2025年新高考数学一轮复习（基础版）函数的图象

§2.10函数的图象

【课标要求】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析

法)表示函数2会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与

不等式解的问题.

■落实主干知识

【知识梳理】

I.利用描点法作函数图象的步骤：到表、撞直、连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)对称变换

Gc、关于谕1对称,、

®y=J(x)---------»尸Tx).

百\“、关于)，轴对称“、

公。、关于原点对称“、

®y=fix)--------r=T-x).

@y=av(«>0»且aW)，=]02选〃>(),且1j.

(3)翻折变换

保留X轴上方图象一

®y=fix)将册下方图象翻折上去‘丁一

保留)轴右侧图象，并作其

^y=/U)关于〉•轴对称的图以‘y-jwi-

【常用结论】

1.左右平移仅仅是相对X而言的，即发生变化的只是X本身，利用“左加右减”进行操作.如

果X的系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换.

2.函数图象自身的对称关系

(1)若函数y=/(x)的定义域为R，且有则函数y=/(x)的图象关于直线工=咛"

对称.

(2)函数)，=yu)的图象关于点3,与成中心对称母/("+x)=2〃一八。一冷铐/U)=2A—/(2a-x).

3.两个函数图象之间的对称关系

⑴函数/=1/“)与y=y(2a—x)的图象关于直线x=a对称.

⑵函数y=以)与产2b—fi2a—x)的图象关于点、(a,〃)对称.

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

⑴函数)，=|/U)|为偶函数.(X)

(2)函数一x)的图象，可由)，=4一#的图象向左平移1个单位长度得到.(X)

(3)当x£(0,+8)时，函数y=|/U)|与)，=川刈的图象相同.(X)

(4)函数)，=段)的图象关于y轴对称即函数)，=/U)与)，=负一x)的图象关于y轴对称.(X)

2.函数.人防二生的部分图象大致为()

答案C

解析由于/(一，=#(；一；)<0,故D错误，

当我一+8时，氏1)-0,A,B错误.

3.函数/U)=ln(x+1)的图象与函数g(x)=f—曲+4的图象的交点个数为()

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析由于函数Ar)=ln(x+1)的图象是由函数y=lnx的图象向左平移1个单位长度得到的，

函数g(x)=f—4X+4=(X-2)2,故函数g(x)图象的对称轴为X=2,顶点坐标为(2,0),开口向

上，所以作出,/(x),g(x)的图象如图所示，故函数7U)与g(x)的图象有两个交点.

4.函数)，=/U)的图象与＞=。1的图象关于y轴对称，再把y=7U)的图象向右平移1个单位长

度后得到函数y=g(x)的图象，则g(x)=.

答案e-x+,

解析由题意可知人力=屋。

把)，=/U)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)=e一"「)=e'+1的图象.

■探究核心题型

题型一作函数图象

例1作出下列各函数的图象:

2x-l

⑴产二F；

(2)尸|『一4%一5卜

(3)y-Q)k-,l-l.

解(1)原函数解析式可化为)，=2+17,故函数图象可由函数y=；的图象向右平移1个单位

X1X

长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示.

(2)y=|『一4.r—5|的图象可由函数＞'=x2—4x—5的图象保留工轴上方的部分不变，将x如下方

的部分翻折到x轴上方得到，如图所示.

(3»=(})广”-1,其图象可看作由函数y=(g)d的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1

个单位长度得到，

其图象可由)，=(；下的图象保留时的图象，然后将该部分

答案c

解析由题意知函数人外的定义域为卜,工±£],

6-x—6'

因为人一好=14丫2_]।=~/(X),所以避幻为奇函数，故排除A;

I今人“

35

因为川尸永>0,故排除B：

因为五2)=黑,费=«1),故排除D.

(2)(2022.全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[—3,3]上的大致图象，则该函数

是()

A-尸f+1B.

2xcosx2sinx

C.尸wrD.y=7+\

答案A

解析对于选项B,当x=l时，y=0,与图象不符，故排除B；对于选项D,当x=3时，y

=1sin3>0,与图象不符，故排除D；对于选项C,当时，0<COSA<1,故)，=笔*母；

W1,与图象不符，故排除C.

思维升华识别函数的图象的主要方法

(1)利用函数的性质,如奇偶性、单调性、定义域等判断.

(2)利用函数的零点、极值点等判断.

(3)利用特殊函数值判断.

跟踪训练2(1)函数人幻=(亳+1｝访工的部分图象为()

答案D

解析因为./U)=(&;+l)sinx,所以大0)=0,故排除A和B；

T+1<2,故排除C,而D满足.

1+e2

_

evl_],],

(2)(2023・泉州模拟)已知函数凡r)=,''则函数—4)的图象大致为(

log2k，X>1，

ev-1—1,xW1,

解析函数/U)=]

logM,x>l,

所以)=g(X)=/U_X)=]，；

10g2(l—X),X<0,

所以当x=0时，g(0)=e°—1=0,

故A,C错误；

当x20时，g(x)=er—I单调递减，

故D错误，B正确.

题型三函数图象的应用

命题点1利用图象研究函数的性质

例3（多选）已知函数./U）=等，则下列结论正确的是（）

入1

A.函数段）的图象关「点（1,2）成中心对称

B.函数./U）在（-8,1）上单调递减

C.函数,/U）的图象上至少存在两点A,从使得直线轴

D.函数4r）的图象关于直线x=l对称

答案AB

解析因为危）=告=吗卡==7+2,所以该函数图象可以由），三的图象向右平移

A1AlAl入

1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，所以函数凡0的图象关于点（1,2）成中心对称，

2

在（-8,1）上单调递减，A,B正确，D错误；易知函数7U）的图象是由的图象平移得

到的，所以不存在两点A,8使得直线AB〃A•轴，C错误.

命题点2利用图象解不等式

例4（2023・商丘联考）已知定义在R上的奇函数;U）在［Q,+8）上的图象如图所示，则不等

式的解集为（）

A.（一小，0）0（-72,2）

B.（一8,-2）U（2,+8）

C.（一8,一2）”一6，0）U（VL2）

D.（-2,-也）U（0,隹2⑵+8）

答案C

解析根据奇函数的图象特征，作出;U）在（一8,（））上的图象，如图所示,

由.上/（幻＞々（幻，得（/一2v（x）＞0,

LV-2>0,卜2—2<0,

则或

W)>0血)<0，

解得xv—2或也令＜2或一也＜x＜0,

故不等式的解集为(-8,-2)U(-V2,0)U(V2,2).

命题点3利用图象求参数的取值范围

1|*xWO,

例5(2023・保定联考)已知函数氏丫)=,八若函数g(x)=外幻一。有三个零点，则

Inx,x>0,

a的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,2］

C.(2,+8)D.(1,4-OQ)

答案A

解析要使函数g(x)=/U)一。有三个零点，

则人的=。有三个不相等的实根，

即y=7U)与y="的图象有三个交点，

当xW-l时,；U)=1—3门在(一8,—1］上单调递减，J(x)e［O,l)；

r+,

出一1<XW0时，y(.v)=3-l在(一1,0］上单调递增，Xx)G(0,2］；

当x>0时，/U)=lnx在(0,+8)上单调递增，4r)£R.作出函数«r)的图象，如图所示.

由)，=/*)与y=a的图象有三个交点，结合函数图象可得〃£(0,1).

思维升华当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可

作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解.

跟踪训练3(1)把函数7U)=ln|x—a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0,+8)上

单调递增，则〃的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析把函数"r)=lnLE-a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)=ln|x+2-a|的图象，

则函数双力在3—2,+8)上单调递增，

又因为所得函数在(0,+8)上单调递增，

所以a—2W0,即〃W2.所以a的最大值为2.

(2)已知函数«v)=|x-2|+l,双幻=立若方程凡r)=g(x)有两个不相等的实数根，则实数k的

取值范围是.

答案出】)

解析先作出函数八x)=|x-2|+l的图象，如图所示，当直线双上)=履与直线A8平行时，斜

率为1,当直线g(x)=依•过点A时，斜率为5，故当./U)=g(x)有两个不相等的实数根时，实

数左的取值范围为e，1)

(3)(多选)记max(x,y,z}表示x,y,z中的最大者,设函数y(x)=max{—x,x~3,—f+4x

一2),则以下实数6的取值范围中，满足人的有()

A.(-1,4)B.(-1,1)C.(3,4)D.(4,+~)

答案BC

解析函数儿r)=max{-x,x—3,—f+4.r-2}的图象如图所示.

由一f+4x-2=1,得x=l或x=3,

由图象可知，当一lv〃P或3＜小＜4时，火〃?)vl,因此选项B,C符合题意.

课时精练

知识过关

一、单项选择题

1.(2023•万州模拟)将函数)二2。-1尸+3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单

位长度，所得的函数图象对应的解析式为()

A.y=2(x—2产+6B.y=2f+6

C.y=2jrD.j=2(x-2)2

答案C

解析函数y=2(Y—l)2+3的图象向左平移I个单位长度得到)，=2~+4的图象.

再向下平移3个单位长度得到），=*的图象.

2.（2022•全国甲卷涵数），=（3x-3r）cosx在区间甘，］上的图象大致为（）

y

4A

A

答案A

解析方法一（特值法）

取x=1,则y=（3-如os1=|cosl>0；

则尸3)cos(-1)

取x=-1,

Q

=—^cos1〈0.结合选项知A正确.

方法二令y=/(x),

则fi—x)=(3~x—3')cos(—x)

=­(3X-3A)cosx=­/(x),

所以函数y—(31—3-cosx是奇函数,

排除B,D：

取x=l,H!|y=f3—zjcosl=jcosl>0,排除C,故A正确.

3.（2024・温州模拟）函数），=於）的大致图象如图所示，则该函数可能是（）

v

i2T4；

A.抬尸至7B.危）=普

C.危尸鬻D.危尸福詈

答案B

v--Y

解析4个选项中函数的定义域均为R,对于A,人幻=离7,逃一处=34=-/5），故/（x）

4

为奇函数，44)=万>。；

对于B,凡。=署，<一N)=等牛=一兀V)，故凡0为奇函数，14)=泮尸<0；

•工c。、2cosx门、2cosx“"、山/国皿介八2cos4八

对于C,八¥)=1+]»艮~x)=y+]=%)»故为偶函数,14)=1万一<0；

—―N+sinxA3-sinx..,——业，—64+sin4

对于D,y(x)=―^Tj—，/一X)=d+]=_/U)，故yU)为奇函数，J(4)=万<―

1.由图知_/U)为奇函数，故排除c；由_A4)VO,故排除A,由#4)>一1,故排除D.

4.(2023・重庆模拟)已知函数./U)的图象如图1所示，则图2所表示的函数是()

A.I-j{x}B.—J(2—x)

C.D.\-fl-x)

答案C

解析由题图知，将人幻的图象关于y轴对称后再向下平移1个单位长度即得题图2,

将凡x)的图象关于)，轴对称后可得函数

y=«-x)的图象，

再向下平移1个单位长度，可得)，=逐一幻-1的图象，

所以题图2所表示的函数是)，=逐一x)—1.

5.已知函数7U)=log2(x+l)一国，则不等式儿1)>0的解集是()

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(-1,0)D.0

答案B

解析不等式/(x)>0<=>log2U+1)>W，分别画出函数y=Iog2(x+1)和尸M的图象，如图所示,

由图象可知y=log2(x+1)和y=IM有两个交点，分别是(00)和(1,1),

由图象可知log2(x+1)>M的解集是(0,1),

即不等式凡6>0的解集是(0,1).

6.(2023・烟台模拟)若某函数在区间[一兀，扪上的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能

是（）

A.)，=(%+2)sin2x

(4/+5)川11x

B.尸-N+l

(.r4-2)sinx

C.-V=M+l

『+2x

D.)cosx+2

答案B

解析A选项，设yu）=（x+2）sin2x,

则当人七（1,，时，2xe（n,22,

则危）＜0,不符合图象，排除A；

(x4-2)sinx

C选项，设7U）=

W+l

,.(x+2)sinx

当x£(0,兀)时，—,

且2<x+2<兀+2,0<sinxW1,14+l<7t+1,

所以0<(x+2)sinx<7r+2.

所以"v(x+2)sin1<兀+2V6,不符合图象，排除C；

人I■

x2+2x

选项，设yu）=

Dcosx+2

令«r）=o,解得x=0或x=-2,不符合图象，排除D.

二、多项选择题

ax-h

7.（2023・宜春模拟）函数■的图象如图所示，则下列结论一定成立的是（）

A.a<0

B.b<0

C.c>0

D.abc<0

答案BCD

解析由图知贝0)=装>0,所以XO,B正确；

当工=-c•时，函数凡6无意义，

由图知一“0,所以c>0,C正确；

令段)=0,解得x=g,由图知30,

又因为〃<0,所以〃>0,A错误；

综上，a>0,b<0,c>0,配以Mc<0,D正确.

8.(2024・南京模拟)若Vx£R,./U+l)=/(l—X),当时，/)=如一4彳,则下列说法错误

的是()

A.函数/(3)为奇函数

B.函数兀v)在(1,+8)上单调递增

C.y(X)min=—4

D.函数人r)在(一8,|)上单调递减

答案ABD

解析由危+1)=》-x),

可知人幻的图象关于直线x=l对称，当时，-4,r=(x-2)2—4,

当x<l时，2一人>1,式2—:)=(2—1一2)2—4=/一4,则Rx)=J(2—x)=f—4,

x2—4x,

所以府)=|『—明⑼

J—4HrNI

作出/)=./1,的图象，如图所示,

X2—4,x<\

所以人工)在(0,1),(2,+8)上单调递增，4(-00,0),(1,2)上单调递减，

/(x)min=-4,40不是奇函数，故A,B,D错误，C正确.

三、填空题

9.把抛物线y=2(x—1产+1向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线

解析式为.

答案y=2(x+1)2+3

解析把抛物线y=2(x-l)2+l向左平移2个单位长度，得到)，=2(L1+2)2+I=2(I+1)2

+1的图象，再向上平移2个单位长度得到)，=2(x+l)2+l+2=2(x+l)2+3的图象.

10.若函数/(幻="］的图象关于点(1,1)对称，则实数4=_______.

X1

答案1

关于点(1,4)对称，故4=1.

四、解答题

侬一2|,后0,

ii.已知函数yu)=<4

.r>().

(1)作出函数/U)的图象：

(2)讨论方程ZU)一〃?=0根的情况.

解(1)当xWO时，O〈2'W1,

则府)=|2'—2|=2—2怕［1,2),

作出函数儿0的图象，如图所示.

y

5

4

3

2

012345x

(2)由_/(%)-〃?=0可得

则方程/U)一〃?=0的根的个数即为直线与函数1y=心)图象的交点个数，如图所示.

5

4

3

2

012345x

当机wo时，方程yu)—〃?=o无实根；

当0</7/<1或小22时，方程段)一m=0只有一个实根；

当时，方程寅幻一机=()有两个不相等的实根.

12.已知函数/(x)=q］2的图象经过点(1,；),其中。>()且4Kl.

(1)若贝，+2)=3,求实数。和，的值；

|x+l|,AWO,

(2)设函数g(x)=《请在平面直角坐标系中作出g(x)的简图,

a'—1,x>0,

①根据图象写出该函数的单调递增区间；

②求以幻W1的解集.

解(1)由题意可得/U)=〃'=；,

解得。=2,则yu)=2「2,

所以|i+2)