3冗OC=-2A+4j-2k,则点4B,C

不能构成三角形

11.如图，平行六面体i4cl中，4小力。=44遇8=45。，AD=A8,AC

与B。交十点0,则卜列说法不止确的有()

A.直线力zb1直线8。

B.若|4。|=|AO|,则41cl平面8道。。1

C.TiO=AB+AD+AA^

D.若4BAD=60。，则与AC夹角的余弦值为9

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知西=(5,1,3),OF=(-2,l,x),H.OA1OB,则|而|=.

13.若直线2x+y-3=0与直线4x+2y+a=0之间的距离为噂，则实数a的值为―

14.如图，已知四棱柱力BCD-AiB£D】的底面AiSGDi为平行四边形，E为棱左8的中点，AF=^AD,AG=

2西，4cl与平面EFG交于点M,则祟=_____.

▲/1GI

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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15.(本小题13分)

⑴已知△4"的三个顶点分别为4(0,4),8(-2,6),C(-8,0),求：

①4c边上的中线所在直线的方程：

②4c边上的高所在直线的方程.

(2)已知直线］经过点P(-2,1),若！在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线1的方程.

16.(本小题15分)

如图，已知棱长为1的正四面体O48GE,F分别是48,。。的中点.

⑴用而，话，反表示向量而，并求方的模长；

(2)求OE与B尸所成角的余弦值.

17.(本小题15分)

已知直线，的方程为(m+3)x+(2»n—l)y—7m=0(zneR).

(1)证明：直线1过定点，并求定点到直线3x+4y-7=0的距离；

(2)当7九为何值时，点Q(3,4)到直线1的距离最大？最大距离是多少？

18.(本小题17分)

已知四棱柱ABCD-AiBiCWi中，底面ABCD为梯形,4B〃CD"〃L^ABCD.AD148,其中=441=

2,AD=DC=1,N是BiCi的中点,M是的中点.

(I)求证：DiN〃平面C&M；

(II)求平面CBiM与平面88gC的夹角余弦值：

(HI)求点8到平面C&M的距离.

B

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答案解析

1.【答案】C

【解析】解：向量1=(1,爸2),E=(-4,4,y),由方与了共线,

(—4=t

故存在tWR,使得了=也，即4=5，

[y=2t

解得“=-1,y=—8,所以“十丫=-9.

故选：C.

由空间向量共线的充要条件列式求得“=-1,y=-8,即得.

本题考查的知识点：向量共线的充要条件，向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：直线，1：2x-y+l=0与％：x+ky-3=0垂直,

当A=0时，得，2：x=3,此时。与L小垂直；

当AxO时，若，1I%，则2x(-：)=-l,解得忆=2.

K

故选：A.

对我分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解:根据题意,设4(Q,0),8(0,b),

又由P(—1,2)为48的中点，则有一1二竽，2=竽，则a=-2,b=4；

故,4(一2,0),8(0,4),

则48的斜率4=看1=2,

故选：D.

根据题意，由中点坐标公式求出4B的坐标，进而由直线的斜率公式计算可得答案.

本题考查直线的斜率计算，涉及中点坐标公式，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：因为四棱锥P-ABC。的底面为正方形，PA1

平面"CO,

所以建系如图，则根据题意可得：

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P(0,0,1),Z)(O,1,O),

所以而=(O,1,-1),DE=(l,-1,0),

所以|函=等,|而|=几鬻=*一争

所以点E到直线P。的距离为：

小函一鬻"JR中.

故选：D.

利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得.

本题考查向量法求解点面距问题，属中档题.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了求直线的斜率问题，考查数形结合思想，是一道基础题.

结合函数的图象，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围即可.

【解答】

解：如图示：

当直线1过8时设直线1的斜率为心,

则

当直线/过力时设直线，的斜率为七，

则"2=若=L

.•.要使直线1与线段4B有公共点，

则直线1的斜率的取值范围是(一8,-4可u[1,+oo),

故选:B.

6.【答案】D

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【解析】解：•••两点做一3,-4),B(6,3)到直线LQx+y+1=0的距离相等,

.2d”,6零+1|,化为|3a+3|=|6Q+4|.

7a2+lva2+l

6a+4=±(3Q+3),

解得a=-1，或a=-

故选：。

利用点到直线的距离公式即可得出.

本题考查了点到直线的距离公式的应用，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：对于。：连接。】力，则M是的中点，

在中，N是0道的中点，则MN〃AB,

•••MNU平面力BCO,/IBu平面4BCO,

MN//平面ABCD,故口正确；

对于②：在正方体力中，AB1平面A41D1。，D}MLA}D,

•••。1”<=平面力41。10,.・.力8，。1用，

由嫡MN〃/18,•••MNlDiM,

又MNCiAiD=M,MNu平面力iNO,u平面&ND,

D]M_L平面力iND,

乂DiMu平面D]MB,

・•・平面AND1平面D[MB,故②正确：

对于③：由①得MN〃力B,

在正方体ABC。-A$iGDi中,RM//BD,

则直线MN与当小所成的角为乙=45。，故③正确；

对于©:在正方体A5C0-4/GD1中，则建立以。为原点，以。小DC、00所在直线分别为x轴、y轴、z

轴的空间直角坐标系0-xyz,如图所示：

不妨设正方体的棱长为2,则0(000),8(2,2,2),%(2,0,2),0,(0,0,2),

印=(2,2,-2)，DN=(1,1,1)，西=(2,0,2)，

设平面4ND的一个法向量为元=(x,y,z),

n♦DN=x+v+z=0<“八

____,取z=l,则tlll％=-1,y=0,

n-DA=2x+2z=0

{x

平面为N。的一个法向量为ri=(-1,0,1),

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设直线DiB与平面AND所成的角为a,

Msina=|cos<n,取>|=^^=^7f=苧

••.直线DiB与平面&ND所成的角不是45。，故@错误，

故选：C.

根据棱柱的结构特征，逐一分析选项，即可得出答案.

本题考查棱柱的结构特征和直线与平面、平面与平面的位置关系及直线与平面、异面直线的夹角问题，考

查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解:由正方形4BC0,得BC_L4B,而平面4RC7)n平面=ECu平面/BCD,得BC1平

面/BE/7,

又四边形4BEF是正方形，则直线B4BE,BC两两垂直，

以点B为原点，直线84BE,8c分别为4,y,z轴建立空间直角坐标系，

8((1,0,0),4(3,0,0),C(0,0,3),F(3,3,0),

前=(-3,0,3)，丽=(3,3,0)，瓦=(0,0,3)，

设与前，乔都垂直的向量九=(x,y,z),

则£•番二3二3z10,令得.(一#,

(n-FF=3%4-3y=0

所以MN的最小值为害=-^=73.

|川V3

故选：B.

根据给定条件，证明84BE,BC两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法求出最

小值.

本题考查了点到平面的距离，属于基础题.

9.【答案】ABC

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【解析】解：对于4当Q=3时，3x+y-9=0,l2：x4-y-3=0,

联立饮:匚9==00,解得仁；，

所以交点为(3,0),所以4正确；

对干心将，i的方程整理可得：Q(r—3)+y=0,可得直线，i恒过定点(3,0),

整理直线，2：ay+2x-y-6=0,令&二；_6=0'解得忱不可得直线％过定点(3,0)，所以4正确;

对于C,由乙，%可得Q-2+l・(Q—l)=0,解得a=；,所以C正确；

对于0,由!"〃2可得矶。-1)-2=0,解得。二一1或2,

当〃二一1时，x—y—3=0,%：x—y—3=0,两直线重合，不符合题意，

：

当a=2时，A：2x+y-6=0,/22%4-y-6=0,两直线重合，不符合题意，故。错误.

故选:ABC.

将G=3代入，联立两直线方程即可求得交点的坐标，判断出A的真假：分别求出两条直线过的定点的坐标,

判断出3的真假；由两直线垂直时的斜率之积为-1,解得Q的值.判断出C的真假；讨论斜率存在和斜率不

存在两种情况；由两直线平行得到关于a的方程，解方程可得a值，再代入验证两直线是否重合，即可判断

出。的真假.

本题考查两条直线平行的性质的应用及直线恒过定点的求法，两条直线的交点的求法，属于基础题.

10.【答案】ACD

【解析】解：对于选项4,由向量加法的三角形法则得通+就+而+西=6,故/正确；

对于选项8,注意线面角的范围是0。〜90。，因为直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角为130。，

所以直线］与平面a所成的角为90c-(180°-130°)=40。，故5错误；

对于选项C,假设W+E范+己H+石+7)不是空间一个基底，

那么存在实数x，y使得H+方+Z=x(a+b)+y(b+H)成立，

即H+/?+c=xa+(x+y)b+yc^

囚为®,瓦哥是空间的一个基底，

1=x

所以l=%+y,该方程组没有实数解，

1=y

因此假设不成立，所以包+5万+己正+万+初也是空间的一个基底，故C正确；

对于选项。，由题意得面=3函，OC=2OA,则就，诂，反共线，

故点4B,C不能构成三角形，故。正确.

故选：ACD.

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根据空间向量加法的运算法则，线面角的定义，结合空间向量基底的性质、向量共线的意义可逐项判断即

可.

本题主要考查了空间向量的线性运算，考查了空间向量的基本定理，属于基础题.

11.【答案】CD

【解析】解：对于力，由题意，而•京=I同I•I而71cos45。，通•标=I而I♦Iq|cos45。，

：・AD-44；=AB-AAi>

：.~BD=~AD-

.••丽•标=（而一通）.标=而•标一通•标=0，

•••BD1力力1，A正确；

对于8,连接4C,

由选项/知BO_L4%,由题意8。1AC,

^ACQAA^A,AC,AAiu平面ACCiAi，

•••BD1平面ACC遇i，

••♦4。€：平面/。。1&,所以BDl&C,

•••4。|=|力。|,\A0\=\C0\,所以|人。|二|。。|二|4。|,

:.z.A^AO=ZJl/l]。，^CA^O=ZJ1]。。，

■:z.A^AO+Z-AAy0+乙CA]0+z.A1C0=TT,

•••z.AA^0+z.CAx0=j,

.••△44道为直角三角形，即41clA4i，

vAAJ/BB1,

•••41clBB1,

vBBXr\BD=B,BB[,8。u平面加小当，

AXC_L平面8OO1&,

；.B正确:

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对于C,•••四边形/BCD为平行四边形，

・•・。为8。的中点，

.-.AO=^AB+^AD,

福=罚+而5=中+9^+：而，所以C错误：

对于。，设力B=a,力力I=b,

•••在菱形48CD中，Z.BAD=60°,

:.AC=2AO=2ABcos300=y/~3a^

vZ.A}AD=Z-AXAB=45°,

.•.码•(而+而)=祐•而+可•而=|^47|•\AB\cos450+\AAi\•\AD\cos45°

=与ab+^ab=V"^ab，

dAA^AC_西•(而+而)_>[2ab_/6

r

‘cosy"=\AAlilAc\=­73^—=厢=~

错误，

故选：CD.

4选项，根据空间向量计算出前•痂=0，得到BD1/L41，4正确；8选项，作出辅助线，证明出BD1平

面4CG4，得到BD14C,根据|4。|=|力。|得到△/44C为直角三角形，即为C1A41，结合BD_L/14,

证明出线面垂直；C选项，根据空间向量基本定理得到乖=罚+而=羽+；而+:同：D选项，利用

空间向量计算出而7・(而+而)=JIQ8，从而得到C0S/4遇C=孚.

本题考查了线面垂直的判定，空间向量基本定理，空间向量的运算，考查了空间想象能力和计算求解能力,

属于中档题.

12.【答案】7

【解析】解：根据题意可知，而・丽=一10+1+3%=0,解得x=3,

故丽=(-2,1,3),所以而=OB-OA=(-2,1,3)-(5,1,3)=(-7,0,0),

故|而|=J(一7=+。2+02=7.

故答案为:7.

直接利用向量垂直的充要条件可求出x的值，进而可求出而的坐标，结合空间向量的模长公式可求出|而|

的值.

本题考查了向量垂直，属于基础题.

13.【答案】一6十65或一6—V15

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【解析】解：直线2%+y-3=0与直线4x+2y+Q=0平行，

又直线2%+y—3=0,即4x+2y-6=0,

直线4x+2y-6=0与直线4x+2y+a=0之间的距离为苧，

则写理=：，解得a=-6+，B或-6-

V42+222

故答案为：-6+/正或一6一，五.

结合平行直线间的距离公式，即可求解.

本题主要考查直线平行的性质，属于基础题.

14.【答案】.

【解析】【分析】

本题考查空间向量以及应用，涉及棱柱的相关知识，属于中档题.

设戒=/lF(0</l<1),由空间向量运算法则表示山痴=2/荏十3/1而十9入布，结合M，E,F,G四

点共面，可得2义+3/1+|；1=1,解出即可得到答案.

【解答】

解：由题设而？=4宿(0VAV1),

因为宿=而+同+标=2荏+3而+?万，

所以而？=2AAE+3AAF+^AAG,

又因为M,E,F,G四点共面，

所以24+34+9=1,

解得入=总，

故答案为：事.

15.【答案】®2%-y+10=0；^2x+y-2=0iy=-或％-y+3=0

【解析】⑴段段4c的中点D(-4,2),

由两点式得8。所在直线方程为沼=串，即2%-y+10=0.

②fi线AC的斜率做c=汽%=?8(-2,6)，

所以4c边上的高所在直线方程为y-6=-2(x+2),即2x+y-2=0.

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(2)当截距为0时，设直线方程为y=kx,

因为直线过点P(—2,l),则1=一2七解得k二一：所以直线方程为^二一；心

当截距互为相反数且不为。时，设直线方程为三+2=1,

a-a

因为直线过点产(一2,1),则代入直线方程得，。=一3,则直线方程为x-y+3=0.

所以直线方程为y或无一y+3=0.

(1)①由两点式可得；②由垂直关系得斜率，由点斜式求方程；

(2)对截距是否为0进行讨论，并用待定系数法求方程.

本题主要考查直线方程的求解，属于基础题.

16.【答案】加=2祝V耐-T砺，T:

2

3

【解析】(1)已知棱长为1的正四面体。力8C,E,尸分别是48,。。的中点，所以而=OF-OE=loc-^OA-

邮

故研2=)猊一而一丽)2=)所以|函=苧；

(2)设。为异面直线0E与8r所成的角，所以丽­BF=d0A+寺丽)•仁丽-0B)=^OC-OA-

uS+-oc-OH)=-1；

1

-2

2

--

3

又|函=\BF\=苧，所以异面直线OE与8尸所成的角cos。=嚷*-3

/。七HP4

(1)利用向量的三角形法则即可表示出向量E凡两边同时平方即可求得结果.

(2)利用空间向量夹角的计算公式即可求得结果.

本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量枳运算，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力,

属于中档题.

17.【答案】已知直线］的方程为(n+3)x+(2m-l)y-7m=0(meR),

将直线1的方程整理得Q+2y-7)m+(3x-y)=0,

令2o=()f解得仁；：所以直线，恒过点(1,3)，

定点到直线3x+4y-7=0的距离为冬

zn为|时，点Q(3,4)到直线L的距离最大为，亏

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【解析】证明：(1)已知直线I的方程为(m+3)x+(2m-l)y-7m=0(mWR),

将直线!的方程整理得Q+2y-7im+(3x-y)=0,

令6：2；1广。，解得仁;:所以直线跑过点(1,3),

根据点到直线的距离公式可得定点(L3)到直线3x+4y-7=0的距离为垮詈=

解：(2)由(1)可得直线［过定点,设定点为P(l,3),

当PQJ.Z时，点Q到直线I的距离最大，且最大距离d=|PQ|=J(1-3尸+(3-4尸=g

即点Q到直线1的最大距离为，亏，

此时kpQ=m=］而直线，的斜率2=-总，

丫3—1Lzm-1

所以一卢2二一2,解得机=微，

2m—13

所以当m为的寸，点Q(3,4)到直线z的距离最大为/品

(1)将直线/的方程整理得(％+2y-7)m+(3%-y)=0,令e：1；［［二°，解出即可定点，由点到直线的

距离公式即可求解；

(2)由(1)可得直线/过定点，设定点为P(l,3),当PQ11时，点Q到直线l的距离最大，且最大距离，由两点间

的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求m.

本题考查了点到直线的距离公式和直线过定点问题，属于中档题.

18.【答案】⑴证明见解析；(II)等；(HI)窄.

【脩析】解：。)证明：取C%的中点P,连接NP,MP,则NP〃“\且NP=gcG，

又"M〃CCi且D］M=；CCi，所以NP〃D］M且NP=

所以四边形DiMPN为平行四边形：得NDJ/PM,

又“DiC平面C&M,PMu平面CaM,

所以ND"/平面C81M.

(II)建立如图空间直角坐标系力-孙z,

第14页，共16页

则4(0,0,0),8(2,0,0),当(2,0,2),C(l,l,0),G(1,1,2),

有函=(1,-1,2),CM=(-1,0,1),函=(0,0,2)，

设平面与平面8当。1。的一个法向量分别为沆(Xi，yi，zD，五=(外以店)，

则[沅1皈,1巴

(m1CM(nlBBi

则(布•CB；=勺-yi+2zi=0|n-CB；=x2-y2