2025年山东威海市高考三模数学试卷（含答案详解）

2025届山东省威海市高三模拟考试数学试题

注意事项：

1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4二｛1,2,而｝,8=｛1,加｝,若404=8,则加二()

A.0B.0或2C.1或2D.()或1

2.若复数Z满足z(l-i)=H+Gi|,则2=()

A.1-iB.1+iC.2-2iD.2+2i

3.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”,%+“6=15-6°,则S“=()

A.40B.45C.50D.55

4.某校从高二件级随机摘取部分学生参加交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图

如图所示，则可估计该校高二年级学生的交通安全知识测试成绩的中位数为()

(\-a)x+2a,x<1,

5.已知函数/(幻=1J的值域为R,则。的取值范围是()

x—1.

、X

A.(f,l)B.(-1,+8)C.HU)D.(L+8)

6.已知圆台的上底面半径、下底面半径、母线长之比为1:2:3,高为4,则该圆台的体积为

()

试卷第1页，共4页

40n56兀

B.C.4071D.567c

~Y

7.已知函数/(x)“'-g(x+l)(a>l庵(0,*o)上存在单调递减区间,则。的取值范围是

()

A.(l,e]B.(l,e)C.[e,+oc)D.(e,+oo)

8.已知双曲线£:「-与=1(〃>02>0)的左、右焦点分别为尸2，过A的直线与七的右

a~b~

7

支交于48两点，若|48|=|4%COS/B/1E=G，则E的离心率为()

O

A.72B.73C.2D.瓜

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分.

A.y=/(x)的图象关于直线工=?对称B./*)在上的值域为[-2,2]

6

C./*)在[-小0)上单调递增D.»=/卜+工)的图象关于原点对称

10.已知。为坐标原点，抛物线C：V=4x的焦点为尸，准线为/,过/的直线与。交于

两点，则()

A.过4作/的垂线，垂足为。，若/力。尸=60°,则|力。|=8

B.若直线〃。与/交于点?，则直线4P平行于x轴

C.以线段8/为直径的国上的点到/的最小距离为1

D.以线段力8为直径的网截N轴所得弦长的最小值为2石

11.已知“X)是定义在R上的增函数，且/")可导，/(x-l)为奇函数，记函数

试卷第2页，共4页

g(x)=a+i)/(x)j(x),g%)分别是/㈤⑼》)的导函数,则()

A.g'(-1)=。B.=

C.g'(x-l)=g'(-x-l)D.g(lni.02)<g(-l-4?04)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量£出满足|£|=4,向=1,(£-261石,则£与否的夹角为_________.

13.有甲、乙两袋，甲袋中有4个白球，1个红球；乙袋中有2个白球，2个红球.现从甲

袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则此球为红球的概率为.

14.在三棱锥产一45c中，4_L平面"C,PA=/1B=4、NACB=9O°.若。为侧面以8内

的动点，CQ=2叵,当该三棱锥的体积最大时，。的轨迹与力民尸〃所围成区域的面积

为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤.

sin2/4coscosC

15.在V/出。中，角48,。所对的边分别为a,Ac,

1+cos24sinC-sin5

⑴求A；

(2)若。是边AC上一点，AD=DC=2BD,c=\,求V48。的面积.

16.如图，在直平行六面体力AC。-44G〃中，点尸在棱CG上.

(2)若4B=BC,44=26,/BAD=60°,直线力。与平面所成的角为30‘，平面4尸。与

平面4/也4所成角的正弦值为姮，求CF.

4

17.在平面直角坐标系中，已知椭圆C:二+2=1(。>6>0)的离心率为为C上

a'b~2

两点，线段dE中点的横坐标为-1,当轴时，|力8|=0.

试卷第3页，共4页

1.B

【分析】由4rl8=8得集合A,2之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可求

解.

【详解】由力口8=8,得

因为8={1,〃?},所以/〃工|,

因为集合力={1,2,而},

所以加=2或〃?=际,解得m=2或机=0（m=1不合题意舍去），

所以/»=0或2.

故选：B.

2.B

【分析】由复数的除法运算法则以及其数的模的概念即可得到结果.

【详解】vz（l-i）=|l+x/3i|=Vi73=2,

故选：B.

3.D

【分析】由等差数列下标和的性质可得《二5,再由等差数列的求和公式代入计算，即可得

到结果.

【详解】由出+%=15—q°可得3%=15,即4=5,

则s="（《*”"）=lh=11x5=55.

112v6

故选：D

4.C

【分析】由中位数的定义，列出方程计算可得到结果.

【详解】成绩落在［60,70）的频率为0.01x10=0』，

成绩落在［70,80）的频率为0.03x10=0.3,

成绩落在［80,90）的频率为0.04x10=0.4,

因为0.1+0.3=0.4<0.5，0.1+0.3+0.4=0.8>0.5,

答案第1页，共15页

所以中位数落在［80,90)内，

设中位数为x,则0.l+0.3+(x—80)x0.04=0.5,解得x=82.5,

故选：C.

5.C

【分析】由函数的单调性可得，当入整1时，/(.v)>/(l)=0,然后结合其值域为R,即可得

到x<l的值域，列出不等式，代入计算，即可得到结果.

【详解】因为歹二工在上网)单调递增，歹=-,在［1,+8)单调递增，

X

所以当XN1时，/(x)=x」单调递增,则/(力”(1)=0,

X

又函数/(X)的值域为R,

所以x<l时，函数》=(1幻皿2a的值域要取到(8,0)为所有实数，

所以

当1一°>0时，即4<1时，函数y=(l-a)x+2a单调递增，

Xf-00时，)，->一8,

当x=l时;y=\-a+2a=a+\>0,&|Ja>-\,

所以-国。<1,即。的取直范围是

故选：C

6.B

【分析】设上底面的半径为「，根据题设条件求出厂后可求圆台的体积.

【详解】设上底面的半径为J则下底面的半径为2〃，母线长为3-，

故4=小9户一(27一)丫=2\万〃，故丫二五,

故圆台的体积为:x4x7U(X/2)2+TI(2X/2)2+7ixV2><272誉.

故选：B.

7.B

【分析】求导，由题意将问题转换成/"+l)(lna)2<l有解，构造函数g(x)="(x+1)(ln4『，

由其单调性得到g(())=(Ina)2<1,求解即可.

答案第2页，共15页

【详解】求导可得/'(x)=4、Ina-1,

(x+l)lna

由题意f\x)=a'Ina--~~—<0有解，

(x+l)Ina

即a/"；~『有解，

(x+1)Ina

即+有解，

令g(x)=a*(x+l)(lna)2,

因为。>1,易知8(%)=/*+1)(1114『在(0,+<0)单调递增，

此时g(O)=(lna『，所以(lna)2<l,

又。>1,Ina>0,

所以0<ln"l,解得：l<a<e,

所以。的取值范围是(l,e).

故选：B.

8.C

【分析】利用双曲线的定义和余弦定理可求答案.

【详解】设|初=|4娟=%则|力用=〃?一2%忸周=2°：

因为忸周一|愿|=2,所卯地|=4a,

m，U1(X/

在中，cos^BAFX="7=-,解得〃?=必；

12机28

在△力片居中，cosN84K=64〃+36“-4c=二,解得。2=4/,所以离心率为e=£=2.

2x8"6a8a

故选：C

9.AD

【分析】通过图象确定函数解析式/(x)=2sin(2x+5，再结合对称性、单调性、值域逐个判

0

答案第3页，共15页

断即可.

【详解】由图象可知：4=2,得7=兀，所以①=2,

44

即fM=2sin(2x+(p),

再由五点作图法可得：2>弓+°=1，得e=

o26

所以/(x)=2sin(2x+1),

6

对于A,当“毕时，/(x)=2sin(2x学+。=2,故V=/(幻的图象关于直线工=半对

6666

称，正确；

对于B,当xw0,?时，2x+^e>

_2J6|_66

则2sin(2x+今e[-l,2],错误；

6

r■-71t-兀(57t7t,

对于C：当xe,0时，2xIC,,

、2)6(66)

正弦函数在[-苧,不单调，故C错误；

对于D,y=fx+^l=2sin(2x4-^=-2sin2A,易知是奇函数，D正确，

\12y66

故选：AD

10.BCD

【分析】对于A,由抛物线定义结合题意可得△力。尸为等边三角形，ZF(?L=3(r,据比可

得答案；对于B,设力(国,乂)，8(々,必)，将直线44方程与抛物线方程联立，由韦达定理

可得乂=一，然后可得P-，说明力，P两点纵坐标相同可判断选项正误；对于

必叩2+U

C,取BF中点为a，过8,«做准线垂线，垂足为J,K,则线段8尸为直径的圆上的点到/

的最小距离为|KQ卜3怛尸|,然后由抛物线定义结合梯形中位线定理可判断选项正误；对于

D,设以线段44为直径的圆，与歹轴交于"(0,%)，N(0/J,由勺〃•38=七/七8=7可

得为，以为/-(乂+必)》+加弓+中2=0两根，然后由韦达定理可表示|必一瑞|，据此可判

断选项正误.

【详解】由题可得抛物线焦点为/(L0),准线为X=-1.

答案第4页，共15页

对于A,如图，设准线与y轴交于/,由抛物线定义可得|/。|二|"1,结合乙4。尸=60、则

△1。产为等边三角形，

又由题可得">°£=30。，|尸4=2,则|月@=|2刊=一白=4,故A错误：

sin30

对于B,设片（不凹），见孙月），因直线过E设直线工=叼+1，将直线与抛物线联立，有

2

y--4=0,由韦达定理，乂+必=4/H.y]y2=-4,

则“小又3/品尸翥孔令X-，

则P―1,二^7

,注意到y}=4wy2+4=0=卷=my24-1»因y2H。，

Iwv2+IJ

贝ij?=m%+ln4=型土1=於；2i_则/，。两点纵坐标相同，则直线力。平行

44y2y2my2+1

于x轴，故B正确;

对于C,取济'中点为Q,过&a做准线垂线，垂足为/K,

则线段加'为直径的圆上的点到/的最小距离为|K9।-g忸/,1.

注意到Q\KHBJ”FL,又«为独'中点，则K为L/中点，

则|狗=叱町结合阀|=2,忸/=|跖|,

则区。卜（忸日=1,故C正确；

对于D,设以线段48为直径的圆，与V轴交于财（0,乃），N（0/J,

注意至—=-=9分=4

¥一（必+乃）%+中2+乂必=0

化简后可得

yl-（必+乃）+再三+必为=°

则必，以为丁一（必+为）工+必必+不工2=。两根,

则为+乂=必+必=4〃3y]y2+工用=（"）一4=-3

1O

贝I」仅3—乂|二J（必一居丫=/％+乂）2_4为乂=J16/+12>2省,

当且仅当〃?=0,即AB垂直于x轴时取等号.故D正确

答案第5页，共15页

故选：BCD

11.ABD

【分析】根据/(x-l)为奇函数可得/(-1)=0及g(x-l)=g(-x-l),求导后可判断AC的正

误，对于B,由/(-x-l)+/(x-1)=0求导后可判断其正误，对于D,可证

-l+Vl+2x>ln(l+x),故可得-l+Vi屈">lnl.O2,由g(x)的单调性及对称性可判断D的

正误.

【详解】因为/(x—1)为奇函数，故/(一x—D+/(x—1)=0,令x=0则/(—1)=0,

因为g(x)=(x+l)/(x),故g'(x)=/(x)+(x+l)/(x),

故g'(T)=/(T)+0=0,故A正确.

对于B,因为/(一x-l)+/(x-l)=0,则一/'(一%—1)+/'(工一1)=0,

故八x-l)=r(r7),故B正确.

对于C,因为g(l)=泣1),g(-x-l)=-V'(-x-l),

故g(x—l)=g(r—l)，故g'a—l)=—g'(r—l)，故C错误.

对于D,因为/(x)为R上的增函数，故于(力20,

而/(T)=0,故当工>一1时，/(x)>0,当x<—1时，/(x)<0,

故当工>一1时，g'(x)>0,当x<-l时，g\x)<0,

故g(x)在(-8,-1)上为减函数，在(-1，+8)上为增函数，

rfijg(-v-l)=g(-x-l),故x=-l为g(x)图象的对称轴，

故g(-l-VL04)=g(-l+五5J),

答案第6页，共15页

设s(x)=-l+,其中0<xvl,

〃、11x+1-Jl+2x\lx~+2x+1-Jl+2xc

s(x)=,--------=-----------.=---------------.——>0

x/1+2xx+1(x+1)Jl+2x(x+1)V1+2x

故S'(x)为(0,1)上的增函数，故s(x)>s(0)=0,

故-1+J1+2+>ln(l+x),故-1+V1+2x0.02>ln(l+0.02),

^-l+VLO4>lnl.O2,故g(lnl.02)<g(7+VnS)

HPg(in1.02)<g(-l-4X)4),故D正确.

故选：ABD.

12.£##60°

3

【分析】利用垂直向后的数最积为0可求得石石，然后由向国夹角公式可'解.

【详解】因为伍-2Z；)_LB,所以(2-2后»=0,得痴=2炉=2,

r\ab21

因为3侬")=丽=而=5，

所以□与5的夹角为

故答案为：j

13.；##0.4

5

【分析】将问题拆分为两步，先从甲袋中取球，再从乙袋中取球，然后根据从甲袋中取出球

的颜色情况，分情况计算乙袋中取出红球的概率，再根据全概率公式，用两种情况发生的概

率乘以取到红球的概率，再相加即可得解.

【详解】由题意可知从甲袋中任取2个球有两种情况，2个白球或1个白球I个红球.

①从甲袋中取出2个白球的概率为詈=24

21

放入乙袋后，乙袋此时有4个白球，2个红球，取到红球的概率为二=7；

63

②从甲袋中取出1个白球1个红球的概率为哭=2=；,

1xzD

答案第7页，共15页

放入乙袋后，乙袋此时有3个白球，3个红球，取到红球的概率为?3=1

62

综上两种情况可知，从甲袋中任取2个球放入乙袋，

31212

再从乙袋中任取一球为红球的概率为0

故答案为：!2

14.乃+2##2+4

【分析】由三棱锥的体积最大确定C的位置及C到48的中点0的距离，再由的值，求

出的值，从而确定。的轨迹，进而求解即可.

【详解】在三棱锥尸一力中，=21_L平面力BC,

二•当该三棱锥的体积最大时，底面V的面积必须最大，

由于V48c为直角三角形，且48=4,

C的轨迹是•以AB的中点O为圆心，AR的长为直径的圆，

故当CO_L48,V'/I4C的面积最大，

此时V为等腰直角三角形，

7.CO=2,CA=CB=2y[2,

二•三棱锥的体枳最大值为嗅$4x44.

又丁P4_L平面/18C,COu平面力8。，...21_LC。，

又PAC\AB=A,CO_L平面218.

••.0为侧面内的动点，。。匚平面尸44,二.。。，。。，

CQ=2五,OQ=^CQ2-CO2=2,

.•・点。在以。为圆心，力4为直径的圆上，

.・.。的轨迹与尸〃所围成区域为以。为圆心，2为半径的5个圆和一个以08为直角边的

等腰直角三角形，

「•所围成区域的面积为‘X冗x22+Lx2x2=7t+2.

42

故答案为：兀+2

6(1)4=5

2

答案第8页，共15页

【分析】（1）根据二倍角公式及两角差的余弦可得8$（力-8）=85（力-。），故可得8+。=24,

从而可求得力=^.

（2）法1：BD=x,在△48。、V48C中分别利用余弦定理可得"X的关系，从而求得

x=孝力=2,故可求面积：法2：利用向量的线性运算可得，方=]+:急，平方后可得

b，x的关系，再结合余弦定理可得Ax的值，从而可求面积.

【详解】（1）由题设有sinC—sinAwO即力工。即8wC.

sin2J_cosA-cosC2sin/cos力sinJ_cos8-cosC

因为,所以

1+cos2/1sinC-sin52cos2AcosJsinC-sin5

HPsin/isinC-sin/sin〃=cosAcosB-cosAcosC,

所以cos(4-8)=cos(力一C),

又一K<A-B<K,-n<A-C<n,

所以4一8二4—。或4-8=C-4，所以8=。（禽）或B+C=24,

因为/+8+C=兀，所以彳=色

3

（2）法一：设8。=",则4O=OC=2x,

在△49力中，由余弦定理可得cos/4O4=&=，

4,

O2_42

在△力CO中，由余弦定理可得cos/4X?=—^^,

8/

由cosXADB——cosXADC,nJ得1g/—〃I2,

在V48C中，由余弦定理可得9/=1+〃—〃，

所以可得工=—,b=2,所以S=—xlx2xsin—=—

3A：232

法二：设BD=x，则4）=QC=2x,而5=2瓦，

故而—X=2（刘—而），故而、而+：就，

所以而’=（|而+[衣;，

可得36/=4+/+26,

在VMC中，由余弦定理可得9/=1+〃-6,

所以可得工=立力=2,所以S=—x1x2xsin—=—.

3"Be232

16.（1）证明见解析；

(2)CP=I.

答案第9页，共15页

【分析】（I）连接力C交B力于点。，连接“?，由线面平行的性质定理可得4G〃P。，结合

。为力。的中点，得证：

（2）由题可得//。©=30°,在RtzUDA中，由勾股定理求得48,以力为坐标原点，

而，灰，西的方向分别为X轴，V轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面444%

和平面夕的一个法向量，结合平面4£>夕与平面4力"凡所成角的正弦值为巫，求解得到

4

答案.

【详解】（1）连接4。交8。于点。，连接尸。，

因为4G〃平面9”,xqU平面4CG,平面JCC.n平面BPD=PQ,

所以ACJ/PQ,

因为44GA为直平行六面体，

所以ABCD为平行四边形，可得。为AC的中点,

所以P为CG的中点，即PC=PG.

（2）因为A8=8C,所以平行四边形力BC。为菱形，所以4c工BD,

由直平行六面体力88—4404，可得O2L平面48C。，所以。A_L4C,

又DDJBD=D,所以/1C_L平面。8BQ,

所以4"。为直线AD］与平面"BQ。所成的角，故ZAD}Q=30°,

因为/历1。=60‘，可得A/IB。为等边三角形，设彳6=。，则/0=——a

2

所以力。।=>/3a,

在Ra4Z）A中，由勾股定理可得/+8=3/，所以1=2,

答案第10页，共15页

取力8的中点£,连接WJDE1AB,

以。为坐标原点，万瓦灰，西的方向分别为x轴，y轴，n轴的正方向，建立如图所示的

空间直角坐标系,

则。(0,0,0),4(百,1,0),

设P(0,2")[G[0、26],所以丽=(6,1,0),而=(0,21),

设平面8QP的一个法向量为〃=(XJ,N),

DBn=0\/3.r+y=0

则_,可得

DPn=02y+fz=0

令x=l,则G=(/,_#/,2石)，

又蔡=(1,0,0)是平面AABB.的一个法向量，

因为平面BDP与平面所成角的正弦值为巫，所以平面BDP与平面A.ABB.所成角

4

的余弦值为:，

4

则cos(而㈤=—/,',=,解得/=1,所以CP=1.

lxVr2+3/2+124

2

17.(1)^-+/=1

⑵|。尸|=：

【分析】(1)先由离心率求出。力的关系，再由题干关于48两点的条件求出其坐标，代入

椭圆方程，联立两个方程却可求得结果.

(2)利用点差法得到点。的坐标，再根据垂直斜率互为负倒数得到等式即可求得结果.

【详解】(1)

aa2

因为18/x轴且线段相中点的横坐标为-1,

答案第11页，共15页

所以直线48的方程为x=-l,

因为|<4|=及，所以X,8的坐标分别为

代入。的方程，可得二+3=1，②

a~2b-

联立①②解得/=1,

所以。的方程为工+/=1

2

设力(4必)超(占,为)，线段44中点为2(-1,凡)，直线44的斜率为4(%0),

因为f+斤=1，与+为2=1，所以。1+第一%2=0，

乙乙乙

可得区智3=-%)5+为)，

即言■三，所以为■可得。卜修)，

因为线段AB的中垂线与x轴的交点为尸,设P(〃,O),

1

所以481P。，所以-1,

-\-n~k

解得〃=一；，所以|OP|二；

18.(1)答案见解析

(2)!<^<1

(3)证明见解析

【分析】(1)求导,通过〃W0和方>0讨论函数单调性，即可求解：

(2)设切点为(%,温一如+力-1),求的切线方程，代入(TO),问题转换成方程

2x；+3x：—26+1=0有三个根，构造函数g(x)=2/+3x2-28+l,则g(x)有3个零点，进

而求解即可；

答案第12页，共15页

（3）不妨设OWpWg,通过〃=0或。＜〃二夕时，或。＜〃＜夕，三种情况分类讨论即可.

【详解】（1）当。=?时，/3=43=1-2乎,

222\Jx

当HO时，ra）＞o,所以/a）在（0,+oo）上单调递增,所以〃x）无极值；

当6＞0时，令/'（x）＞0,解得xe（o，A）所以/（x）在上单调递增,

令（（》）＜0,解得工£（奈,+8）,所以/（x）在（条,上单调递减，

所以f（x）的极大值为/（±1二）+6T，

综上可知，当840时，/（外无极值；

当/）＞0时，/（M的极大值为」+〃-1,无极小值.

4b

（2）设切点为10，年-也+力T），因为/"（》）=3.--3，

所以切线方程为-媪+8T）=（3x；-/））（."Xo）,

因为切线过点（TO）,所以一国―E+b—l）=（3x：—6）（—1—%）,

整理得2x：+3x；-2"l=0,

因为曲线."=/（X）有三条过点（-1,0）的切线，

所以关于％的方程2只+3焉-2"1=0有3个解，

令g(x)=21+3/-2〃+1,则g(x)有3个零点,

因为/（%）=6X（工+1）,

令g'（X）＞0,解得X€（Y,-l）5（），+8），所以g（x）在（Y,-1）,（0,田）上单调递增,

令g'（x）＜0,解得xw（-l,O）,所以g（x）在（-1,0）上单调递减，

g(-l)>0

所以,可得

g(0)<0\-2b<0

所以《＜人＜1

2

（3）不妨设04p«q,

当p=0时，左边=0,右边=/,所以左边4右边，

当Ovp=q时，左边=P,右边=P,所以左边=右边,

当0＜”9时,

答案第13页，共15页

因为s,，为正实数，s+f=l,所以f=l-s,O<s<l,

要证pWWps+