2025年高考数学二模试题归类-计数原理与概率统计（宁夏专用）解析版

计数原理与概率统计

in题型概览

题型01统计

题型02独立性检验

题型03计数原理

题型04随机事件的概率

题型05随机变量及其分布列

融型01

1.（2025•宁夏中卫•二模）下列说法中正确的是（）

A.一个样本的平均数为3,若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小

B.在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱

C.数据〃?（〃?>50）,53,56,69,70,72,79,65,80,45,41的极差为40,则这组数据的第机百分

位数为79

D.已知随机变量且尸尸（4之。），则_1+」_（（）<尤<q）的最小值为3

xa-x

【答案】ACD

【分析】根据平均数及方差公式计算可得选项A正确；根据样不相关系数的概念可得选项B错误；利用极

差计算用的值，结合百分位数的概念可得选项C正确；根据正态分布曲线的对称性求出结合基本不等

式可得选项D正确.

—1rt

【详解】A.设原样本数据为5户2丹，…，x〃，其平均数x=不3,

n（=1

新样本数据为再…,X“,3,其平均数万=也-二3,平均数不变.

n+l

原样本数据方差$2=；二（七-3）一.

新样本数据方差s?=一二|"£（%-3）2+（3-3）2"|=一\£（%-32<6,方差变小，选项A正确.

B.在成对样本数据中，样本相关系数

当卜|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强;

1/20

-'iIH越接近o时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

比如r=-0.9和,=。1,|-0.9|>|0.1|,「=-0.9时线性相关程度更强,选项B错误.

C.除"外,其他数据的最大值为80,最小值为41,80-41=39,

因为〃？>50,所以〃?-41=40,故m=81,

将数据从小到大排列为：41,45,53,56,65,69,70,72,79,80,81,共11个数据，

因为llx81%=8.91,所以这组数据的第机百分位数为第9个数，为79,选项C正确.

D.因为随机变量且尸(g«-l)=尸偌之〃)，

根据正态分布曲线关于直线x=l对称可得三巴=1,解得〃=3,

14141rMfI41(3-x4x)

xa-xx3-x3U」3-xy31x3-xJ

3—x4r

由0<X<Q得0<x<3,所以-->0,—>0,

x3-R

1(3—v1{h—x4v13-14x

所以引5+=+;±45+2J——=3,当且仅当—=产，即x=l时等号成立，选项D正

3(x3-x)3Vx3-xx3-x

确.

故选：ACD.

2.(2025•宁夏银川•二模)某位射击运动员的两组训练数据如下:第一组：10,7,7,8,8,9,7；第二组:

10,5,5,8,9,9,10,则()

A.两组数据的平均数相等

B.第一组数据的方差大于第二组数据的方差

C.第一组数据的上四分位数(第75百分位数)是8

D.第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数

【答案】AD

【分析】根据题意，由平均数，方差，极差以及中位数的定义，代入计算，即可判断.

【详解】根据题意可得第一组数从小到大排序为7,7,7,8,8,9,10,中位数为根

平均数;(10+7+7+8+8+9+7)=8,方差;[(10-8)。…+(7-8)1=g,

因为7x75%=5.25,所以第一组的第75百分位数为9,

根据题意可得第二组数从小到大排序为5,5,8,9,9,10,10,中位数为9>8,

平均数g(10+5+5+8+9+9+10)=8,方差g[(10-8『+-+(10-8)[=4>g,

2/20

综上可得，A,D正确.

故选：AD.

3.（2025•宁夏•二模）下列说法正确的是（）

A.有一组数1、2、3、5,这组数的第75百分位数是3

B.在a=0.01的独立性检验中，若/不小于a对应的临界值与加，可以推断两变量不独立，该推断犯错

误的概率不超过0.01

C.随机变量x〜8（〃,p）,若E（X）=60,Z）（X）=20,则”180

D.以3=。*拟合一组数据时，经z=lny代换后的经验回归方程为；=o.2x+O.3,则c=e%it=0.2

【答案】BD

【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用独立性检验可判断B选项：利用二项分布的期望和方差

公式可判断C诜项:利用回归分析可判断D诜项.

【详解】对于A选项，因为4x0.75=3,所以，这组数据的第75百分位数是?=4,A错；

对于B选项，在a=0.01的独立性检验中，若/不小于a对应的临界值/oi，

可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.01,B对；

对于C选项，随机变量X〜8（〃,p）,若E（X）=np=60,O（X）=〃p（l-p）=20,

2

解得P=5，fl=90,C错；

对「D选项，以，=ce6拟合一组数据时，经Z=1即代换后的经捻回归方程为；=0.2%+0.3，

即Iny=0.2x+0.3,可得y=e°2M=e°，=c*,故c=c03,攵=0.2,D对.

故选：BD.

4.（2025•宁夏•二模）下列说法正确的是（）

A.数据&64,11,3,7,9,10的上四分位数为9

B.若随机变量X〜89,-,则。（3X+1）=18

C.某物理量的测量结果服从正态分布N（io,O-2）,。越大，该物理量在一次测量中在（9.8J0.2）的概率

越大

D.己知某4个数据的平均数为5,方差为3,现又加入•个数据5,此时这5个数据的方差为2.4

【答案】BD

3/20

甲7.08.38.98.99.29.3

乙8.18.58.68.68.79.1

故可得如下表格:

甲乙

竺±竺=8.98.6+86

中位数------------=0.0A正确

22

极差93-7.0=2,39.1-8.1=1B正确

6x75%=4.5,故第75百分位数是第5个数

第75百分位数C错误

9.28.7

由题图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得

方差D正确

分的方差大于乙得分的方差

故迄ABD

题型8独立性检验

6.(2025•宁夏•二模)某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加

体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻冻的数据，结果如下表:

一周参加体育锻炼次数01234567合计

男生人数3225654330

女生人数9236432130

合计1245111086460

(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请完成

以下2x2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关

系;

不经常锻炼经常锻炼合计

男生

5/20

女生

合计

(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问

题.以样本频率估计概率，在全校抽取3名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X,求分布列和。(X)；

(3)若将--周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的

10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为丫，求丫的分布列和数学期望.

n(ad-bc)~

附：Zn=a+b+c+d

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

【答案】(1)列联表见解析，性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；

12

(2)分布列见解析，£>(%)=—；

⑶分布列见解析，期望为2.1.

【分析】(1)根据已知完善列联表，进而求卡方值，应用独立性检验的基本思想得到结论；

(2)(3)根据已知分析随机变量的可能值并求出对应概率，进而写出分布列，再求期望、方差.

根据列联表的数据计算可得上当短蒜11=奈备3392,706,

6/20

根据小概率值a=0.1的独立性检验，推断，。不成立，

即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1.

(2)因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布，

易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼''者的概率〃=?=：.

605

即可得*~M引，p(x=/)=C：(以偿3晨=0,123,

p(x=l)=c；

产(x=3)=c；

故所求分布列为

X0123

6448121

P

125125125125

JJ

(3)易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，

所以y的所有可能取值为0,1,2,3，且y服从超几何分布:

r°r3Ic'r2717

P(F=O)=^4^=—,p(y=i)=^3.=—

\7C：o120\7C：o12040

尸岭)=^=酱磊「(1)=詈噫7

24

故所求分布列为

Y0123

17217

P

T20404024

『得E⑺皿击+喝+2碍+3$=停

7.(2025•宁夏•二模)为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400

名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.

7/20

年龄次数[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]

每周0-2次70553659

每周3〜4次25404431

每周5次及以上552010

（1）若把年龄在:［20,40）的锻炼者称为青年，年龄在［40,60］的锻炼首称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称

为体育锻炼频率低，不低「3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值a=0.01的独立性检验判断体育锻炼

频率的高低与年龄是否有关联；

（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8

人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在［30,40）与［50,60］的人数分别为万,丫罟=|才-丫|,求即勺

分布列与期望;

（3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中

选择•种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期

172

天选择跑步的概率分别为??p求小明星期天选择跑步的概率.

n(ad-be)'

参考公式：Z2,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

附;

a0.100.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）有关

（2）分布列见解析；期望为之

56

⑶5

【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论；

（2）根据步骤列出分布列，利用数学期望公式即可得到答案;

（3）利用全概率公式即可得到答案.

【详解】（1）零假设："°体育锻炼频率的高低与年龄无关，

8/20

由题得2x2列联表如下:

青年中年合计

体育锻炼频率低12595220

体育锻炼频率高75105180

合计200200400

400x(125x105-75x95)^

9091>6.635,

200x200x220x180

根据小概率值a=0.01的独立性检验推断“°不成立,

即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.

(2)由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中,年龄在［30,40),［50,60］内的人数分别为1,2,

依题意，。的所有可能取值分别为为0,1,2,

C3C'C120

所以尸&=o)=p(x=o,y=o)+p(x=i,y=i)=崇

5Cs56

C2C'C2131

p(^=i)=p(%=o,r=i)+p(jf=i,y=o)+p(y=i,y=2)=-^+-1-+—=—

^**8^***8JU

C15

P(J=2)=P(X=0,y=2)=^=R,

所以4的分布列：:

g012

20315

p

565656

所以J的数学期望为E@=0x当"+2、多=4.

56565656

(3)记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件4B,C,

星期天选择跑步为事件。，则P⑷="⑻=pP(C)='

122

P(DM)=-,P(D\B)=-,P(D|C)=

所以P(D)=P(A)P(DiA)+P(B)P(D\3)+P(C)P(D\C)

1112127

=-x—4--X—+—X—=一

33353315

9/20

7

所以小明星期天选择跑步的概率为A.

【点睛】关键点点睛：本题第3问的解决关键是熟练掌握全概率公式，从而得解.

＜型计数原理

8.（2025•宁夏吴忠•二模）在中国象棋的棋盘上，红方“车”从初始位置（如图，第1行第5列）出发，每一

步可以横向或纵向移动任意格（但不能斜着移动，也不能连续两次均横向或纵向移动），己知黑方"将''位于

第10行第5列，红方“车”必须在恰好4步后到达第10行第5列.若棋盘上仅存在黑方“将”和红方“车”，黑

方“将”不移动，则红方“车”不同的移动路径有种.

楚河_____汉界

【答案】128

【分析】根据题意，恰好4步后到达，且每次移动必须改变方向，可能的移动模式有两种：纵向一横向T

纵向一.横向（记为模式力）或横向一纵向一＞横向一＞纵向（记为模式8）,讨论求解.

【详解】记红方“车”的初始位置为。,5）,则目标位置为（10,5）,

由题意知必须恰好4步后到达，且每次移动必须改变方向，

所以可能的移动模式有两种：纵向一横向一纵向一横向（记为模式4）或横向一纵向一横向一纵向（记为模

式8）.

模式力的详细步骤如卜二

步骤1：纵向移动a格到（1+“.5）,

步骤2：横向移动x格到（l+a,5+x）,xwO且1K5+X49,即x€[-4,4]且工工0,所以x的可能取值有8种.

步骤3：纵向移动6格到（10,5+x）,61,且l+a+b=10.

步骤4：横向移动（-x）格到（10,5）.

因此,a和b必须满足aNl,b＞\,a+b=9,则a=1,2,3,…,8,对应的6=8,7,6,…,1.

对于每个x,〃均有8种可能，因此模式力的移动路径畲8x8=64（种）.

10/20

模式8的详细步骤如下.

步骤I：横向移动“格到（1,5+〃。，且加工0,有8种可能.

步骤2：纵向移动〃格到（1+〃,5+〃。，〃之1,且1+〃W9.

步骤3：横向移动（-用）格到（1十九5）.

步骤4：纵向移动y格到（10,5）.

因此，〃和歹必须满足〃21,n+y=9,则〃=1,2,3,…,8,对应的y=8,7,6,…,1.

对「•每个所，〃均有8种可能，因此模式5的移动路径有8x8=64（种）.

综上，不同的移动路径有64+64=128（种）.

故答案为：128.

9.（2025•宁夏•二模）二项式的展开式的常数项是

【答案】V

4

【分析】（9-9的展开式的通项为令g-3=0,求出h再代入通项公式计算即

可.

【详解】（大闻6的展开式的通项为a=C：G）:卜兽

令三-3二。，解得〃=2,

所以展开式的常数项7；=C；卜;J15

T

故答案为：v-

4

10.（2025•宁夏银川•二模）将123,…,9这9个数字填在3x3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从

上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（）

11/20

A.12B.24C.36D.48

【答案】A

【分析】确定1,9的位置，再确定2,3的位置，最后确定余下4个数的位置，列式计算即可.

【详解】由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得9在左上角，1在右下角，如图,

2,3排在4/位置，有种方法,

从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在。力位置，有C：种方法,

最后两个数字从上到下由大到小排在c，c位置，有1种方法，

所以填写方格表的方法共有A；C：xl=12（种）.

故选：A

11.（2025•宁夏,二模）学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少

有一名女生的不同选法的种数是（请用数字作答）

【答案】30

【分析】根据分类讨论，结合组合的知识求得正确答案.

【详解】选出的志愿者中，1个女生3个男生时，方法数有C；C；=20种，2个女生2个男生时，方法数有

C0=1O种，所以不同选法有20+10=30种.

故答案为：30.

12.（2025•宁夏•二模）甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1,2,3,4,5,6,7的卡片各1张，两人轮

流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游

戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是.

29

【答案】丽

【分析】依题意可知游戏结束时共抽取了5张卡片，甲抽取的三张卡片数字之和为12,乙抽取的两张卡片

数字之和不为12,分别计算出所对应的排列总数即可得出结论.

【详解】根据题意可知甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束相当于从7张卡片中抽取了5张，

且甲抽取的三张卡片数字之和为12,乙抽取的两张卡片数字之和不为12；

总的情况相当于从7张卡片中抽取了5张并进行全排列，即共A；种排法：

其中三张卡片数字之和为12的组合有1,4,7：1,5,6：2,3,7；2,4,6：3,4,5共5种情况：

12/20

当甲抽取的数字为1,4,7；1,5,6；2,3,7；3,4,5时,

乙在剩余的4个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有-4A；A：种：

当甲抽取的数字为2,4,6时・，

若乙抽取的两张卡片数字可能为5,7,此时不合题意，此时共有A；(A；-A,种:

所以符合题意的排列总数为4A闺+A；(A：-A；)种，

而基本事件的总数为A*A；A；-=2280

可得所求概率为「匕『)4x6xl2+6xl0_29

2280―丽

29

故答案为：-

【点睛】关键点点睛：本题关键在于首先明确游戏结束时甲乙两人抽取的卡片张数以及数字之和的所有情

况,再利用全排列公式计算出各种情况对应的种类数可得结论.

题型8随机事件的概率

13.(2025・宁夏•二模)〃(〃eN,3)个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否

则,传球者等可能地将球传给另外的“7个人中的任何一个.第一次传球由甲手中传出，第次传

球后，球在甲手中的概率记为4伏)，球在乙手中的概率记为艮(4).

⑴求4(2),层(2),4(3),4(3)：

(2)求4(攵)；

(3)比较纥(4+1)与=4(4)的大小,并说明理由.

【答案】⑴4⑵=&(2)=0,4(3)=|-XaGAt，上1T-

4441644416

if,(I产

(2)-1------

12—2

(3)8"(k+1)214*)

〃一1

【分析】(1)列出5人传球三次的树状图，根据概率乘法公式利加法公式得解：

(2)由题意知，4(k+i)=*[i-4(k)]，4Q)=o,根据数列的构造法求通项公式:

13/20

（3）由题意知纥（"1）=4（%）+—二口-4⑻-纥⑻],作差法比大小.

〃一1J

【详解】（1）由题意知，

4

所以4(2)=：囱(2)=04(3)=3!=±8，(3)=%+；=(；

444lo44416

(2)由题意知，4(k+l)=—[[1一4(4)],4<1)=0,

所以4(2+1)-'=—―4k\,4Q卜L-L。,

n/?-11_nJnn

所以4")TTF=广，

则可⑻=5

In-\)

（3）由题意知纥（女+1）=4,任）+一工口一4（%）—纥（〃）],

则&（"1）=。4"）+——々纥⑻，

所以&（k+1）-匕什人」41-纥㈤]20,（当左=1时取等号）

〃一1〃一1L

所以功（"1）2=4"）.

〃一1

14.（2025•宁夏•二模）在甲、乙、丙、丁四人踢健子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另

外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此段子是由乙踢出的概率为；第〃次踢出

后,健子恰好踢给乙的概率为.

【答案】；/0.5-+-I--T'

2412{3）

【分析】根据条件概率公式之积可得第二次犍子由乙踢出的概率，再由若第〃次踢出后，建子恰好踢给乙,

则第〃-1次踢出后，建子恰好不踢给乙，再由其踢给乙，即可得概率的递推公式，进而可得概率.

【详解】由已知接到前两次踢出的健子的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），

（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共9种，

14/20

设事件A：第二次的健子由丙接到，事件3:第二次的健子由乙踢出，丙接到,

2I

则产(力=5,0(拔)=§，

设第〃次踢出后，健了恰好踢给乙的概率为己,

易知若第〃次踢出后，健子恰好踢给乙，则第〃-1次踢出后，健子恰好不踢给乙，再由其踢给乙,

即匕=；(1一么3〃22,且4ng,

则匕一

4>

即|匕_，是以为首项,-g为公比的等比数歹ij,

即&=f」、

412I3J

故答案为：7：-+-1--1

2412I3；

【点睛】关键点点睛：根据题意结合概率知识可得递推公式勺=?1-匕-J，进而分析求解.

15.(2025・宁夏•二模)随机事件.4、4满足P(4)=；,P(8)=；,P(1|8)=；,下列说法正确的是()

—1

A.事件7与事件8相互独立B.P(JU5)=-

6

1--

C.P(AB)=-D.P(B)=P(AB)

6

【答案】AC

【分析】利用独立事件计算公式可判断A正确，易知P(1uB)=尸(可+〃(8)-/>(初)=?可得B错误，

根据全概率公式可得C正确，计算可得D错误.

11-1—2

【详解】根据尸(力)=彳，P(B)=:可得尸(N)=1-P(Z)=、,P(8)=1-P(8)=2；

2J23

乂P(1|8)=察可得叩B)=；P(B)=：=P⑺P(B)；

rlnlZZO

15/20

即满足尸（血）=。（刁尸（4）,因此事件7与事件4相互独立，即A正确：

111^

易知产（7U5）=P（N）+P（8）-尸（彳8）=5+.一7=鼻，因此B错误；

由P（8）=尸（48）+尸（彳8）=；可得尸（48）=；-尸（［8）=：,即可知C正确;

计算可得尸（5）="P（B）=3，P（9）=W，所以P（8）工尸（48）,即D错误.

36

故选：AC

随机变量及其分布列

16.（2025・宁夏•二模）某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分

100分）统计如下表所示.

成绩区间[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数100200300240160

（1）求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）:

（2）该运动员用分层抽样的方式从卜0,80）的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次,

设成绩落在区间［60,70）的次数为尤求X的分布列及数学期望；

（3）对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，

原高于80分的无影响，优化失败贝］原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为〃（（）<〃<1）.在

一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围.

【答案】（1）平均值为76.6,上四分位数为86.25；

2

（2）分布列见解析，数学期望为§：

⑶目）.

【分析】（1）根据平均值计算公式和上四分位数计算方法即可得到答案；

（2）写出X的可能取值，再分别计算出其分布列，最后再利用数学期望公式即可；

（3）法一：利用互斥事件加法公式和全概率计算公式得到关于P的表达式，从而得到不等式，解出即可；

法二：根据比例法得到相关概率表达式，解出不等式即可.

【详解】（1）依题意，平均值

16/20

x=x(100x55+200x65+300x75+240x85+160x95)=76.€,

0.1+0.2+03=0.6<0.75,0.6+0.24=0.84>0.75,

二•上四分位数落在区间[80,90),且等于80+些二竺xl0=86.25.

0.24

(2)由样本数据可知，训练成绩在[50,60)370,80),[60,7在之内的频数之比为2:1,

由分层抽样的方法得，从训练成绩在[50,80)中随机抽取了6次成绩，

在[50,60)u[70,80)之内的4次,在[60,70)之内的抽取了2次,

所以X可取的值有：0,1,2,

CC8P(X=2)=*1

«°)=詈尸(X=l)=

"cr=i515

分布列为:

X012

281

P

5L5

2210

...£(Ar)=0x-+lx—+2x—=-.

515153

(3)法一：设事件分别表示动作优化前成绩落在区间DO,80),[80,90),[90,100],

则4,4相互互斥，所以动作优化前,

在一次资格赛中，入围的概率P(4=4)=尸(4)+44)~/旬4,

设事件8为”动作优化成功”，则尸(8|4)二2(8|4)=尸(8)=p,

动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为：4MJ423U4,且事件4民4民4相互互斥,

所以在一次资格赛中入围的概率

p(4七4A|J4)=网4周+尺4与十尺⑷=4⑷<BR6B®

故P(AB\\A.,B\\A)=3()()-p+2416_=0.56+0.16,

\}।D-D3/wo，100。0_1〃00+0。

由0.54〃+0.16>0.4解得p>|,又，•〃<p的取值范围是|14

法二：因为入围的成绩标准是80分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概率为:

240+1602…

Pi=-----------=-=0.4,

10005

17/20

进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间［70,80）或［80,90）的成绩，

当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准，

所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率「2=靛0+筮〃+部=0.54pMM6,

4（4、

由0.54〃+0.16>0.4,得p>W,又<〃<1,...〃的取值范围是11.

17.（2025・宁夏•二模）生态环境部2024年7月21日发布了《全国碳市场发展报告（2024）》，系统总结了

全国碳排放权交易市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工

作成效.为了解某地碳市场建设情况，相关部门对当地1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各

企业的综合得分X近似服从正态分布N（51,256）,则得分在区间［67,83］内的企业大约有（参考数据：若

X〜N.,b2）,则P（〃一bKXK〃+b）=0.6827,尸（〃一2。4X«〃+2。）之0.9545）（）

A.108家B.116家C.124家D.136家

【答案】D

【分析】由所给条件得出〃和。的值，依据正态分布的对称性可得出得分在区间［67,83］内的概率，从而求

出结果.

【详解】由题得〃=51,<7=16,则

P（67<%<83）=P（51<%<51+2xl6）-P（51<%<51+16）

=；［尸（〃-2。£X$〃+2。）一尸（"一卜gx（0.9545-0.6827）=0.1359,

故得分在区间［67,83］内的企业大约有1000x0.1359=136家.

故选：D

18.（2025•宁夏•二模）在概率统计中，常常用频率估计概率.己知袋中有若干个红球和白球，有放回地随

机摸球〃次，红球出现加次.假设每次摸出红球的概率为〃，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球

的概率P的估计值为〃=%.

n

（1）若袋中这两种颜色球的个数之比为1:3,不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取3个球，设摸出的球

为红球的次数为y,则y〜8（3,p）.

（注：今（丫=〃）表示当每次摸出红球的概率为〃时・，摸出红球次数为攵的概率）