2025年人教版七年级数学下册期末复习：第10章 二元一次方程组【3大考点9大题型】解析版

第10章二元一次方程组13大考点9大题型】

【人教版2024]

＞题型梳理

【考点1二元一次方程组的解法】.................................................................1

【题型1利用二元一次方程的定义求字母的值】....................................................2

【题型2由二元一次方程的解确定字母的值】......................................................4

【题型3根据实际问题列二元一次方程组】........................................................6

【题型4选择合适的方程解二元一次方程组】......................................................8

【题型5确定方程组中字母系数的值1.......................................................................................1()

【考点2实际问题与二元一次方程组】............................................................13

【题型6列二元一次方程组解决行程、利润、配比问题】...........................................14

【题型7列二元一次方程组解决数字、配套、工程问题】...........................................18

【考点3三元一次方程组的解法】...............................................................21

【题型8解三元一次方程组1..................................................................................................21

【题型9三元一次方程组的应用】................................................................24

院举一反三

【考点1二元一次方程组的解法】

1.二元一次方程

①定义：含有两个未知数(x和y),并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程

②一般形式：ax+by+c=0(a^O,厚0)

③二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.

2.二元一次方程组

定义：有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程.二元一次方程组的解：一

般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

3.二元一次方程组的解的讨论

a,x+b,y=c,

已知二元一次方程组11'

a2x+b2y=c2

①当色w%时，有唯一解；

②当红=3工土时，无解；

%b2c2

③当&=卒,二时，有无数解.

%b2c2

4.二元一次方程组的解法

1）代入消元法

由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现

消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

汪：代入法解二兀一次方程组的一股步骤为：

①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示

出来；

②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一

次方程；

③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求巴另一个未知

数的值；

⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,就是方程组的解.

2）加减消元法

当二元一次方程组的两个方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）

时,将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程,进而求得这

个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法.

注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为：

①｛匕方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适

当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等；

②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

砒、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，

⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解.

3）用换元法解方程组

根据题目的特点，利用换元法简化求解，同时应注意换元法求出的解要代回关系式中，求出方程组中未知

数的解.

4）用整体代入法解方程组

【题型1利用二元一次方程的定义求字母的值】

【例1】（24-25七年级・云南文山期中）若（。一1）%同+3'=1是关于"的二元一次方程，则。的值为（）

A.1B.-1C.±1D.2

【答案】B

【分析】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是

1，像这样的整式方程叫做二元一次方程.

利用二元一次方程定义可得答案.

【详解】解：由题意得：|可=1,且。一100,

解得Q=-l,

故选:B.

【变式1-11(24-25七年级•福建莆田•期中)若方程5/m+3n+20+4yn+5n=9是关于X、y的二元一次方程,

求m、九的值.

【答案】1=-：4

In=3

【分析】根据二元一次方程的定义列出二元一次方程组进行解答即可.

【详解】解：由题意得，『皿+"+20=1,

解得HF.

【点睛】本题本题考查了二元一次方程的定义，代入法解二元一次方程组，掌握含有两个未知数，旦未知项

的次数都是1的整式方程叫二元一次方程是解题的关键，注意未知项的次数都为1次.

【变式1-21(24-25七年级•浙江杭州•期末)己知关于x.y的二元一次方■程(a-l)x?n-n+2+(a+2)ym+n+3-

2a=0,当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则机=,n=；这些

方程的公共解是.

X=-7

【答案】0\\\

(y=-3

【分析】将已知方程按a整理得(x+y-2)a=x-2y-3,要使这些方程有一个公共解，说明这个解与。的取值无

关，即这个关于。的方程有无穷多个解，所以只须中-2=0且x-2y-3=0.联立以上两方程即可求出结果.

【详解】解：由题意可得：｛I；；：］；'

解得f二;，

•・•当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，

/.(a-1)x+(a+2)y+3-2a=0,

整理得：(x+y-2)a=x-2y-3,

是怎样的常数，总有一组解为（其中“，》是常数），则。的值为.

【答案】-5

【分析】本题考查了二元一•次方程的解•，令m=l,y值未知，消去y是解题的关键.

【详解】解：••・关于x，y的方程（m-2）x+（?n-l）y=3?n+a,不论/〃是怎样的常数，总有一组解为后二\

（其中a,b是常数），

工令m=l,则原方程为-x=3+a,

-2=3+Q,

a=-5,

・・・。的值为一5.

故答案为：-5.

【变式2-2]（24-25七年级・重庆潼南•期中）若是关于心y的二元一次方程ax+y=4的解,则

a=，并直接写二元一次方程的所有正整数解.

【答案】1g：rg：2-g：!

【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，

叫做二元一次方程的解”是解题的关键.

【详解】解：将代入原方程得：Q+3=4,

解得：a=1.

原二元一次方程为：x+y=4,

当x=l时，y=3,

当第=2时，y=2,

当算=3时，y=1,

故x+y=4二元一次方程的所有正整数解为：｛；二；，号二；，

故答案为…

【变式2-3]（24-25七年级•北京顺义期中）已知是方程"+"=10的解，a,b是正整数，则a+b

的最大值是（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】把方程的解代入，则可得到一个关于a和b的二元一次方程，解答即可.

【详解】解：•••｛：：：是方程Q%+"=10的解，

•••3Q+b=10,

•••Q，h是正整数，

北：;或仁;或仁:，

••.Q+b的最大值是1+7=8.

故选：D.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题关键把方程的解代入原方程，得到关于a和b的二元一次方程,

再求解.

【题型？根据实际问题列二元一次方程组】

[例3]（24-25七年级•吉林•期中）某食品厂要配制含蛋白质15%的食品100kg,需要含蛋白质分别为18%

和10%的两种配料各多少千克？若设需要含蛋白质18%和10%的配料分别为xkg、ykg,则所列方程组是

（）

[x+y=100（x+y=100

A，（18x+10y=100118%%+10%y=100

（x+y=100（x+y=100

C（18%x+10%y=100x15%D，（18x+lOy=100x15%

【答案】C

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用.根据题意正确的列二元一次方程组是解题的关键.

由食品厂要配制含蛋白质15%的食品100kg可得，x+y=100,18%x+10%y=100x15%,进而可得

方程组.

【详解】解：设需要含蛋白质18%和10%的配料分别为xkg、ykg,

依题意得，（18%x+10%y=100x15%,

故选：C.

【变式3-1]（24-25七年级•北京•期中）哥哥与弟弟现在的年龄和是24岁，弟弟对哥哥说：“当我的年龄是

你现在年龄的时候，你就是24岁”.如果现在弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，所列方程组为.

【答案儿二

【分析】此题考查由实际问题列方程组，注意找出题H缢含的数量关系解次问题.由弟弟的年龄是x岁，哥

哥的年龄是y岁，根据“哥哥与弟弟的年龄和是24岁，”，哥哥与弟弟的年龄差不变得出24-y=y-x,

列出方程组即可.

【详解】解：设现在弟弟的年龄是X岁，哥哥的年龄是y岁，由题意得

（y=24—x

（24-y=y-x"

政答案为：

【变式3-2】（2024•北京东城•一模）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗,

直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50

钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱.现有30钱，买得2斗酒.问醵酒、行酒各能买得多少？设醇酒为“

斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为.

【答案】］x+y=2

1口不，（50x+10y=30

【分析】设醉酒为工斗，行酒为y斗，根据“醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值

10钱.现有30钱，买得2斗酒”，列出二元一次方程组即可.

【详解】解：设醇酒为x斗，行酒为y斗，

根据题意得：（50x4-10y=30，

故答案为：｛5ox+10y=30,

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是理解题意，找准等量关系.

【变式3・3】（24-25七年级・北京海淀•期中）学校红窗汇是同学们学习成果的展示、交流、分享的平台，去

年的红窗汇分为线上和线下两种方式，同学们申报的摊位分别是44个、71个.其中线下摊位的交易总额

比线上的7倍还多1.8万元，而线上平均每个摊位的交易额比线下少0.3万元.设线上、线下摊位的交易总

额分别为无、y万元，根据题意可列方程组为.

y=7x+1.8

【答案】

力力。3

【分析】设线上、线下摊位的交易总额分别为％、y万元，根据题意列出二元一次方程组即可求解.

【详解】解：设线上、线下摊位的交易总额分别为小y万元,

y=7x+1.8

则

Z—二=0.3

(7144

y=7%4-1.8

故答案为:

上一二=0.3.

.7144

【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找到等量关系列出方程组是解题的关键.

【题型4选择合适的方程解二元一次方程组】

【例4】（2024七年级•浙江•专题练习）已知关于x,），的方程组二21和有相同的解•

⑴求出它们的相同解;

（2）求（2Q+38）2023的值.

【答案】⑴忧；

(2)-1

【分析】本题考查了二元•次方程组的解，解二元•次方程组和求代数式的值等知识，能求出两方程组的相

同的解是解此题的关键.

（1）求出隹二厂：的解，即可解答；

（3x+y=9

⑵将代入到｛黑::短二中，求出〃的值，再代入，求出即可.

【详解】（1）由题意，得

4x-y=5①

3x+y=9@t

①+②，得

7%=14.

/.x=2.

把代入②得

6+y=9,

.*.>■=3,

解唠：;;

⑵将葭代入或挑K川#配4

解仁；•

/.2a+3Z?=-2x2+3xl=-1,

••・（2a+3b尸°23=（-1）2023=_i

【变式4-1】（24-25七年级•全国•期中）⑴已知匕二:是关于X、y的方程组产｝?二，的解，求：°、

\r*1“人L/JrU

b的值.

（2）如果|3%-4y-15|与（7%+y-4尸互为相反数，求x、y的值.

【答案】（1）Q=5,b=4；（2）x=1,y=-3

【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，绝对值和完全平方公式的年负性，

（1）将方程组的解代人得出关于。，力的二元一次方程组，求出解即可：

（2）根据绝对值和平方的非负性列出二元一次方程组，求出解即可.

【详解】（1）L凭;，是方程组偿=震=7?的解,

（.y=4（ax—by=—6

.[8+4a=7b

**l2a-4d=-6，

解得｛„.

（2）•・・|3%-4'-15|与（7%+丫-4）2互为相反数，

J|3x-4y-15|+（7x+y-4）2=0,

px-4y-15=0

L|Jl7x+y-4=0'

解电二•

【变式4-2]（24-25七年级•云南昆明•期中）先阅读材料，然后解方程组.

材料:解方程组：L：+y：2=。幺

由①，得x+y=2.③

把③代入②，得3x2-y=4,解得y=2.

把y=2代入③，得x=0.

・••原方程组的解为仁;；；

这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组：

（3x-2y-l=0®

[^^+y=2②

【答案"；

卜，

【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先根据题意由①得到3x—2y=l③，再把③代入②得到乃产+

6

y=2,据此求出y=g再把y=：代入①求出x即可得到答案.

66

(3x-2y-1=0①

【详解】解：卜4y+3।『2.

由①得3x-2y=1③，

把③代入②得：丝嘤g+y=2,即曾+y=2,解得y=:

666

把y=j弋入③得：3x-^=1,解得％=蔡，

r_10

・••方程组的解为[

ly=i

【变式4-3](24-25七年级•全国•期中)已知m是一个非零常数，且关于居V的方程组二4有解，

求邙勺值.

y

【答案】-=2.

y

【分析】本题考查了解二元一次方程组，用代入消元法消去m即可求解，熟练掌握解二元一次方程组的方法

和步骤是解题的关键.

2x-m=y①

【详解】解:

.5x4-2y=4m②

由①得：m=2x-y,

把③代人②得：5x+2y=4(2x-y),

则-3x=—6y,

/.-=2.

y

【题型5确定方程组中字母系数的值】

【例5】(24-25七年级•福建泉州•期中)已知关于％y的方程组'/”?一6二°

(I)请直接写出方程2x+y-6=0的所有正整数解；

(2)无论数7几取何值，方程2%-y+my-5=0总有一个固定的解，请直接写出这个解;

(3)若方程组的解满足％+y=0,求m的值；

(4)若方程组的解中y恰为整数，7R也为整数，求m的值.

【答案】(璃：:或仁:

⑵层

/013

(3)m=—

(4)?n=3或m=1

【分析】本题考查求二元一次方程的整数解，已知二元一次方程组的解的情况，求参数的值：

(1)根据二元一次方程的解的定义，求解即可；

(2)将方程转化为2%-5+(m-l)y=U,得到当-5=U,y=。时，方程成立，即可得出结果;

(3)将x+y=O和方程组中不含参数的方程组成新的方程组，求解后，代入含参方程，求解即可；

(4)方程组消去工后，得到关于ym的二元一次方程，求整数解即可.

【详解】(1)解：・・・2%+y—6=0,且居y均为正整数，

•膜:或仁；

(2)V2x—y+my—5=0,

・,.2%一5+(m—l)y=0,

工当产片10时,方程成立，

5

・・・『，

y=0

_5

即：不论m为何值，方程总有一组解为”=5.

ly=0

⑶联立解得：｛yZl%

把1：二65代入2%-y+my-5=0,得：2X6+6-6m—5=0,

解得：m=；;

6

(4)(2%+y-6=0①，

(2%—y+my-5=0@'

②一①，得：my-2y=-1,

.-.v=—,

)m—2

均为整数，

•'•m-2=1或m—2=-1,

，m=3或m=1.

【变式5-1](24-25七年级•浙江宁波・期中)若关于“、y的方程组1的解满足“与y互为相反

数，则Q的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】根据％与y互为相反数得到x=-y,代入方程组中计算即可求出a的值.

【详解】解：由工与y互为相反数，得到x+y=O,即x=—y,

代入方程组得；,匕；纥二］，

解得：a=-1.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，正确得到x=-y非利用代入消元法求解是解题的关键.

【变式5-2］（24-25七年级•广东广州•期中）（1）已知关于x,y的二元一次方程组｛：：：（；?广；与方程

x-3y=2k有相同的解，求k的值.

（2）关于x,y的二元一次方程组的解为正整数，求整数0的值.

Ix十y-a

【答案】（1）k=—l；（2）Q=5或7

【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关犍.

（1）①一②得％—3y=—k-3,从而得出k的方程求解；

（2）由5%+3y=23得丫=空，结合x,y取正整数求出x,y的值，进而可求出整数a的值.

【详解】解：⑴P+2y=2fc+i©

（2x-y=k-2@

①—②得：—％+3y=k+3

•••x-3y=-k-3

■:x-3y=2k

.'.-k-3=2k

:.k=—1

（2）•••5x+3y=23

23-5x

•:x,y取正整数

•••x=4,y=l或x=l,y=6

•••a=x+y=5或7

【变式5-3］（24-25七年级•福建福州•期末）已知关于，丫的方程组着::°=0，若方程组的解

中r恰为整数，m也为整数，则m的值为（）

A.-1B.IC.-1或3D.-1或-3

【答案】D

【分析】利用加减消元法解关于以y的方程组得到％=利用有理数的整除性得到2+m=±l,从而

得到满足条件的m的值.

%+2y-6=0①

【详解】解:

x—2y+mx+5=0②

①+②得(2+m)%=1,

解得“六

为整数，m为整数,

2+m=±1,

，加的值为一1或一3.

故选：D.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方

程组的解.也考查了解二元一次方程组.

【考点2实际问题与二元一次方程组】

1.利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程

审题并找出数量关系式一＞设元（设未知数）一＞根据数量关系式列出方程组一＞解方程组一＞检验

并作答.

2.列方程组解应用题的常见题型

①和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量-较小量=相差量，总量=倍数X倍量；

②产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比例；

③速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程=速度X时间，包括相遇问题、追及问题等；

④航速问题：

顺流（风）：航速=静水（无风）时的速度+水（风）速；

逆流（风）：航速=静水（无风）时的速度-水（风）速；

⑤工程问题：解这类问题的基本关系式是：

工作总量=工作效率X工作时间，（有时需把工作总量看作1）；

⑥增长率问题：解这类问题的基本关系式是：

原量X（1+增长率）=增长后的量，原量X（1一减少率）=减少后的量；

⑦盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量；

⑧数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示；

⑨几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式；

⑩年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等.

【题型6列二元一次方程组解决行程、利润、配比问题】

【例6】（24-25七年级•重庆黔江•期中）今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县

石宝寨风景区更是人山人海.“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，

从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时.

（1）求该客轮在静水中的速度和水流速度；

（2）重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4

个正方形纪念币和4个半圆形纪念币.工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个

半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好

全部配套.工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？

【答案】（1）该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时；

（2）工厂每天能生产90盒纪念币.

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用.

（1）设该客轮在静水中的速度是K千米/小时，水流速度是y千米〃卜时，根据路程=速度X时间，即可得出

关于％,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设每天安排3名工人生产正方体纪念币，依题意得9x=6（100-X）,解得即可.

【详解】（1）解：设该客轮在静水中的速度是“千米/小时，水流速度是y千米/小时，

依题意,［（9；iX（x-；）=270-

解得:（y=2/>

答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时；

（2）解：设每天安排x名工人生产正方体纪念币，则每天安排名工人生产半圆形纪念币，

依题意得9%=6（100-%）,

解得：x=40,

则工厂每天能牛产的纪念币数为：9x40+4=90（盒），

答：工厂每天能生产90盒纪念币.

【变式6-1]（24-25七年级•山东莉泽•期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成

为人们喜爱的交通工具，某汽车4s店计划购进一批新能源汽车进行销售.据了解，购进2辆[型新能源汽

车、3辆8型新能源汽车共需80万元；购进3辆4型新能源汽车、2辆8型新能源汽车共需95万元.

（1）同A.B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？

（2）若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆/

型汽车可获利1.2万元，销售1辆8型汽车可获利0.8万元.假如这些新能源汽车全部售出，请设计出符合

要求的一种购买方案.并求出此方案所获得的利润.

【答案】（1）力、8两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元，10万元

（2）见解析

【分析】本题考杳二元一次方程组的实际应用：

（1）设力、8两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可;

（2）设购进，〃辆彳型号的新能源汽车，购进〃辆4型号的新能源汽车，根据题意，列出二元一次方程，求

出正整数解，即可.

【详解】（1）解：设小8两种型号的新能源汽车每辆进价分别为戈万元和y万元，根据题意可列方程组为

（2x+3y=80

（3x+2y=95'

Hy=io-

所以4、8两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元，10万元

（2）设购进，〃辆力型号的新能源汽车，购进〃辆8型号的新能源汽车，

根据题意得：25m+10n=180,且机，〃均为正整数，

y或忆:吗:;.

共有三种购买方案：

方案一:购进2辆力型号的新能源汽车，购进13辆8型号的新能源汽车，获得的利润为2x1.2+13x0.8=

12.8（万元）

方案二:购进4辆4型号的新能源汽车，购进8辆4型号的新能源汽车,获得的利润为4x1.2+8x0.8=11.2

（万元）

方案三:购进6辆/型号的新能源汽车，购进3辆B型号的新能源汽车，获得的利润为6x1.2+3x0.8=9.6

（万元）

【变式6・2】（24-25七年级•浙江温州•期末）根据以卜.素材，探索解决任务.

确定什锦糖的销售量

素材某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为15元/千克，

I20元/千克.

商店将两种糖果混合形成4型什锦糖如图所示.

素材

小温根据个人需要，另外混合配制成〃型什锦糖，什锦糖A

2甲糖果2千克

每份重5千克，价格80元.糖果2千克一

素材

小温恰好用87（）元各买了若干份44型什锦糖.

3

问题解决

任务

确定/型单价每份什锦糖力需要多少元？

1

任务每份什锦糖8中甲，乙两种糖果的质量分别是

确定8型配比

2多少千克？

任务本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果各多少干

确定销售量

3克？

【答案】任务I：70元；任务2：夕中甲糖果有4千克，乙糖果有I千克；任务3：①若力型I份，8型10

份，则卖出42千克甲糖果，12千克乙糖果.②若/型9份，8型3份，则卖出3（）千克甲糖果，21千克乙

糖果

【分析】（1）由甲乙两种糖果的总价之和可得答案；

（2）设什锦糖8中糖果甲，乙糖臭质量分别为x千克，y千克，根据8型什锦糖，每份重5千克，价格80

元，再列方程组即可：

（3）设小温购买〃，份什锦糖儿〃份什锦糖8,可得方程70m-80n=870,再利用方程的正整数解可得答

案.

【详解】解：（1）什锦糖4价格为2x15+2x20=70元.

（2）设什锦糖8中糖果甲，乙糖果质量分别为x千克）千克，由题意可列方程:屋解得R：I

Vij%十Luy=ou（y—i

・・・3中甲糖果有4千克，乙糖果有1千克.

（3）设小温购买/〃份什锦糖儿〃份什锦糖8,

可得方程70m+80n=870,

〃为整数，解得产=3

5=105=3

，①若力型1份，8型10份，则卖出2+10x4=42千克甲糖果，2+10x1=12千克乙糖果.

②若力型9份，4型3份，则卖出9x2+3x4=30千克甲糖果，9X2+3X1=21千克乙糖果.

【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的

关键.

【变式6-3］（24-25七年级•浙江温州•期中）商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，

其中优惠券分为三种类型.如下表：

A型4型C型

满368减100满168减68满5()减20

在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物.

（I）若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张力型“优惠券”，4张C

型“优惠券”，则她用了张8型“优惠券”.

（2）若小温同时使用了5张44型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了4中优惠券”各几张？

（3）若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张（部分未使用），他同时使用4B,。型中的两种不同

类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方案？（请写出具体解题过程）

【答案】（1）5

（2）他使用了Z型2张，8型3张.

（3）有两种优惠券使用方案：①力型3张，夕型6张.②B型6张，C型15张.

【分析】（I）根据“小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元”求解即可；

（2）设他使用了力型“优惠券”x张，〃型“优惠券张，根据“同时使用了5张力，〃型，优惠券，，共优惠了

404元”列二元一次方程组，求解即可；

（3）设小温使用了力型“优惠券，张，8型“优惠券*张，C型“优惠券々张，根据题意，分三种情况：①

若使用了月，6两种类型的优惠券，②使用了6,C两种类型的优惠券，⑤使用了4。两种类型的优惠

券，分别列方程，求解即可确定使用方案.

【详解】（1）解：根据题意,得（520-100-4x20）+68=5（张），

故答案为：5；

（2）解.：设他使用了力型x张，6型y张.

根据题意可得｛100：蓝:404解喉；

答：他使用了力型2张，4型3张.

（3）解：设小温使用力型〃张，E型8张，。型c张.

根据题意可得三种情形：

①若小温使用了4〃型优惠券，则有100a+68b=708

化简为：25a+17b=177

•・7,力都为整数，且QW16,b<16

'.a=3,b=6

②若小温使用了8，。型优惠券，则有68b+20c=708

化简为：17b+5c=177

•・Z,c•都为整数，且bW16,c<16

fc=6,c=15

③若小温使用了力，。型优惠券，则有100a+20c=708

化简为：25a+5c=177

•••。，c都为整数，且aW16,c<16

・•・本小题无解.

综上所述，有两种优惠券使用方案：①4型3张，8型6张.②8型6张，C型15张.

【点睛】本题考查了二元一次方程（组）的应用，理解题意并建立相应的二元一次方程或二元一次方程组是解

题的关键.

【题型7列二元一次方程组解决数字、配套、工程问题】

【例7】（24-25七年级•全国•课后作业）一个长方体的包装盒由1个侧面和2个底面组成.如果每张白卡纸

可以做2个侧面，或者做3个底面，现有14张白卡纸，那么用多少张白卡纸做侧面，多少张白卡纸做底面,

做出的侧面和底面恰好能配成包装盒？

【答案】用6张白卡纸做侧面，8张白卡纸做底面，做出的侧面和底面恰好能配成包装盒

【分析】设X张白卡纸做侧面，y张白卡纸做底面，根据“包装盒由1个侧面和2个底面组成.如果每张白卡

纸可以做侧面2个，或者做底面3个，现有14张白卡纸”列出方程组求解即可.

【详解】解：设用x张白卡纸做侧面，y张白卡纸做底面，

由题意得份之W解哪二

答：用6张白卡纸做侧面，8张白卡纸做底面，做出的侧面和底面恰好能配成包装盒.

【点睛】本题考杳了二元一次方程组的应用，解题关键是要读僮题日的意思，根据题目给出的条件，找出合

适的等量关系，列出方程组.

【变式7-1］（24-25七年级•全国•课后作业）一个两位数的十位上的数与个位上的数的和是5,如果这个两位

数减去27,则恰好等于十位上的数与个位上的数对调后组成的两位数，求这个两位数.

【答案】41

【分析】设这个两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y，由数字问题在题目中的等量关系建立方程组

求出其解即可.

【详解】设这个两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为户由题意，得

x+y=5

,10%+y—27=10y+%

解得：

fx=4

（y=v

・•・这个两位数为41.

【点睛】本题考查了列二元•次方程组解实际问题的运用，二元•次方程组的解法的运用，数字问题的数量

关系的运用，解答时灵活运用数字问题的数量关系建立方程组是关键.

【变式7-2］（2024七年级•全国专题练习）我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表达，其

中《孙子算经》中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人

两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？

【答案】有3个老头，4个梨.

【分析】题意中涉及两个未知数：几个老头几个梨.

两组条件：一人一个多一梨，一人两个少二梨，可设两个未知数，列二元一次方程组解题.

【详解】解：设有x个老头，y个梨，

根据题意得：，

I44y—乙

解得:

答：有3个老头，4个梨.

【点睛】本题考查了二元一•次方程组在实际问题中运用，需要设两个未知数，再寻找建立方程组的两个等量

关系.

【变式7-3](24-25七年级•福建厦门•期中)某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240

辆.每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练J2米完成新式电动汽车的安装，工厂决

定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装，调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装

14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车.工厂给安装电动汽车的每名熟练工每

月发10000元工资，每名新工人每月发6000元工资;

(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？

(2)如果工厂招聘n(0<n<5)名新工人，使得招聘的新工人和拍调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，

那么工厂有哪几种工人的招聘方案？

(3)在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？

【答案】(1)每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车.

(2)有2种工人的招聘方案：①抽调熟练工3名，招聘新工人4名；②抽调熟练工4名，招聘新工人2名.

(3)为了节省成本，应该招聘新工人2名.

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系，正确列出二元

一次方程组和二元一次方程是解题的关键.

(1)设每名熟练工每月可以安装K辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，根据等量关系“2

名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”和“3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车”

列出二元一次方程组求解即可；

(2)设抽调熟练工m名，招聘新工人九名，根据“招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务”

列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解即可；

(3)求出方案①和方案②的成本，然后比较即可解答.

【详解】(1)解：任务一：设每名熟练工每月可以安装％辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动

汽车，

由题意得：｛煞索腺解得弋，，

答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车.

（2）设抽调熟练工m名，招聘新工人九名，

由题意得：12（4m+2几）=240,

整理得：n=10-2m,

•••根、九为正整数，且0Vn<5,

・•・号:泞｛::，

;有2种工人的招聘方案：

①曲调熟练工3名，招聘新工人4名；

②抽调熟练工4名，招聘新工人2名.

（3）方案①中，每月发放工资为：3x10000+4x6000=54000（元）；

方案②中，每月发放工资为：4x10000+2x6000=52000（x）；

•••52000<54000,

•••为了节省成本，应该抽调熟练工4名，招聘新工人2名.

【考点3三元一次方程组的解法】

1.三元一次方程组的概念

含有三个未知数、每个方程的未知项的次数都是1.并且共有三个方程、这样的方程组叫做三元一次方程组.

2.三元一次方程组的解法思路

解三元一次方程组的基本思想仍是消元,一般地，其基本方法是代入法和加减法.一般地，应利用代入法或加

减法消去一个未知数，从而变二元一次方程组，求出两个未知数，最后求出另一个未知数.

3.三元一次方程组的解题步骤

①利用代入法或加减法，消去一个未知数彳导出一个二元一次方程组；

②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值；

③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值、把这三个数写在一起的就

是所求的三元一次方程组的解.

4.解题策略

①有表达式,用代入法；

②缺某元，消某元.灵活运用加减消元法，代入消元法解简单的三元一次方程组.

【题型8解三元一次方程组】

【例8】（24-25七年级•浙江舟山期末）已知多项式a/+bx+c中，a,b,c为常数，%的取值与多项式对

应的值如下表：

X1-52-6

ax2+bxM

M7N

+c+12

则N值为（）

A.15B.19C.21D.23

【答案】D

【分析】本题考查的是三元一次方程组的特殊解法，先根据表格信息建立方程组，再利用整体未知数的方法

解方程即可；先求解4Q—b=2,32a-8b=N-7,再利用整体代入法可得答案.

【详解】解：当％=1时，a+b+c=M®,

当x=2时，4a+2b+c=7②，

当x=-5时，25a-5b+c=M+12③，

当x=-6时，36a-6b+c=N④，

③一①得：24a—6b=12,即4a—匕=2,

④一②得：32a-8b=N-7,

••・8（4Q-b）=N-7,

:・N-7=16,

：.N=23；

故选D

【变式8-1］（24-25七年级•浙江•课后作业）已知上一±3ML且x+y=3,则z的值为（）

2%十T*y—zz十o

A.9B.-3C.12D.不确定

【答案】B

【分析】先利用x+y=3,得2x+2尸6,3x+3y=9,进而将方程组进行化简整理，再用代入消元法即可求解.

【详解】解：・.・x+y=3,将其代入方程组得

由⑴得y=z-6,将其代入（2）得z=-3,

故选B.

【点睛】本题考查了三元•次方程组的求解，中等难度，熟悉代入消元的方法和对原方程组进行化简是解题关

键.

3x+y—4z=13①

【变式8-2］（24-25七年级•上海静安・期末）解方程组：，5x-y+3z=5②.

、x+y-z=3@

x=2

【答案】y=-l.

z=—2

【分析】本题考瓷了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组的方法，即消元法，是解答本题的关键.

①+②得8x-z=18®,②+③得6x+2z=8⑤，©x2+⑤得x=2,把％=2代入④得z=-2,把％=2、

z=-2代入③得y=-l,由此得到答案.

【详解】解：根据题意：

由①+②得8x-z=180,