2025年高一数学讲义-平面向量基本定理及坐标表示（人教A版必修第二册）解析版

第03讲平面向量基本定理及坐标表示

【人教A版2019】

1.平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果3,3是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量7有且只有一对实数2-

%，使。=213+4202.若。，e?穴共线，我们把｛e1，G｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

(2)定理的实质

由平面向量基本定理知，可将任一向量：在给出基底｛2,3｝的条件下进行分解——平面内的任一向量

都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.

2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：

用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向

量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分

解都是唯一的.

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►题型归纳

【题型1基底的概念及辨析】

【例1.1］（23・24高一下•山东荷泽•阶段练习）已知齐，或是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底

的是（）

A.a=0,b=/-与B.a=3e^-b=/一瓦

C.a=e7-2ej,了=久+2百D.益=久一2药，方=2可一4豆

【解题思路】由不共线的两个非零向最才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断.

【解答过程】对于A,因为五二亚所以运与E共线，不能作为基底；

对于B,设工=入瓦则3百一3与=4（百一霓），解得入=3,所以W与石共线，不能作为基底；

对于C,设五二痂则可一2可=2（百+2匹），即：（匚3,此时2无解，所以应与冰共线，可以作为基

底；

对于D,设五=Ab,则可一温=2（2可一4可），即：［：=2乙解得入=1,所以五与e共线，不能作为基

I—，=—4X2

底；

故选：C.

【例1.2］（23-24高一下•山西•阶段练习）如果｛五，瓦｝表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量,

不能作为一个基底的是（）

A.匹可一2筱B.可+2酝逐+2可

C.可-3酝6a-2可D.可一酝可-3与

【解题思路】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可.

【解答过程】根据平面基底的定义知，向量匹五为不共线非零向量，即不存在实数九使得打二4与，

对于A中，向量五和药一2与，不存在实数入，使得与二心（国-2冕），可以作为一个基底；

对于B中，向量耳+2。,当+2瓦，假设存在实数%，使得西+2互=%（冕+2匹），

可得［.］?，?，，此时方程组无解，所以久+2五和冕+25可以作为基底：

对于C中，向量可一3筱和6瓦一2可，假设存在实数心，使得可一3跖=A（6器一2百），

可得广；一解得；13=-J，所以可一3与和6eJ-2可不可以作为基底；

对于D中，向量西一器和再一3瓦，假设存在实数儿，使得再一石=心（五-3五），

可得［：二此时方程组无解,所以瓦-霓和7一3孩可以作为基底.

=­S/lg

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故选：c.

【变式1.1](23-24高一下•湖南祁阳期末)下列各组向量中，可以作为基底的是()

A.武=(1,2),可=(2,3)B.可=(3,-2),可=(-6,4)

C.可=(0,0),a=(-1,3)D.可=(1,1),五二(2,2)

【解题思路】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.

【解答过程】对于A,因为£=(1,2),五二(2,3)不共线，且都是非零向量，所以A符合题意；

对干B,因为或=-25，所以可与玩共线，故B不符合题意；

对干C,因为瓦=(0,0)为零向量，所以C不符合题意；

对于D,因为匹=2无，所以可与瓦共线，所以D不符合题意：

故选：A.

【变式1.2](23・24高一下•江苏盐城,期中)已知可、器是平面内所有向量的一组基底，则下丸四组向量中

不能作为基底的一组是(〉

A.宕+祓和江—2^2B.打—2与和2所'—4^2

C.百一2与和耳+2与D.瓦+五和区+2与

【解题思路】根据基底向量的定义，结合共线向量的判定定理逐项分析判断.

【解答过程】因为耳、孩是平面内所有向量的一组基底，则可、孩不共线，

对于选项A：若可+可、可-2瓦共线，则瓦+瓦=女(可一2瓦)=k瓦一2/c运，

可得｛]!：黑，无解，

所以可十五、西-2可不共线，可以作为基底向量，故A错误：

对于选项B：因为2百一4孩=207—2a)，

可知瓦-2与和2方-4或共线，不能作为基底向量，故B正确；

对于选项C：若行-2与、区+2日共线，则区—2与=H瓦+2与)=攵百+2攵弓

可得]，=黑，无解，

所以可-2瓦、可+2久不共线，可以作为基底向量，故C错误；

对于选项D：若可+孩、西+2万共线，则可+石=乂西+26=底7+2/c迹，

可得｛;二]，无解，

所以友+益、百+2与不共线，可以作为基底向量，故D错误：

故选：B.

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【题型2用基底表示向量】

【例2.1】（23-24高一下•河北•期中）在△ABC中,。为8c边上的中点,E是4。上靠近A的四等分点，则而=

（）

A.一面+/B.-^AB-^AC

8888

C.-1AB-^ACD.-^AB+^AC

8888

【解题思路】根据几何关系，转化向量，用基底表示.

【解答过程】因为荏二；而,

4

由已知可得，AD=^（AB+AC）,所以荏=*7市+下）,

所以配二版一通二1（75+初一通=一工检+工前.

8''88

故选：A.

【例2.2］（23-24高一下•山东临沂,期中）如图，平行四边形48CD中，E是4D的中点，尸在线段8E上，且丽=

3拜,记瓦？=五，BC=b,则赤=（）

C.-3­a+,-ITbDC.-3-a--5bM

【解题思路】取々=瓦?，5=正作为基底，把屣、能用基底式示出来，利用向量的减法即可表示出存.

【解答过程】取3=瓦?，石=近作为基底，因为E是力。中点，则丽=瓦？+荏=瓦5+；同=瓦？+；近=

a+/.

2

因为丽=3而，所以乔=：丽=；（苍+；方）=：弘+：氏

44\2/48

所以不=而一而=%+四一1=3五一涵

故选：D.

【变式2.1］（23-24高一下•贵州六盘水•期中）在△48。中，点。是48的中点，而=3而.设而=高而=石,

则荏=（）

A.定=/+与B.版二防+与

6336

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C.AE=-a+-bD.AE=-a+-b

3333

【解题思路】根据向量的线性运算，即可求得答案.

【解答过程】由题意，点。是43的中点，丽=3丽，可得前=3荏，CE=^CD,

则荏=AC+CE=AC+jCD=AC+^（AD-AC）＞=AC+笑南-硝

=；存+亚=/+与，

6363

故选：A.

【变式2.2］（23-24高一下•江苏徐州期中）在△48。中，点。为边上一点，且BD:OC=1:2,设荏=优

AC=b,试用落5表示而=（）.

A.AD=^a-^bB.AD=^a-^b

3333

C.AD=^a+^bD.AD=1a+^b

【解题思路】利用平面向量的线性运算即可求解.

【解答过程】由题意，画出图象如下：

可得标=AB+JD=AB+-BC=AB-i--（AC-AB）=-AB+-AC=-a4--b.

33、73333

故选：D.

【题型3利用平面向量基本定理求参数】

【例3.1］（23・24高一下•陕西渭南•期末）如图，在△ABC中，已知方方=称反，P为而上一点，且满足而=

mCA+^CB,则实数m的值为（）

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【解题思路】根据三点共线可得加=入刀+〃而，且2+〃=1,结合题意可得而=2石？+如亚根据平

面向量基本定理列式求解即可.

【解答过程】因为4D,P三点共线，则加=/1石？+〃而，且；1+^=1，

又因为丽=；反，^CD=\CB,则丽=及7+）而，

A=m（.__i

,,J―,244一—T

JBLCP=mCA+^CB,则'=W，解得‘2•

U4-/z=1"-3

故选:A.

【例3.2］（23-24高一下•安徽亳州•期末）已知在梯形力BC4中,AB//CD,DC=2BA,ACnBD=0,若而=

xAB+yAD,则（）

.21n11

3z32z2

「12c31

C.x=-,y=-D,%=?y=-

【解题思路】证明△48。~2^。0可得［=喋=3然后根据平面向量线性运算可得.

CC/L/C4

【解答过程】因为4B//C0,所以乙480=乙。。。，/840=40。0,

所以△480〜△C00,所以言

所以AO=^AC=^（AD+~DC）=^（AD+2AB）+

所以％=gy=i-

•5«5

故选：A.

【变式3.1］（23-24高一下•陕西咸阳・期末）如图所示，在正方形ABCD中，E为A8的中点，F为CE的中点,

若力户=九48—〃40,则入+〃=（）

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【解题思路】根据平面向量基本定理结合题意将而用彳瓦35表示，从而可求出儿〃，进而可求得答案.

【解答过程】因为在正方形力BCD中，E为48的中点，F为CE的中点，

所以而=荏+前=；荏+；瓦

[一1——

=-AB+-(EB+BC)

1一11一1―.

=-AB+-x-AB4--AD

2222

=-AB+-AD,

42

因为方=入荏一〃而，所以a=。,〃=一1,

42

所以2+〃=:+(-3.

故选：C.

【变式3.2](23-24高一下•新疆乌鲁木齐•期末)如图，在平行四边形4BCD中，AE=\AD,BF=：BC,CE

34

与。尸交于点。.设48=五，AD=d,若4。=疝+而，则〃一之=()

【解题思路】根据。,0,尸、E,O,C三点共线，可得同=^B+y而、AO=mAE+nAC,利用平面向量线性

运算的应用将五是表示而'，由此可得方程组求得x,y,进而得到的值.

因为D,。,产三点共线，设而二%而+y而，则x+y=l,

所以而=xAD+y(AB+RF)=xAD+y(AB+1AD)=(x++ya；

因为E,O,C三点共线，设方=m荏+九而，则m+n=l,

所以而=+n(AD4-而)=(y4-n)b+na,

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，1

+

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解得所以T

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故选D

:

.

应用】

定理的

量基本

平面向

型4

【题

C

氏A

与4

分别

直线

点G作

心，过

C的重

△A8

点G是

已知

图，

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期中

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•四川

一下

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（23-2

.1]

【例4

（）

值为

最小

y的

x+9

C,则

=yA

AN

而，

？=无

设而

点，

N两

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交于

两边

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-。

+（1

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设而

定理

基本

向量

平面

，再由